Cap 2 Oscillazioni

Cap 2
Oscillazioni
1
Introduzione
Introduzione
Benché la maggior parte delle considerazioni che verranno fatte nel seguito siano riferite a sistemi
meccanici esse hanno portata molto piú generale e sono applicabili anche a sistemi non meccanici.
Si definisce come sistema a un grado di libertá un sistema la cui configurazione è precisata istante per
istante da un solo parametro.
Ad esempio la posizione di un pistone che scorre senza attrito in un cilindro è specificata ad ogni istante
conoscendo la sua distanza dal fondo del cilindro.
In generale se occorrono n parametri per specificare la configurazione)di un sistema si dirá che il sistema
possiede n gradi di libertá.
Un dischetto piatto lanciato su un piano possiede ad esempio tre gradi di libertá: le 2 coordinate x, y
del suo centro e l’angolo di rotazione attorno al centro.
Un sistema puó avere infiniti gradi di libertá. Se consideriamo un’asta metallica deformabile appoggiata
su due supporti alle sue estremitá e applichiamo un insieme di forze all’asta essa si deformerá.
La configurazione dell’asta deformata è descritta da una funzione y = f (x) il che è equivalente a un
insieme infinito e continuo di parametri.
MOTI UNIDIMENSIONALI
Consideriamo una massa m che si possa muovere lungo una linea soggetta ad una forza funzione della
posizione. L’equazione del moto sará
mẍ = F (x)
Se la forza dipende solamente da x possiamo scrivere subito un integrale primo del moto funzione di x e
ẋ e che è costante nel tempo.
T + V = E = cst
avendo definito
rx
1
mẋ2 , V (x) = − xo F (x0 ) dx0
2
Una particella di massa m puó rimanere in equilibrio, ad esempio in una configurazione corrispondente
a x = xeq , solo se la forza totale agente su di essa è nulla.
Per una forza conservativa ció significa che la derivata del potenziale in xeq è nulla.
Studiamo il moto della massa m nelle vicinanze della posizione di equilibrio.
Senza perdita di generalitá possiamo sempre scegliere il punto di equilibrio come origine delle coordinate, x = 0, e scegliere la costante arbitraria nel potenziale in modo che V (0) = 0.
Per piccoli spostamenti rispetto all’origine
T =
2
Introduzione
V (x) = V (0) + V 0 (0)x +
1 2 00
x V (0) + ....
2
Poiché abbiamo scelto V (0) = 0 e in base alla condizione di equilibrio V 0 (0) = 0 si ha
V (x) =
1 2
kx , k = V 00 (0)
2
Il moto nelle vicinanze di una configurazione di equilibrio puó approssimativamente venir descritto da
una funzione potenziale quadratica e ció è valido in un grandissimo numero di situazioni dalla meccanica
classica all’elettromagnetismo alla meccanica quantistica.
Il grafico dell’energia potenziale corrisponde ad una parabola orientata verso l’alto o verso il basso a
seconda del segno di k.
1
Poiché E − V (x) = mẋ2 ≥ 0 in qualunque situazione fisica dev’essere sempre V (x) ≤ E
2
ˆ se k > 0 per qualunque valore di E > 0 vi sono due punti in corrispondenza dei quali E = V (x).
r
x = ±a
a=
2E
k
Il moto corrisponde ad una oscillazione fra questi due punti
ˆ se k < 0 vi sono due possibilitá
1. se E > 0 allora E > V (x) qualunque sia x.La particella continua a muoversi indefinitamente
lungo la direzione iniziale diminuendo di velocitá fino ad un valore minimo in corrispondenza
di x = 0 e successivamente riprendendo velocitá
2. se E < 0 allora la particella si avvicina fino ad una distanza minima alla quale la sua velocitá
si annulla e poi inverte direzione e la velocitá ricomincia a crescere
La forza corrispondente alla funzione potenziale considerata è lineare, ed è attrattiva o repulsiva a
seconda del segno di k
F (x) = −kx
Considerando sistemi meccanici con un solo grado di libertá un tipico esempio è rappresentato da una
massa collegata ad una estremitá di una molla e capace di spostamenti senza attriti nella direzione dell’asse
della molla.
3
Introduzione
Se l’elongazione x è sufficientemente piccola in modo da non introdurre deformazioni plastiche della
molla vale la legge di Hooke :
F = −k x ( k = costante elastica della molla)
L’equazione del moto del sistema nelle approssimazioni su dette risulta quindi
mẍ = −k x → ẍ + ω 2 x = 0
ω2 =
k
m
che è l’equazione dell’oscillatore armonico.
È interessante notare che tale equazione descrive svariate situazioni fisiche anche al di fuori del campo
della meccanica.
1. sempre rimanendo nel campo della meccanica il cosı́ detto pendolo semplice, massa puntiforme
appesa all’estremitá di un filo inestensibile di massa trascurabile, è descritto da una simile equazione
2. circuito L − C con resistenze trascurabili(equivalente ad assenza di attrito cioé assenza di effetti
dissipativi).In questo caso il parametro che specifica la configurazione istantanea del sistema è la
corrente i che fluisce nel circuito dopo la chiusura dell’interruttore.
4
Introduzione
3. oscillazioni del plasma come ad esempio nella ionosfera.
L’equazione dell’oscillatore armonico descrive in effetti un gran numero di situazioni fisiche diverse.
I due ingredienti fondamentali che conducono a tale descrizione sono
ˆ assenza di effetti dissipativi
ˆ dipendenza lineare della forza dal parametro che descrive la configurazione del sistema.
È ovvio che per sistemi che sotto l’effetto di una perturbazione esterna si spostano di poco dalla
configurazione di equilibrio e che si comportano bene, il che significa che la dipendenza dalle condizioni
iniziali non è critica come nei cosı́ detti sistemi caotici, ci si riduce sempre alla situazione dell’oscillatore
armonico.
Consideriamo per semplicitá un sistema a un solo grado di libertá e indichiamo con s il parametro che
specifica la configurazione del sistema il quale in assenza di sollecitazione esterna si trova nella configurazione di equilibrio stabile corrispondente al valore so di s .
La forza agente sul sistema è funzione di s e sviluppando in serie di Taylor intorno al valore so possiamo
scrivere
!
!
dF
d2 F
(s − so )2 + ...
F (s) = F (so ) +
(s − so ) +
ds
ds2
o
o
per piccole variazioni rispetto alla configurazione di equilibrio se il sistema non ha un comportamento
patologico (sistemi caotici ad es.) possiamo trascurare i termini di ordine superiore al primo.
Inoltre se so è la configurazione di equilibrio
!
dF
F (so ) = 0 → F (s) '
(s − so )
ds
o
Se la configurazione di equilibrio è stabile occorre che la derivata prima sia negativa e quindi si ritrova
la tipica espressione di una forza di richiamo elastica.
Un altro esempio di natura completamente diversa ma che mostra come si origina una forza di richiamo
lineare è fornito da un modello classico semplificato dell’atomo
Immaginiamo di schematizzare un atomo come una distribuzione di carica negativa con densitá uniforme e carica totale Z(−e) che circonda un nucleo puntiforme massivo con carica Z(e).
In condizioni normali e in assenza di campi elettrici esterni il baricentro della carica negativa e quello
della carica positiva coincidono.
Sotto l’influenza di un campo elettrico esterno(ad esempio un dielettrico posto fra le armature di un
condensatore carico) la struttura atomica si deforma.Possiamo descrivere in modo approssimato tale effetto
come uno spostamento del baricentro delle cariche negative rispetto al nucleo positivo.
5
Introduzione
Di conseguenza risulta una forza attrattiva non nulla fra le due distribuzioni di carica.
Se δ indica lo spostamento del baricentro delle cariche negative dal nucleo, possiamo calcolare facilmente
la forza attrattiva che si esercita sul nucleo.
Il campo elettrico radiale dovuto alla distribuzione di carica negativa contenuta in una sfera di raggio
δ puó essere calcolato applicando il teorema di Gauss.
E(δ)4πδ 2 =
1
Ze
Q(δ)
Ze 4πδ 3
=
→ E(δ) =
δ
3
εo
εo 4πR /3 3
4πεo R3
La forza attrattiva(forza di richiamo)agente sul nucleo è quindi
Fric
(Ze)2
δ
= (Ze)E(δ) =
4πεo R3
che è lineare nella deformazione δ della struttura.
In condizioni di equilibrio la forza di richiamo bilancia la forza del campo elettrico esterno Eext .
L’atomo o molecola deformata acquista un momento di dipolo elettrico, p , che ha la direzione del
campo elettrico agente e che in modulo vale
p = (Ze)δ = 4πεo R3 Eext
L’equazione dell’oscillatore armonico libero
è un’equazione differenziale :
ˆ omogenea , il che significa che il secondo membro (il termine noto) è zero
ˆ lineare , la funzione e la derivata compaiono solo alla prima potenza
ˆ a coefficienti costanti
6
Oscillazioni libere
Oscillazioni libere
OSCILLATORE ARMONICO LIBERO
1
In assenza di attriti l’equazione del moto che deriva da un potenziale del tipo V = kx2 è quella
2
dell’oscillatore armonico libero
s̈ + ω 2 s = 0
La soluzione generale è facilmente esprimibile e puó venir scritta in varie forme, tutte completamente
equivalenti ma che possono risultare piú o meno vantaggiose a seconda delle condizioni.
Poiché l’equazione differenziale è lineare le sue soluzioni soddisfano al principio di sovrapposizione: se
s1 (t) e s2 (t) sono due soluzioni, qualunque combinazione lineare di esse soddisfa ancora all’equazione e
rappresenta anche la soluzione generale a condizione che s1 (t) e s2 (t) siano linearmente indipendenti.
Quindi basta trovare due soluzioni indipendenti.
Conviene discutere i due casi corrispondenti a valori positivi oppure negativi di k.
1. k < 0 nel qual caso V (x) è massimo in x = 0.
L’equazione puó venir scritta
s̈ − Ω2 s = 0 , Ω =
p
−k/m
Due soluzioni indipendenti sono s1 = eΩt e s2 = e−Ωt e la soluzione generale è
s(t) = AeΩt + Be−Ωt
Ogni piccolo spostamento dá luogo ad un aumento esponenziale di x nel tempo.
Il sistema è instabile.
2. k > 0 nel qual caso V (x) è minimo in x = 0
Due soluzioni indipendenti sono ora
s1 = sin ωt , s2 = cos ωt
La soluzione generale puó quindi venir scritta come
s(t) = C1 sin ωt + C2 cos ωt
o anche con una delle espressioni seguenti
s(t) = C cos(ωt + φ) = <[Cei(ωt+φ) ] C 2 = C12 + C22 , tan φ =
C2
C1
È anche istruttivo ritrovare la soluzione cercando soluzioni esponenziali complesse. L’equazione
caratteristica è
α2 + ω 2 = 0
che ha due soluzioni distinte
7
Oscillazioni libere
α1 = i ω , α2 = −i ω
e quindi la soluzione generale puó venir scritta
s(t) = A1 eiωt + A2 e−iωt
che è equivalente alle forme precedenti(eix = cos x + i sin x) con l’identificazione
A1 + A2 = C2 ,
A1 + −A2 = −iC1 → A1 = (C2 − iC1 )/2 , A2 = (C2 + iC1 )/2
Le due costanti sono determinate dalle condizioni iniziali, posizione e velocitá a un tempo iniziale
dato.
Quindi in particolare se il tempo iniziale è zero, poiché
s(0) = C cos φ , ṡ(0) = −ωC sin φ
otteniamo
r
C=
s2 (0) +
ṡ2 (0)
ω2
, cot φ = −ω
s(0)
ṡ(0)
La soluzione è caratterizzata dalle grandezze
C = ampiezza
ω = pulsazione
T = 2π/ω = periodo
φ = fase
È interessante notare il significato fisico della frequenza angolare o pulsazione ω nell’equazione
dell’oscillatore armonico.
Riferendoci, se non altro per fissare le idee, al caso della massa attaccata a una molla si vede che
ω 2 = forza di richiamo per spostamento unitario e per massa inerziale unitaria
nel caso di sistemi non meccanici, ad esempio il circuito LC, lo spostamento è la corrente e la massa
inerziale non è ovviamente una massa meccanica.
Tenendo presente il significato della pulsazione è quasi immediato calcolare ad esempio la frequenza di
oscillazione di un liquido in un tubo ad U .
8
Oscillazioni libere
Sia l la lunghezza totale di liquido(la dimensione trasversa del tubo sia piccola rispetto a l,sia ρ la
densitá del liquido e A l’area della sezione del tubo.
Non vi è nessuna ”molla” che eserciti un effetto di richiamo ma la forza di gravitá tende a riportare il
livello del liquido alla posizione di equilibrio comportandosi a tutti gli effetti come farebbe una molla con
costante elastica pari alla forza agente per unitá di spostamento.
Se il livello del liquido in uno dei bracci si innalza di 1 cm esso scende di altrettanto nell’altro braccio.La
quantitá di liquido spostato rispetto alla situazione di equilibrio ha massa corrispondente a 2 cm di liquido
e essa esercita una forza pari a
2Aρg
che corrisponde quindi alla costante elastica della molla.
La massa in movimento è : A l ρ e quindi per quanto osservato prima possiamo scrivere subito che
s
r
2Aρg
2g
ω=
=
Alρ
l
Un altro istruttivo esempio è quello illustrato nella figura seguente.
Una massa m collegata a due molle con costanti elastiche differenti.
I casi i) e ii) corrispondono a due molle che agiscono in ”parallelo”
Infatti nei casi i) e ii) uno spostamento, ad esempio unitario, della massa m provoca una forza di
richiamo che vale (k1 + k2 ) in tutti e due i casi.
La pulsazione del sistema in questi due casi è quindi
r
k1 + k2
ω=
m
Il caso iii) corrisponde a due molle in ”serie”.
In questa situazione se k indica la costante elastica della molla che rappresenta l’effetto complessivo
delle due molle, possiamo interpretare 1/k come l’elongazione che tale molla subirebbe se esercitasse una
forza di richiamo unitaria.
Tale forza di richiamo si trasmette tale e quale attraverso tutto il sistema delle due molle.
Esse subirebbero quindi ciascuna un’elongazione pari rispettivamente a 1/k1 e 1/k2 e l’elongazione
complessiva sarebbe (1/k1 + 1/k2 ) che deve essere ovviamente uguale a 1/k.
Quindi
1
1
1
=
+
→k=
k
k1
k2
9
1
1
1
+
k1
k2
Oscillazioni libere
Energia dell’oscillatore libero
Avendo escluso la presenza di effetti dissipativi ci si aspetta che l’energia totale del sistema rimanga
costante ed è effettivamente facile verificarlo.
Ad un generico istante di tempo l’energia sará distribuita fra energia cinetica associata alla massa m
in moto ed energia potenziale accumulata nella molla.
Se scriviamo
s(t) = C sin(ωt + φ)
(scegliendo s(t) = C cos(ωt + φ) è equivalente; equivale solo a scegliere φ = φ − π/2) la velocitá corrispondente e’
ṡ(t) = ωC cos(ωt + φ)
Pertanto
Ecin =
Epot
1
1
mv 2 = mω 2 C 2 cos2 (ωt + φ)
2
2
1 2
1
= ks = kC 2 sin2 (ωt + φ)
2
2
da cui
Ecin + Epot =
1
1
1
mω 2 C 2 cos2 (ωt + φ) + kC 2 sin2 (ωt + φ) = mω 2 C 2
2
2
2
I valori medi di posizione, velocitá e accelerazione sono ovviamente nulli.
Invece i valori medi dell’energia sono diversi da zero.
Prendendo la media su un periodo si trova
hEcin i =
1 rT 1
1
1 rT
1
mv 2 dt = mω 2 C 2
cos2 (ωt + φ) dt = mω 2 C 2
0
0
T
2
2
T
4
10
Oscillazioni libere
e analogamente
hEpot i =
1 2
1 rT 1 2
1 2 1 rT
1
2
sin
(ωt
+
φ)
dt
=
ks
dt
=
kC
kC
=
mω 2 C 2
T 0 2
2
T 0
4
4
I valori medi sono uguali; c’è un continuo scambio fra le due forme di energia.
Oscillazioni libere in due dimensioni
Consideriamo una particella che possa muoversi in un piano(due gradi di libertá) e soggetta ad una
forza di richiamo diretta verso un punto fisso (e quindi centrale).
Il modulo della forza sia proporzionale alla distanza dal punto fisso che scegliamo come origine di un
sistema di coordinate cartesiane piane..
F = −kr
che si puó scrivere in coordinate polari
Fx = −kr cos θ = −kx ,
Fy = −kr sin θ = −ky
L’equazione del moto : F = ma dá le espressioni
ẍ + ωo2 x = 0 , ÿ + ωo2 y = 0
ωo2 x = k/m
e la soluzione di tali equazioni puó venir scritta
x(t) = A cos(ωo t − α) ,
y(t) = B cos(ωo t − β)
essendo A,B,α,β determinate dalle condizioni iniziali.
Il moto è un moto di oscillazione armonica nelle direzioni x e y.
Le oscillazioni hanno la stessa frequenza ma non necessariamente la stessa ampiezza né la stessa fase.
L’equazione della traiettoria descritta dalla particella nel piano (x, y) è direttamente ricavabile Definendo : δ = α − β
y(t) = B cos(ωo t − β) = y(t) = B cos(ωo t − α + δ) = B cos δ cos(ωo t − α) − B sin δ sin(ωo t − α)
e quindi usando l’espressione di x(t) si ha
v
u
u
x
y(t) = B cos δ − B sin δ t1 −
A
x
A
!2
Isolando il termine con la radice ed elevando al quadrato si ottiene
B 2 x2 − 2AB cos δxy + A2 y 2 = A2 B 2 sin2 δ
che è l’equazione di una conica, in particolare di un’ellisse
Vedi la figura che corrisponde alla situazione A = B e diversi valori di δ
11
Oscillazioni libere
Nel caso particolare che δ = 0 o δ = ±π l’ellisse degenera in una linea retta passante per l’origine con
equazione rispettivamente
y=
B
B
x (δ = 0) , y = − x (δ = ±π)
A
A
Nel caso piú generale di un moto le cui coordinate oscillano di moto armonico ma con frequenze
differenti
x(t) = A cos(ωx t − α) ,
y(t) = B cos(ωy t − β)
ωx 6= ωy
il moto non è piú una ellisse ma una curva piú complicata che prende il nome di curva di Lissajous dal
nome del fisico che studió per primo tali curve.
In generale la curva di Lissajous non è neppure una curva chiusa.
La condizione affinché la curva sia chiusa, vale a dire che il moto si ripeta identico a intervalli regolari
di tempo, è che il rapporto fra le frequenze deelle due proiezioni sia un numero razionale
ωx
m
=
ωy
n
m, n interi
Le figure seguenti illustrano due esempi
12
Oscillazioni libere
ωx = 3 , ωy = 2 , δ = π/2
ωx = 5 , ωy = 6 , δ = π/2
Se il rapporto fra le frequenze è un numero irrazionale si puó dimostarre che la particella non puó mai
passare per lo stesso punto del piano con la stessa velocitá.
Si dimostra che dopo un tempo sufficientemente lungo la particella passa arbitrariamente vicina a
qualunque punto all’interno del quadrato di lati 2A e 2B
Diagramma delle fasi
Lo stato ad un qualunque istante di tempo di un oscillatore unidimensionale è completamente determinato dai valori iniziali di x e ẋ
13
Oscillazioni libere
x(to ) , ẋ(to )
Possiamo considerare le grandezze x(t) e ẋ(t) come coordinate di uno spazio a 2 dimensioni.
Tale spazio è chiamato spazio delle fasi.
Nel caso dell’oscillatore unidimensionale lo spazio delle fasi è ovviamente un piano, ma per un sistema
con n gradi di libertá sará uno spazio a 2n dimensioni.
Al variare del tempo il punto P (x, ẋ) che descrive lo stato del sistema al tempo considerato descriverá
una certa traiettoria nello spazio delle fasi.
Condizioni iniziali differenti danno origine a traiettorie differenti.
Ogni traiettoria nello spazio delle fasi descrive l’intera evoluzione temporale del sistema per una data
configurazione iniziale.
Il concetto è molto generale e applicabile a una multitudine di situazioni fisiche diverse e gioca un ruolo
fondamentale nella meccanica statistica.
Nel caso dell’oscillatore unidimensionale la situazione è semplice e lo spazio delle fasi immediatamente
visualizzabile.
Quindi se
x(t) = A sin(ωo t − φ)
ωo2 =
k
m
si ha che
ẋ(t) = Aωo cos(ωo t − φ)
ed eliminando il tempo fra di esse si ha
ẋ2
x2
+
=1
A2
A2 ωo2
Tale equazione rappresenta una ellisse e si ha tutta una famiglia di ellissi concentriche in corrispondenza
a valori diversi di A
Il significato fisico di A è ovvio; infatti l’energia totale dell’oscillatore armonico è
E=
1 2
kA
2
e possiamo scrvere l’equazione dell’ellisse nello spazio delle fasi come
x2
ẋ2
+
=1
(2E/k)
2(E/m)
14
Oscillazioni libere
Ogni ellisse corrisponde a un dato valore dell’energia del sistema.
Le ellissi come si vede dalla figura sono concentriche e non si intersecano.
È questa peró una proprietá generale; due traiettorie nello spazio delle fasi non possono mai intersecarsi.
La dimostrazione è ovvia tenendo conto del fatto che la soluzione dell’equazione differenziale è unica.
Se due traiettorie si intersecassero vorrebbe dire che partendo da una certa configurazione iniziale il
sistema potrebbe evolvere lungo traiettorie differenti.
Si puó ancora osservare che anziché partire dalle soluzioni della equazione differenziale come abbiamo
fatto ora si poteva ricavare direttamente l’equazione delle traiettorie nello spazio delle fasi senza risolvere
le equazioni del moto.
Infatti partendo dall’equazione del moto
ẍ + ωo2 x = 0
possiamo rimpiazzare l’equazione del moto che è di 2o ordine con un sistema di due equazioni del primo
ordine scrivendo
dx
= ẋ ,
dt
dẋ
= −ωo2 x
dt
dividendo membro a membro le due equazioni si puó scrivere
x
dẋ
= −ωo2
→ ẋ dẋ = −ωo2 x dx
dx
ẋ
che dá
ẋ2 = −ωo2 x2 + cst
La costante dev’essere uguale(condizioni iniziali) a : 2E/m e si ritrova l’equazione precedente dell’ellisse
Nel caso presente non c’è nessun particolare vantaggio a procedere in questo modo ma in situazioni
piú complicate è talvolta piú facile ricavare l’equazione della traiettoria nello spazio delle fasi senza dover
passare per la soluzione dell’equazione differenziale.
15
Oscillazioni libere
OSCILLATORE LIBERO SMORZATO.
Nella realtá sono sempre presenti effetti dissipativi che fanno sı́ che un oscillatore armonico non continui
ad oscillare indefinitamente con ampiezza costante.
Le vibrazioni si smorzano al passare del tempo come da esperienza comune.
La presenza di meccanismi dissipativi puó venir descritta in molte situazioni, se il corpo in moto ha
forma semplice, se la velocitá è sufficientemente bassa e se non ci sono turbolenze, come dovuta ad una
forza di attrito viscoso, cioé proporzionale alla velocitá istantanea del sistema(legge di Stokes).
Non è sempre esattamente cosı́ ma è una ragionevole approssimazione in molte situazioni. In presenza
di una forza di attrito del tipo
F att = −λv
l’equazione dell’oscillatore armonico deve contenere un termine ulteriore.
Considerando per semplicitá il moto unidimensionale di una massa m attaccata ad una molla ma
soggetta pure a forze di attrito viscoso possiamo scrivere l’equazione del moto come
ms̈ = −ks − λṡ → s̈ + 2γ ṡ + ωo2 s = 0 ωo2 =
k
λ
, 2γ =
m
m
essendo s la variabile che descrive la configurazione del sistema(non necessariamente uno spostamento
per considerare anche situazioni al di fuori della meccanica). Ad esempio nel caso dei circuiti elettrici
effetti dissipativi sono dovuti in primo luogo alla presenza di valori finiti della resistenza dei componenti
circuitali(oltre a effetti piú complicati come l’irraggiamento che sono peró sensibili solo a frequenze molto
elevate).
L’equazione dell’oscillatore smorzato è un’equazione lineare del 2o ordine a coefficienti costanti e la sua
soluzione è immediatamente scrivibile in base a quanto discusso precedentemente.
L’equazione caratteristica è
α2 + 2γα + ωo2 = 0
le cui radici sono
α1 = −γ ±
p
γ 2 − ωo2
abbiamo tre casi possibili
√
∆ , α2 = −γ − ∆
p
p
2. ∆ = γ 2 − ωo2 < 0 due radici complesse coniugate α1 = −γ + i |∆| , α2 = −γ − i |∆|
1. ∆ = γ 2 − ωo2 > 0 due radici reali distinte α1 = −γ +
√
3. ∆ = γ 2 − ωo2 = 0 due radici coincidenti α1 = α2 = −γ
Smorzamento forte
2
∆ = γ 2 − ω√
o > 0
√
α1 = −γ + ∆ , α2 = −γ − ∆ sono ambedue reali ma negative.Inoltre |α1 | < |α2 |
La soluzione generale è data da
s(t) = C1 eα1 t + C2 eα2 t
che è la somma di due esponenziali decrescenti.
La massa m spostata dalla sua posizione di equilibrio tende a ritornarci con legge data da una combinazione di esponenziali decrescenti.
A rigore il tempo per ritornare nella configurazione di equilibrio è infinito.
16
Oscillazioni libere
Il decadimento esponenziale è dominato da α1 per tempi sufficientemente grandi.
Il tempo caratteristico durante il quale lo spostamento s è ridotto di un fattore
1
è quindi essenziale
1
.
α1
La velocitá è data da
mente
ṡ(t) = C1 α1 eα1 t + C2 α2 eα2 t
I valori di C1 e C2 sono determinati dalle condizioni iniziali . Specificamente
C1 =
ṡo − α2 so
− ṡo + α1 so
, C2 =
α1 − α2
α1 − α2
smorzamento debole
∆ = γ 2 − ωo2 < 0
vi sono due radici
complesse coniugate
p
p
p
α1 = −γ + i |∆| = −γ + iq , α2 = −γ − i |∆| = −γ − iq q = |∆|
La soluzione generale puó venir scritta in modi alternativi ma equivalenti
s(t) = C1 eiqt−γt + C2 e−iqt−γt
e poiché s(t) è reale occorre che (C1 + C2 ) = reale , (C1 − C2 ) = immaginario → C1 = C2∗
s(t) = 2< [C1 eiqt−γt ]
−γt
s(t) = e [a cos qt − b sin qt] a = 2<C1 = 2<C2 , b = 2=C1 = −2=C2
√
b 1
s(t) = A e−γt cos(qt + φ) A = a2 + b2 , tan φ = −
a A
Si vede chiaramente che la soluzione rappresenta un’oscillazione con pulsazione q la cui ampiezza A e−γt
diminuisce esponenzialmente nel tempo.
17
Oscillazioni libere
Notare che la pulsazione q dell’oscillatore smorzato è sempre inferiore alla pulsazione ωo del corrispondente oscillatore senza smorzamento.
q=
p
1 γ2
ωo2 − γ 2 ' ωo −
+ ...
2 ωo
I massimi(o i minimi) dell’oscillazione smorzata corrispondono a valori di t tali che :
!
ds
γ
γ
+ 2πn
= 0 → tan(qt + φ) = − → qtn + φ = arctan −
dt
q
q
La distanza fra due massimi( e minimi) consecutivi è costante e vale : ∆t = tn+1 − tn =
2π
q
2πγ
Il rapporto fra le ampiezze di due massimi consecutivi è : e q
Le ampiezze dei massimi successivi diminuiscono quindi come una serie geometrica.
−
smorzamento critico
∆ = γ 2 − ωo2 = 0
abbiamo ora due radici coincidenti : α1 = α2 = −γ = −ωo
Come precedentemente la soluzione generale è data da :
s(t) = (C1 t + C2 )eα1 t
La soluzione non ha andamento oscillante ma descrive essenzialmente un esponenziale decrescente.
18
Oscillazioni libere
Le costanti sono al solito fissate dalle condizioni inziali.
Ad esempio se inizialmente (t = 0) il sistema è spostato rispetto alla configurazione di equilibrio e si
trova in s = so con velocitá iniziale nulla, si ha
so = C2 , ṡo = C1 eα1 t + α1 (C1 t + C2 )eα1 t |t=0 = C1 + α1 C2 → C2 = so , C1 = −α1 C2 = −γC2
La condizione di smorzamento critico corrisponde alla situazione in cui il sistema (a paritá di valori di
massa m e di costante elastica k) tende piú rapidamente alla configurazione di equilibrio.
Questa è tipicamente la condizione che si cerca di realizzare negli strumenti di misura ove si desidera
che l’indicazione ad esempio di una lancetta o di un ago mobile indichi il piú rapidamente possibile e senza
oscillazioni il valore di lettura.
Una situazione pratica comune(anche se apparentemente banale) è quella del meccanismo di richiamo
di una porta.
Se lo smorzamento è insufficiente c’è oscillazione il che significa che la porta va a sbattere con velocitá
non nulla contro il battente e fa rumore.
Se lo smorzamento è eccessivo la porta ci mette molto tempo(infinito) a chiudersi.
La condizione di smorzamento critico è quella che assicura una chiusura nei tempi piú brevi senza far
sbattere la porta.
Considerazioni energetiche e fattore di merito
La presenza di meccanismi dissipativi descritti attraverso il termine di attrito viscoso fa sı́ che l’energia
totale del sistema non rimanga costante ma diminuisca nel tempo.
Ad esempio nel caso di un sistema in condizioni di smorzamento debole
s(t) = C e−γt sin(qt + φ)
ṡ(t) = C e−γt q cos(qt + φ) − γC e−γt sin(qt + φ) = C e−γt [q cos(qt + φ) − γ sin(qt + φ)]
1
1
Ecin = mv 2 = mC 2 e−2γt [q cos(qt + φ) − γ sin(qt + φ)]2
2
2
1
1
Epot = ks2 = kC 2 e−2γt sin2 (qt + φ)
2
2
19
Oscillazioni libere
da cui
1 rT
hEcin i =
T 0
1 rT
hEpot i =
T 0
"
#
1
1
1
1
mv 2 dt = mC 2 e−2γt q 2 + γ 2
2
2
2
2
1 2
1
1
1
ks dt = kC 2 e−2γt = kC 2 e−2γt
2
2
2
4
in conclusione
1
1
C 2 −2γt
2 −2γt 2
2
2
2 −2γt
2
hEcin + Epot i = mC e
[q + γ + ωo ] = mC e
[2ωo ] =
e
(2k)
4
4
4
L’energia media quindi diminuisce esponenzialmente nel tempo con costante di tempo “2γ”.
L’energia del sistema è quindi proporzionale al fattore esponenziale che diminuisce nel tempo
hEi ∝ e−2γt
da qui segue che
1 dhEi
= −2γ
hEi dt
e quindi su un periodo T (abbiamo calcolata i valori medi su un periodo) si trova che la perdita di energia
è
γ
∆E
= −2γT = −4π
E
q
Si suole caratterizzare il comportamento dell’oscillatore tramite il ”fattore di merito” o ”fattore di qualitá
” generalmente indicato con Q e definito come
Q = 2π
q
E
=
|∆E|
2γ
Q è inversamente proporzionale a γ e quindi è tanto maggiore quanto minore è l’attrito ed è quindi un
modo di caratterizzare la rapiditá con la quale l’energia accumulata nel sistema viene dissipata.
In un oscillatore con alto valore di Q le oscillazioni proseguono per un lungo intervallo di tempo e si
ha una piccola diminuzione dell’ampiezza.
In un oscillatore con basso valore di Q le oscillazioni si smorzano rapidamente a causa dell’attrito o
piú generalmente a causa dei processi dissipativi che sono presenti.
In molti casi si desidera un oscillatore ad alto Q;ad esempio oscillatori meccanici come un diapason,
le corde di una chitarra o di un pianoforte hanno valori di Q dell’ordine di 1000 − 10000 e quindi possono
oscillare per lungo tempo prima che l’ampiezza si smorzi e quindi l’intensitá del suono prodotto si attenui.
Simili situazioni si vogliono realizzare nei circuiti sintonizzatori di apparati radio o nelle cavitá a
radiofrequenza nelle quali si vuole accumulare energia elettromagnetica per tempi lunghi rispetto al periodo
della radiazione.
Nel caso ad esempio di un circuito elettrico LCR, schematizzando con una resistenza ohmica R l’effetto
dissipativo
20
Oscillazioni libere
si trova che l’equazione del moto è data da
R di
1
d2 i
+
+
i=0
2
dt
L dt
LC
e quindi il fattore di merito è
R
1
2γ =
, ωo2 =
→Q=
L
LC
r
L
1
−
2
CR
4
quanto piú piccola la resistenza del circuito tanto piú a lungo permangono le oscillazioni.
Esempio
Una massa di M = 2 kg è attaccata all’estremo di una molla di massa trascurabile e di costante elastica
k = 10 N/m.
Agisce una forza d’attrito di tipo viscoso Fatt = −λ v.
Inizialmente il sistema oscilla con un’ampiezza pari a 0.25 m.
A causa dello smorzamento l’ampiezza si riduce a 3/4 del valore iniziale dopo 4 cicli completi di
oscillazione.
1. quanto vale λ ?
2. quanta energia viene persa durante i 4 cicli?
La dipendenza temporale dell’ampiezza delle oscillazioni è del tipo
λt
A = xm e 2m
−
Il periodo di un’oscillazione è : T = 2π/ω.
L’ampiezza dopo 4 oscillazioni complete è perció
λ 8π
−
8π
3
A(t =
) ' xm e 2m ω = xm
ω
4
Poiché
21
Oscillazioni libere
r
ω'
k
m
Si ricava che
λ'−
2mω
3
ln ' 0.1kg/s
8π
4
L’energia meccanica persa durante le 4 oscillazioni è
1
E = E(t = 4T ) − E(t = 0) =
2
22
3
xm
4
!2
−
1
k(xm )2 = −0.14 J
2
Oscillazioni forzate
Oscillazioni forzate
OSCILLAZIONI FORZATE
In un sistema isolato le forze sono funzioni delle posizioni e delle velocitá ma non esplicitamente del
tempo.
Tuttavia capita sovente di dover studiare la risposta di un sistema a forze esterne che dipendono dal
tempo.
In molte situazioni il sistema fisico è assimilabile ad un oscillatore armonico sul quale peró oltre alla
forza di richiamo ed alla forza di attrito agisce una forza esterna.
L’oscillatore è quindi ”forzato” da tale agente esterno a compiere un altro tipo di moto che si sovrappone
al moto naturale che effettuerebbe se fosse libero.
Indicando con F (s, t) la forza esterna che agisce sul sistema e che è funzione in generale sia dello
spostamento s che del tempo t , l’equazione del moto puó venir scritta come
ms̈ + λṡ + ks = F (s, t) →
d2 s
ds
F (s, t)
+ 2γ
+ ωo2 s =
2
dt
dt
m
ωo2 =
k
λ
, 2γ =
m
m
Sotto condizioni alquanto generali la dipendenza ad esempio dal tempo t di una generica funzione
quale la F (s, t) è rappresentabile come somma di funzioni sinusoidali(sviluppo in serie o in integrale di
Fourier; vedi Appendice relativa) e quindi dando per il momento acquisito tale fatto possiamo limitarci
senza perdita di generalitá a considerare il caso in cui la sollecitazione esterna sia una funzione sinusoidale
del tempo e non dipenda da s.
F (s, t) = Fo sin ωt
indicando con ω la pulsazione della sollecitazione esterna periodica; di conseguenza consideriamo
l’equazione
d2 s
ds
Fo
+ 2γ
+ ωo2 s =
sin ωt
2
dt
dt
m
Dall’analisi sappiamo che la soluzione generale di un’equazione differenziale non-omogenea è data dalla
somma della soluzione generale dell’equazione omogenea associata(che ora sappiamo scrivere) piú una
soluzione particolare dell’equazione non-omogenea.
Come al solito i calcoli sono piú semplici utilizzando il formalismo complesso e ricordando la formula
di Eulero. Possiamo quindi considerare l’equazione
d2 z
dz
Fo iωt
2
+
2γ
+
ω
z
=
e
o
dt2
dt
m
che è equivalente all’equazione di partenza con la sott’intesa convenzione di considerare solo la parte
immaginaria (o solo quella reale) della equazione e cosı́ pure delle sue soluzioni. Cerchiamo quindi soluzioni
del tipo
z = zo eiωt
con zo costante complessa.
sostituendo nell’equazione(e dato che |eiωt | = 1) si trova
zo =
Fo /m
ωo2 − ω 2 + 2iωγ
Se indichiamo con A e φ rispettivamente il modulo e la fase del numero complesso zo
23
Oscillazioni forzate
zo = Ae−iφ
Fo /m
A= q
(ωo2 − ω 2 )2 + 4ω 2 γ 2
2ωγ
2ωγ
, sin φ = q
tan φ = 2
2
ωo − ω
(ωo2 − ω 2 )2 + 4ω 2 γ 2
La soluzione particolare dell’equazione non omogenea è quindi
z = Aei(ωt−φ) → s = =(z) = A sin(ωt − φ)
La soluzione particolare non dipende dalle condizioni iniziali.
Tale soluzione è di tipo armonico con la stessa frequenza della sollecitazione esterna che forza
l’oscillazione.
L’ampiezza dell’oscillazione forzata dipende dall’intensitá della forza esterna Fo e dalle due pulsazioni
ωo e ω .
La soluzione dell’equazione omogenea come abbiamo visto precedentemente va a zero con una costante
di tempo che vale 1/γ .
Ció che rimane dopo un periodo transitorio iniziale è quindi solo l’oscillazione forzata cioé la soluzione
dell’equazione non omogenea.
L’ampiezza e lo sfasamento dell’oscillazione forzata dipendono dalla frequenza della sollecitazione e
piú esattamente dal rapporto fra la frequenza (o pulsazione)della sollecitazione esterna e la frequenza(o
pulsazione) caratteristica del sistema libero, cioé non forzato.
Definendo
Ω=
ω
ωo
, Γ=
γ
ωo
possiamo riscrivere l’ampiezza e la fase dell’oscillazione forzata come
1
Fo
mωo2 [(1 − Ω2 )2 + 4Ω2 Γ2 ]1/2
2ΩΓ
2ωγ
=
tan φ = 2
2
ωo − ω
1 − Ω2
A=
In figura è rappresentato l’andamento dell’ampiezza in funzione della pulsazione della sollecitazione esterna
in corrispondenza di alcuni valori di Γ cioé del coefficiente di smorzamento del sistema.
L’ampiezza raggiunge il valore massimo non per ω = ωo come si sarebbe portati a pensare, ma in
corrispondenza del valore
p
ωm = ωo2 − 2γ 2 < ωo se ωo2 ≥ 2γ 2
Infatti :
dA
Fo 4ω (ωo2 − ω 2 ) − 8γ 2 ω
Fo
ωo2 − ω 2 − 2γ 2
=
2ω
=
3/2
dω
2m (ω 2 − ω 2 )2 + 4γ 2 ω 2 3/2
m
(ωo2 − ω 2 )2 + 4γ 2 ω 2
o
con la condizione peró che
ωo2 − 2γ 2 > 0 → γ 2 <
1 2
ω → Γ2 < 0.5
2 o
a condizione cioé che lo smorzamento sia sufficientemente debole(ricordare che la condizione di smorzamento debole è ωo2 − γ 2 > 0 → γ 2 < ωo2 → Γ2 < 1).
Al massimo, ω = ωm , l’ampiezza vale
24
Oscillazioni forzate
Am =
1
Fo
2mγ [ωo2 − γ 2 ]1/2
Se
γ → 0 , ωm → ωo , Am → ∞
caso limite della risonanza(ma non realistico ; in natura sono sempre presenti effetti dissipativi)
L’andamento della fase in funzione in funzione della pulsazione della sollecitazione esterna in corrispondenza di alcuni valori di Γ cioé del coefficiente di smorzamento del sistema è illustrato dalla figura seguente.
25
Oscillazioni forzate
Il comportamento dell’oscillatore forzato è qualitativamente diverso a seconda che la pulsazione della forza
esterna sia maggiore o minore della pulsazione caratteristica del sistema.Infatti
ˆ caso ω << ωo o equivalentemente Ω << 1 .
Fo
1
Fo
Fo
Fo
2 2
'
(1
−
2Ω
Γ
)
'
'
mωo2 [(1 + 4Ω2 Γ2 ]1/2
mωo2
mωo2
k
A '=
tan φ =
2ωγ
2ωγ
'
'0
2
−ω
ωo2
ωo2
e quindi la soluzione si comporta come
s = A sin(ωt − φ) '
Fo
sin(ωt)
k
In parole :
– lo spostamento è in fase con la forza esterna
– l’ampiezza è determinata dalla costante elastica della forza di richiamo
Ció è comprensibile perché a basse frequenze ( ω << ωo ) l’accelerazione che è proporzionale a ω 2 è
piccola e quindi la forza esterna va quasi tutta a bilanciare la forza di richiamo −ks e quindi forza
esterna e spostamento sono in fase.
ˆ caso ω >> ωo o equivalentemente Ω >> 1.
A '=
Fo
q
m
1
'
(ωo2 − ω 2 )2 + 4ω 2 γ 2
tan φ =
Fo
m

ω2

1
!2
ωo2
−1
ω2
1/2 '
γ2
+4 2
ω
Fo
mω 2
2ωγ
2ωγ
2γ
'
−
'
−
'0→φ=π
ωo2 − ω 2
ω2
ω
In parole :
– lo spostamento è in opposizione di fase con la forza esterna
– l’ampiezza è determinata dalla massa inerziale del sistema
Ció è comprensibile perché ad alte frequenze( ω >> ωo ) l’accelerazione che e’ proporzionale a ω 2 è
grande e quindi è il termine di inerzia −ms̈ che domina.
La forza esterna deve sostanzialmente bilanciare il termine di inerzia quindi è in fase con
l’accelerazione e quindi in opposizione di fase con lo spostamento.
ˆ caso ω ∼ ωo o equivalentemente Ω ∼ 1.
A=
Fo
q
m
1
(ωo2 − ω 2 )2 + 4ω 2 γ 2
tan φ =
'
Fo 1
m 2ωo γ
2ωγ
γ
'
→ ∞ → φ = π/2
ωo2 − ω 2
ωo − ω
26
Oscillazioni forzate
Esempio : Principio del sismografo
Una massa m è sospesa verticalmente all’estremitá di una molla di costante elastica k e di massa
trascurabile. L’altra estremitá della molla è attaccata ad un punto fisso nel sistema del laboratorio.Il
laboratorio, in condizioni normali, si comporta come un sistema inerziale.
Il moto della massa m puó avvenire solo lungo la verticale ed è smorzato da una forza di attrito viscoso
con coefficiente di attrito λ.
La posizione della massa m al tempo t sia caratterizzata dall’elongazione x(t) che è la distanza della
posizione attuale della massa dalla posizione di equilibrio ove la tensione della molla equilibra il peso della
massa.
In queste condizioni il sistema si comporta come un oscillatore armonico smorzato descritto
dall’equazione
ẍ + 2γ ẋ + ωo2 x = 0 2γ = λ/m , ωo2 = k/m
In presenza di una scossa sismica(che supporremo puramente sinusoidale) il sistema di riferimento del
laboratorio non è piú inerziale ma subisce un’accelerazione verticale asi che puó essere scritta come
asi = −ω 2 Asi cos(ωt)
essendo Asi l’ampiezza della scossa.
Per applicare la legge di Newton bisogna riferirsi ad un sistema inerziale nel quale l’accelerazione del
sistema del laboratiorio è asi .
L’equazione del moto risulta quindi
k
λ
, ωo2 =
m
m
Equazione di un oscillatore armonico smorzato e forzato. Se il sistema è costruito in modo tale che ωo << ω
e γ << ω si ha che la soluzione stazionaria di tale equazione (che è ció che interessa dato che la pulsazione
k
del sistema non forzato ωo2 =
è << ω 2 ) è del tipo : x(t) = A(ω) sin(Ωt − φ)
m
Si trova che :
m (ẍ + asi ) = −kx − λẋ → ẍ + 2γ ẋ + ωo2 x = Asi ω 2 cos(ωt)
2γ =
Asi ω 2
A(ω) = p
(ω 2 − ωo2 )2 + 4γ 2 ω 2
Con le ipotesi fatte su ωo e γ
ω 2 As
A(ω) ' √
' Asi
ω4
L’ampiezza del moto della massa è uguale all’ampiezza della scossa sismica Asi che si vuole misurare.
27
Oscillazioni forzate
Le considerazioni precedenti si riferiscono alla soluzione ”particolare” o soluzione forzata.
La soluzione generale del sistema è peró composta da due parti:
ˆ l’oscillazione libera smorzata che non dipende in alcun modo dalla sollecitazione esterna
ˆ l’oscillazione forzata data dalla soluzione particolare che abbiamo calcolato.
Ad esempio nel caso di un sistema debolmente smorzato la soluzione generale è:
s = Be−γt cos(ωo t + φo ) + A sin(ωt + φ)
Consideriamo per fissare le idee un sistema formato da una massa attaccata ad una molla con frequenza
di oscillazione libera ωo .
Il sistema sia debolmente smorzato(ma la discussione non cambia se lo smorzamento è critico o forte)
e su esso agisca una forza sinusoidale esterna con pulsazione 8 volte inferiore, cioé ωo = 8ω.
Con una certa (inessenziale ma necessaria per disegnare il grafico) scelta della posizione e della velocita’
iniziale
ˆ sistema libero da solo : s(0) = −so , ṡ(0) = 0
ˆ oscillazione forzata da sola : s(0) = so , ṡ(0) = 0
si puó osservare nella figura seguente quello che sarebbe lo spostamento in funzione del tempo del sistema libero senza forza esterna, della oscillazione forzata e della risposta complessiva che è descritta
dall’espressione sopra scritta.
Il transiente scompare rapidamente; l’ampiezza inizialmente è molto piú grande del valore a regime al
quale si porta peró abbastanza rapidamente.
28
Oscillazioni forzate
Energia trasferita all’oscillatore
Consideriamo il sistema una volta che le oscillazioni transitorie siano svanite e quindi la risposta sia
descritta solo dalla soluzione particolare.
F (s, t) = Fo sin ωt
s = A(ω) sin(ωt − φ)
ṡ = ωA(ω) cos(ωt − φ)
La potenza istantanea trasferita al sistema è
P (t) = F ṡ =
1
ωAFo sin 2ωt cos φ + ωAFo sin2 ωt sin φ
2
La media su un periodo, poiché : hsin 2ωti = 0 , hsin2 ωti =
hP (t)i =
1
, dá
2
1
Fo2 ω 2 γ
1
ωAFo sin φ =
2
m (ωo2 − ω 2 )2 + 4ω 2 γ 2
Calcolando la derivata rispetto ad ω si trova che tale espressione è massima in corrispondenza di ω = ωo
2
dhP (t)i
Fo2 γ
(ωo2 − ω 2 )
=
2ω 2 = 0 → ω = ωo
dω
m
(ωo2 − ω 2 )2 + 4ω 2 γ 2
il trasferimento di potenza è massimo in condizioni di risonanza e ivi vale
Pmax
Fo2 1
=
m 4γ
Nella figura che segue è rappresentato l’andamento del valor medio(su un periodo) della potenza
trasferita in funzione della pulsazione ω ed in corrispondenza ad alcuni valori del coefficiente di smorzamento γ.
La larghezza della curva e’ legata a γ; essa è tanto piú stretta quanto piú piccolo è l’attrito.
Siano ω1 , ω2 sono i due valori della pulsazione ai due lati del valore centrale ωo tali che
hP (ω1 )i = hP (ω2 )i = hP (ω0 )i/2
si ricava che(la curva non è simmetrica rispetto a ωo , lo è solo per γ << ωo )
p
p
ω1 = −γ + γ 2 + ωo2 , ω2 = γ + γ 2 + ωo2
la quantitá ∆ω rappresenta quindi la larghezza della curva a metá altezza : ∆ω = ω2 − ω1 = 2γ
La figura che segue rappresenta per alcuni valori diversi del coefficiente di smorzamento la potenza
trasferita in funzione della frequenza della forza esterna.
29
Oscillazioni forzate
La soluzione particolare
s = A(ω) sin(ωt − φ)
con
A=
1
Fo
m (ω 2 − ω 2 )2 + 4ω 2 γ 2 1/2
o
2ωγ
tan φ = 2
ωo − ω 2
puó venir scritta come
s = Aela (ω) sin(ωt) − Aass (ω) cos(ωt)
avendo definito
Fo
ωo2 − ω 2
Aela (ω) = A(ω) cos φ =
m (ωo2 − ω 2 )2 + 4ω 2 γ 2
Fo
2γω
Aass (ω) = A(ω) sin φ =
2
m (ωo − ω 2 )2 + 4ω 2 γ 2
La denominazione ampiezza assorbitiva, Aass , è giustificata dal fatto che la potenza media assorbita
dall’oscillatore e che è fornita dalla forza esterna vale :
hP (t)i = hF ṡi = h[Fo sin(ωt)] [ωAela cos ωt + ωAass sin ωt]i =
1
h[ωAela Fo sin ωt cos ωt + ωAass Fo sin ωt sin ωt]i = ωAass Fo
2
La figura illustra l’andamento dell’ampiezza assorbitiva e dell’ampiezza elastica in funzione della frequenza.
30
Oscillazioni forzate
La risposta in funzione della frequenza dell’oscillatore forzato è descritta da diverse grandezze quali :
l’ampiezza di oscillazione, la potenza media trasferita, l’ampiezza assorbitiva, etc...
Tutte queste grandezze sono fisicamente equivalenti nel senso che contengono lo stesso tipo di informazione fisica.
Formalmente le espressioni analitiche che le rappresentano hanno la caratteristica di essere descritte
da una frazione ove il denominatore, D, è lo stesso e vale
2
D = (ωo2 − ω 2 ) + 4ω 2 γ 2
In prossimitá della risonanza il denominatore varia rapidamente e la variazione della grandezza considerata
è sostanzialmente data dalla variazione del denominatore; il numeratore varia molto piú lentamente in
confronto. Poiché
2
D = (ωo2 − ω 2 ) + 4ω 2 γ 2 = (ωo − ω)2 (ωo + ω)2 + 4ω 2 γ 2
(ω ∼ ωo )
in prossimitá della risonanza (ω ' ωo )la variazione di D è dovuta essenzialmente a (ωo − ω)2 e nel caso di
smorzamento debole(che è la situazione fisicamente piú interessante) γ << ωo . Possiamo quindi scrivere
una relazione approssimata valida in prossimitá della risonanza
D ' (ωo − ω)2 (ωo + ω)2 + 4ω 2 γ 2 ' 4ωo2 (ωo − ω)2 + γ 2
e rimpiazzare ω con ωo ove esso appare nel numeratore. Di conseguenza l’andamento del sistema nelle
vicinanze della risonanza puó venir ben descritto da un’espressione della forma
R(ω) =
γ2
(ωo − ω)2 + γ 2
(R(ωo ) = 1)
R(ω), è una funzione simmetrica intorno ad ωo con la solita forma a campana con larghezza a metá altezza
che vale 2γ come si calcola facilmente.
In ottica una tale forma di dipendenza dalla frequenza viene generalmente chiamata forma di Lorentz.
In fisica nucleare e subnucleare viene generalmente chiamata risonanza di Breit-Wigner.
Naturalmente le forme precise delle curve di risonanza sono piú complicate di R(ω) ma quest’ultima
rappresenta sovente un’ottima approssimazione.
31
Oscillazioni forzate
Analogia elettrica.
Volendo mantenere oscillazioni stazionarie in un circuito oscillante occorre inserire un generatore di
forza elettromotrice per compensare gli effetti dissipativi.
Schematizzando con una resistenza R l’effetto dissipativo si puó rappresentare un circuito elettrico
oscillante mediante lo schema seguente.
Nel caso di forza elettromotrice sinusoidale si ottiene un’equazione formalmente identica a quella considerata in meccanica e cioé
R di
i
d2 i
+
+
= Vo cos(ωt)
dt2
L dt
LC
Anche in questo caso ci sará una soluzione stazionaria che è un’oscillazione sinusoidale con la stessa
pulsazione ω della sorgente esterna con ampiezza dipendente da ω nel modo visto precedentemente.
La larghezza della curva di risonanza sará tanto piú piccola quanto piú piccolo il valore di R/L
Il principio di funzionamento dei circuiti riceventi radio era (le tecniche attuali sono piú sofisticate)
regolare la pulsazione propria di un circuito oscillante.
ωo = √
1
LC
, variando la capacitá di un condensatore variabile o l’induttanza di un induttore variabile, in modo da
farla coincidere circa con la pulsazione del segnale su cui ci si vuole sintonizzare.
In condizioni di risonanza(tanta piu’ stretta quanto piú elevato il Q del circuito cioé R piccolo) il segnale
captato dall’antenna eccita nel circuito oscillante delle oscillazioni la cui ampiezza è molto maggiore di
quella associata a segnali di pulsazione differente che danno luogo ad oscillazioni con ampiezza molto piú
piccola.
32
Oscillatori accoppiati
Oscillatori accoppiati
OSCILLATORI ACCOPPIATI
Consideriamo un sistema di due oscillatori liberi non smorzati (come in fig i) ) e per semplicitá supponiamo il moto unidimensionale.
La generalizzazione a piú dimensioni è diretta e le conclusioni ottenute studiando il caso unidimensionale si applicano direttamente al caso di piú dimensioni.
Ciascun oscillatore di fig 1 se perturbato rispetto alla configurazione di equilibrio eseguirá oscillazioni
armoniche con pulsazioni rispettivamente date da
ω12 =
k1
; ,
m1
ω22 =
k2
m2
Immaginiamo ora che i due oscillatori siano accoppiati ad esempio attraverso una terza molla di costante
elastica k .
Indichiamo con ψ1 e ψ2 le coordinate che specificano le posizioni delle due masse dalle rispettive posizioni
di equilibrio.
Le equazioni del moto del sistema di fig ii) (o iii)) sono
m1 ψ̈1 = −k1 ψ1 + k(ψ2 − ψ1 ) ,
m2 ψ̈2 = −k2 ψ2 − k(ψ2 − ψ1 )
che si puó riscrivere
m1 ψ̈1 = −(k1 + k)ψ1 + kψ2 ,
m2 ψ̈2 = kψ1 − (k + k2 )ψ2
Per semplicitá di calcolo(ma le conclusioni sono identiche considerando il caso generale) possiamo supporre
che le due costanti elastiche k1 e k2 siano uguali e cosı́ pure le due masse m1 e m2
k1 = k2 = K ,
33
m1 = m2 = m
Oscillatori accoppiati
Cerchiamo ora se esistono dei modi di vibrazione del sistema tali che le due masse oscillino di
moto armonico con la stessa frequenza e con la stessa fase(in realtá basta richiedere la stessa frequenza;l’uguaglianza delle fasi ne discende automaticamente).
Se tali modi di oscillare esistono significa che
ψ1 = C1 cos(ωt + φ) → ψ¨1 = −ω 2 ψ1
ψ2 = C2 cos(ωt + φ) → ψ¨2 = −ω 2 ψ2
e quindi ω deve essere tale che
−mω 2 ψ1 = −(K + k)ψ1 + kψ2 → [−mω 2 + (K + k)]ψ1 − kψ2 = 0
−mω 2 ψ2 = −(K + k)ψ2 + kψ1 → −kψ1 + [−mω 2 + (K + k)]ψ2 = 0
Per avere soluzioni ψ1 e ψ2 che non siano identicamente nulle occorre
[−mω 2 + (K + k)]
−k
2
−k
−mω + (K + k)
quindi che ω sia tale che
=0
che è un’equazione del secondo ordine in ω 2
m2 ω 4 − 2m(k + K)ω 2 + K(K + 2k) = 0
con soluzioni
(k + K) ± k
=
ω2 =
m
(
K/m
(K + 2k)/m
Abbiamo quindi due modi possibili di vibrazione ove le due masse si muovono con la stessa frequenza e
con la stessa fase, i cosı́ detti modi normali corrispondenti alle pulsazioni
ω12 =
K
m
,
ω22 =
K + 2k
m
In corrispondenza di ciascuna pulsazione normale si ha che
ψ2
ψ1
ψ2
ψ1
−m
!
=
ω1
−m
!
=
ω2
K
+ (K + k)
m
= +1
k
K + 2k
+ (K + k)
m
= −1
k
Il moto delle due masse è quindi descritto da
Modo 1 ω = ω1 → ψ1 = a1 cos(ω1 t + φ1 ) , ψ2 = a1 cos(ω1 t + φ1 )
Modo 2 ω = ω2 → ψ1 = a2 cos(ω2 t + φ2 ) , ψ2 = −a2 cos(ω2 t + φ2 )
Nel modo 1, lento (ω1 < ω2 , le due masse si muovono in fase e non vi è estensione né compressione
della molla centrale di accoppiamento.
Nel modo 2 le due masse si muovono in opposizione di fase.
La soluzione generale che descrive il generico moto del sistema è data dalla sovrapposizione dei due
modi normali cioé
ψ1 = A1 cos(ω1 t + φ1 ) + A2 cos(ω2 t + φ2 )
ψ2 = B1 cos(ω1 t + φ1 ) + B2 cos(ω2 t + φ2 )
con B1 = A1 , B2 = −A2
34
Oscillatori accoppiati
le costanti A1 , A2 sono determinate dalle condizioni iniziali.
Un altro esempio di una simile situazione è dato da un sistema di due pendoli accoppiati come in figura.
Per piccole oscillazioni ψi ' lθi e supposte uguali per semplicitá le masse dei due pendoli, le equazioni del
moto sono
g
mψ̈1 = −m ψ1 + k(ψ2 − ψ1 )
l
g
mψ̈2 = −k(ψ2 − ψ1 ) − m ψ2
l
e definendo come al solito ω02 = g/l si puó scrivere
mψ̈1 =
mψ̈2 =
k
−ω02 −
m
k
ψ1 +
m
!
ψ1 +
−ω02 −
k
m
k
ψ2
m
!
ψ2
I modi normali di oscillazione , cioé oscillazioni delle due masse con la stessa frequenza e con la stessa fase
corrispondono a valori della pulsazione ω tali che
2
!2
k
k
2
[ω − ω0 −
]
k
k
m
m
=0
]2 −
= 0 → [ω 2 − ω02 −
k
k
m
m
2
2
[ω − ω0 −
] m
m
con soluzioni
ω12 = ω02 ,
ω22 = ω02 +
2k
m
In corrispondenza di tali pulsazioni si ha (analogamente all’esempio precedente)
!
ψ2
= +1
ψ1
!ω1
ψ2
= −1
ψ1
ω2
e la soluzione generale è
ψ1 = A1 cos(ω1 t + φ1 ) + A2 cos(ω2 t + φ2 )
ψ2 = A1 cos(ω1 t + φ1 ) − A2 cos(ω2 t + φ2 )
35
Oscillatori accoppiati
Scegliendo ad esempio condizioni iniziali tali che il pendolo 1 sia spostato dalla posizione di equilibrio
mentre il pendolo 2 è sempre in quella di equilibrio e lasciando i pendoli liberi di muoversi partendo con
velocitá iniziali nulle, cioé
ψ1 (0) = 2a , ψ2 (0) = 0 , ψ̇1 (0) = 0 , ψ̇2 (0) = 0
si ha che
φ1 = 0 , φ2 = 0 , A1 = a , A2 = a
e quindi
ψ1 = a cos ω1 t + a cos ω2 t
ψ2 = a cos ω1 t − a cos ω2 t
Definendo le due grandezze seguenti
ω̄ =
ω1 + ω2
ω2 − ω1
, ωmod =
→ ω1 = ω̄ − ωmod , ω2 = ω̄ + ωmod
2
2
si puó scrivere
ψ1 = a cos ω1 t + a cos ω2 t = a cos(ω̄ − ωmod )t + a cos(ω̄ + ωmod )t
2a cos(ωmod t) cos(ω̄t) = A(t) cos(ω̄t)
ψ2 = a cos ω1 t − a cos ω2 t = a cos(ω̄ − ωmod )t − a cos(ω̄ + ωmod )t
2a sin(ωmod t) sin(ω̄t) = B(t) sin(ω̄t)
Se consideriamo la situazione detta di accoppiamento debole, cioé
ω02 >>
k
m
si ha che
ωmod << ω̄
e possiamo interpretare ψ1 e ψ2 come oscillazioni armoniche di pulsazione ω̄ ma con ampiezza A(t),B(t)
che anziché essere costante varia lentamente nel tempo con andamento sinusoidale.
È il cosı́ detto fenomeno dei battimenti.
36
Oscillatori accoppiati
Considerazioni generali sui modi normali
Le situazioni precedentemente considerate possono essere descritte in modo piú generale applicabile a
tutti i sistemi a 2 gradi di libertá.
Le equazioni del moto possono essere scritte, indicando con q1 e q2 le coordinate che descrivono la
configurazione del sistema, come
q¨1 = a11 q1 + a12 q2
q¨2 = a21 q1 + a22 q2
essendo a12 = a21
La soluzione generale di questa coppia di equazioni differenziali del secondo ordine contiene 4 costanti
arbitrarie i cui valori possono essere fissati dalla conoscenza dei valori inziali di q1 , q2 , q˙1 , q˙2 .
Tale soluzione generale è esprimibile come combinazione lineare delle soluzioni corrispondenti ai modi
normali, cioé delle soluzioni nelle quali le coordinate oscillano con la stessa frequenza
qj = Aj eiωt
con Aj costante complessa
sostituendo nelle equazioni del moto si ha
"
−ω 2 Aj =
P
j
ajm Am →
L’equazione puó essere riscritta come:
"
a11 + ω 2
a21
a11 a12
#"
a21 a22
#"
a12
a22 + ω 2
A1
#
A2
A1
#
A2
"
= −ω 2
"
=
0
A1
#
A2
#
0
Questa equazione è anche chiamata equazione degli autovalori.
I valori di ω in corrispondenza dei quali si ottengono soluzioni non identicamente nulle sono gli autovalori della matrice.
La matrice a 1-colonna formata da A1 , A2 è l’autovettore della matrice.
L’equazione ha soluzioni non nulle solo se il determinante dei coefficienti si annulla, cioé se e solo se
a + ω2
a
12
11
= (a11 + ω 2 )(a22 + ω 2 ) − a212 = 0
2 a21
a22 + ω
Questa equazione è anche chiamata equazione caratteristica o equazione secolare del sistema.
Essa è un’equazione quadratica in ω 2 .
ω 4 + (a11 + a22 )ω 2 + (a11 a22 − a212 ) = 0
Il suo discriminante vale
∆ = (a11 + a22 )2 − 4(a11 a22 − a212 ) = (a11 − a22 )2 + 4a212 > 0
Quindi l’equazione ha sempre due radici reali per i valori di ω 2 .
La condizione di stabilitá del sistema richiede che le radici siano ambedue positive.
Infatti una radice negativa, ad esempio −η 2 darebbe una soluzione del tipo
qj = Aj eηt + Bj e−ηt
37
Oscillatori accoppiati
ove sia Aj che Bj sarebbero autovettori della matrice corrispondenti all’autovalore −η 2 .
Eccetto che nel caso degenere di due autovalori uguali ció significa che Aj , Bj devono essere proporzionali poiché l’autovettore è unico a meno di un fattore moltiplicativo costante.
La soluzione descrive quindi uno spostamento che aumenta esponenzialmente in funzione del tempo.
La condizione di stabilitá che gli autovalori siano positivi è la generalizzazione della condizione nel caso
unidimensionale che la derivata seconda dell’energia potenziale sia positiva.
Per ciascun valore di ω 2 che soddisfa all’equazione caratteristica( cioé che è un autovalore) è fissato il
valore del rapporto, A1 /A2 , fra le ampiezze.
Poiché i coefficienti sono reali il rapporto è esso pure reale il che significa che A1 e A2 hanno la stessa
fase(o fasi che differiscono di π) e quindi le due coordinate che descrivono il moto q1 e q2 variano non solo
con la stessa frequenza ma anche con la stessa fase.
Il rapporto q1 /q2 associato ad ogni autovalore rimane costante durante tutto il moto.
A1 e A2 sono quindi fissati a meno di un fattore complesso comune che serve a fissare l’ampiezza e la
fase della soluzione normale.
Le equazioni del moto sono lineari e quindi la soluzione generale è una combinazione lineare delle due
0
00
soluzioni normali.Se indichiamo con ω e ω i due autovalori la soluzione generale puó venir scritta come
0
0
00
00
q1 = A1 eiω t + A1 eiω t
0
00
0
00
q2 = A2 eiω t + A2 eiω t
0
0
00
00
e A1 /A2 e A1 /A2 sono fissati dalle equazioni degli autovalori.
Coordinate normali
I due modi normali del sistema sono indipendenti.
Si puó rendere il fatto esplicito introducendo le cosı́ dette coordinate normali.
Ció si ottiene introducendo un’opportuna combinazione lineare di q1 e q2 in modo che le nuove coordinate ξ1 e ξ2 siano tali che per ogni modo normale una sola delle ξ oscilli.
Ad esempio riprendendo il caso dei due pendoli accoppiati introducendo al posto delle coordinate ψ1 e
ψ2 nuove coordinate ξ1 e ξ2 tali che
ξ2 = ψ1 − ψ2
ξ1 = ψ1 + ψ2
si vede che in funzione delle nuove coordinate la soluzione è
ξ1 = 2A1 cos ω1 t
ξ2 = 2A2 cos ω2 t
38
Oscillatori accoppiati
Oscillazioni di una corda
Cominciamo con un semplice esempio, ma che si presta bene a essere generalizzato e permette facilmente
il passaggio al continuo.
Si considerino due masse(uguali per semplicitá) collegate da una corda tesa e di massa trascurabile,
come nella figura seguente.
Le distanze fra le masse e fra le masse e gli estremi della corda siano uguali e pari a l.
Supponiamo che le masse e la corda possano muoversi solo nel piano della figura.
Trascuriamo l’effetto della gravitá sia sulla corda che sulle masse.
Supponiamo pure che la tensione T della corda sia costante e consideriamo solo piccoli spostamenti
cioé che y1 , y2 << l il che implica che per gli angoli possiamo approssimare il seno con il valore dell’angolo
ed il coseno con l’unitá.
θ1 ' sin θ1 ' tan θ1 =
y1
y1 − y2
y2
, θ2 ' sin θ2 ' tan θ2 =
, θ3 ' sin θ3 ' tan θ3 =
l
l
l
cos θ1 ' cos θ2 ' cos θ3 ' 1
Le equazioni del moto sono
my¨1 = −T sin θ1 + T sin θ2 ' −T θ1 + T θ2
my¨2 = −T sin θ2 + T sin θ3 ' −T θ2 + T θ3
che per piccoli spostamenti possono venir scritte come
!
y1
y2 − y1
T
my¨1 = −T
−
(2y1 − y2 )
y¨1 = −
l
l
ml
! →
T
y2
y2 − y1
y¨2 = −
(2y2 − y1 )
+
my¨2 = −T
ml
l
l
I modi normali di oscillazione corrispondono a valori della pulsazione che soddisfano all’equazione
2
T
T
ω −2
T 2
T
ml
ml
ω +3
=0
= ω4 − 4
T T
ml
ml
2
ω −2
ml
ml
da cui
39
Oscillatori accoppiati
r
0
ω =
T
00
, ω =
ml
r
3T
ml
e quindi
y2
y1
!
y2
y1
=1 ,
ω
0
!
= −1
ω
00
I due modi corrispondono alla situazione ove le due masse si spostano in fase oppure in opposizione di fase
In modo del tutto analogo si puó considerare la situazione di tre masse uguali attaccate ad una corda
tesa e spaziate di intervalli uguali
Nell’approssimazione di piccoli spostamenti le equazioni del moto sono
!
y1
y2 − y1
my¨1 = −T
−
T
l
l
(2y1 − y2 )
y
¨
=
−
1
!
ml
y2 − y1
y2 − y3
T
+
my¨2 = −T
→ y¨2 = −
(2y2 − y1 − y3 )
l
l
ml
!
T
y2 − y3
y3
y¨3 = −
(2y3 − y2 )
my¨3 = T
−
ml
l
l
L’equazione caratteristica è ora data da (con ω02 =
T
)
ml
40
Oscillatori accoppiati
−ω02
0
2ω02 − ω 2
−ω 2
2ω02 − ω 2
0
0
2
0
0
2ω0 − ω 2
= (2ω02 − ω 2 )3 − 2ω04 (2ω02 − ω 2 ) = 0
le cui soluzioni sono
0
ω 2 = (2 −
ω
ω
00 2
000 2
=
√
2ω02
= (2 +
2)ω02
√
2)ω02
y1 : y2 : y3 = 1 :
√
2:1
y1 : y2 : y3 = 1 : 0 : −1
√
y1 : y2 : y3 = 1 : − 2 : 1
I tre modi normali di oscillazione sono dati da
0
0
0
0
00
00
y1 = a cos(ω t + φ )
y1 = b cos(ω t + φ )
√
0
0
y2 = a 2 cos(ω t + φ ) y2 = 0
y3 = a cos(ω t + φ )
00
00
000
000
000
000
y1 = c cos(ω t + φ )
√
000
000
y2 = −c 2 cos(ω t + φ )
y3 = −b cos(ω t + φ ) y3 = c cos(ω t + φ )
e sono illustrati nella figura seguente
In modo del tutto analogo si puó studiare il caso generale di n masse.
Si trova cosı́ che ci sono n modi normali corrispondenti a pulsazioni differenti.
Il modo piú lento(cioé con pulsazione piú bassa) corrisponde alla configurazione con tutte le masse che
si muovono nella stessa direzione, mentre il modo con pulsazione piú elevata è quello in cui masse contigue
si muovono in direzione opposta.
È interessante considerare il limite continuo.
41
Oscillatori accoppiati
Si puó trattare il problema facendo tendere n ad infinito ma è piú semplice considerare direttamente il
caso continuo(anche se ci sono delle sottigliezze e il caso di n masse discrete per n → ∞ non è esattamente
uguale al continuo come discusso ad esempio nel III Vol della Fisica di Berkeley).
42
Oscillatori accoppiati
Modi normali di una corda tesa
Consideriamo una corda di dimensioni trasverse trascurabili, omogenea (quindi con densitá lineare,
ρ, costante), perfettamente flessibile sı́ da non opporsi a flessioni, inestensibile, e vincolata ai suoi due
estremi.
Scegliamo un sistema di riferimento con l’asse z diretto lungo la posizione di equilibrio della corda e
avente origine coincidente con l’estremo sinistro della corda.
Per semplicitá consideriamo solo spostamenti della corda che siano trasversali e giacciano sempre in
uno stesso piano passante per lasse z.
In queste condizioni si dice che l’oscillazione della corda è polarizzata piana o anche polarizzata linearmente.
Quando la corda è spostata dalla sua posizione di equilibrio ogni elementino della corda sará spostato
in direzione perpendicolare all’asse z e a un certo istante di tempo t di una quantitá che indichiamo con
ψ(z, t).
Quindi z precisa la posizione in configurazione di equilibrio dell’elemento considerato mentre ψ rappresenta lo spostamento trasversale subito al tempo t .
L’elementino di corda compreso fra i punti di coordinate (z, z + ∆z) ha massa ∆m = ρ∆z .
Vogliamo studiare il moto della corda a causa della tensione ma trascurando la gravitá come è il caso
nella maggior parte delle situazioni pratiche.
In condizioni di non equilibrio un elemento della corda non sará piú parallelo all’asse z ;le forze agenti
su di esso sono le tensioni applicate ai due estremi dell’elemento da parte delle altre parti della corda.
Per piccoli spostamenti gli angoli sono piccoli
La lunghezza ∆s dell’elemento di corda è legata alla lunghezza dello stesso elemento in condizioni di riposo
dalla relazione(Teorema di Pitagora)
!2
∂ψ
∆s2 = ∆z 2 + [ψ(z + ∆z, t) − ψ(z, t)]2 ' ∆z 2 +
∆z
→
∂z


!2 1/2
!2 
∂ψ
1 ∂ψ
 ' ∆z 1 +

∆s = ∆z 1 +
∂z
2 ∂z
il che mostra che nell’ipotesi di spostamenti piccoli e quindi angoli piccoli (derivata piccola) ∆s differisce
0
da ∆z per infinitesimi del second’ordine e quindi le tensioni T e T agli estremi dell’elemento coincidono
a meno di infinitesimi del second’ordine con la tensione in condizioni di riposo.
Possiamo quindi calcolare la forza risultante agente sull’elemento di corda che è diretta perpendicolarmente all’asse z
!
!
∂ψ
∂ψ
∂2ψ
0
0
F = T tan θ − T tan θ ' T
−T
=T
∆z
∂z
∂z
∂z 2
z+∆z
L’equazione del moto (F = ma) per l’elemento considerato è quindi
43
z
Oscillatori accoppiati
T
∂2ψ
∂2ψ
∆z
=
(ρ∆z)
∂z 2
∂t2
che dá
∂2ψ
1 ∂2ψ
−
=0
∂z 2
v 2 ∂t2
v2 =
T
ρ
che è la cosı́ detta equazione delle onde.
Cerchiamo ora i modi normali di vibrazione vale a dire soluzioni in cui tutte le parti del sistema(che
sono specificate da z) si muovono di moto sinusoidale con la stessa frequenza e con la stessa fase.
In altre parole soluzioni del tipo
ψ(z, t) = A(z) cos(ωt + φ)
Sostituendo nell’equazione delle onde otteniamo che A(z) dev’essere tale che
d2
ω2
A(z)
=
−
A(z) = −k 2 A(z)
dz 2
v2
k2 =
ω2
v2
La quantitá k prende il nome di numero d’onda.
La relazione fra k ed ω è chiamata relazione di dispersione . Ogni sistema fisico è caratterizzato da
una specifica relazione di dispersione che nel caso presente assume una forma particolarmente semplice (k
proporzionale a ω)
La soluzione generale dell’equazione è semplicemente
A(z) = a cos kz + b sin kz
La soluzione generale puó quindi essere scritta
ψ(z, t) = cos(ωt + φ)(a cos kz + b sin kz)
Tuttavia poiché le estremitá della corda sono fisse dobbiamo imporre le condizioni al contorno che sono
indicando con L la lunghezza totale della corda
ψ(0, t) = ψ(L, t) = 0 → A(0) = A(L) = 0
La condizione A(0) = 0 richiede che a = 0.
La condizione A(L) = 0 richiede che
sin kL = 0 → kL = nπ → k =
nπ
L
n = 1, 2, 3, ...
Ciascuno di questi valori corrisponde ad un modo normale di vibrazione della corda con pulsazione
ω=n
πv
L
n = 1, 2, 3, ..
e si vede che le pulsazioni sono tutte multiple di una pulsazione fondamentale
r
πv
T
=π
M =massa totale della corda
ωo =
L
ML
Introducendo la lunghezza d’onda λ
λ=
2π
k
la condizione su k dice che la lunghezza d’onda puó assumere solo una sequenza di valori discreti
λ1 = 2L , λ2 = L , λ3 =
44
2
2
L , λ4 = L , ...
3
4
Oscillatori accoppiati
o anche
L=n
λ
2
n = 1, 2, 3, ...
Le lunghezze d’onda dei modi normali sono tali che la lunghezza della corda risulta essere un multiplo
intero della semi-lunghezza d’onda.
Quando la corda vibra in uno dei modi normali ogni elemento della corda oscilla di moto armonico con
la stessa fase e con la stessa pulsazione di tutti gli altri elementi.
In particolare esistono dei punti fissi dove l’ampiezza è massima che sono detti ventri e punti dove
l’ampiezza è sempre nulla che sono detti nodi.
Le frequenze proprie dei modi sono multiple di una frequenza fondamentale.
Le frequenze ω1 , ω2 , .. formano una successione armonica (e prendono il nome di armoniche);
Fu Pitagora a scoprire che due corde vibranti contemporaneamente davano un suono piacevole, o
armonico, se una delle lunghezze era multipla dell’altra.
Quanto osservato or ora è una conseguenza del fatto che la relazione tra ω e k è lineare; la frequenza
di oscillazione è cioé proporzionale al numero d’onda, quindi inversamente proporzionale alle lunghezze
d’onda.
Notiamo anche che la costante di proporzionalitá
s
T
v=
ρ
è proporzionale alla radice quadrata della tensione (la forza di richiamo) e inversamente proporzionale alla
radice quadrata della densitá lineare di massa della corda (l’inerzia).
Per una fissata lunghezza d’onda la frequenza di vibrazione del modo è tanto piú alta quanto piú la
corda è tesa, e quanto meno essa è pesante (forza di richiamo per unitá di massa).
In generale la relazione di dispersione è piú complicata della presente.
Per esempio, una corda di pianoforte non è (come la corda considerata) perfettamente flessibile, ma
possiede una certa rigiditá, tende cioé ad opporsi alla flessione.
45
Oscillatori accoppiati
Poiché la flessione è tanto piú grande quanto maggiore è la curvatura della corda nel punto considerato,
la forza di richiamo dovuta alla rigiditá cresce al crescere della curvatura.
Poiché d’altra parte la curvatura cresce al decrescere della lunghezza d’onda, cioé all’aumentare di k,
il contributo della rigiditá cresce con k piú rapidamente del contributo della tensione.
Ricordando che ω 2 è la forza di richiamo per unitá di spostamento e unitá di massa, sviluppando la
funzione ignota ω 2 (k 2 ) in serie di potenze di k 2 dovremo includere, oltre al termine del prim’ordine (k 2 ),
almeno un termine del second’ordine, cioé proporzionale a (k 2 )2 , cioé
ω2 =
T 2
k + ak 4
ρ
Le condizioni al contorno per la corda del piano sono le stesse di quelle sopra considerate e fissano nello
stesso modo la dipendenza spaziale dei modi, ma le frequenze proprie dei modi non sono ora piú multiple
della frequenza piú bassa.
Nel caso reale (a > 0) le frequenze dei modi superiori sono lievemente piú alte (cioé di frequenza
superiore) di quelle date dalla successione armonica.
Qualsiasi moto di un sistema lineare oscillante a n gradi di libertá (con n intero) si puó esprimere come
combinazione lineare dei suoi n modi normali.
La corda vibrante è un sistema che possiede un numero infinito (continuo) di gradi di libertá; i suoi
modi normali sono, come abbiamo visto, in numero infinito (numerabile).
Si dimostra che ogni moto della corda si puo esprimere come combinazione lineare dei suoi modi
normali.
I modi normali del sistema, in quanto soluzioni deIl’equazione delle onde, vengono chiamati anche onde
stazionarie (anche se non sono vere onde nel senso di propagazione).
Una corda in vibrazione è un sistema che possiede energia; ogni elemento di essa infatti ha una certa
energia potenziale dovuta alla forza elastica di richiamo e una certa energia cinetica.
Ogni moto della corda (con gli estremi fissi) si puó esprimere come combinazione lineare di quei
particolari moti che sono i modi normali.
Si dimostra che l’energia della corda nel moto considerato è la somma delle energie dei modi che lo
compongono.
Significato dell’equazione delle onde
Come si verifica immediatamente la soluzione generale dell’equazione delle onde è del tipo
f (z + vt) + g(z − vt)
dove f e g sono due funzioni arbitrarie che vanno determinate dalle condizioni al contorno. Una tale
espressione significa che la configurazione che il sistema ha pre z = zo al tempo t = to si ritrova nel punto
z = z1 al tempo t = t1 tali che
zo ± vto = z1 ± vt1 → z1 − zo = ±v(t1 − to )
In altre parole la configurazione del sistema al tempo to si sposta verso la direzione positiva dell’asse z con
velocitá v oppure in direzione opposta con velocitá −v.
Questa propagazione è un aspetto caratteristico del moto ondulatorio e le quantitá f e g possono
rappresentare un gran numero di grandezze fisiche di diversa natura come lo spostamento di una corda, la
deformazione di un solido, la pressione di un gas, un campo elettrico, etc.
La soluzione generale dell’equazione delle onde nella forma sopra scritta rappresenta la sovrapposizione
di due moti ondulatori propagantesi in direzioni opposte.
Per un’onda che si propaga in una sola direzione è richiesta solamente una delle due funzioni.Ma
allorché vi è un’onda che si propaga in una regione ove vi sono delle variazioni delle proprietá del mezzo
o delle discontinuitá si genera sempre un’onda riflessa che viaggia nella direzione opposta.
46
Oscillatori accoppiati
In particolare ció avviene se la regione di propagazione pur avendo caratteristiche omogenee e uniformi
è limitata.
Le onde stazionarie considerate precedentemente possono esser viste come risultato della sovrapposizione(interferenza) fra onda in un verso e onda riflessa.
Consideriamo ad esempio il caso di una corda tesa con una delle sue estremitá(quella di sinistra) fissata
ad un punto fisso O.
Un’onda trasversale sia in moto da destra verso sinistra.
La sua equazione sia
ψ = ψo sin(ωt + k z)
L’onda si riflette in O e produce una nuova onda che si propaga verso destra descritta dall’equazione
ψ = ψo0 sin(ωt − k z)
Lo spostamento in un punto generico della corda è dato dalla sovrapposizione dell’onda originale e dell’onda
riflessa
ψ = ψo sin(ωt + k z) + ψo0 sin(ωt − k z)
Nel punto O che ha coordinata z = 0 si avrebbe
ψ(z = 0) = ψo sin(ωt) + ψo0 sin(ωt) = (ψo + ψo0 ) sin ωt
Poiché il punto O è fisso, ψ(z = 0) = 0, ne segue che
(ψo + ψo0 ) = 0 → ψo0 = −ψo
L’onda riflessa ha la stessa fase di quella incidente ma è sfasata di π.
Pertanto lo spostamento di un generico punto sará
ψ(z, t) = ψo [sin(ωt + k z) − sin(ωt − k z)] = 2ψo sin kz cos ωt
che è per l’appunto l’espressione ricavata per un’onda stazionaria.
Caratteristica importante di tale espressione è che le variabili z e t sono separate(non appaiono nella
combinazione z ± vt) con l’effetto risultante di una ampiezza variabile lungo la corda ma fissa in ciascun
punto.
Ogni punto di coordinata z si muove di moto armonico semplice con pulsazione ω e con ampiezza,
variabile da punto a punto,
2ψo sin kz
47
Oscillatori accoppiati
Tale separazione delle variabili è caratteristica delle onde stazionarie.
L’equazione delle onde che è stata poc’anzi ricavata è stata ottenuta considerando il caso di oscillazioni
trasverse quali quelle di una corda vibrante.
L’equazione ha peró una validitá molto piú generale e descrive una vastissima classe di fenomeni di
propagazione per onde sia trasverse che longitudinali.
Tipici esempi ove si incontrano queste ultime sono le cosı́ dette onde elastiche nei solidi, le onde di
pressione nei gas e nei fluidi e cosı́ via.
È istruttivo analizzare due esempi semplici che si riferiscono a onde di pressione stazionarie nell’aria
di un tubo come si ha ad esempio per gli strumenti musicali a vento; canne d’organo, trombe, flauti,etc..
In questo caso le onde sono longitudinali ma ció non ha alcuna importanza sulle considerazioni che
seguono.
La grandezza che varia e che vogliamo descrivere è in questo caso la pressione dell’aria in corrispondenza
di ogni sezione del tubo.
L’aria viene soffiata nel tubo da una delle estremitá attraverso una apposita imboccatura e si producono
nel tubo delle onde stazionarie a causa della riflessione che ha luogo all’altra estremitá.
ˆ Consideriamo dapprima il caso di un tubo aperto alle due estremitá.
A differenza del caso della corda fissata alle due estremitá il fatto importante è ora che le due
estremitá sono aperte e quindi la pressione a tali estremitá deve avere un valore massimo pari alla
pressione dell’aria esterna.
Non ci possono essere differenze di pressione fra interno ed esterno del tubo in corrispondenza alle
bocche di entrata e di uscita.
Le condizioni al contorno in questo caso sono quindi
!
∂ψ
=0 ,
ψ = massimo →
∂z
z=0
∂ψ
∂z
!
=0
z=L
Dall’espressione dell’onda stazionaria
ψ(z, t) = A(z) cos(ωt + φ) con A(z) = a cos kz + b sin kz
abbiamo
∂ψ
= k (−a sin kz + b cos kz) cos(ωt + φ)
∂z
Per z = 0 si ha
∂ψ
∂z
!
= k (b cos kz) cos(ωt + φ) = 0 → b = 0
z=0
Quindi abbiamo
∂ψ
= −ka sin kz cos(ωt + φ)
∂z
e imponendo la condizione per z = L si ha
−ka sin kL cos(ωt + φ) = 0
da cui
48
Oscillatori accoppiati
sin kL = 0
il che richiede
kL = nπ
o
λ=
2L
n
Le frequenze delle onde stazionarie sono
v
v
=n
λ
2L
νn =
n = 1, 2, 3, ...
Nella figura che segue sono indicate per alcuni valori di n i profili delle ampiezze
ˆ Consideriamo ora un tubo aperto a una sola estremitá.
A differenza del caso precedente è solo al lato aperto che i la pressione deve avere un valore massimo
pari alla pressione dell’aria esterna. All’estremitá chiusa dobbiamo invece ora avere un nodo.
Le condizioni al contorno in questo caso sono quindi
∂ψ
∂z
!
=0 ,
ψ(z = L, t) = 0
z=0
La condizione per z = 0 richiede che a = 0 e quindi
ψ = b sin kz cos(ωt + φ)
49
Oscillatori accoppiati
La seconda condizione dá
−b cos kL cos(ωt + φ) = 0 → kL = (2n + 1)
π
2
n = 0, 1, 2, ...
o altrimenti formulato
λ=
4L
,
2n + 1
ν=
come illustrato in figura
50
v
v
= (2n + 1)
λ
4L
Serie di Fourier
NOTA : Serie di Fourier
NOTA sulle serie di FOURIER
È stato affermato precedentemente che considerare una forza esterna sinusoidale non limita la validitá
delle considerazioni poiché ci si puó sempre ridurre a considerare segnali sinusoidali.
Si dimostra infatti nell’Analisi che sotto condizioni molto generali
(nell’intervallo considerato la funzione deve avere un numero finito di oscillazioni, essere continua salvo
un numero finito di discontinuitá di prima specie, avere un numero finito di punti ove tende a infinito ma
in modo che l’integrale della funzione sia assolutamente convergente)
una generica funzione f (x) puó essere rappresentata nell’intervallo (−l, l) dalla serie :
!
x
x
P∞
f (x) = a0 + 1 an cos nπ + bn sin nπ
l
l
in cui i coefficienti an , bn sono dati da
a0 =
1 rl
1 rl
x
f
(x)
dx
,
a
=
f
(x)
cos
nπ
dx (n = 1, 2, 3, ..)
n
2l −l
l −l
l
x
1 rl
f
(x)
sin
nπ
dx (n = 1, 2, 3, ..)
bn =
l −l
l
Ció si puó vedere facilmente moltiplicando ambo i membri della espressione precedente per cos nπ
x
dx
l
x
dx ed integrando fra (−l, l).
l
La serie converge alla funzione f (x) in ogni punto dell’intervallo ove f (x) è continua; è uguale alla media
aritmetica del limite destro e del limite sinistro di f (x) in tutti i punti in cui f (x) ha una discontinuitá di
prima specie.
Per valori di x esterni all’intervallo (−l, l) la serie ripete periodicamente i valori dell’intervallo.
Se f (x) è periodica con periodo 2l la serie la rappresenta quindi completamente.
Altrimenti la serie rappresenta una funzione periodica che coincide con la funzione f (x) nell’intervallo
(−l, l).
Se la funzione f (x) è pari, cioé se f (−x) = f (x) nell’intervallo, si vede immediatamente(poiché il
coseno è una funzione pari mentre il seno è una funzione dispari) che :
oppure per sin nπ
a0 = 2
1 rl
2 rl
x
1 rl
f (x) dx =
f (x) dx , an =
f (x) cos nπ dx (n = 1, 2, 3, ..)
0
0
0
2l
l
l
l
1 rl
x
f (x) sin nπ dx = 0 (n = 1, 2, 3, ..)
bn =
l −l
l
e quindi in questo caso si ha uno sviluppo di soli coseni
f (x) =
P∞
0
an cos nπ
x
l
se f(x) pari
Se invece la funzione f(x) è dispari, cioé se f (−x) = −f (x) nell’intervallo, si trova in modo analogo che
si ha uno sviluppo di soli seni
f (x) =
P∞
1
bn sin nπ
x
l
con
51
se f(x) dispari
Serie di Fourier
a0 = 0 , a n = 0 , b n =
x
2 rl
f (x) sin nπ dx (n = 1, 2, 3, ..)
0
l
l
Si puó ancora notare che non è una restrizione considerare un intervallo simmetrico (−l, l).
Se infatti volessimo rappresentare con la serie di Fourier una funzione in un intervallo (a, b) qualsiasi,
con il cambio di variabile,
y=
2x − b − a
l
b−a
ci si puó ricondurre all’intervallo (−l, l) per la variabile y .
Forma esponenziale
Ricordando la formula di Eulero si puó scrivere
#
"
einπx/l − e−inπx/l
einπx/l + e−inπx/l
P∞
f (x) = a0 + 1 an
+ bn
==
2
2i
1 P∞ inπx/l
a0 +
+ (an + ibn )e−inπx/l
1 (an − ibn )e
2
se poniamo
an − ibn = 2An
possiamo anche scrivere :
A0 (reale)
P∞a0 =inπx/l
P
∗ −inπx/l
f (x) = 0 An e
+ ∞
1 An e
poiché è A∗0 = A0 .
Ponendo infine
A−n = A∗n
si puó scrivere la serie di Fourier nella forma compatta
P
inπx/l
f (x) = ∞
−∞ An e
Anche le espressioni che danno i coefficienti della serie possono essere messe sotto forma esponenziale.Si
ha infatti :
#
"
1 rl
x
1 rl
x
1 rl
x
x
2An = an −ibn =
dx
f (x) cos nπ dx−i
f (x) sin nπ dx =
f (x) cos nπ − i sin nπ
l −l
l
l −l
l
l −l
l
l
cioé
An =
1 rl
1 rl
−inπx/l
f
(x)e
dx
,
A
=
f (x) dx
0
2l −l
2l −l
Queste espressioni si generalizzano direttamente al caso continuo cioé allorché si consideri un intervallo
(−∞, ∞) il che vuol dire funzione non periodica ma si rimanda per questo ai testi di Analisi.
52
Serie di Fourier
Es. 1
Consideriamo la funzione(costante) f (x) = c nell’intervallo (0, l).
Vogliamo rappresentarla con una serie di Fourier.
Se non ci interessa ció che avviene al di fuori dell’intervallo (0, l) possiamo supporre che la funzione sia
pari o dispari(il che significa dire che fra (−l, 0) f (x) = −c se la estendiamo dispari oppure che f (x) = c
se la estendiamo pari).
Se la prolunghiamo dispari abbiamo uno sviluppo di soli seni i cui coefficienti valgono

 4c
x
x
2 rl
2c r l
n dispari
f (x) sin nπ dx =
sin nπ dx =
bn =
nπ
0
0

l
l
l
l
0 n pari
Quindi
f (x) =
P∞
1
"
#
x
4c
x
1
x
1
x
bn sin nπ =
sin π + sin 3π + sin 5π + ...
l
π
l
3
l
5
l
La figura seguente illustra la situazione corrispondente a
π
, l=π
4
Le tre curve illustrano l’approssimazione che si ottiene prendendo solo il primo termine della serie(S1 ),
oppure i primi 4 termini(S4 ) oppure ancora i primi 8 termini(S8 ).
Si vede come nell’intervallo che interessa (0, π) l’approssimazione migliora con il crescere del numero
di termini e si vede pure come la serie vada via via convergendo verso la funzione data.
c=
Es. 2
Consideriamo la funzione f (x) = |x| nell’intervallo (−π, π).
La funzione è ovviamente pari e quindi abbiamo una serie di soli coseni i cui coefficienti valgono
53
Serie di Fourier
π
1 rπ
x dx =
a0 =
0
π
2
,


2 2
x
2 rπ
2 rπ
−
x cos nπ dx =
x cos nx dx =
an =
π n2

π 0
π
π 0
0
n dispari
n pari
Quindi possiamo scrivere che
|x| =
π
4 P∞ cos(2k + 1)x
−
2
π 0
(2k + 1)2
La figura seguente mostra l’andamento dell’approssimazione ottenuta in corrispondenza a un numero finito
di termini.
In particolare si vede bene come la funzione data nell’intervallo (−π, π) sia ottimamente approssimata
prendendo giá solo i primi 4 termini
Interessante notare, per inciso, come ponendo x = 0 si ottiene il notevole sviluppo in serie
π2
1
1
1
1
P
= ∞
= 1 + 2 + 2 + 2 + ..
0
2
8
(2k + 1)
3
5
7
54