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1.2.1 Le dimostrazioni nella geometria pre-euclidea
Teorema 1.2.1.1 (Secondo criterio di congruenza dei triangoli)
Due triangoli che hanno uguali due angoli e il lato compreso tra essi sono uguali.
DIMOSTRAZIONE
Si considerino le rette a e b che formano angoli rispettivamente `alpha` e `beta` con il segmento AB.
Se le rette a e b fossero parallele allora non si formerebbe un triangolo. Se invece le rette non sono parallele allora
`alpha+beta lt pi` e le rette a e b si incontrano in un punto C formando in maniera univoca il triangolo ABC.
Euclide ha poi dimostrato tale risultato in maniera più rigorosa nei suoi elementi basandosi sul suo quinto postulato,
che afferma:
Risulti postulato che se una retta interseca in un piano altre due rette e forma con esse, da una medesima parte, angoli
interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora queste due rette, prolungate indefinitamente, finiscono con
l'incontrarsi dalla parte detta.
Questo fatto era considerato ovvio dai matematici pre-euclidei, ed Euclide lo scelse tra i cinque postulati che stanno
alle basi della geometria euclidea.
Dando per scontata la validità di questo postulato da esso derivano logicamente (o perché "si vede") numerosi altri
risultati. Uno di questi riguarda l'uguaglianza degli angoli formati da due rette tagliate da una trasversale.
Teorema 1.2.1.2
Se r ed s sono parallele allora:
Gli angoli alterni interni sono congruenti. `(3~=5, 4~=6)`
Gli angoli alterni esterni sono congruenti. `(1~=7, 2~=8)`
Gli angoli corrispondenti sono congruenti. `(1~=5, 2~=6,3~=7, 4~=8)`
Gli angoli coniugati interni sono supplementari. `(4+5~=pi, 3+6~=pi)`
Gli angoli coniugati esterni sono supplementari. `(1+8~=pi, 2+7~=pi)`
DIMOSTRAZIONE
Dimostriamo solo l'uguaglianza degli angoli alterni interni. Le rette r ed s sono parallele, e quindi `4+5~=pi`. Gli angoli 4
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e 3 giacciono sulla stessa retta, da cui `4+3~=pi`. Dalle due uguaglianze `4+5~=pi` e `4+3~=pi` segue per sottrazione
che `3~=5`.
Lo stesso Aristotele nella sua Metafisica utilizza tale risultato per dimostrare che la somma degli angoli interni di un
triangolo sia uguale a un angolo piatto.
Teorema 1.2.1.3
La somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto.
DIMOSTRAZIONE:
Dato il triangolo ABC Si traccia la retta CD parallela ad AB passante per C. Si traccia il prolungamento CE del
segmento AC. Le rette AB e CD sono parallele, tagliate dalla trasversale BC. Gli angoli `beta` e `beta^'` sono alterni
interni, quindi sono congruenti. Le rette AB e CD sono parallele, tagliate dalla trasversale AE. Gli angoli `alpha` e
`alpha^'` sono corrispondenti, quindi sono congruenti.
Da ciò segue `alpha+beta+gamma~=alpha^'+beta^'+gamma~=AhatCE~=pi`.
Lo stesso Aristotele dimostra il teorema seguente, che però altre fonti attribuiscono a Talete.
Teorema 1.2.1.4
Ogni angolo che insiste su un diametro è retto.
DIMOSTRAZIONE
Il triangolo ACO ha due lati uguali, da cui segue che gli angoli `alpha` e `alpha^'` sono uguali.
Il triangolo BCO ha due lati uguali, da cui segue che gli angoli `beta` e `beta^'` sono uguali.
Gli angoli `AhatOC` e `ChatOB` hanno dunque ampiezza `pi-2alpha` e `pi-2beta` rispettivamente.
`AhatOB~=AhatOC+ChatOB~=pi-2alpha+pi-2beta~=2pi-2beta-2alpha`.
Ma vale anche `AhatOB~=pi`, per cui `pi~=2pi-2beta-2alpha`, da cui segue `pi~=2beta+2alpha`, e dividendo per due
`beta+alpha~=pi/2`.
E' importante notare come delle affermazioni che sembrano di difficile formulazione divengono semplici e intuitive con
una costruzione geometrica che le rende più facilmente visibili, e per rendere comprensibili i ragionamenti diventa quindi
essenziale il disegno geometrico.
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In questa unità
Testo: Storia delle idee
Autore: Marcello Ciancio
Curatore: Maurizio Châtel
Metaredazione: Rosanna Lo Piccolo
Editore: BBN
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