Compito del 20 giugno 2005 con soluzione

Prova scritta di Analisi Matematica 2 (B)
c.l. in Matematica e c.l. in Fisica - 20 giugno 2005
1) Data la funzione f : IR2 → IR cosı̀ definita
(
f (x, y) =
lg(1+x2 )
√
y 2 −2 3y+3
, y 6=
√
3
√
0
, y= 3
i) studiarne la continuità, la derivabilità parziale e la differenziabilità in IR2
ii) stabilire se f ha punti di minimo relativo, punti di massimo
relativo in IR2 e se ha in IR2 minimo e massimo assoluto.
2) Data l’equazione
(E)
lg y + x4 + 2x2 (y 2 + 1) + (y 2 − 1)2 − 32 = 0
i) stabilire se definisce in un intorno del punto P = (2, 1) la y
come funzione univoca della x
ii) stabilire se il punto (2, 1) è un punto estremante relativo vincolato per la funzione g(x, y) = arctan y , ∀(x, y) ∈ IR2 soggetta
al vincolo dato dall’equazione (E)
3) Sia F : IR3 → IR3 il campo vettoriale cosı̀ definito
F (x, y, z) = (z 2 , 2xy + x , x2 )
e S la superficie definita dalla parametrizzazione ϕ : D → IR3
ϕ (u, v) = u
1
ϕ2 (u, v) = v
(u, v) ∈ D
2
2
ϕ3 (u, v) = 4 − u − v
Dopo aver determinato D, sapendo che S è la porzione di paraboloide
delimitata dai piani di equazione z = 0 e z = 3, verificare che
sussiste la formula di Stokes calcolando i due integrali che figurano nell’eguaglianza. [Nel verificare l’eguaglianza si tenga presente che il versore normale relativo alla fissata parametrizzazione
ϕu (u,v)∧ϕv (u,v)
νϕ (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = + kϕ
in ogni punto della
u (u,v)∧ϕv (u,v)k
superficie è diretto verso l’esterno della superficie]