ELETTROSTATICA ∫

ELETTROSTATICA
LEGGE DI COULOMB
La forza esercitata tra due cariche puntiformi è diretta lungo la retta che
congiunge le cariche, è repulsiva se le cariche hanno lo stesso segno mentre è
attrattiva se le cariche hanno segno opposto, il suo modulo è inversamente
proporzionale al quadrato della distanza che separa le cariche ed è
direttamente proporzionale al prodotto delle cariche
Si consideri la figura:
Q1 ⋅ Q 2
u 12
r2
Q ⋅Q
= K 1 2 2 u 21
r
La forza a cui è soggetta la carica Q1 risulta:
F12 = K
La forza a cui è soggetta la carica Q 2 risulta:
F21
dove:
u12 e u 21 sono i versori, riguardanti rispettivamente la particella 1 e la particella 2,
della retta congiungente le due masse puntiformi e rivolti verso l'infinito, mentre r é la
distanza tra le due particelle
K è una costante il cui valore dipende dal sistema di unità di misura scelto, infatti nel SI
il suo valore è di 9 × 10 9 N ⋅ m2 ⋅ C −2 , mentre nel c.g.s. vale 1.
La legge di Coulomb può essere scritta anche utilizzando la costante ε 0 detta costante
1
dielettrica assoluta definita: ε 0 =
.
4⋅π⋅K
Quindi ε 0 vale 8, 842 × 10 −12 C 2 ⋅ N −1 ⋅ m −2 .
In generale se una carica puntiforme Q é soggetta all'interazione di N cariche
N
Q ⋅Q
FT = ∑ K 1 2 i u r1i
puntiformi, si ha:
r1i
i =2
dove:
u ri é il generico versore della retta congiungente la carica Q con la generica carica Q i
e rivolto verso l'infinito
ri é la generica distanza tra carica Q e la carica Q i .
Se la carica puntiforme q é soggetta ad una interazione con una carica non puntiforme
ma con un corpo esteso avente carica Q (é come se fosse composto da un numero
infinito di cariche) la sommatoria deve essere sostituita dall'integrale e quindi si deve
q ⋅dQ
F= ∫K
ur
scrivere:
2
r
Q
4
CAMPO ELETTRICO
Il campo elettrico è dato dal rapporto tra la forza risultante che agisce sulla carica di
F
E=
prova q e la carica q stessa:
q
Il campo elettrico prodotto in r da una carica puntiforme Q , posta in r ' ha la seguente
Q ⋅ ( r − r' )
E( r ) =
espressione:
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r − r ' 3
Il campo elettrico prodotto da una distribuzione lineare di carica con densità lineare λ
distribuita lungo la linea L ha la seguente espressione:
λ ⋅ ( r − r' )
E( r ) = ∫
3 dl
L 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ r − r'
Il campo elettrico prodotto da una distribuzione superficiale di carica con densità
superficiale σ distribuita sulla superficie S ha la seguente espressione:
σ ⋅ ( r − r' )
E( r ) = ∫
3 dA
S 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ r − r'
Il campo elettrico prodotto da una distribuzione di volume di carica con densità di
volume ρ contenuta entro il volume V ha la seguente espressione:
ρ ⋅ ( r − r' )
E( r ) = ∫
3 dV
4
⋅
π
⋅
ε
⋅
r
−
r
'
V
0
TEOREMA DI GAUSS
Il teorema di Gauss ha la seguente enunciazione:
il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa é uguale ad una
costante per la somma di tutte le cariche contenute in quella superficie
Φ S ( E ) = ∫ E ⋅ dA =
1
ε0
S
ρ(r )
∇ ⋅ E (r ) =
In forma differenziale:
ε0
dove ρ è la densità di volume di carica nel punto r .
In forma integrale:
∫ d Q interne =
Q
Q interne
ε0
CONSERVATIVITÀ DEL CAMPO ELETTRICO
Per qualunque linea chiusa γ la circuitazione del campo elettrico è nulla:
In forma integrale:
∫ γ E ⋅ dl = 0
∇ × E (r ) = 0
In forma differenziale:
5
POTENZIALE ELETTRICO
Differenza di potenziale tra due punti dato il campo elettrico:
r
V ( r ) − V (r0 ) = ∫ E ⋅ dl
r0
Campo elettrico in un punto dato il potenziale:
E ( r ) = − ∇V (r )
Si noti che il potenziale è sempre definito a meno di una costante arbitraria.
Il potenziale elettrico prodotto in r da una carica puntiforme Q , posta in r ' ha la
Q
V ( r) =
seguente espressione:
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r − r '
dove la costante arbitraria è stata presa uguale a zero.
L'espressione del potenziale di un sistema formato da N cariche puntiformi
Q 1 , Q 2 , . . . Q N poste rispettivamente in r1 , r2 , . . . rN , nel punto r é la
N
Qi
V ( r) = ∑
seguente:
i =1 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ r − ri
dove la costante arbitraria è stata presa uguale a zero.
Il potenziale elettrico prodotto da una distribuzione lineare di carica con densità lineare
λ distribuita lungo la linea L ha la seguente espressione:
λ
V ( r) = ∫
dl
L 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ r − r'
Il potenziale elettrico prodotto da una distribuzione superficiale di carica con densità
superficiale σ distribuita sulla superficie S ha la seguente espressione:
σ
V ( r) = ∫
dA
4
⋅
π
⋅
ε
⋅
r
−
r
'
0
S
Il potenziale elettrico prodotto da una distribuzione di volume di carica con densità di
volume ρ contenuta entro il volume V ha la seguente espressione:
ρ
V ( r) = ∫
dV
V 4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r − r '
TEOREMA DI COULOMB
Il campo elettrico E ( r ) in prossimità della superficie esterna di un conduttore nella
generica posizione r è dato dalla seguente espressione:
σ( r )
E( r ) =
u (r )
ε0 n
dove:
6
σ (r ) è la densità di carica superficiale nel punto r
u n (r ) è il versore normale (esterno) alla superficie nel punto r .
PRESSIONE ELETTROSTATICA SU UNA SUPERFICIE CARICA
σ2
p=
2 ⋅ ε0
dove:
σ è la densità di carica superficiale.
CAMPO ELETTRICO DI UN PIANO UNIFORMEMENTE CARICO
Se il piano è infinitamente esteso o più realisticamente si valuta il campo elettrico vicino
Q
σ
E=
=
al piano si ha:
2 ⋅ A ⋅ ε0 2 ⋅ ε0
dove σ è la densità superficiale di carica che, nel caso in cui la carica è distribuita in
Q
maniera uniforme, risulta costante (a parte gli spigoli del piano):
σ=
.
A
CAMPO ELETTRICO DI UNA SFERA DI METALLO CARICA DI RAGGIO R
Q
4 ⋅ π⋅ ε0 ⋅ r2
Q
σ
E=
Per r = R si ha:
2 = ε
4 ⋅ π⋅ ε0 ⋅ R
0
dove σ è la densità superficiale di carica che in questo caso, data la particolare
Q
Q
simmetria, risulta costante
σ= =
A 4 ⋅ π ⋅ R2
Per r < R il campo elettrico è nullo.
Per r > R si ha:
E=
CAMPO ELETTRICO DI UNA DISTRIBUZIONE SFERICA UNIFORME DI
RAGGIO R
Per r > R si ha:
Per r = R si ha:
Per r < R si ha:
Q
4 ⋅ π⋅ ε0 ⋅ r2
Q
σ
E=
=
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ R2 ε0
ρ
E=
⋅r
3 ⋅ ε0
E=
7
dove ρ è la densità volumetrica di carica che in questo caso, data la particolare
Q
Q
simmetria, risulta costante
ρ= =
.
V 4 ⋅ π ⋅ R3
3
POTENZIALE DI UNA SFERA DI METALLO CARICA DI RAGGIO R
Q
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r
Q
V=
Per r = R si ha:
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ R
dove la costante arbitraria è stata presa uguale a zero.
Per r < R il potenziale è uguale al potenziale sulla superficie della sfera stessa.
Per r > R si ha:
V=
POTENZIALE DI UNA DISTRIBUZIONE SFERICA UNIFORME DI RAGGIO R
Q
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r
Q
V=
Per r = R si ha:
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ R
ρ 2
ρ
V =−
s +
R2
Per r < R si ha:
6 ⋅ ε0
2 ⋅ ε0
dove la costante C ∞ è stata presa uguale a zero.
ρ⋅d ⋅x ρ⋅d2
d
V=
+
Per x ≤ − si ha:
2 ⋅ ε0
8⋅ ε0
2
dove x è la distanza dal piano mediano dello strato e la costante di integrazione è stata
presa uguale a zero per x = 0.
Per r > R si ha:
V=
EQUAZIONE DI POISSON
Dato il potenziale V è possibile ricavare la distribuzione di carica, infatti vale la
seguente relazione:
ρ
∇2 V = −
ε0
dove ρ è la densità volumetrica di carica
EQUAZIONE DI LAPLACE
8
Nel caso in cui la densità volumetrica di carica ρ è nulla si ha l'equazione di Laplace:
∇2 V = 0
N.B. Per risolvere l'equazione di Poisson e l'equazione di Laplace in presenza di
conduttori occorre specificare le condizioni al contorno per il potenziale sulle superfici
dei conduttori (problema di Dirichelet) oppure i campi elettrici in prossimità degli stessi
(problema di Neuman).
CAPACITÀ DI UN CONDUTTORE
Si definisce capacità C di un conduttore il rapporto tra la quantità di carica Q
presente sulla superficie del conduttore e il potenziale V esistente sulla superficie del
Q
C=
conduttore stesso:
V
Il lavoro speso per caricare un conduttore e quindi per portare il suo potenziale da
zero al valore finale di V risulta:
1
1
Q2
2
W = C⋅V = Q⋅V =
2
2
2 ⋅C
Capacità di una sfera di raggio R:
C = 4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ R
9
CONDENSATORE
In generale, considerate le due facce di un condensatore, dette armature, la capacità C
Q
C=
di un condensatore è data:
∆V
dove:
∆V è la differenza di potenziale tra le due armature
Q è la quantità di carica presente su una delle due armature.
1
1
Q2
2
W = C ⋅ ∆V = Q ⋅ ∆V =
lavoro per caricare un condensatore:
2
2
2⋅C
A
d
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ R1 ⋅ R2
condensatore sferico di raggi R 1 e R 2 e (con R 2 > R 1 ): C =
R 2 − R1
condensatore cilindrico di lunghezza L e raggi R 1 e R 2 e (con R 2 > R 1 ):
2 ⋅ π⋅ ε0 ⋅ L
C=
R
ln 2
R1
condensatore piano di area A, con armature distanti d:
C = ε0
Condensatori in serie:
Si consideri la figura:
N 1
1
=∑
si ha:
C T i=1 C i
dove C T è la capacità totale del sistema composto da N capacitori.
10
Condensatori in parallelo:
Si consideri la figura:
N
CT = ∑ Ci
si ha:
i=1
dove C T è la capacità totale del sistema composto da N capacitori.
Coefficienti di capacità e di induzione
dati N conduttori isolati, caratterizzati dalle cariche q 1 , q 2 , . . . . . . , q N , e dai potenziali
V1 , V 2 , . . . . . . , V N , si dimostra che esiste una relazione lineare tra cariche e potenziale:
qi =
N
∑ C ik ⋅ V k
k=1
dove C ik sono i coefficienti di capacità (i ≠ k ) e di induzione (i = k ).
La relazione inversa definisce implicitamente i coefficienti di potenziale p kj :
Vk =
N
∑ p kj ⋅ q j
j=1
Si dimostra che:
1) C jk = C kj .
2) i coefficienti C kj dipendono solo dalle caratteristiche geometriche e dalla posizione
dei conduttori.
ENERGIA ELETTROSTATICA
energia potenziale elettrostatica associata a due cariche puntiformi Q e q
Q⋅ q
r
dove la costante arbitraria è stata presa uguale a zero.
L'espressione dell'energia potenziale di un sistema formato da N cariche puntiformi
Q 1 , Q 2 , . . . Q N poste rispettivamente in r1 , r2 , . . . rN , é la seguente:
Qi ⋅ Q j
1 N
1 N
EP = ∑
= ∑ Q i ⋅ V ' (ri )
2 ij 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ri − r j
2 i =1
EP = K
i≠ j
dove V ' ( ri ) è il potenziale generato da tutte le cariche eccetto la iesima nel punto ri :
N
Qj
V ' ( ri ) = ∑
j= i 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ri − r j
j≠i
Se le cariche non sono puntiformi l'espressione dell'energia potenziale risulta:
11
q ⋅ dQ
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r
EP = ∫
L'energia elettrostatica associata ad una distribuzione superficiale di carica σ (r' )
distribuita su una superficie S ha la seguente espressione:
1
W = ∫ σ( r' ) ⋅ V (r ' )dA'
2S
dove V ( r' ) è il potenziale in r '
L'energia elettrostatica associata ad una distribuzione volumetrica di carica ρ(r' )
distribuita su un volume V ha la seguente espressione:
1
W = ∫ ρ( r' ) ⋅ V (r ' )d 3 r'
2 Vol
dove:
V ( r' ) è il potenziale in r '
Vol è il volume in cui è contenuta la carica.
densità di energia
La densità di energia cioè l'energia per unita di volume W V nel vuoto ha la seguente
ε
WV = 0 ⋅ E 2
espressione:
2
da cui l'energia elettrostatica associata ad una distribuzione generica di carica ha la
ε
seguente espressione:
W = ∫ 0 ⋅ E 2 d3r
2
ℜ3
dove l'integrazione è estesa a tutto lo spazio.
DIPOLO ELETTRICO
Si definisce momento di dipolo per un sistema di 2 cariche puntiformi +q e −q e verrà
p= q⋅d
indicato indifferentemente con Π o p ,nel seguente modo:
dove d è il vettore che ha come modulo la distanza tra le due cariche e come direzione
quella che va dalla carica negativa a quella positiva.
Il momento di dipolo Π di un sistema costituito da q 1 , q 2 , .. . .. . q N cariche
puntiformi specificate da r1 , r2 , . .. .. . rN rispetto ad un sistema di assi coordinati,
N
risulta:
Π = ∑ q i ⋅ri
i =1
Nel caso generale di una distribuzione di carica ρ(r' ) contenuta entro un volume V si
p = ∫ ρ( r' ) ⋅ r' d 3 r'
definisce momento di dipolo p :
V
Si fa notare che il momento di dipolo associato ad una distribuzione di carica ρ risulta
indipendente dalla scelta del sistema di riferimento solo se la carica totale Q è nulla ,
con Q :
Q = ∫ ρ(r )d 3 r
V
dove l'integrale è esteso a tutto il volume in cui è contenuta la carica.
12
Il potenziale generato da un dipolo costituito da 2 cariche puntiformi di momento di
p⋅r
V ( r) =
dipolo p in un punto r >> d ha la seguente espressione:
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r 3
Il campo elettrico generato da un dipolo di momento p in un punto r >> d ha la
seguente espressione:
1
E( r ) = −
[ − p + 3( p ⋅ r ) ur ]
4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ r3
Le componenti del campo elettrico sono:
p ⋅ cosθ
p ⋅ sinθ
∂V
1 ∂V
Er = −
=
E
=
−
⋅
=
e
θ
∂r 2 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ r 3
r ∂θ 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ r 3
dove r e θ sono le coordinate polari relative al piano che contiene il dipolo p e il punto
considerato.
DIPOLO ELETTRICO IMMERSO IN UN CAMPO ELETTRICO
Il momento meccanico τ rispetto ad un polo 0, a cui è soggetto un dipolo elettrico
avente momento di dipolo p posto in un campo elettrico E ( r ) ha la seguente
espressione:
τ = p × E + r × ( p ⋅ ∇ ) E (r )
dove r è la distanza dal polo 0 al centro del dipolo.
Se il campo elettrico E ( r ) è uniforme il momento meccanico τ assume un'espressione
τ=p×E
semplice
L'espressione dell'energia potenziale associata a un dipolo immerso in un campo
elettrico ha la seguente espressione:
EP = −p⋅E .
[
]
Se il campo elettrico in cui è immersa il dipolo non è uniforme, la stesso è soggetto ad
F = −∇E P
una forza che si ottiene utilizzando il gradiente:
F (r ) = ∇ ( p ⋅ E (r ))
ovvero si può scrivere:
Poiché il campo elettrico è conservativo, l'espressione della forza agente su un dipolo
elettrico avente momento di dipolo p posto in un campo elettrico E ( r ) può essere
scritta anche nel seguente modo:
F (r ) = ( p ⋅ ∇ ) E (r )
13
∂E x
∂E x
∂E x

F
=
p
⋅
+
p
⋅
+
p
⋅
x
x
y
z

∂x
∂y
∂z


∂E y
∂E y
∂E y
+ py ⋅
+ pz ⋅
In componenti cartesiane si ha:  Fy = p x ⋅
∂x
∂y
∂z


∂E
∂E
∂E
 Fz = p x ⋅ z + p y ⋅ z + p z ⋅ z
∂x
∂y
∂z

Se il campo elettrico E ( r ) è uniforme la forza è nulla.
POLARIZZAZIONE DELLA MATERIA
Il vettore polarizzazione P è definito come il prodotto del momento di dipolo p di
ogni singola molecola (media temporale) per il numero n dei dipoli per unità di volume
N
P = n⋅ p
(n =
):
Vol
Il potenziale prodotto da un materiale polarizzato con vettore polarizzazione P (r ) ha
la seguente espressione:


σP
ρP
1

V ( r' ) =
dA + ∫
dVol 
4 ⋅ π ⋅ ε 0  S∫ r − r '
r
−
r
'

Vol
V
dove:
Vol è il volume del dielettrico
S V è la superficie che racchiude il volume del dielettrico
σ P è la densità superficiale di carica di polarizzazione definita: σ P = P ⋅ u n
con u n il versore normale alla superficie diretto verso l'esterno
ρ P è la densità volumetrica di carica di polarizzazione definita: ρ P = − ∇ ⋅ P .
Teorema di Gauss in presenza di cariche di polarizzazione:
Q lib + Q pol
Q
Φ E = ∫ E ⋅ u n dA = tot =
ε0
ε0
S
14
Il vettore di induzione elettrica D , detto anche vettore spostamento elettrico è definito
D = ε0 ⋅ E + P
nel seguente modo:
Il flusso del vettore induzione elettrica D attraverso una qualunque superficie chiusa è
uguale alla carica totale libera contenuta all'interno della superficie considerata :
Φ D = Q lib
∇ ⋅ D ( r ) = ρlib (r )
In forma differenziale si ha:
P = χ⋅ ε0 ⋅ E
Per la maggior parte dei dielettrici si può scrivere:
dove la costante adimensionale χ è detta suscettività elettrica e dipende dal tipo di
sostanza.
D = ε0 ⋅ ε r ⋅ E = ε ⋅ E
Quindi si ha:
dove
la costante adimensionale ε r (ε r = 1 + χ) è detta costante dielettrica relativa del
mezzo o permettività relativa.
la costante ε è detta costante dielettrica assoluta del mezzo o permettività
assoluta.
Si fa notare che in generale si ha:
∇× D≠0
e
∇× P≠ 0
CONDIZIONI AL CONTORNO
Si precisa che il campo elettrostatico totale E è conservativo mentre il vettore
induzione elettrica D non è conservativo.
Dati due mezzi dielettrici lineari, isotopi e omogenei, caratterizzati da due costanti
dielettriche ε r1 e ε r2 , in cui sia presente eventualmente una densità di carica libera
σ lib , si ha:
D 1n − D 2n = σ lib
ε r1 ⋅ D1n = ε r2 ⋅ D 2n
E 1t = E 2t
DENSITÀ DI ENERGIA IN PRESENZA DI DIELETTRICI ISOTROPI
OMOGENEI E LINEARI
La densità di energia elettrostatica W V in un mezzo ha la seguente espressione:
ε
WV = 0 ⋅ D ⋅E
2
dove D è il vettore spostamento elettrico.
ε
Se è valida la seguente relazione:
D = ε ⋅ E , si ha:
WV = ⋅ E 2 .
2
L'energia elettrostatica associata ad una distribuzione generica di carica ha la seguente
1
espressione:
W = ∫ E ⋅ Dd3r
2 ℜ3
dove D è il vettore spostamento elettrico e l'integrazione è estesa a tutto lo spazio.
15
Se è valida la seguente relazione:
D = ε ⋅ E , si ha:
W=
ε
E 2d 3r .
∫
2 ℜ3
CONDUZIONE NEI METALLI
1) Intensità di corrente I:
I=
dQ
dt
2) La densità di corrente J è tale che il suo flusso attraverso una superficie è proprio
I = Φ J = ∫ J ⋅ u n dA
l'intensità di corrente I:
S
dove u n è il versore normale alla superficie S.
J = n ⋅ q ⋅ vd
3) La relazione tra la densità di corrente e la velocità di deriva è:
dove la carica q dei portatori di carica nel caso dei metalli corrisponde alla carica
elementare dell'elettrone: q = −1, 6 × 10 −19 C .
4) La relazione tra il campo elettrico e la densità di corrente J è:
dove la resistività ρ è l'inverso della conducibilità elettrica σ :
E = ρ⋅ J
1
ρ=
σ
∆V
I
dove: ∆V è la differenza di potenziale applicata agli estremi del resistore (ad esempio
un filo di metallo) e I è l'intensità di corrente che circola nel filo.
5) Prima legge di Ohm:
6) Seconda legge di Ohm:
R=
R=ρ
L
A
dove:
16
ρ è la resistività o resistenza specifica del materiale
L è la lunghezza del filo
A è l'area della sezione del filo.
7) Resistenze in serie
Si consideri la figura:
La resistenza equivalente o totale (R E ) di un sistema costituito da N resistori in serie è
uguale alla somma della resistenza di ogni resistore:
RE =
N
∑ Ri
i=1
8) Resistenze in parallelo
Si consideri la figura:
L'inverso della resistenza equivalente o totale (R E ) di un sistema costituito da N in
parallelo è uguale alla somma degli inversi delle resistenze di ogni resistore:
N 1
1
=∑
R E i=1 R i
9) Legge dei nodi
la somma delle intensità di corrente entranti in un nodo è uguale alla somma delle
intensità di corrente uscente dal nodo stesso
10) Legge delle maglie
preso un verso arbitrario di percorrenza della maglia si ha: la somma delle cadute di
tensione ai capi di ogni resistenza incontrata nel cammino (prese positive se il verso
della corrente circolante nella resistenza è concorde con il verso di percorrenza) è
uguale alla somma delle forze elettromotrici di ogni generatore incontrato (prese
positive se il generatore viene attraversato dal segno meno al segno più, negative
altrimenti)(1)
(1)
Se la corrente attraversa il generatore andando dal segno più al segno meno viene visto come una batteria che si sta
ricaricando.
17
11) Effetto Joule
La potenza P dissipata in un conduttore avente resistenza R, attraversato da una
intensità di corrente I e ai cui capi è applicata una differenza di potenziale ∆V è la
∆V 2
2
P = ∆V ⋅ I = R ⋅ I =
seguente:
R
MAGNETISMO
CAMPO MAGNETICO
Formula di Ampère-Laplace
Il campo magnetico generato in un punto r da una corrente I che fluisce lungo la linea
L è dato dalla seguente espressione:
µ
I ⋅ dl × ( r − r' )
B (r ) = ∫ 0 ⋅
r − r' 3
L4⋅π
dove dl è il tratto infinitesimo percorso dalla corrente I la cui posizione è identificata
dal vettore r ' .
Nel caso di correnti volumetriche distribuite con densità J ( r' ) entro il volume V si ha
la seguente espressione:
µ
J ( r' ) × ( r − r ' )
B (r ) = ∫ 0 ⋅
d 3 r'
r − r' 3
V 4⋅π
Teorema di Ampère
"la circuitazione del campo magnetico è uguale alla somma delle correnti
concatenate con il percorso (linea chiusa) scelto"
Con corrente concatenata si intende quella corrente J il cui flusso Φ S γ (J ) attraverso
una qualsiasi superficie S γ che si appoggi al circuito S γ sia diverso da 0. Per
convenzione viene assegnato un verso di percorrenza della linea γ utilizzando la mano
destra per percorrerlo e il pollice indica la direzione della normale alla superficie S γ .
Il teorema di Ampère può essere sintetizzato nel seguente modo:
18
N
∫ B ⋅ dl = µ 0 ∑ I i
i =1
γ
In maniera più dettagliata il teorema di Ampère può essere scritto nel seguente modo:
∫ B ⋅ dl = µ 0 ∫ J ⋅ u n dA
γ
S
dove l'integrale della densità di corrente è esteso alla superficie S che ha come
contorno la linea chiusa γ e u n è il versore normale alla superficie S il cui verso è dato
dalla regola antioraria, come indicato in figura:
CAMPO MAGNETICO DI UNA CARICA PUNTIFORME IN MOTO
B = ε0 ⋅ µ0 ⋅ v × E
dove E è il campo elettrico generato dalla carica puntiforme nel punto in cui si valuta
il campo magnetico.
CAMPO MAGNETICO DI UN FILO RETTILINEO LUNGO L PERCORSO DA
CORRENTE STAZIONARIA
Il modulo del campo magnetico a distanza R dal filo in un punto che si trova lungo
µ ⋅ I ⋅ sin θ *
B= 0
l'asse del filo, ha la seguente espressione:
2⋅π ⋅R
L
2
dove θ* risulta:
θ* = arcsin
L2
+ R2
4
Se il filo è infinitamente lungo o più realisticamente si valuta il campo nei punti r << L
π
si ha che θ* → .
2
µ ⋅ I ⋅ ut × r
B(r ) = 0
Si ottiene la formula di Biot-Savart
2⋅ π⋅r2
dove u t è il versore orientato nella direzione e verso in cui fluisce la corrente.
CAMPO MAGNETICO DI UNA SPIRA CIRCOLARE DI RAGGIO R LUNGO
L'ASSE DELLA SPIRA
Il modulo del campo magnetico generato dalla spira percorsa da corrente stazionaria I
in un punto situato lungo il suo asse a distanza x dal suo centro ha la seguente
espressione:
19
B(x) =
µ 0 ⋅ I ⋅ R2
(
)
3
2
2 x +R
L'espressione del modulo del campo magnetico B centro generato dalla spira nel suo
centro si ottiene considerando che x vale zero:
µ ⋅I
B centro = 0
2⋅R
2
2
CAMPO MAGNETICO DI UN SOLENOIDE DI N SPIRE E LUNGO L
Il modulo del campo magnetico in un punto lungo l'asse di un solenoide di lunghezza
L percorso da corrente stazionaria I ed avente un numero di spire N, ha la seguente
espressione:
µ ⋅I⋅ n
B(x) = 0
(cos θ 2 − cos θ1 )
2
dove:
N
n è il numero di spire per unità di lunghezza:
n=
L
θ 1 e θ 2 sono gli angoli indicati in figura
Se il solenoide è molto lungo e il punto P si trova al centro del solenoide, θ 2 = 0 e
θ 1 = π, il modulo del campo magnetico nel centro del solenoide risulta:
B = µ0 ⋅ I ⋅ n
In genere, nel caso di solenoide molto lungo e stretto l'espressione trovata per un
punto al centro del solenoide si estende a tutto il solenoide, ritenendo all'interno di esso
che il campo magnetico sia uniforme.
Il campo magnetico è diretto secondo l'asse del solenoide e con verso dato dalla regola
antioraria.
20
INTERAZIONE MAGNETICA
FORZA MAGNETICA - FORZA DI LORENTZ
L'espressione della forza magnetica Fµ a cui è soggetta una particella di carica q in
movimento con velocità v , immersa in un campo magnetico B è la seguente:
Fµ = qv × B
L'espressione della forza magnetica Fµ generalizzata cioè a cui è soggetta una
particella di carica q in movimento con velocità v immersa in un campo magnetico B
Fµ = q ( E + v × B )
e in un campo elettrico E è la seguente:
L'espressione della forza magnetica Fµ a cui è soggetto un filo lungo L percorso da
corrente stazionaria di intensità I, immerso in un campo magnetico B , è la seguente:
Fµ = ∫ I ⋅ dl × B = ∫ (I ⋅ u t × B )dl
L
L
dove ut è il versore tangente al filo e che indica il verso di circolazione della corrente
elettrica.
se il campo magnetico è costante nel tratto di filo L si ha una espressione molto
Fµ = L ⋅ I ⋅ u t × B
semplice:
dove ut è sempre il versore tangente al filo e che indica il verso di circolazione della
corrente elettrica.
MOMENTO DI DIPOLO MAGNETICO
Si consideri la figura riportata in cui è schematizzata una generica spira piana:
21
Il momento magnetico M di una spira di contorno C e superficie S, percorsa da
corrente stazionaria I, è definito:
1
M = ∫ IdA = ∫ I ⋅ dA ⋅ u n = ∫ Ir × dl
2C
S
S
dove:
un è il versore normale alla superficie il cui verso è dato dalla regola antioraria
dl è orientato nel verso in cui circola corrente.
In generale, data una densità di corrente volumetrica J entro un volume V il momento
1
M = ∫ J × rdV
magnetico M è definito:
2V
MOMENTO MECCANICO
L'espressione del momento meccanico τµ prodotto dalle forze di Lorentz a cui è
soggetta una spira percorsa da corrente avente momento magnetico M e immersa in
un campo magnetico B è la seguente:
τµ = M × B
L'energia potenziale magnetica associata alla spira percorsa da corrente e immersa in
EP = −M⋅ B
un campo magnetico B ha la seguente espressione:
Se il campo magnetico in cui è immersa la spira non è uniforme, la stessa è soggetta ad
F = −∇E P
una forza che si ottiene utilizzando il gradiente:
F = ∇( M ⋅ B )
ovvero si può scrivere:
MAGNETIZZAZIONE DELLA MATERIA
Il campo magnetico B dipende dalle correnti totali I T somma delle correnti di
conduzione con le correnti di magnetizzazione e quindi la sua circuitazione attraverso
una linea chiusa γ è data dalla somma delle correnti totali concatenate al circuito:
N
∫ B ⋅ dl = ∑ I T i
γ
i =1
Il vettore H dipende dalle correnti di conduzione I C quindi la sua circuitazione
attraverso una linea chiusa γ è data dalla somma delle correnti di conduzione:
∫ H ⋅ dl =
γ
N
∑ ICi
i=1
Il vettore magnetizzazione M dipende dalle correnti magnetizzazione I M quindi la sua
circuitazione attraverso una linea chiusa γ è data dalla somma delle correnti di
N
magnetizzazione:
∫ M ⋅ dl = ∑ I M i
γ
In particolare si ha:
i =1
 J MS = M × u n

 ∇ × M = J MV
22
J MS è la densità di corrente superficiale che si misura in A/m
J MV è la densità di corrente di volume che si misura in A / m 2 .
La relazione tra il campo magnetico B , il vettore magnetizzazione M e il vettore H è
la seguente:
B = µ 0 (H + M )
Nel caso in cui il vettore magnetizzazione M sia direttamente proporzionale al vettore
H (caso delle sostanza diamagnetiche e di quelle paramagnetiche) si può scrivere:
M = χm ⋅ H
dove χ m si chiama suscettività magnetica e dipende dal tipo di sostanza.
Sostituendo si ha:
B = µ 0 (H + χ m ⋅ H ) = µ 0 ⋅ (1 + χ m ) ⋅ H = µ 0 ⋅ µ r ⋅ H = µ ⋅ H
dove µ r è la permeabilità magnetica relativa della sostanza che nel caso di materiali
diamagnetici è inferiore anche se di poco a 1, mentre nel caso dei materiali
paramagnetici è superiore, anche se di poco a 1.
Per i circuiti magnetici a volte si usa la legge di Hopkinson che è simile alla legge di
Ohm e mette in relazione la forza magnetomotrice (f.m.m.) con il flusso di B
attraverso una grandezza che dipende dalla geometria del circuito e che si chiama
f. m. m. = ℜ ⋅ Φ(B )
riluttanza ℜ :
f. m. m. = N ⋅ I
La forza magnetomotrice è data da:
dL
ℜ=∫
La riluttanza ha la seguente espressione:
γ µ⋅A
dove:
γ è la linea chiusa (lunghezza del circuito magnetico) attraverso cui si determina il
flusso di B
A è l'area della sezione del circuito magnetico
N è il numero di spire incontrato lungo la linea chiusa
I è l'intensità di corrente.
23
INDUZIONE MAGNETICA
Legge di Faraday-Neuman-Lenz in forma integrale:
dΦ S (B)
f . e. m. = ∫ E ⋅ dl = −
dt
γ
dove:
il segno negativo sta ad indicare che la corrente indotta che si genera contrasta la causa
che la generata
S è una qualsiasi superficie che appoggia sul circuito γ
Φ S (B) è il flusso di B :
Φ S (B) = ∫ B ⋅ dA = ∫ B ⋅ u n dA
S
S
un è il versore normale alla superficie con il verso dato dalla regola antioraria.
Legge di Faraday-Neuman-Lenz in forma differenziale:
∂B
∇× E=−
∂t
dI
dt
dove L è il coefficiente di autoinduzione che si misura in henry (H) e che dipende solo
dΦ S (B)
dalle caratteristiche geometriche del circuito:
L=
.
dI
Auto induzione:
(f. e. m. )autoindotta = − L
Mutua induzione:
Dati N circuiti percorsi da correnti I 1 , I 2 , . . ., I N , una variazione di corrente nel jesimo circuito provoca una variazione del flusso del campo magnetico B concatenato
col circuito k-esimo e a questo scopo si definisce il coefficiente di mutua induzione tra i
circuiti k e j:
dΦ K ( B j )
M kj =
= M jk
dI j
dove M kj si misura in henry (H) e dipende solo dalle caratteristiche geometriche del
circuito.
24
RIEPILOGO DELLE LEGGI DELL'ELETTROMAGNETISMO
legge di Gauss per il campo elettrico:
in forma integrale:
∫
SV
in forma differenziale:
1
ρdV
ε 0 V∫
ρ
∇ ⋅ E = tot
ε0
E ⋅ u n dA =
in coordinate cartesiane ha la seguente forma:
∂E x ∂E y ∂E z ρ(x, y, z)
+
+
=
∂x
∂y
∂z
ε0
assenza di cariche di monopolo:
in forma integrale:
∫ B ⋅ undA = 0
S
in forma differenziale:
∇ ⋅B = 0
in coordinate cartesiane ha la seguente forma:
∂Bx ∂By ∂Bz
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
legge di Faraday-Neuman-Lenz:
in forma integrale:
d
∫ E ⋅ dl = − dt ∫ B ⋅ u n dA
γ
Sγ
∂B
∂t
da cui, dalla definizione dell'operatore rotore in coordinate cartesiane, si ottiene:
ux uy uz
∂By
∂
∂
∂
∂B
∂B
∇×E=
= − x ux −
uy − z uz
∂x ∂y ∂z
∂t
∂t
∂t
Ex Ey Ez
in forma differenziale:
∇× E=−
legge di Ampère-Maxwell:
25
∫ B ⋅ dl = µ 0 ∫ J ⋅ u n dA + ε 0
in forma integrale:
γ
⋅ µ0
Sγ
d
∫ E ⋅ u n dA
dt Sγ
∂E
∂t
da cui, dalla definizione dell'operatore rotore in coordinate cartesiane, si ottiene:
u x uy uz
 ∂E
∂E y
∂E z 
∂
∂
∂
= µ 0 J x ux + J y uy + J z uz + ε0 µ0  x u x +
uy +
u 
∂x ∂y ∂z
∂t
∂t z 
 ∂t
Bx By Bz
∇ × B = µ0 ⋅ J + ε0 ⋅ µ0
in forma differenziale:
(
)
La densità di corrente totale J risulta:
J = JC + JP + JM
dove:
J C è la densità di corrente di conduzione
∂P
J P è la densità di corrente di polarizzazione: J P =
∂t
J M è la densità di corrente di magnetizzazione: J M = ∇ × M .
Il vettore D detto vettore spostamento elettrico dipende solo dalle cariche libere e
 ∫ D ⋅ u n dA = ∫ ρ lib dV
S
V

soddisfa le seguenti equazioni:
 ∇ ⋅ D = ρ lib

D = ε 0 E + P

P è il vettore polarizzazione che dipende dalle cariche di polarizzazione che si
P ⋅ u n = σ P
formano:

.
 ∇ ⋅ P = −ρ P
Se il mezzo è omogeneo, isotropo e risponde in maniera lineare al campo applicato si
ha:
P = ε 0 χeE ⇒
⇒
D = εE
con:
ε = ε 0 ⋅ ε r = ε 0 (χ e + 1)
26
Il vettore H detto anche impropriamente vettore campo magnetico dipende dalle
 ∫ H ⋅ dl = I C
γ

correnti di conduzione e soddisfa le seguenti equazioni:
 ∇ × H = JC
.

B = µ 0 (H + M )

dove:
IC è la corrente di conduzione:
I C = ∫ J C ⋅ dA
Sγ
JC è la densità di corrente di conduzione.
M è il vettore magnetizzazione che dipende dalla corrente di magnetizzazione nel
 J MS = M × u n
modo seguente: 
 ∇ × M = J MV
J MS è la densità di corrente superficiale (si misura in A/m)
J MV è la densità di corrente di volume (si misura in A / m 2 ).
Se il mezzo è omogeneo, isotropo e risponde in maniera lineare si ha:
M = χm H ⇒
B = µH
con:
µ = µ 0 ⋅ µ r = µ 0 (χ m + 1)
La legge di Ampère-Maxwell nella materia diventa:
∇ × B = µ 0 (JC + JP + JM ) + ε 0 ⋅ µ 0
∂E
∂t
∂P
e
JM = ∇ × M
∂t
Sostituendo si ha:


∂P
∂E 
∂D 
∇ × B = µ0  JC +
+ ∇ × M + ε0
 = µ0  JC + ∇ × M +
 .
∂t
∂t 
∂t 


dove: J P =
Le leggi di: Gauss, di Faraday-Henry e di Ampère-Maxwell, possono essere riassunte
dalle seguenti equazioni di Maxwell nella materia:
∂B
∂D
∇× E=−
∇ ⋅ D = ρlib
∇ ⋅B = 0
∇ × H = JC +
∂t
∂t
Alle equazioni di Maxwell si unisce la legge di Ohm:
JC = σ ⋅ E
dove σ è la conduttanza specifica che è l'inverso della resistività:
σ=
1
.
ρ
EQUAZIONE DELLE ONDE NEL VUOTO
27
a) PER I CAMPI
per il campo elettrico si ha:
1 ∂2 E
∇ E− 2 ⋅ 2 =0
c
∂t
per il campo magnetico si ha:
1 ∂2 B
∇ B− 2 ⋅ 2 =0
c
∂t
2
2
dove c è la velocità dell'onda elettromagnetica nel vuoto pari alla velocità della luce e
1
risulta:
c=
ε0 ⋅µ0
b) PER I POTENZIALI
I potenziali sono definiti dalle seguenti trasformazioni:
∂A
E = −∇ V −
e
B=∇×A
∂t
∂λ

V ' = V +
∂t .
e a meno di una funzione arbitraria λ(r , t) da:

 A ' = A + ∇ λ
1 ∂V
Sotto la condizione di Gauge (di Lorentz):
∇ ⋅A − 2 ⋅
=0
∂t
c
soddisfano le equazioni delle onde:
per potenziale elettrico si ha:
1 ∂2 V
∇ V− 2 ⋅ 2 =0
c ∂t
per il potenziale vettore si ha:
1 ∂ 2A
∇ A− 2 ⋅ 2 =0
c
∂t
2
2
LEGGI DI CONSERVAZIONE LOCALI
1) conservazione della carica
28
∂ρ
+∇⋅J=0
∂t
dove:
ρ è la densità di volume di carica
J è la densità di corrente.
2) conservazione dell'energia
∂W Vm ∂W Vem
+
+ ∇⋅S = 0
∂t
∂t
dove:
S è il vettore di Poynting S :
S = E× H
dW Vm è la densità di volume di energia meccanica
W Vem è la densità di volume di energia elettromagnetica:W Vem
1
B2 
2
=  ε0 ⋅ E +
2
µ 0 
CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA
Reattanza resistiva:
ZR = R
29
Reattanza induttiva:
Z L = XL = i ⋅ ω ⋅ L
i
ω ⋅C
dove la pulsazione ω dipende dalla frequenza della tensione applicata: ω = 2 ⋅ π ⋅ ν .
Reattanza capacitiva:
ZC = X C = −
Si definisce impedenza e si indica con Z il numero complesso:
Attraverso la legge di Ohm generalizzata si ha:
I=
Z = R + i⋅X
V0
Z
dove:
V 0 è il valore massimo della tensione applicata
I è l'intensità di corrente.
N
Per impedenze in serie si ha:
Z = ∑Zi
i=1
Per impedenze in parallelo si ha:
1 N 1
=∑
Z i=1 Z i
Valgono le leggi di Kirkoff , cioè la legge dei nodi e quella delle maglie.
La potenza assorbita dal circuito per effetto Joule, detta potenza efficace Peff , ha la
V ⋅ I ⋅ cos ϕ
Peff = 0 0
= V eff ⋅ I eff ⋅ cosϕ
seguente espressione:
2
dove:
V 0 è il valore massimo della tensione applicata
I 0 è il valore massimo dell'intensità di corrente
ϕ è lo sfasamento tra la tensione e l'intensità di corrente
V eff rappresenta il valore efficace della tensione che per una tensione sinusoidale risulta
V
pari a 0
2
I eff rappresenta il valore efficace dell'intensità di corrente che per una corrente
I
sinusoidale risulta pari a 0 .
2
30