Introduzione alla statistica

Introduzione alla statistica
per
la nuova maturità commerciale 2015
redatta dal
gruppo cantonale di matematica per i CPC
Indice
1 Statistica monovariata
. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. ... . 5
1.1 Scheda introduttiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Come si svolge un’indagine statistica . . . . . . . . . . .
1.2 La statistica induttiva e la statistica descrittiva . . . . . . . .
1.2.1 I caratteri qualitativi e i caratteri quantitativi . . . . .
1.2.2 Dai censimenti ai sondaggi d’opinione . . . . . . . . . .
1.3 Le tabelle di frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Frequenza assoluta e relativa . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Frequenza cumulata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Le classi di frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Suddivisione dei dati in classi . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1.1 Note e definizioni sulla suddivisione in classi . . .
1.5 La rappresentazione grafica dei dati . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Diagramma a colonne e istogramma . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Poligono delle frequenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Areogramma o torta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Ogiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Gli indici di posizione centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 La media aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.3 La media ponderata e la media per classi . . . . . . . .
1.6.4 La mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.5 La classe mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.6 La mediana per classi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.7 I percentili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.8 La moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.9 Quando e quale indicatore di posizione centrale usare?
1.7 Gli indici di variabilità (o di dispersione) . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Il campo di variazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.3 I quartili e lo scarto interquartile . . . . . . . . . . . . .
1.7.4 Box-plot di Tukey e gli outliers . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.5 Lo scarto quadratico medio . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.6 Lo scarto quadratico per classi . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.7 La distribuzione gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Popolazione e campione
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2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 La popolazione . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Il campione . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Attività pratica con un foglio di calcolo . . . . .
2.2.1 Creazione dei dati . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Elaborazione dei dati . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Discussione . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 La stima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Considerazioni su campione e popolazione
3
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4
Indice
2.3.2 Stima di una media puntuale con i limiti di confidenza
.. .. .. .. .. .. .. ...
36
3 Statistica bivariata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 La correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Correlazione e regressione lineare . . . . . . . . . . . .
3.2.2 La covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Il coefficiente di correlazione r di Pearson . . . . . . .
3.3 La regressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Il metodo dei minimi quadrati . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 L’errore nelle regressioni . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 La scelta della variabile indipendente . . . . . . . . . .
3.3.4 Scarti quadratici e pendenza delle rette di regressione
3.4 Connessioni e contingenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Connessione tra due mutabili . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Connessioni tra una mutabile ed una variabile . . . .
3.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Test formativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
4.1 Statistica monovariata (80 minuti) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Regressione e correlazione (80 minuti) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
52
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53
5 Esercizi di approfondimento
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
Radioattività e cinghiali . . . . . . . . .
Un fantoccio ai raggi X . . . . . . . . .
Dosimetri in una centrale nucleare . .
Impianti di riscaldamento in Svizzera
Turismo e pernottamenti in Svizzera .
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Capitolo 1
Statistica monovariata
1.1 Scheda introduttiva
Nell’esperienza quotidiana siamo posti di fronte a molteplici decisioni da prendere: per esempio
decidere come investire i nostri risparmi, se acquistare un’automobile in contanti o a leasing, ...
Mentre alcune scelte vengono basate su un semplice ragionamento logico, altre richiedono la disponibilità di precise informazioni e la capacità di interpretarle correttamente. Per prendere decisioni
corrette è necessario disporre dei dati relativi alla scelta da compiere: ma i dati grezzi spesso non
ci rivelano immediatamente il loro vero significato.
La statistica è uno strumento fondamentale per il supporto alle decisioni, in ogni settore applicativo.
Non basta infatti disporre di semplici dati per fare le scelte giuste: i dati vanno raccolti, analizzati
ed elaborati con strumenti adatti (per esempio tabelle e grafici). Essi vanno poi interpretati e
valutati con gli opportuni metodi statistici.
Dati +
Metodi statistici
=
Informazioni
1.1.1 Come si svolge un’indagine statistica
1. Definire un tema (situazione, problema,...). Individuare con precisione l’obiettivo che l’indagine si propone di raggiungere, definendo con accuratezza i termini del problema a cui
bisogna dare risposta (per esempio: analizzare l’afflusso di clienti in un negozio secondo gli
orari per determinarne in seguito l’orario di apertura/chiusura e la presenza di personale in
certe fasce orarie; il legame tra produzione industriale e consumo di energia elettrica).
2. Definire le variabili che ci interessano in maniera da poter individuare, senza possibilità di
equivoco, i valori che esse assumono nelle singole unità.
3. Fissare metodi (su tutta la popolazione / su un campione), mezzi (interviste, questionari,
misurazioni, osservazioni, ...) e tempi entro i quali effettuare il rilevamento e l’elaborazione
dei dati.
4. Rilevazione dei dati secondo il piano di lavoro deciso.
5. Spoglio dei dati e loro sistemazione in forme di facile lettura quali tabelle e grafici.
6. Elaborazione dei dati: mediante osservazione grafica ed operazioni matematiche si sintetizzano i risultati e si dà un’idea concreta della ripartizione dei caratteri rilevati. Analisi dei
dati tramite:
•
indici di centralità: media (media ponderata), mediana, moda
•
indici di dispersione e distribuzione: campo di variazione, scarto quadratico medio,
quartili, percentili.
5
6
Statistica monovariata
7. Interpretare i dati dando un giudizio di merito sul significato dei risultati utile per sviluppare
nuovi approfondimenti ed ipotesi.
1.2 La statistica induttiva e la statistica descrittiva
Immagina di parlare con uno sconosciuto e di raccogliere informazioni sulle sue abitudini, sui
suoi gusti, sul suo stato di salute. Potresti dedurre un ritratto significativo di questa persona.
Se raccogliessi le stesse informazioni per un gruppo di persone, diciamo mille, e ti accorgessi che
alcune risposte si assomigliano e altre differiscono completamente le une dalle altre, cosa potresti
dedurne? Potresti fare, in qualche modo, un ritratto di gruppo?
A volte anche molte informazioni possono essere inutili, se non sono ben organizzate. In tal caso può
essere utile raggruppare e sintetizzare i dati: in questo modo si rinuncia a parte dell’informazione
che essi contengono, ma si guadagna in leggibilità e facilità di interpretazione. In particolare si
possono elaborare tanti dati relativi a individui singoli per trarne informazioni sulla popolazione
nel suo complesso. A seconda poi di come questi dati vengono raggruppati è possibile studiare
aspetti diversi del problema in esame.
La statistica si occupa proprio dei modi di raccogliere e analizzare dati relativi a un certo gruppo di
persone (gli studenti di una scuola, gli abitanti di un quartiere, gli elettori di una regione, ...) o di
oggetti (le automobili, i dischi, i libri, ...), per trarne conclusioni e fare previsioni. Il gruppo preso
in considerazione viene anche detto popolazione. Spesso viene presa in esame soltanto una parte
della popolazione, detta campione, scelta in modo che rappresenti l’intero gruppo. Per esempio,
per conoscere il parere dei telespettatori su un certo programma, si può intervistare soltanto un
piccolo numero di essi, che si ritenga però un campione rappresentativo. Dalle osservazioni relative
al campione possono essere tratte conclusioni valide per tutta la popolazione. I metodi per ottenere
risultati soddisfacenti in questo delicato procedimento di passaggio dal campione alla popolazione
sono studiati da quella parte della statistica detta statistica induttiva (o inferenza statistica).
In questa prima scheda ci limiteremo a studiare alcuni degli strumenti matematici utilizzati per
descrivere i dati relativi a un certo gruppo (in questo caso si parla di statistica descrittiva) lasciando
a schede successive la parte inferenziale.
1.2.1 I caratteri qualitativi e i caratteri quantitativi
Gli elementi di una popolazione si chiamano anche unità statistiche. È possibile studiare diverse
caratteristiche di tali unità e ogni caratteristica rappresenta un carattere della popolazione. I
caratteri possono essere di due tipi:
•
qualitativi se vengono descritti con parole
•
quantitativi se invece vengono descritti mediante numeri.
Per esempio, se scegliamo come unità statistiche gli studenti di una scuola, alcuni caratteri qualitativi sono il sesso, il paese di provenienza, il mezzo di trasporto usato per raggiungere la scuola;
sono invece caratteri quantitativi l’età, il peso, la statura. Ogni carattere viene descritto mediante
le modalità con cui esso si può manifestare.
Esempio 1.1. Caratteri e modalità
1. Il carattere sesso ha due modalità: maschile e femminile;
1.3 Le tabelle di frequenza
7
2. Il carattere mezzo di trasporto ha più modalità: treno, autobus, motorino, ...
3. Anche il carattere età ha più modalità: 14, 15, 16, ... (se espresso in anni).
1.2.2 Dai censimenti ai sondaggi d’opinione
L’utilizzo di dati statistici per ottenere informazioni utili per il governo degli stati, quali il numero
di abitanti, di soldati, di addetti ai vari mestieri, ecc. risale ai popoli antichi, in particolare ai Cinesi
e agli Egizi. Nella Bibbia sono descritti più censimenti fra gli Ebrei, tra i quali il più noto è quello
di Mosè nel deserto del Sinai. Anche i Romani fecero diversi censimenti: famoso quello durante il
quale nacque Gesù.
Un passo avanti nell’elaborazione statistica si ebbe in Inghilterra, intorno alla metà del 1600,
con l’ “aritmetica politica”, principalmente a opera del matematico John Graunt. A causa delle
pestilenze, a Londra venivano pubblicate settimanalmente le liste delle morti e quelle delle nascite.
Graunt utilizzò quel materiale osservando, attraverso il calcolo di percentuali, regolarità quali il
maggior numero di nascite maschili rispetto a quelle femminili, il legame fra suicidi e professioni,
la diminuzione delle nascite nei periodi di carestia. Era la prima volta che venivano cercate delle
relazioni tra i dati raccolti.
Un ulteriore momento importante nella storia della statistica si ebbe quando, nell’Ottocento, si
trovò un collegamento con la probabilità.
Infine è dell’ultimo secolo uno sviluppo sempre più ampio della statistica come scienza matematica
a sé stante. L’applicazione di tale scienza, mediante indagini a campione, investe i campi più
svariati, dai fenomeni sociali a quelli meteorologici.
1.3 Le tabelle di frequenza
1.3.1 Frequenza assoluta e relativa
Esempio 1.2. In un questionario abbiamo chiesto ai 28 studenti di una classe di indicare con le
seguenti lettere i mezzi di trasporto con cui vengono di solito a scuola
A: automobile;
P: a piedi;
M: mezzi pubblici (autobus,treno,battello,ecc);
T: treno;
C: bicicletta.
Abbiamo ottenuto i seguenti risultati:
A, M, M, M, P, A, M, M, P, M, C, A, M, M, M, C, P, M, M, C, C, A, M, M, M, M, A, C, B, B
Dalla lettura di questa sequenza, è difficile trarre informazioni, perché i risultati si susseguono in
modo disordinato.
Costruiamo allora una tabella, dove nella prima colonna mettiamo le diverse modalità. percorriamo
poi la sequenza dei risultati facendo un segno, per esempio una barra /, di fianco alle diverse
modalità ogni volta che esse si verificano. Alla fine contiamo il numero di segni per ogni modalità e
8
Statistica monovariata
lo scriviamo nella terza colonna. Tale numero rappresenta la frequenza della modalità considerata.
L’automobile ha una frequenza 5, la bicicletta una frequenza 7 e così via.
Nota 1.3. Spesso la frequenza prende il nome di frequenza assoluta.
Modalità
Automobile
Occorrenze
Frequenza
/////
5
///
3
Mezzi pubblici ///// ///// /////
15
A piedi
Bicicletta
///// //
Totale
7
30
Tabella 1.1. Distribuzione di frequenza delle modalità
Più spesso interessa il valore della frequenza confrontato con il numero totale delle unità statistiche.
Infatti siamo in situazioni diverse se, per esempio, la frequenza di una modalità è 5 rispetto a
un totale di 30 o se, invece, è 5 rispetto a un totale di 300. Per questo motivo viene calcolata la
frequenza relativa, di cui diamo la definizione.
Definizione 1.4. La frequenza relativa di una modalità è il quoziente fra la frequenza della
modalità e il numero totale delle unità statistiche.
frequenza relativa =
frequenza assoluta
totale delle frequenze
(1.1)
Nell’esempio precedente la frequenza della modalità automobile è 5, ossia 5 studenti su 30 sono
accompagnati in automobile; pertanto la frequenza relativa è:
fA =
5
1
= F 0.167
30 6
(1.2)
La frequenza relativa può essere espressa anche in percentuale, moltiplicandola per 100: la frequenza percentuale della modalità a piedi è il 10%. Questo significa che, in una distribuzione con
le stesse caratteristiche di quella data, su un campione di 100 studenti 10 verrebbero a piedi.
Modalità
Frequenza Frequenza relativa Frequenza relativa percentuale
Automobile
5
A piedi
3
Mezzi pubblici
15
Bicicletta
7
Totale
30
1
6
1
10
16.7%
1
2
7
30
50%
1
10%
23.3%
100%
Tabella 1.2. Le frequenze relative del problema introduttivo
Nota 1.5. La somma delle frequenza relative alle diverse modalità è 1, e in percentuale è 100%.
9
1.4 Le classi di frequenza
Nota 1.6. Si noti che la frequenza relativa (e anche quella percentuale) possono anche essere
interpretate come probabilità frequentiste1.1. Riferendosi all’esempio precedente si potrebbe per
esempio affermare che, in base al rilevamento eseguito, la probabilità che uno studente si rechi
a scuola con i mezzi pubblici è pari al 0.5 (50%). Chiaramente per avere valori di probabilità
attendibili è necessario che l’indagine statistica sia svolta su un ampia raccolta dei dati.
1.3.2 Frequenza cumulata
Per affrontare al questione della frequenza cumulata è necessario prendere in considerazione un
esempio in cui le modalità siano quantitative (scalari), in modo tale che ci possa essere un ordine
logico crescente dei dati. A tal proposito si osservi l’esempio sottostante.
Esempio 1.7. Sono state intervistate 30 famiglie con figli di un certo quartiere e i risultati sono
stati riportati nella tabella seguente:
N di figli per famiglia Frequenza Fr. relativa percentuale Fr. cumulata percentuale
1
12
40%
40%
2
9
30%
70%
3
6
20%
90%
>3
3
10%
100%
Tabella 1.3. Dati delle interviste alle famiglie, da completare
Definizione 1.8. La frequenza cumulata è la somma della frequenza del singolo dato e delle
frequenze dei dati che lo precedono nell’ordine.
Si noti come la frequenza cumulata è pari alla frequenza della singola modalità, sommata con la
frequenza di tutte le modalità che la precedono. Coi i dati ordinati in modo crescente l’algoritmo
di calcolo della frequenza cumulata prevede di sommare la frequenza della singola modalità con la
frequenza cumulata della modalità precedente (v. tabella 1.3)
1.4 Le classi di frequenza
1.4.1 Suddivisione dei dati in classi
Spesso in un’indagine statistica succede che le singole modalità con cui i dati possono apparire
sono molto numerose e di conseguenza le frequenze per le singole modalità hanno valori molto
bassi o nulli. Questa situazione è tipica quando si prendono in considerazione dati provenienti da
misurazioni precise. Si osservi qui l’esempio di due gruppi di ragazze in un’attività di educazione
fisica che svolgono un test di salto in lungo con partenza da fermo.
Esempio 1.9. Dati del test di salto in lungo in due gruppi di educazione fisica
1.1. Per le definizioni della probabilità classica e di quella frequentista si rimanda alla relativa pagina di wikipedia
(https://it.wikipedia.org/wiki/Probabilità) o a specifici testi di approfondimento.
10
Statistica monovariata
1.36
1.61
1.85
1.36
1.62
1.86
1.46
1.65
1.88
1.30
1.64
1.84
1.46
1.65
1.90
1.45
1.72
1.95
1.50
1.67
1.94
1.48
1.73
1.95
1.53
1.67
2.12
1.58
1.74
2.16
1.54
1.75
1.62
1.75
1.60
1.78
1.62
1.78
Tabella 1.4. Gruppo A
Tabella 1.5. Gruppo B
In casi come questo è utile raggruppare le frequenze in classi, determinando la frequenza di ogni
classe. Nella tabella seguente consideriamo cinque classi.
Classe (min. - max.) Valore centrale Fr. assol. Fr. rel. % Fr. cumul. Fr cumul. %
1.20 - 1.40
1.30
2
9%
2
9%
1.40 - 1.60
1.50
5
23 %
7
32 %
1.60 - 1.80
1.70
9
40 %
16
72 %
1.80 - 2.00
1.90
5
23 %
21
95 %
2.00 - 2.20
2.10
1
5%
22
100 %
Tabella 1.6. Gruppo A: salti organizzati per classi
Il raggruppamento in classi fornisce meno informazioni (per esempio, non sappiamo quanto valgono
esattamente i 6 salti compresi fra 1.40 e 1.60), però fornisce una sintesi più leggibile della prova.
1.4.1.1 Note e definizioni sulla suddivisione in classi
Nota 1.10. Per costruire la tabella si determinano innanzitutto il campo di variazione dei dati
calcolando la differenza tra il valore massimo e quello minimo.
Nota 1.11. Si determina il numero di classi prendendo un numero intero che si avvicina alla radice
quadrata del numero di dati da classificare.
Numero di classi F
√
Numero di dati
(1.3)
Nota 1.12. Si calcola l’ampiezza di una singola classe (indicativamente) dividendo il campo di
variazione per il numero di classi. Poi occorre arrotondare questo risultato ad un valore comodo. A
questo punto si può iniziare a definire i minimi ed i massimi delle singole classi e successivamente
si classificano i dati.
Nota 1.13. Di solito l’estremo inferiore di ciascuna classe viene considerato incluso dalla classe,
mentre quello superiore è escluso. Per esempio, nella Tabella 5, il valore 1.60 è inserito nella classe
1.60 - 1.80 e non nella classe 1.40 - 1.60.
Definizione 1.14. L’ampiezza della classe è la differenza dei suoi estremi. Nell’esempio della
Tabella 7, la prima classe ha ampiezza 1,40 – 1,20 = 0,20. Solitamente le classi hanno tutte la
stessa ampiezza (possono fare eccezione la prima e l’ultima classe).
1.5 La rappresentazione grafica dei dati
11
Nota 1.15. È buona norma (ma non è obbligatorio) utilizzate classi di dimensione omogenee, cioè
con l’ampiezza uguale. Questo agevola la costruzione degli istogrammi. A volte vengono utilizzate
classi aperte per i limiti inferiori e superiori delle suddivisioni.
Definizione 1.16. Si chiama valore centrale la media tra gli estremi di ogni singola classe.
Nell’esempio della Tabella 7, la prima classe ha il proprio valore centrale pari a 1.30. Questo valore
risulterà molto importante per le successive operazioni di calcolo e di rappresentazione grafica.
1.20 + 1.40
= 1.30
2
(1.4)
Esercizio 1.1. Creare un’opportuna tabella delle frequenze per i salti del gruppo B elencati nella tabella 1.5
1.5 La rappresentazione grafica dei dati
I dati statistici e le loro frequenze si possono rappresentare graficamente. Esaminiamo in questo
paragrafo i tipi principali di rappresentazione grafica, riprendendo gli esempi del paragrafo precedente.
1.5.1 Diagramma a colonne e istogramma
Queste due rappresentazioni grafiche sono molto usate; sono apparentemente simili. In realtà se si
guardano attentamente ci sono differenze sostanziali.
Per il diagramma a colonne si tracciano rettangoli la cui altezza è definita dalla frequenza assoluta
(o anche relativa). La base del rettangolo non ha particolari vincoli, anche se solitamente sono
tutte con la stessa ampiezza. Con il diagramma a colonne si può dare una rappresentazione grafica
anche a dati che hanno modalità qualitative (Figura 1.1).
L’istogramma, al contrario del diagramma a colonne ha un vincolo molto più stretto. L’area
del rettangolo deve essere proporzionale alla frequenza. Per questo motivo è possibile costruire
un istogramma unicamente con dati che hanno modalità quantitative. Si riportano in un piano
cartesiano, sull’asse Ox i valori estremi delle classi (minimi e massimi) ottenendo così dei segmenti
le cui lunghezze rappresentano le ampiezze degli intervalli. Si disegnano poi dei rettangoli che
hanno per base tali segmenti e la cui area è proporzionale alla frequenza della classe. Per ottenere
la proporzionalità desiderata solitamente sull’asse O y non si riporta la frequenza ma il rapporto frequenza/ampiezza della classe (Figura 1.2). Nel caso particolare (ma comunque piuttosto frequente)
in cui le classi hanno tutte ampiezze uguali si può procedere riportando sull’asse O y semplicemente
la frequenza.
Figura 1.1. Diagramma a colonne Tabella 1.1
Figura 1.2. Istogramma Tabella 1.6
12
Statistica monovariata
La differenza tra diagramma a colonne ed istogramma diventa molto evidente quando le classi non
hanno ampiezza omogenea. A tal proposito si confrontino i grafici delle figure 1.3 e 1.4; entrambi
sono originati dalla stessa tabella 1.7 (i dati si riferiscono alla velocità dei veicoli registrata da un
radar su un tratto autostradale).
Velocità Frequenza Freq./Ampiezza
0 - 80
80
1
80 - 110
150
5
110 - 115
130
26
115 - 120
180
36
120 - 150
250
8.33
150 - 200
20
0.4
Tabella 1.7. Tabella con classi disomogenee
Figura 1.3. Diagramma a colonne della Tabella 1.7
Figura 1.4. Istogramma dei della Tabella 1.7
Si noti come la forma dei grafici differisci notevolmente. Il rettangolo più alto non è lo stesso;
corrisponde alla classe 120-150 per il diagramma a colonne, mentre per l’istogramma corrisponde
alla classe 115-120 (e vedremo più avanti che questa viene anche chiamata classe modale).
Definizione 1.17. Un istogramma è costituito da rettangoli costruiti nel piano cartesiano che
hanno le basi proporzionali alle ampiezze delle classi e le aree proporzionali alle frequenze.
Definizione 1.18. Un diagramma a colonne è costituito da rettangoli la cui altezza è proporzionale
alla frequenza. Non è necessario che siamo disegnati su un piano cartesiano; in effetti in orizzontale
si possono mettere etichette di qualsiasi tipo, anche modalità qualitative.
Nota 1.19. Istogramma deriva dai termini greci histos, che significa “trama” , “tela” , e gramma,
che significa “segno”.
Esercizio 1.2. Creare un diagramma a colonne ed un istogramma per i salti del gruppo B elencati nella tabella
1.5
1.5.2 Poligono delle frequenze
Il poligono delle frequenze viene tracciato in un piano cartesiano. Per le x si usano i valori centrali
delle classi, mentre per le y si riportano i rapporti frequenza/ampiezza oppure le frequenze. Può
anche essere sovrapposto all’istogramma (o al diagramma a colonne).
13
1.5 La rappresentazione grafica dei dati
Figura 1.5. Un diagramma a colonne con il suo poligono delle frequenze sovrapposto
Definizione 1.20. Se in un istogramma si congiungono i punti medi dei lati superiori dei rettangoli
(cioè i punti corrispondenti ai valori centrali delle classi) si ottiene una linea spezzata chiamata
anche poligono delle frequenze.
1.5.3 Areogramma o torta
Questo tipo grafico, detto anche diagramma circolare o diagramma a torta, è particolarmente
utile per rappresentare le frequenze relative percentuali. Viene usato sia per modalità qualitative,
sia per modalità quantitative. L’unico vincolo è che l’angolo degli spicchi di torta siano proporzionali alla frequenza relativa.
Definizione 1.21. Per costruire un areogramma un cerchio viene suddiviso in tanti settori circolari, ognuno dei quali corrisponde a una classe. L’angolo al centro del settore ha ampiezza
proporzionale alla frequenza relativa (percentuale).
Lunghezza salti [m]
1,20-1,40
1,40-1,60
1,60-1,80
1,80-2,00
2,00-2,20
Figura 1.6. Esempio di areogramma (Tabella 7)
Esempio 1.22. Consideriamo le frequenze relative percentuali della tabella 1.6 già utilizzata del
salto in lungo. Per determinare l’ampiezza x del settore corrispondente alla frequenza relativa della
seconda classe (23%) scriviamo la seguente proporzione:
x
23
360◦ · 23
=
quindi x =
= 82, 8◦
◦
360
100
100
(1.5)
14
Statistica monovariata
Esercizio 1.3. Creare un areogramma per i salti del gruppo B elencati nella tabella 1.5
1.5.4 Ogiva
L’ogiva è uno dei grafici più importanti nella statistica descrittiva. permette, una volta tracciato, di
determinare a colpo d’occhio parametri importanti che verranno presentati nei paragrafi successivi,
come la mediana ed i percentili. Per costruire l’ogiva si disegna un piano cartesiano, sull’asse Ox
si riportano i massimi delle classi, mentre sull’asse O y i relativi valori della frequenza cumulata
percentuale. Si noti come in tal modo la linea spezzata non partirebbe dal valore di 0% sull’asse O y.
E necessario aggiungere il punto iniziale, ipotizzando il massimo di una classe (fittizia) precedente
alla prima classe dei dati disponibili, al cui massimo si fa corrispondere ovviamente una frequenza
cumulata percentuale pari a 0%. L’esempio nella figura 1.7 riporta l’ogiva della tabella 1.6. Il punto
iniziale (1.20, 0%) corrisponde alla classe 1.00 - 1.20 non presente perché vuota.
Figura 1.7. Ogiva dei dati della Tabella 7
Definizione 1.23. Un grafico che mostri la frequenza cumulata passando per i confini superiori
delle classi è detto poligono di frequenze cumulate o ogiva.
1.6 Gli indici di posizione centrale
1.6.1 Introduzione
Esistono dei valori che aiutano a riassumere e rappresentare un insieme di dati. Essi ci permettono
di dedurre le caratteristiche di una situazione statistica e di confrontare tra loro diverse situazioni.
Tali valori rappresentativi si trovano in corrispondenza delle posizioni centrali, cioè cadono in
mezzo, all’interno dell’insieme di dati. Sembra strano parlare in modo cosi generico di ciò che
viene comunemente chiamato “media”. Tuttavia il concetto di “centro dei dati” ha varie possibili
realizzazioni; l’unica che è molto nota al di fuori dell’ambito statistico è la media aritmetica. Nei
limiti di questo corso di statistica vedremo almeno tre tipo diversi di centralità: media, mediana e
moda. Per la prima (media) esistono poi vari tipologie, alcune delle quali saranno qui trattate.
15
1.6 Gli indici di posizione centrale
1.6.2 La media aritmetica
Supponiamo di voler confrontare i risultati delle prove di salto in lungo del gruppo A (tabella 1.4)
con quelli del gruppo B (tabella 1.5)
Affiancando le tabelle delle frequenze dei due gruppi (tabella 1.8), scopriamo che non è facile
stabilire se la prova è andata meglio per il gruppo A o per il gruppo B.
Classe
Fr. gruppo B Fr. gruppo A
1.20-1.40
1
2
1.40-1.60
3
5
1.60-1.80
8
9
1.80-2.00
3
5
2.00-2.20
1
1
Tabella 1.8. Confronto delle frequenze
Calcolando invece la media aritmetica relativa ai due gruppi di dati otteniamo un’informazione
sintetica della distribuzione dei dati. Procedendo in maniera piuttosto intuitiva al calcolo della
media (tecnicamente si tratta della media aritmetica) si può procedere con un confronto.
La media del gruppo A del salto in lungo è:
X̄A =
1.36 + 1.46 + 1.62 + . + 1.78 + 2.12 + 1.86
F 1.671
22
(1.6)
Quella del gruppo B invece:
X̄ B =
1.95 + 2.16 + 1.95 + . + 1.45 + 1.73 + 1.48
F 1, 706
16
(1.7)
Poiché MB > MA possiamo dire che le studentesse del gruppo B hanno mediamente saltato meglio
di quelle del gruppo A.
Definizione 1.24. La media aritmetica simbolizzata con M oppure con X̄ di n numeri
X1, X2, , Xn è il quoziente tra la loro somma e il numero n.
X + X2 + + Xn
X̄ = 1
=
n
n
P
Xj
j =1
n
(1.8)
Nell’esempio precedente abbiamo utilizzato la media come valore di sintesi, ossia come un valore
che riassume una caratteristica di un insieme di dati. Inoltre possiamo notare che, in questi esempi,
la media si trova proprio nella zona della distribuzione dove si addensano maggiormente i risultati.
Quando un valore di sintesi ha questa proprietà diciamo che è un buon indice di posizione
centrale. Come vedremo, non sempre la media è un buon indice di posizione centrale.
1.6.3 La media ponderata e la media per classi
Consideriamo la seguente tabella, relativa ai voti assegnati ad un lavoro scritto di matematica di
una classe ottenuti in un compito e calcoliamo la media (tabella 1.9).
16
Statistica monovariata
Voti X j Frequenza fj fj × X j Frequenza relativa
3
2
6
9%
3.5
7
24.5
32 %
4
8
32
36 %
4.5
3
13.5
14 %
5
2
10
9%
Tabella 1.9. Media ponderata, esempio
X̄ =
3 + 3 + 3.5 + 3.5 + 3.5 + 3.5 + 3.5 + 3.5 + 3.5 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4.5 + 4.5 + 4.5 + 5 + 5
= F 3.91
22
(1.9)
Utilizzando le frequenze si può anche scrivere nel seguente modo:
X̄ =
3 × 2 + 3.5 × 7 + 4 × 8 + 4.5 × 3 + 5 × 2
F 3.91
2+7+8+3+2
(1.10)
Le frequenze rappresentano i diversi "pesi" che devono avere i singoli voti nel calcolo della media.
Più grande è la frequenza di un voto, maggiore è l’influenza che esso ha sul valore medio. La media
calcolata in questo modo può essere considerata come caso particolare di un più generale tipo di
media, chiamata media ponderata.
Definizione 1.25. Dati i numeri X1, X2, , Xn e associati ad essi i numeri w1, w2, , wn detti pesi
chiamiamo media aritmetica ponderata X̄ il quoziente fra la somma dei prodotti dei numeri
per i loro pesi e la somma dei pesi stessi.
X̄ =
w1X1 + w2X2 + + wnXn
=
w1 + w2 + + wn
n
P
w jX j
j=1
n
P
(1.11)
wj
j =1
Nota 1.26. La media aritmetica può essere considerata un caso particolare di media ponderata
in cui tutti i pesi sono uguali a 1.
Esercizio 1.4. Se durante l’anno scolastico nelle prove scritte di una data materia si sono ottenute le seguenti
note: 4.5; 5.3; 4.1. Ciascuna delle note ha fattore di ponderazione 1. In una prova finale di maggio si ottiene la
nota 5.7 e questa ha fattore di ponderazione 2. Si calcoli la media prima e dopo la prova finale, considerando i
fattori di ponderazione.
Si osserverà che il calcolo della media nell’esempio intuitivo introdotto precedentemente con le classi
dei salti ha una grossa familiarità con la formula del calcolo per la media ponderata. In effetti è
così. Infatti nel caso in cui si avessero a disposizione unicamente dati organizzati in classi la media
può essere calcolata con la formula sottostante in cui i pesi w j sono sostituiti dalle frequenze fj e
i valori X j nello specifico sono i valori centrali delle classi.
X̄ =
f1X1 + f2X2 + + fnXn
=
f1 + f2 + + fn
n
P
j =1
n
P
f jX j
(1.12)
fj
j=1
Esercizio 1.5. Si calcoli la media ponderata usando i dati della Tabella 1.6 e si confronti il risultato con il
calcolo già svolto della media aritmetica.
17
1.6 Gli indici di posizione centrale
1.6.4 La mediana
Abbiamo già detto che la media non è sempre un buon indice di posizione centrale. A dimostrazione
di tale fatto analizziamo l’esempio qui riportato.
Esempio 1.27. Ecco sette valori. Si tratta delle età in anni dei componenti di una comitiva. Se
si osservano si avrà l’impressione di aver di fronte un gruppo di bambini guidati da un adulto (ad
esempio un gruppo sportivo con l’allenatore):
12
8
7
9
10
4
55
Calcolandone la media aritmetica si ottiene il seguente risultato:
X̄ =
8 + 12 + 7 + 9 + 4 + 10 + 55
= 15
7
(1.13)
Con una media si è tentati di pensare ad una comitiva di adolescenti la cui età media è 15 anni;
succede perché in questo caso la media non è un buon indice di posizione centrale in quanto tutti i
valori, tranne il 55, sono minori di 15. È proprio la presenza dell’età di 55 anni, molto maggiore a
quella degli altri, che "sposta" il valore medio rispetto alla posizione centrale. In queste situazioni
si preferisce utilizzare un indice di posizione diverso, chiamato mediana, la cui determinazione
avviene, dopo aver ordinato in modo crescente i dati, nel modo indicato nella figura 1.8 :
Figura 1.8. Schema per la determinazione della mediana per una serie pari o dispari di valori
Pertanto nell’esempio 1.27 la mediana risulta essere 9. Questo dato ci restituisce un’immagine della
comitiva un po più realistica di quanto ottenuto con la media.
Esempio 1.28. Cerchiamo, per esempio, la mediana dei seguenti otto valori di eta di un’altra
comitiva:
36
22
41
8
33
46
38
44
Nel caso in cui il numero di dati fosse pari, come nell’esempio 1.28 dopo aver ordinato i dati si
procederebbe al calcolo della media dei valori centrali, come mostrato nella seconda parte della
Figura 1.8, ottenendo il valore pari a 37.
18
Statistica monovariata
Definizione 1.29. Data la sequenza ordinata di n numeri X1, X2, , Xn la mediana è: il valore
centrale, se n è dispari; la media aritmetica dei due valori centrali, se n è pari. Pertanto:
•
Si sceglie il dato centrale se i dati sono dispari.
•
Si sceglie la media tra i due valori centrali se i dati sono pari.
Nota 1.30. La mediana di una sequenza di numeri suddivide la sequenza in due gruppi contenenti
lo stesso numero di elementi.
1.6.5 La classe mediana
Per determinare la classe mediana di dati organizzati in classi bisogna determinare innanzitutto le
frequenze cumulate e poi determinare in quale classe si trova la frequenza che è pari alla metà del
totale delle frequenze (50% della frequenza cumulata percentuale). Si osservi la Tabella 1.10 relativa
al numero di prove scritte e/o orali accumulate da un gruppo di studenti durante un semestre.
N. di prove Fr. ass. Fr. cumul. Fr. cumul %
1
2
2
6.67
2
8
10
33.33
3
12
22
73.33
4
6
28
93.33
5
2
30
100%
Tabella 1.10. Numero di prove con nota per una classe di studenti
Osservando la frequenza cumulate si vede che il 50% è inserito sicuramente nella terza classe (dal
33.33 al 73.33 %). Quindi la classe corrispondente a 3 prove scritte è la classe mediana di questa
distribuzione di frequenze.
1.6.6 La mediana per classi
Ci sono situazioni in cui si vuole ricavare la mediana ma è unicamente disponibile una tabella delle
frequenza. In tal caso esiste una specifica formula (1.14) che permette di estrapolare una stima
della mediana dai dati della tabella delle frequenze. Tale stima corrisponde esattamente alla lettura
grafica della corrispondente ogiva. Per esempio riferendosi alla Tabella 1.6 del salto in lungo si può
calcolare la mediana applicando la seguente formula:
M = L1 +
N
2
!
P
− ( f )1
·c
fmediana
In cui si ha la seguente simbologia:
L1 = confine inferiore della classe mediana
N = frequenza totale
X
(
f )1 = Somma delle frequenze di tutte le classi inferiori alla classe mediana
fmediana = frequenza della classe mediana
c = ampiezza della classe mediana
(1.14)
19
1.6 Gli indici di posizione centrale
Nella fattispecie si ha che la classe mediana è quella con l’intervallo 1.60 - 1.80. Quindi sostituendo
nella formula 1.14 proposta nella Tabella 1.11 si ha:
M = 1.60 +
22
2
−7
9
!
· 0.2 F 1.6889
(1.15)
1.6.7 I percentili
Per estensione, modificando leggermente la formula della mediana per classi si può calcolare un
qualsiasi valore percentuale all’interno dei dati, determinando quanto verrebbe letto dall’ogiva (vedi
Figura 1.7). In questo caso P corrisponde al percentile1.2. Chiaramente bisogna per ogni calcolo
determinare qual è la classe di riferimento.
M = L1 +
P
N
100
!
P
− ( f )1
fmediana
(1.16)
·c
Esercizio 1.6. Determinate il 35◦ e il 60◦ percentile (P35 eP60) della distribuzione della Tabella 1.6.
Esercizio 1.7. Leggere e verificare col calcolo P20 e P85 della distribuzione della Tabella 1.6.
1.6.8 La moda
Immaginiamo di dover rilevare, su una popolazione di bambini in un asilo, qual è il colore dei capelli
dominante. Trattandosi di una variabile statistica qualitativa e non quantitativa non è possibile
né calcolare la media aritmetica, né individuare una mediana (le modalità non sono ordinabili con
un criterio oggettivo). Bisogna quindi utilizzare un altro indice di posizione chiamato moda. La
moda può comunque essere essere determinata anche su dati quantitativi.
Definizione 1.31. Date una serie di modalità o di valori si chiama moda quel valore o quella
modalità a cui corrisponde la frequenza massima.
Figura 1.9. Un esempio di determinazione della moda tra una serie di valori
Considerando i seguenti valori:
3
8
2
3
5
1
7
3
5
3
15
10
2
3
12
4
per determinare la moda si procede innanzitutto ad ordinarli (in senso crescente):
1
2
2
3
3
3
3
3
4
5
5
7
8
10
12
15
Osserviamo che il 3 ha una frequenza molto maggiore (appare 5 volte) rispetto agli altri e vicino
al 3 si trovano molti degli altri valori presenti. In questo caso la moda di questo insieme di valori è 3.
1.2. Per una discussione sulle formule di calcolo per i percentili sui dati grezzi (ci varie alternative non universalmente
accettate) si rimanda all’apposita pagina di wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Percentile
20
Statistica monovariata
La moda indica il valore più “presente” nella distribuzione. Ci sono serie di dati che hanno più di
una moda. Consideriamo, per esempio, i risultati di un compito in classe (Tabella 1.11).
voti
3 3.5 4 4.5 5
frequenza 2
9
3
9
1
Tabella 1.11. Distribuzione dei voti in un compito in classe
La distribuzione risulta bimodale, avendo per moda sia 3.5 sia 4.5. Ciò significa che nella classe si
possono distinguere due gruppi di studenti: uno ha ben compreso gli argomenti del compito, l’altro
ha bisogno di studiarli ancora! Tale fenomeno è particolarmente visibile creando tracciando gli
istogrammi. Se in un istogramma sono presenti più massimi a ciascun massimo sarà assegnato un
valore modale. È anche chiaro che è possibile che i due massimi non abbiano frequenze uguali.
Figura 1.10. Istogramma della tabella 1.11
Figura 1.11. Esempio bimodale (o forse trimodale)
Questo tipo di informazione (bi-modalità della dati nella Tabella 1.11) sarebbe andato perso se
avessimo riassunto i risultati del compito con la media o la mediana, che, come puoi verificare,
valgono entrambe 6. Nei casi in cui si presentano modalità multiple è anche il caso di discutere
dettagliatamente l’eventualità di poterle separare individuando i relativi sottogruppi. Ad esempio
nel caso di valori ematici ci potrebbe essere la distinzione tra persone sane e persone con una data
patologia (v. figura 1.11); questo per poter poi avere degli indici di centralità e di dispersione più
sensati.
1.6.9 Quando e quale indicatore di posizione centrale usare?
E’ opportuno usare:
•
la media aritmetica quando si stanno studiando delle quantità che si modificano in modo
lineare (quando non ci sono valori "anomali" cioè o troppo grandi o troppo piccoli);
•
la moda quando si vuole evidenziare la caratteristica più diffusa;
•
la mediana quando è necessario conoscere il valore centrale, quello che divide a metà i dati
raccolti, oppure quando ci sono dei valori "anomali" e non ci si vuol fare influenzare da
questi.
Si tratterà di volta in volta di scegliere la grandezza più significativa. Ma vediamo subito un
esempio. I salari mensili di una fabbrica sono rappresentati mediante la seguente tabella:
21
1.7 Gli indici di variabilità (o di dispersione)
Paga mensile in CHF Nř di persone che la ricevono
43’000
1 (il proprietario)
14’400
1
9’500
2
5’600
3
5’200
19
4’500
22
4’200
2
Tabella 1.12. Esempio con dati disomogenei
Calcoliamo ora i vari indici di posizione centrale studiati:
Media aritmetica = 5’988 CHF
Mediana = 5’200 CHF
Moda = 4’500 CHF
Cosa possiamo dedurre da queste informazioni?
•
La media aritmetica ci dice che se il denaro fosse distribuito equamente (cioè in modo che
ognuno ricevesse la stessa somma) ciascun dipendente avrebbe diritto a 5’988 CHF al mese.
In questo caso, però, la media non è un buon indice di posizione centrale perché il salario
del proprietario è un valore anomalo.
•
La mediana ci indica che circa la metà degli impiegati ricevono un salario di 5’200 CHF e
l’altra metà di più. Non ci indica però quanto di più o quanto di meno rispetto ai 5’200 CHF.
•
La moda ci dice che la paga mensile più comune è di 4’500 CHF.
L’esempio ora dato ci mostra che media, mediana e moda rappresentano cose diverse.
Quindi se siete il proprietario della fabbrica e volete fare buona pubblicità alla vostra azienda
utilizzerete la media aritmetica e direte: "Lo stipendio medio dei miei dipendenti è di ben 5’988
CHF mensili".
Se invece rappresentate i lavoratori all’interno di un sindacato utilizzerete la moda e potrete dire:
"Lo stipendio modale all’interno di questa fabbrica è di soli 4’500 CHF mensili!".
Ecco un piccolo esempio che vi mostra come la statistica può "mentire" se usata impropriamente!
1.7 Gli indici di variabilità (o di dispersione)
1.7.1 Introduzione
Oltre che i valori centrali, la statistica studia come i diversi dati si situano intorno ai valori medi,
quanto sono distanti, cioè quanto si disperdono o al contrario quanto sono vicini, cioè quanto si
raccolgono attorno ad essi. Consideriamo le due sequenze di valori:
a)
12
24
32
43
56
74
88
b)
42
43
44
46
49
52
53
22
Statistica monovariata
Esse sono costituite dallo stesso numero di valori e, per entrambe, la media è 47. Tuttavia la distribuzione dei valori intorno al valore medio 47 è diversa per le due sequenze: i valori della seconda
sequenza sono più vicini al valore medio, mentre quelli della prima sono più sparsi. In statistica,
per indicare questo fatto, si dice che le due sequenze hanno diversa dispersione o variabilità.
Per misurare la variabilità si usano degli indici di variabilità quali il campo di variazione, lo
scarto quadratico medio e lo scarto interquartile.
1.7.2 Il campo di variazione
Definizione 1.32. Il campo di variazione di una sequenza di numeri, ordinati in modo crescente,
è la differenza fra il numero maggiore e il minore.
Nella sequenza a) il campo di variazione è 88 − 12 = 76, nella sequenza b) è 53 − 42 = 11.
Una misura della dispersione che elimini l’inconveniente dato dal campo di variazione che non riesce
a descrivere come si distribuiscono i dati che si trovano fra il minimo ed il massimo. Si osservi
come nella Figura 1.12 i dati in rosso ed in verde hanno il campo di variazione molto simile, pur
avendo globalmente delle dispersioni molto diverse.
Figura 1.12. Rappresentazione schematica di tre insiemi di dati con il relativo campo di variazione
1.7.3 I quartili e lo scarto interquartile
Si può cominciare col valutare la dispersione intorno alla mediana M grazie allo scarto interquartile.
Il calcolo dei quartili in realtà è abbastanza complicato ma noi ci restringeremo a dei semplici
esempi.
Definizione 1.33. Come la mediana divide la serie statistica in due parti di uguale importanza,
i quartili sono valori della variabile statistica che dividono la serie in quattro gruppi di uguale
importanza.
Si indica con:
•
Q1 - il primo quartile o quartile inferiore
•
Q2 - il secondo quartile che coincide con la mediana
•
Q3 - il terzo quartile o quartile superiore
•
Q3 − Q1 è detto scarto interquartile
Esempio 1.34. Riportiamo i voti del compito di matematica in una classe di 25 alunni:
•
ragazze: 3
3.25
3.5
3.5
4
4
4.25
4.25
4.5
4.5
23
1.7 Gli indici di variabilità (o di dispersione)
•
ragazzi: 2.5
2.5
3
3
3
3
3
4
4
4
5
5
5
5.5
5.5
I voti delle ragazze e dei ragazzi hanno lo stesso andamento? Questi dati possono essere esaminati
con i procedimenti mostrati in precedenza. Si può considerare:
•
la rappresentazione grafica con due istogrammi
•
la media, che in entrambi i casi vale circa 3.8
•
la mediana, che in entrambi i casi è 4
Noi vogliamo valutare la dispersione dei dati intorno alla mediana.
Consideriamo i voti delle ragazze, in questo caso abbiamo un numero pari di dati e quindi la
mediana risulta essere il valore medio fra i due dati centrali
3.25
3
3.5
3.5
4
4.25
4
4.25
4.5
4.5
Con la procedura di determinazione della mediana (che è 4), si ottengono i due sottoinsiemi di dati
seguenti:
a) 3
3.25
3.5
3.5
4
b) 4
4.25
4.25
4.5
4.5
Di ciascuna di questi due insiemi si può di nuovo calcolare la mediana (quindi la mediana della
mediana) individuando:
−
nel primo gruppo il dato 3.5;
−
nel secondo gruppo il dato 4.25.
In questo modo i dati vengono suddivisi in quattro parti ugualmente numerose per questo i valori
prima individuati prendono i seguenti nomi:
Q1 = 3.5
Q3 = 4.25
Q2 = M = 4
Calcoliamo ora lo scarto interquartile:
Q3 − Q1 = 4.25−3.5 = 0.75
(1.17)
Valutiamo ora i quartili e la differenza interquartile relativi ai voti dei ragazzi, in questo caso
abbiamo un numero dispari di dati e la mediana risulta quindi essere il dato centrale evidenziato
in grassetto:
2.5
2.5
3
3
3
3
3
4
4
4
5
5
5
Abbiamo quindi i dati suddivisi in due insiemi ugualmente numerosi:
a) 2.5
b) 4
4
2.5
3
3
3
5
5
5
5.5
3
3
5.5
Di ciascuna di queste parti si può di nuovo calcolare la mediana, individuando:
−
nel primo gruppo il dato 3;
−
nel secondo gruppo il dato 5.
5.5
5.5
24
Statistica monovariata
Si trova allora:
Q1 = 3
Q2 = M = 4
Q3 = 5
Calcoliamo ora lo scarto interquartile:
Q3 − Q1 = 5 − 3 = 2
(1.18)
Lo scarto interquartile dei voti delle ragazze (0.75) è minore di quello dei ragazzi (2), si può così
concludere che i voti delle ragazze sono meno dispersi attorno alla mediana rispetto a quelli dei
ragazzi.
Nella Figura 1.13 si vede come lo scarto interquartile riesce a differenziare meglio la situazione
schematica con tre diverse tipologie di dati proposta nella precedente Figura 1.12.
Figura 1.13. Rappresentazione schematica di tre diversi insiemi di dati con i relativi scarti interquartili
1.7.4 Box-plot di Tukey e gli outliers
Un ulteriore metodo di rappresentazione dei dati che serve ad evidenziare la dispersione è il box
plot. Si tratta di una procedura non parametrica legata a mediana e scarto interquartile. Un
esempio di box-plot lo trovate qui sotto nella figura 1.14.
Figura 1.14. Box-plot di un campione di HoloTC (dati diversi rispetto alla figura 1.11)
Il box plot viene costruito su un asse cartesiano. Il centro della scatola (box) evidenziato dalla linea
centrale corrisponde al valore della mediana. i bordi del box sono costituiti dal primo Q1 e terzo Q3
quartile. I baffi (whiskers) vengono determinati moltiplicando per 1.51.3 lo scarto interquartile. Si
prende questa distanza a partire dai bordi della scatola (Q1 e Q3) e si va a vedere qual è il valore
inferiore alla mediana che ancora è all’interno di questo intervallo. Il baffo viene così determinato
dal valore di questo dato. La stessa cosa viene fatta per il valore più alto, nella direzione opposta.
Spesso vengono poi visualizzati gli outliers (cioè i punti che sono al di fuori dei whiskers) distinguendo tra outliers interni (colorazione piena della figura 1.14), cioè con una distanza dalla mediana
nell’intervallo da 1.5 a 3 scarti interquartili e outliers esterni (colorazione vuota nella figura 1.14)
con uno scarto superiore a 3 scarti interquartili dalla mediana.
1.3. Alla domanda “Perché 1.5” Tukey rispose testualmente: “Perché uno è poco due è troppo”. S tratta di un valore
puramente arbitrario, fissato in base all’esperienza accumulata nell’abito della ricerca statistica.
25
1.7 Gli indici di variabilità (o di dispersione)
Quando si incontrano outliers spesso ci si interroga sulla correttezza di questi dati, andando a
verificare che non possano anche essere il frutto di un errore nell’indagine. Talvolta, dopo aver
trovato il motivo d’errore questi dati vengono scartati; si noti però che scartare dati è un’operazione
estremamente pericolosa in quanto può succedere che per vari motivi quelli che sembrano outliers
in realtà sono valori legittimi e cancellandoli si rischia di falsare l’intero lavoro di ricerca.
Esempio 1.35. Qui sotto nella tabella 1.13 sono proposti i pesi corporei dei bambini che frequentano un club di Judo. Dopo aver messo in ordine i dati si determinano Q1 = 37.3 M = 40.4 e
Q3 = 43.9. Di conseguenza lo scarto interquartile Q3 − Q1 = 6.6 e questo valore moltiplicato per 1.5
dà una distanza di riferimento per i baffi di 9.9. Quindi la scatola avrà la barra centrale a 40.4 e i
bordi a 37.3 e 43.9. Per i baffi il limite inferiore sarà 37.3 − 9.9 = 27.4; il dato più vicino superiore
a questo valore è 28.1 e questo sarà il baffo inferiore. Analogamente per il baffo superiore si ha il
limite pari a 43.9 + 9.9 = 53.8 e quindi il dato più vicino inferiore a questo valore è 52.3. Si noti
come, essendo questi ultimi due valori anche il minimo ed il massimo della serie di dati, non saranno
presenti outlier (figura 1.15).
39.3 38.0 34.4 36.9
38.8 44.0 41.7 48.9
38.0 34.1 41.5 43.7
38.4 46.7 43.5 41.5
33.6 37.1 51.3 28.1
52.3 45.0
Tabella 1.13. Peso dei judoka Gruppo Judo Kwai A
Figura 1.15. Box-plot della tabella 1.13
Esercizio 1.8. Si traccino i box-plot relativi ai dati delle tabelle 1.4 e 1.5
1.7.5 Lo scarto quadratico medio
Per ottenere un parametro della dispersione si potrebbe intuitivamente calcolare tutti gli scarti tra
i singoli valori e la media di un’indagine statistica, così come mostrato nella Figura 1.16, calcolando
poi la media degli scarti.
Figura 1.16. Gli scarti dalla media, in rosso negativi ed in blu positivi
Tornando all’esempio precedentemente usato per lo scarto interquartile, consideriamo ancora una
volta i voti delle ragazze:
3
3.25
3.5
3.5
4
4
4.25
4.25
4.5
4.5
La media di questi dati si calcola rapidamente:
X̄ =
3 + 3.25 + 3.5 + 3.5 + 4 + 4 + 4.25 + 4.25 + 4.5 + 4.5
= 3.875
10
Per facilitare il calcolo organizziamoci con una tabella e completiamo la prima colonna:
(1.19)
26
Statistica monovariata
X j nota
Xj − X̄
(X j − X̄ )2
3
−0.875
0.765625
3.25
−0.625
0.390625
3.5
−0.375
0.140625
3.5
−0.375
0.140625
4
0.125
0.015625
4
0.125
0.015625
4.25
0.375
0.140625
4.25
0.375
0.140625
4.5
0.625
0.390625
4.5
0.625
0.390625
Totale
0
2.53125
Tabella 1.14. Media delle note, scarti semplici e quadratici
Si è arrivati dunque ad un risultato molto particolare: la somma degli scarti dalla media vale zero.
Questo risultato è un caso legato ai dati esaminati o ha un valore più generale?
Definizione 1.36. La somma degli scarti semplici di una media aritmetica è sempre 0; si tratta
di una proprietà fondamentale della media aritmetica.
Per valutare la dispersione intorno alla media i dovrà dunque eliminare l’inconveniente degli scarti
positivi (in blu) che compensano quelli negativi (in rosso nella Figura 1.16). Un metodo che la
statistica utilizza molto spesso è il seguente: calcolare la media non più degli scarti, ma dei quadrati
degli scarti, quadrati che sono tutti certamente positivi.
Si ottiene, nel caso esaminato, l’espressione:
σ2 =
(−0.875)2 + (−0.625)2 + 2 · (−0.375)2 + 2 · (0.125)2 + 2 · (0.375)2 + 2 · (0.625)2
F 0.2531
10
(1.20)
Oppure, più semplicemente riempendo la seconda colonna della tabella è sufficiente prenderne
l’ultimo elemento e dividerlo per il numero dei dati, in questo caso 10.
Il risultato prende anche il nome di varianza; si ha dunque che la varianza di più dati si ottiene
calcolando la media dei quadrati degli scarti dalla media.
Per sottolineare la presenza dei quadrati degli scarti, la varianza si indica spesso con il simbolo
adottato prima, e cioè: varianza = σ 2. La lettera greca σ (si legge “sigma”) indica lo scarto
quadratico medio. Quindi per ottenere lo scarto quadratico medio si fa la radice quadrata della
varianza.
Definizione 1.37. Lo scarto quadratico medio di una sequenza di numeri X1, X2, , Xn è la
radice quadrata della media aritmetica dei quadrati degli scarti dei numeri stessi dalla loro media
aritmetica.
σ=
r
(X1 − X̄ )2 + (X2 − X̄ )2 + + (Xn − X̄ )2
=
n
v
n
uP
u
(X j − X̄ )2
t
j=1
n
(1.21)
27
1.7 Gli indici di variabilità (o di dispersione)
Nota 1.38. Lo scarto quadratico medio viene anche detto deviazione standard.
Varianza e scarto quadratico medio sono i più noti e diffusi indici di variabilità intorno alla media.
Così, confrontando ancora una volta i voti dei ragazzi e delle ragazze, si trova:
−
voti dei ragazzi: media X̄ = 3.867 σ 2 = 1.6733 σ = 1.2936
−
voti delle ragazze: media X̄ = 3.875 σ 2 = 0.2531 σ = 0.5031
e quindi, anche se la media è circa la stessa, si nota subito che i voti delle ragazze sono dispersi
intorno alla media meno di quelli dei ragazzi.
Per sintetizzare più dati occorre il valore di sintesi accompagnato da un indice di
variabilità.
Le considerazioni svolte in questi ultimi due paragrafi suggeriscono di osservare sempre attentamente i dati statistici che tanto spesso sono presentati dai mezzi di informazione. Per sintetizzare
più dati in modo corretto ed esauriente, occorre fornire un indice di posizione centrale, accompagnato da un indice di variabilità; così si ha che:
−
la mediana senza la differenza interquartile dà un’informazione incompleta;
−
la media può fornire una sintesi scorretta se non è accompagnata dalla varianza o dallo
scarto quadratico medio.
1.7.6 Lo scarto quadratico per classi
Nel caso in cui disponiamo di dati raccolti in classi è possibile ugualmente calcolare lo scarto
quadratico medio. Si assume come valore rappresentativo il valore centrale xi di ogni classe e la
relativa frequenza fi. Lo scarto quadratico medio allora:
v
uP
n
u
r
f j · (X j − X̄ )2
u
2
2
2
f1 · (X1 − X̄ ) + f2 · (X2 − X̄ ) + + fn · (Xn − X̄ )
u j =1
=u
(1.22)
σ=
n
P
t
f1 + f2 + + fn
fj
j=1
Esempio 1.39. Consideriamo la tabella seguente che indica le altezza s.l.m di alcuni comuni
Altitudini Valore centrale X j Frequenza X j · f j (X j − X̄ )2 (X j − X̄ )2 · f j
0 − 50
25
8
200
12792.29
101610.32
75
70
5250
3931.29
275190.30
100 − 150
125
71
8875
161.29
11451.59
150 − 200
175
62
10850
1391.29
86259.98
200 − 250
225
27
6075
7621.29
205774.83
250 − 300
275
7
1925
18851.29
131959.03
325
3
975
35081.29
105243.87
248
34150
79739.03
917489.92
50 − 100
300 − 350
Totale
Tabella 1.15. Altitudine in [m/s.l.m.] di alcuni comuni: tabella con gli scarti
Costruiamo la tabella seguente che ci permetterà di calcolare lo scarto quadratico medio.
28
Statistica monovariata
Dalle prime tre colonne si ricava che la media è:
X̄ =
34150
F 137.7
248
(1.23)
Lo scarto quadratico medio è allora:
σ=
r
917489.92
248
F 60.824
(1.24)
Significa quindi che l’altitudine media dei comuni è di 137.7 [m], ma ci si deve preparare a superare
un dislivello medio sopra e sotto di essa pari a σ = 60.824 [m].
Nota 1.40. Si osservi come la media e la deviazione standard abbiano la stessa unità di misura.
Questo permette di esprimere lo scostamento anche in maniera relativa (percentuale). Tale valore,
detto coefficiente di variazione, è invece privo di unità di misura, è utile soprattutto per
confrontare metodi di analisi diversi tra loro e si calcola con la seguente formula:
CV =
100 · σ
%
X̄
(1.25)
Nel caso dei comuni il coefficiente di variazione dell’altezza s.l.m. è:
CV =
100 · 60.824
= 44.17%
137.7
(1.26)
1.7.7 La distribuzione gaussiana
Consideriamo ancora la distribuzione relativa ai risultati del salto di un gruppo di studentesse. Il
suo poligono delle frequenze (Figura 2) ha una forma particolare, detta anche “a campana” . Se
aumentassimo il numero dei risultati, prendendo in considerazione, per esempio, tutte le studentesse di una stessa scuola o quelle di più scuole, il poligono delle frequenze molto probabilmente si
avvicinerebbe sempre di più a una particolare curva teorica detta curva normale o gaussiana
(o di Gauss).
Figura 1.17. Curva di Gauss
Il calcolo dello scarto quadratico medio σ assume particolare importanza nelle distribuzioni gaussiane, perché è collegato al modo in cui le frequenze si distribuiscono attorno al valore medio M.
29
1.7 Gli indici di variabilità (o di dispersione)
Da un’analisi del grafico si possono fare alcune osservazioni:
−
la simmetria della curva rispetto alla retta x = X̄ significa che intorno al valore medio tutti
gli altri si distribuiscono con la stessa frequenza per valori equidistanti da X̄ ;
−
nei punti X̄ − σ e X̄ + σ la curva presenta due flessi. Pertanto se σ ha un valore piccolo (e
quindi c’è poca dispersione attorno al valore medio) la curva è stretta; se invece σ è grande,
la curva è larga e c’è molta dispersione attorno al valore medio.
Questo significa che la forma della curva dipende da σ. Si può dimostrare che:
−
il 68,27% dei casi osservati è compreso tra M − σ e M + σ
−
il 95,45% dei casi osservati è compreso tra M − 2 · σ e M + 2 · σ
−
il 99,73% dei casi osservati è compreso tra M − 3 · σ e M + 3 · σ
Tali percentuali sono valide anche per distribuzioni moderatamente asimmetriche.
Figura 1.18. La curva di Gauss e le percentuali delle casistiche in base a σ
Da queste informazioni, essendo la distribuzione simmetrica rispetto alla media X̄ , se ne possono
ricavare altre. Per esempio, è vero che il 15,87% dei valori è maggiore di X̄ + σ.
Infatti i valori maggiori di X̄ + σ o minori di X̄ − σ sono:
100% - 68,27% = 31,73%
(1.27)
Quindi quelli maggiori di X̄ + σ sono:
31, 73%
= 15, 87%
2
(1.28)
In modo analogo si ricava che il 2,28% dei valori è maggiore di X̄ + 2σ (o minore di X̄ − 2σ).
Esercizio 1.9. La statura in una popolazione adulta composta da 24’000’000 di persone ha una distribuzione gaussiana. Sapendo che nella popolazione studiata la media è X̄ = 1.75m e lo scarto quadratico
medio σ = 0.05 m, quante persone hanno un’altezza compresa tra 1.70m e 1.80m? Quante maggiore di
1.85m? E quante minore di 1.70 (ovviamente saranno solamente approssimazioni ancorché piuttosto attendibili)?
[16’384’800;547’200;3’808’800]
30
Statistica monovariata
1.8 Esercizi
Esercizio 1.10. Una indagine statistica su un campione di 50 bambini che frequentano la prima classe delle
scuole elementari e relativa al loro peso corporeo ha fornito i seguenti dati espressi in Kg.
27.5
31.1
32.3
27.9
36.1
32.5
33.0
30.0
29.8
31.3
28.9
35.2
30.5
28.5
29.8
30.2
32.7
35.7
31.6
34.1
30.1
28.4
32.4
32.0
32.6
28.2
30.7
33.3
30.2
34.7
29.5
29.4
29.2
37.1
33.6
31.2
25.6
30.5
32.6
29.8
27.3
26.5
30.8
34.0
30.6
30.0
31.5
31.4
34.0
31.5
Costruisci una distribuzione di frequenza adeguata e il relativo istogramma.
Esercizio 1.11. Rappresenta graficamente mediante un diagramma a rettangoli e mediante un areogramma
la seguente tabella relativa al numero di occupati come lavoratori dipendenti nei vari settori di attività in una
certa città.
Settore
Agricoltura Industria Commercio Altro
N. occupati 200
900
950
380
Esercizio 1.12. Ecco i pesi di un campione di 18 compresse a base di vitamina C espressi in grammi
4.2 3.9 4
4.2 4.1 4.2 4.3 4.1 4.2
4.3 4.0 4.1 4.2 4.1 4.2 4
4.3 4.2
Costruisci la distribuzione di frequenza e rappresenta i dati graficamente.
Calcola la media ponderata. È uguale a quella aritmetica? Perché?
Esercizio 1.13. Da una indagine statistica su un campione di 5000 ragazzi e 5000 ragazze di età compresa fra
i 10 e i 16 anni sulle attività sportive svolte, sono emersi i seguenti risultati (un individuo potrebbe praticare
più di uno sport!)
Attività
Maschi Femmine
Calcio
3200
58
Tennis
1050
895
Atletica
629
1580
Sci
2570
2476
Altro
605
1312
Nessuno sport 596
1720
Rappresenta con un diagramma a rettangoli e con un areogramma i dati della tabella in ciascuno dei due casi
Esercizio 1.14. La seguente tabella riporta la produzione di vino di un certo anno in alcuni paesi europei.
Rappresenta i dati con un diagramma a rettangoli. Costruisci poi la tabella delle frequenze relative e il corrispondente diagramma a torta.
Paese
Germania Francia Italia Grecia Portogallo Spagna
Vino/[hl] 9500
64000
64000 5000
3500
24000
Esercizio 1.15. La seguente tabella indica la variazione percentuale del consumo di carne bovina negli ultimi
sei mesi del 2000 in alcuni stati europei. Rappresenta graficamente i dati
Paese Ger. Italia Spagna Grecia Port. Francia Austria Belgio G.Br.
Perc. -50% -42% -35%
-30%
-25% -20%
-15%
-10%
+3%
31
1.8 Esercizi
Esercizio 1.16. Esaminando 100 pagine dattiloscritte si sono riscontrati i seguenti numeri di errori per pagina:
35 pagine con 1 errore; 25 pagine con 2 errori; 18 pagine con 3 errori; 12 pagine con 4 errori; 4 pagine con 6
errori e le rimanenti senza errori.
a) Rappresenta la distribuzione di frequenza relativa e assoluta degli errori per pagina.
b) Costruisci un grafico delle frequenze
c) Calcola la media degli errori per pagina con la formula per le medie ponderate
Esercizio 1.17. Un campione estratto dalla popolazione degli abitanti di una città ha dato la seguente
composizione:
Fascia d’età
0-20 21-40 41-60 Oltre 60
N. componenti 29% 32%
24%
15%
Sapendo che il campione ha ampiezza 5000, calcola le frequenze assolute di ogni classe. Rappresenta poi i dati
con un areogramma.
[1450; 1600; 1200; 750]
Esercizio 1.18. Calcola la media aritmetica della seguente distribuzione
Modalità 2 4 6 8 10
Frequenza 8 12 20 24 18
[6.78]
Esercizio 1.19. Trova la moda e la mediana della seguente distribuzione statistica che riguarda il numero di
volte che un gruppo di ragazzi sono stati interrogati in una certa materia:
Interrogazioni 2 3 4 5 6 7 8
Frequenza
10 15 20 28 18 12 4
Esercizio 1.20. In un gruppo di ginnaste di livello agonistico si è rilevato che l’età di inizio dell’attività è
distribuita nel seguente modo:
Età di inizio
4 5 6 7 8 9 10 11 12
Numero ginnaste 1 6 11 4 6 4 0 2 1
Calcola la media aritmetica, (e anche quella quadratica e armonica), la mediana e la moda. In base ai dati
rilevati su questo gruppo, a quale età è più opportuno iniziare l’attività per raggiungere in ginnastica un livello
agonistico.
[7; 7.3; 6.6; 8; 6]
Esercizio 1.21. Un autotreno deve percorrere 15 Km. I primi 5 sono in città e vengono coperti ad una velocità
di 1 Km/h. I restanti 10 Km sono in periferia e il mezzo transita con una velocità di10 Km/h. Trova la velocità
media costante necessaria affinché lo stesso tragitto venga percorso impiegando lo stesso tempo.
[2.5 Km/h]
Esercizio 1.22. Durante una gara di corsa di 60 metri piani si sono rilevati i seguenti dati:
Tempo/[s] 10.9 11.1 11.2 11.4 11.6 11.7 12
N. studenti 1
3
8
12
6
4
1
Determina il tempo medio, la moda e la mediana
[11.4; 11.4; 11.4]
Esercizio 1.23. Rappresenta graficamente nel modo più opportuno la seguente distribuzione di frequenze:
Modalità 1 2 3 4 5 6 7
Frequenza 12 15 16 25 18 10 5
Calcola poi la media aritmetica, la moda e la mediana della distribuzione e lo scarto quadratico
medio
[M=3.71; moda=4; mediana=4; σ=1.66]
32
Statistica monovariata
Esercizio 1.24. Una ditta che deve acquistare una macchina per produrre tondini in ferro, deve effettuare
la sua scelta fra due offerte. La decisione viene affidata ad un controllo di qualità che rileva i dati relativi ai
diametri dei tondini su un campione di 100. La tabella riporta i dati relativi alle misurazioni per le due macchine
contraddistinte dalle lettere A e B
Diametro /[mm] 9.75 9.80 9.85 9.90 9.95 10.0 10.5
Frequenza di A 0
9
26
30
26
9
0
Frequenza di B 2
4
20
48
20
4
2
Dopo aver disegnato il diagramma di questa distribuzione, calcola la media ponderata e lo scarto quadratico
medio. Quale delle due macchine offre una maggior affidabilità?
[σA = 0, 0555; σB = 0, 0968]
Esercizio 1.25. Prendendo come riferimento i dati dell’esercizio 1.10 sul peso corporeo degli allievi, calcola la
media aritmetica, la mediana, la classe modale relativa alla distribuzione di frequenza scelta, nonché lo scarto
quadratico medio della media aritmetica. Determinate tutti i decili dalla vostra distribuzione di classe.
Esercizio 1.26. Biometrica di classe: dividetevi in sottogruppi di 3 al massimo; raccogliete un dato biometrico
riferito agli allievi della vostra classe (per esempio n◦ scarpe, statura, peso, età, lunghezza di un dito, diametro
della scatola cranica, girovita, lunghezza del braccio, ecc); costruite un grafico appropriato dei dati raccolti
e determinate la media, lo scarto quadratico medio, la mediana e la moda dei dati. Preparate un lucido per
presentare i dati al resto della classe.
Capitolo 2
Popolazione e campione
2.1 Introduzione
2.1.1 La popolazione
Nel mondo reale molte valutazioni statistiche hanno una quantità molto grande o addirittura
infinita di possibili osservazioni. per esempio se si volesse calcolare la statura media della popolazione maschile mondiale ci si confronterebbe con alcuni miliardi di dati. Oltretutto a causa
del ricambio generazionale questi dati continuerebbero a modificarsi e nel tempo tenderebbero
all’infinito. Anche limitando la propria indagine ad un gruppo più ristretto, come ad esempio la
statura media dei maschi svizzeri, o la statura media degli allievi maschi delle scuole professionali si
avrebbe comunque a che fare con una raccolta dei dati piuttosto onerosa. Questi insiemi completi di
osservazioni statistiche vengono definiti in statistica come popolazione. Per praticità ed economicità
spesso, se si è interessati ad un dato parametro, si preferisce lavorare su un insieme più ristretto
di dati che viene definito campione.
2.1.2 Il campione
Come detto nel paragrafo precedente, se si procede con una raccolta limitata di dati si ha a
che fare con un campione. Per esempio prendendo in esame la statura media dei maschi delle
scuole professionali del Cantone quale popolazione dei dati, ecco che la statura media dei maschi
all’interno di una classe costituisce un possibile campione.
La numerosità del campione corrisponde al numero di dati (in questo caso di stature di maschi)
disponibili. La numerosità incide molto sulla rappresentatività del campione. Campioni molto
piccoli possono avere la media dei propri valori molto scostata rispetto alla media della popolazione;
al contrario campioni più grandi riescono ad essere più rappresentativi e quindi fornire un’immagine
più precisa di quanto avviene nella popolazione.
Tuttavia la dimensione del campione non è l’unico parametro che ne valida la rappresentatività.
Si pensi per esempio ai sondaggi preelettorali. Se il sondaggio venisse svolto sabato sera davanti
ad una discoteca darebbe inevitabilmente dei risultati di intenzione di voto molto diversi da quelli
che si otterrebbero eseguendo lo stesso sondaggio di domenica mattina all’entrata della chiesa.
Questo perché i soggetti che frequentano l’uno o l’altro luogo hanno probabilmente un profilo di età
/ estrazione sociale / reddito / molto diversi tra loro. e importante quindi che quando si pianifica
una raccolta dei dati si tenga conto di tutto ciò e che si procede in modo da ottenere dati aderenti
a quello che può essere il profilo della popolazione.
Per quanto possa sembrare a prima vista contro intuitivo, l’estrazione a caso dei dati direttamente dal bacino della popolazione è il miglior metodo che permette di avere dati rappresentativi.
Ragionando in termini preelettorali, questo potrebbe corrispondere ad un sondaggio telefonico
effettuato contattando gli elettori componendo il numero a caso. (A dire il vero anche con questo
metodo è risaputo che le persone tendono a non rispondere in modo in modo sincero, non fidandosi
dell’interlocutore sconosciuto; quindi per quanto riguarda i sondaggi preelettorali, la faccenda
risulta essere particolarmente complessa).
Per questo motivo si propone qui di seguito un’attività che usa l’estrazione casuale dei dati da un
bacino che può essere simulata facilmente usando un foglio di calcolo elettronico.
33
34
Popolazione e campione
2.2 Attività pratica con un foglio di calcolo
2.2.1 Creazione dei dati
Due “popolazioni” di dati vengono generate tramite un generatore di numeri casuali, ciascuno con
almeno 1000 osservazioni:
i. una prima distribuzione usando la funzione =randbetween(min,max) ottenendo cosi una
distribuzione rettangolare. I parametri min e max possono essere scelti a piacimento (per
esempio (0,10000).
ii. una seconda distribuzione usando la funzione =randexp(p). Il parametro p può essere scelto
a piacimento (per usare dati in una forchetta simile a quella del punto i si consiglia di usare
p = 2000). Si ottiene una distribuzione a decadimento esponenziale, con una coda molto
lunga.
2.2.2 Elaborazione dei dati
a) Si costruisce una tabella delle frequenze e quindi un istogramma delle popolazioni ottenute
(i e ii ) e si osserva la forma dei dati. Si determini anche il valore della media (media della
popolazione µ e dello scarto quadratico σ).
b) Successivamente si estraggono con l’apposito strumento del F.C. (tendina, oppure funzione
=randdiscrete()) un set di 100 campioni, ciascuno di dimensione n = 4, (cioè ciascun campione è composto da 4 elementi estratti dalla popolazione) dai dati del punti i.
c) Per ciascun campione si calcola la media del campione (simbolo x̄ ). Si calcola anche lo
scarto quadratico (simbolo s) .
d) Si costruisca un istogramma delle 100 medie campionarie x̄ . Come sono distribuite le medie?
Sono distribuite in modo analogo a quello dei dati di partenza?
e) Si calcola la media delle medie campionarie x̄ ; solitamente questa media delle medie viene
chiamata “valore atteso delle medie campionarie” e viene indicato col simbolo M (x̄ ). Si
confronti questi valore con quello della media della popolazione µ. Che cosa si nota?
f) Si calcola lo scarto quadratico delle medie campionarie, quello che comunemente viene
chiamato errore standard (ES). Si confronta tale valore con lo scarto quadratico della popolazione σ, verificando se la relazione nella Tabella 23 sottostante è vera.
g) Si calcola la media degli scarti quadratici di ciascun campione (cioè tecnicamente M (s) e la
si paragoni allo scarto quadratico della popolazione σ. Si dovrebbe notare che questa media
è sistematicamente più bassa dello scarto quadratico della popolazione.
h) Usando il tasto F9 si può far rigenerare al F.C. i valori casuali e quindi far ricalcolare tutti
i parametri. Si provi ad osservare come variano i valori calcolati (nei punti e, f, g) e gli
istogrammi in questo processo.
i) Si calcola con l’apposita funzione del F.C: lo scarto quadratico corretto ŝ chiamato spesso
anche scarto quadratico campionario. Si calcoli poi la media degli scarti campionari M (ŝ)
e si confronti questo valore atteso con lo scarto della popolazione σ, usando F9.
35
2.2 Attività pratica con un foglio di calcolo
j) Si estrae una nuova serie di 100 campioni, stavolta di dimensione n = 25 e si ripetano i punti
precedenti (b-i ). Che cosa si nota?
k) Si estraggono due nuove serie di campioni (n = 16 e n = 49) per i dati ii e si ripetano tutte
le procedure precedenti. Come sono gli istogrammi delle medie campionarie?
2.2.3 Discussione
Si osservi la seguente tabella e si confrontino le varie relazioni con quanto sviluppato nel punto 2.2.2.
Popolazione
(tutto l’universo, spesso infinito,spesso unicamente ipotizzato)
Distribuzione di frequenza dei
campioni
(più campioni ciascuno di
ampiezza n)
Campione
(Un campione di n elementi)
Media
Scarto quadratico
µ
σ
M (s) σ
M (x̄ ) = µ
σ
DS(x̄ ) = √n = ES
M (ŝ) = σ
s=
qP
(x − x̄)2
n
ŝ =
qP
(x − x̄)2
n−1
x̄
Tabella 2.1. Relazioni fondamentali tra popolazione, campione e distribuzione campionaria
36
Popolazione e campione
2.3 La stima
2.3.1 Considerazioni su campione e popolazione
Nel paragrafo 3.2 si è visto che la media di un campione è un buon stimatore della media della
popolazione e che lo scarto campionario è un buon stimatore dello scarto quadratico della popolazione. Per questo motivo in molte situazioni per stimare il valore di una popolazione si finisce per
raccogliere un campione di dati dal quale poi si cerca di dedurre qualcosa di più generale. Tuttavia
è anche chiaro che un singolo campione è soggetto ad avere un errore e che deve essere tenuto in
considerazione. Per questo motivo esiste un modo standard di indicare la stima di un valore medio
determinato da un campione.
2.3.2 Stima di una media puntuale con i limiti di confidenza
L’intervallo di confidenza per la stima di una media di una popolazione µ utilizzando una media
campionaria x̄ e la deviazione standard campionaria ŝ di un campione di dimensione n è la
seguente:
ŝ
µ= x̄ ± 1.96 · √
n
(2.1)
Il valore 1.96 deriva dal fatto che solitamente si accetta una probabilità massima del 5% che la
media della popolazione sia al di fuori di questa forchetta di dati. Si tenga anche conto che il
valore 1.96 è generalmente accettato solo se n > 30. Per valori più bassi questa costante tende ad
aumentare (per esempio per n = 20 è 2.09 e per n = 10 è 2.26; per ciascuna numerosità di dati si
può dare il valore esatto estratto dalla tabella di Student). Indagini con n < 10 hanno pochissimo
valore scientifico. Una trattazione completa di questo argomento richiede una dotazione oraria
specifica che non è disponibile e pertanto si rimanda a corsi specifici di approfondimento.
Esempio 2.1. In un lotto di produzione di formaggio vallemaggia (di un determinato caseificio)
consistente in 36 forme da 4 kg (nominali) si trova un peso medio di 4.05 kg e una deviazione
standard campionaria di 0.4 kg.
Per stimare il peso medio della popolazione delle possibili forme di formaggio µ del caseificio si
calcola:
0.4
µ = 4.05 ± 1.96 · √ = 4.05 ± 0.13kg
36
(2.2)
Quindi si conclude che la media del peso delle forme di formaggio prodotte dal caseificio probabilmente 4.05 con una probabilità al 95% che effettivamente si trovi tra i valori 3.92 - 4.18 kg.
Capitolo 3
Statistica bivariata
3.1 Introduzione
Quando l’osservazione statistica porta alla rilevazione di dati esprimibili come coppie ordinate di
numeri (xi; yi) si pone sia il problema di determinare se sussiste una relazione tra le due grandezze
e in caso affermativo, la funzione che permette di collegare i valori di xi con quelli di yi. Tale
funzione viene chiamata funzione interpolante o funzione di regressione.
3.2 La correlazione
3.2.1 Correlazione e regressione lineare
In questo piccolo riassunto ci si vuole concentrare unicamente su correlazione e regressioni lineari.
Non ci si occupa di correlazioni con funzioni più complicate, come le curve esponenziali, logaritmiche, polinomiche, ecc.
3.2.2 La covarianza
Esempio 3.1. Un indagine statistica ha rilevato contemporaneamente il reddito e la spesa per il
vitto di dieci famiglie. Tali dati sono riportati nella tabella sottostante.
Famiglia Reddito Spesa R − R̄ (R − R̄ )2 S − S̄ (S − S̄ )2 (R − R̄ )(S − S̄ )
1
7500
2200
2
4200
1800
3
6210
2040
4
6900
2100
5
5400
1920
6
5100
1860
7
5700
2160
8
8700
2400
9
4500
1770
10
5190
1830
Totale
59400
20100
0
0
Tabella 3.1. Dati reddito / vitto da completare
37
38
Statistica bivariata
Figura 3.1. Grafico tra reddito e vitto. Le linee tratteggiate corrispondono alle rispettive medie.
Si osservi come i punti tendono ad addensarsi attorno ad una retta. Questo fenomeno è tipico
quando si è in presenza di una correlazione tra le due grandezze osservate. L’osservazione del grafico
chiaramente non è una valutazione oggettiva della correlazione tra le due grandezze che invece
viene determinata tramite il calcolo della covarianza e del coefficiente di correlazione.
Definizione 3.2. Si dice covarianza fra X e Y la media aritmetica dei prodotti degli scarti semplici
cov(X , Y ) =
P
(Xi − X̄ ) · (Yi − Y¯ )
n
(3.1)
Avviso 3.3. Se a scarti positivi (negativi) di X corrispondono scarti positivi (negativi) di Y la
relazione lineare fra i due fenomeni è diretta (punti nel I e III quadrante). In questo caso la somma
dei prodotti degli scarti è positiva e quindi cov(X , Y ) > 0.
Avviso 3.4. Se a scarti positivi (negativi) di X corrispondono scarti negativi (positivi) di Y la
relazione lineare fra i due fenomeni è inversa (punti nel II e IV quadrante). In questo caso la somma
dei prodotti degli scarti è negativa e quindi si ha cov(X , Y ) < 0.
Avviso 3.5. Se la covarianza è uguale a 0 vuol dire che non c’è relazione di tipo lineare tra i due
fenomeni. Ciò però non esclude che ci sia una relazione di un altro tipo (parabolico, esponenziale,
ecc).
Si osservi la figura 3.2 che evidenzia i contributi positivi e negativi alla covarianza, sempre relativo
all’esempio 3.1.
39
3.2 La correlazione
Figura 3.2. Contributi dei singoli scarti alla covarianza
3.2.3 Il coefficiente di correlazione r di Pearson
La covarianza ha un punto debole fondamentale. Non è un parametro con valore assoluto, ma
dipende dalle unità di misura dei dati. Questo porta al fatto che se è vero che più il valore si
allontana da zero e più i punti si avvicinano ad una retta, in realtà non si definisce un massimo
valore per il quale i punti si trovano perfettamente su una retta; nemmeno si riesce a definire una
soglia minima oltre la quale la correlazione è garantita. Per questo motivo nella maggior parte
dei casi la covarianza è unicamente una tappa intermedia che porta al calcolo del coefficiente di
correlazione lineare (o coefficiente di Pearson).
Definizione 3.6. Il coefficiente di correlazione lineare è la media aritmetica dei prodotti dei valori
osservati espressi in unità standard. Il coefficiente di correlazione lineare è simbolizzato con una r
(oppure con una ρ dell’alfabeto greco).
r=
cov(X , Y )
σX · σY
(3.2)
Nota 3.7. Il valore di r è compreso tra −1 e 1
−1 6 r 6 1
(3.3)
Nota 3.8. Valori positivi di r indicano l’esistenza di una relazione lineare diretta. Aumentando
(diminuendo) i valori di X aumentano (diminuiscono) i valori di Y .
Nota 3.9. Valori negativi di r indicano l’esistenza di una relazione lineare inversa. Aumentando
(diminuendo) i valori di X diminuiscono (aumentano) quelli di Y .
Nota 3.10. Se r = 0 non esiste una relazione lineare tra i valori X e Y . Ciò non esclude che
possa sussistere una relazione di altro tipo. In realtà difficilmente si ottiene esattamente 0 anche
se non vi è una correlazione tra le due grandezze. Per determinare con certezza se la correlazione
sussiste esistono vari metodi che comunque vanno al di là dello scopo di questo testo. Si segnala
tuttavia come regola empirica che quando il valore di r si trova nell’intervallo −0.35 6 r 6 0.35 si
può ragionevolmente affermare che NON sussiste una correlazione.
40
Statistica bivariata
Esercizio 3.1. Si calcoli il coefficiente di correlazione lineare dei dati dell’esempio 3.1, completando opportunamente la tabella prestampata.
3.3 La regressione
3.3.1 Il metodo dei minimi quadrati
Considerando ancora una volta l’esempio 3.1 ci si potrebbe chiedere quale sia la retta migliore che
ci descrive la relazione tra reddito e vitto. Si potrebbe procedere in modo grafico (e soggettivo)
provando a disegnare una retta di regressione in modo che sia il più possibile “al centro” dei dati
del grafico.
Tuttavia esiste un metodo algebrico esatto per eseguire tale operazione. Tale metodo si chiama
metodo dei minimi quadrati. Con tale metodo cerchiamo la pendenza a e l’ordinata all’origine b
della retta che meglio esprime la relazione tra i valori di X e di Y .
(3.4)
f (x) = y = ax + b
Chiaramente nessun punto (tranne casi eccezionali) si troverà esattamente sulla retta. Bisognerà
far in modo che la distanza misurata in verticale dal punto effettivo (Xi; Yi) e il punto teorico
calcolato con la funzione (Xi: Y¯i ) sia la minore possibile. Pertanto, sussistendo anche il problema
dato dal fatto che alcune differenze risulteranno negative e altre positive, si cercherà di rendere
minima i quadrati delle differenze tra i valori di Y¯i calcolati e quelli reali Yi
X
(Yi − Y¯i )2 = minimo
(3.5)
Graficamente parlando il miglior accostamento è trovato riducendo gli scarti verticali dalla retta.
Per operare la determinazione di tale minimo si deve ricorrere a strumenti matematici molto
avanzati (differenziali parziali di funzioni a più variabili) e quindi una dimostrazione dettagliata
del procedimento che porta alla definizione della seguente formula per il calcolo della pendenza e
dell’ordinata all’origine è al di là degli obiettivi di questo testo. Si può saltare quindi la derivazione
matematica della formula e utilizzare direttamente il risultato, qui sotto riportato:
nΣxiyi − Σyi · Σxi
nΣx2i − (Σxi)2
(3.6)
Σx2i · Σyi − Σxi · Σxiyi
nΣx2i − (Σxi)2
(3.7)
a=
b=
Esempio 3.11. In uno studio si sono comparate le velocità massime di alcuni veicoli e si è
cercato di mettere in relazione questo valore con la potenza del motore in questione. La variabile
indipendente è la potenza
Potenza 70 63 72 60 66 70 74 65 62 67 65 68
Velocità 155 150 180 135 156 168 178 160 132 145 139 152
Tabella 3.2. Dati di potenza e velocità di 12 veicoli
a = 3.21565
b = −60.7461
r = 0.863234
Es = 7.51528
41
3.3 La regressione
Figura 3.3. Grafico di potenza e velocità (esempio 3.11)
3.3.2 L’errore nelle regressioni
Per stimare il grado di accostamento di una regressione ai valori osservati si usa solitamente un
parametro chiamato errore standard
Definizione 3.12. L’errore standard è la media quadratica delle differenze tra i valori osservati
e i valori teorici
Es =
r
Σ(yi − y¯i )2
n
(3.8)
Se l’accostamento è perfetto il valore di Es è 0. Migliore è l’accostamento fra valori osservati e
teorici e più piccolo è il valore di Es. Si noti che come nel caso dello scarto quadratico, anche in
questo caso l’errore standard ha la stessa unità di misura del valore y.
Si noti però che spesso i sistemi informatici che calcolano le regressioni lineari offrono r (vedi il
paragrafo precedente) al posto di Es come parametro di accostamento.
3.3.3 La scelta della variabile indipendente
Si faccia attenzione, procedendo nelle regressioni al fatto che se si sceglie x come variabile indipendente si cerca di stimare y a partire da x (come fatto precedentemente). Si può anche optare per
una regressione che considera y come variabile indipendente. I due risultati non sono uguali, (si
ottengono due rette diverse) lo sono solamente nel caso ideale di un accostamento perfetto; infatti il
metodo dei minimi quadrati viene applicato per le x (in blu nella figura 3.4) e questo graficamente
corrisponde al miglior accostamento alla retta in orizzontale.
42
Statistica bivariata
Figura 3.4. Minimi quadrati delle y in rosso e delle x in blu
Per il calcolo con y indipendente si usano le seguenti formule:
a=
b=
nΣxiyi − Σyi · Σxi
nΣyi2 − (Σyi)2
Σyi2 · Σxi − Σyi · Σxiyi
nΣyi2 − (Σyi)2
(3.9)
(3.10)
I coefficienti così calcolati corrispondono a quelli per la retta inversa. Per paragonarli a quelli
calcolati con le formule precedenti (equazioni 3.6 e 3.7) bisogna invertire nuovamente l’equazione
della retta. Si veda il grafico precedente che riporta entrambe le rette (la seconda tratteggiata).
Esercizio 3.2. Si calcoli la retta di regressione con la variabile y come indipendente per l’esempio precedente
(esempio 2) che è già riportata nel grafico (funzione tratteggiata).
3.3.4 Scarti quadratici e pendenza delle rette di regressione
Si lascia dimostrare che la pendenza a della retta di regressione è anche uguale al rapporto tra gli
scarti dei valori di y e quelli di x moltiplicato per r
a=r·
σy
σx
(3.11)
Nota 3.13. Per accostamenti molto buoni (r ≃ 1) si può approssimare la pendenza a con il rapporto
tra i due scarti quadratici.
43
3.4 Connessioni e contingenze
3.4 Connessioni e contingenze
Finora abbiamo trattato la correlazione tra modalità x e y scalari (variabili) facendo capo a grafici
sul piano cartesiano e a una serie di strumenti statistici per valutare la bontà della relazione tra
le due grandezze, strumenti che rielaborano i dati scalari.
Tuttavia spesso ci si confronta con modalità non scalari (mutabili) e si cerca di evidenziare correlazioni tra due mutabili, oppure tra una mutabile ed una variabile. A tal proposito si osservino i
successivi paragrafi con esempi per entrambi i casi
3.4.1 Connessione tra due mutabili
Per presentare le tecniche che consentono una valutazione della connessione tra due mutabili
viene qui presa in considerazione una statistica pubblicata dall’ufficio federale di statistica3.1 che
suddivide gli allievi delle scuole del grado secondario II in base alla formazione più alta presente
nella famiglia di origine. Si tratta di una tabella delle frequenze congiunte nij in cui i dati vengono
classificati in base a due insiemi di mutabili (nell’esempio sono la formazione secondaria dei figli
vs la formazione dei genitori)3.2.
Gr. second. II/Form. Genitori nij Nessuna ind. Obbligo Secondario II Terziario Totali marg.
Maturità liceale
5
5
28
62
100
Scuola di cultura generale
7
12
41
40
100
AFC in 4 anni
9
10
48
33
100
AFC in 3 anni
14
15
47
25
101
Certif. fed. form. pratica
21
29
38
12
100
Totali marg.
56
71
202
172
501
Tabella 3.3. Suddivisione del livello secondario II in base alla formazione scolastica dei genitori
Si noti come nella tabella 3.3 sono presenti i totali marginali con fondo grigio (le somme per righe
e colonne) e, nell’angolo in basso a destra il totale globale di tutte le frequenze, evidenziato in
grassetto.
Solitamente dati di questo tipo vengono rappresentati tramite un diagramma a colonne tridimensionale come quello della figura 3.4. L’altezza delle colonne è determinata dalla frequenza assoluta
(e/o %) delle singole combinazioni di modalità. Le colonne vengono messe in ordine rispettando
la struttura della tabella.
Tabella 3.4. Diagramma 3D della tabella 3.3
3.1. http://www.bfs.admin.ch/bfs/portal/it/index/news/medienmitteilungen.Document.197746.pdf
3.2. Si noti come spesso le “tabelle delle frequenze congiunte” vengono chiamate “tabelle di contingenza”, generando
confusione con le contingenze vere e proprie.
44
Statistica bivariata
Per verificare la sussistenza di una tendenza, per altro visibile ad occhio, che a formazione più
elevata dei genitori corrisponde una frequenza di scuole più impegnative, si procede innanzitutto
dimostrando che i dati non sono distribuiti in modo casuale. Per tale dimostrazione ci si avvale
del test del Chi quadrato χ2 i cui passaggi logici sono descritti qui di seguito.
Si calcolano innanzitutto le frequenze teoriche che dovrebbero corrispondere ad una distribuzione
casuale, moltiplicando le rispettive frequenze marginali e dividendo per la frequenza totale, come
mostrato nella tabella
Fr. teor. ti j
Nessuna ind.
56 · 100
501
Maturità liceale
Obbligo Secondario II Terziario Tot. marg.
= 11.178
14.172
40.319
34.331
100
Scuola di cultura generale
11.178
14.172
40.319
34.331
100
AFC in 4 anni
11.178
14.172
40.319
34.331
100
AFC in 3 anni
11.289
14.313
40.723
34.675
101
Certif. fed. form. pratica
11.178
14.172
40.319
34.331
100
Totali marg.
56
71
202
172
501
Figura 3.5. Frequenze teoriche della tabella 3.3
Poi si calcolano le contingenze cij , cioè gli scarti tra i valori effettivi e quelli teorici.
Contingenze cij
Nessuna ind.
Maturità liceale
5 − 11.178 = −6.178
-9.172
-12.319
27.669
100
-4.178
-2.172
0.681
5.669
100
AFC in 4 anni
-2.178
-4.172
7.681
-1.331
100
AFC in 3 anni
2.711
0.687
6.277
-9.675
101
Certif. fed. form. pratica
9.822
14.828
-2.319
-22.331
100
Totali marg.
56
71
202
172
501
Scuola di cultura generale
Obbligo Secondario II Terziario Tot. marg.
Tabella 3.5. Contingenze per la tabella 3.3
Infine si calcolano i contributi al χ2 (quadrato delle contingenze divise per la frequenza teorica
Contributi per il χ2
Nessuna ind.
(−6.178)2
11.178
Maturità liceale
= 3.414
c2i j
)
ti j
Obbligo Secondario II Terziario Tot. marg.
5.936
3.764
22.299
100
Scuola di cultura generale
1.561
0.333
0.011
0.9356
100
AFC in 4 anni
0.424
1.228
1.463
0.052
100
AFC in 3 anni
0.651
0.033
0.968
2.699
101
Certif. fed. form. pratica
8.631
15.515
0.133
14.526
100
Totali marg.
56
71
202
172
501
Tabella 3.6. Contribui al Chi quadrato della tabella 3.3
2
Il Chi quadrato χ non è altro che la somma di tutti questi contributi, come mostrato dalla formula
3.12
χ2n = ΣiΣ j
c2ij
tij
(3.12)
45
3.4 Connessioni e contingenze
Il quale va paragonato nelle tabelle del Chi quadrato3.3 con i gradi di libertà ν calcolati come viene
mostrato nella formula 3.13, in cui k è il numero di colonne e h il numero di righe della tabella.
(3.13)
ν = (k − 1)(h − 1)
Se il valore del χ2n supera quello tabellato si ha la certezza che i dati non sono disposti in modo
casuale, ma che invece è presente una una tendenza.
Si ottiene χ2stat = 84.579 che è molto più grande del valore di riferimento con ν = 12 gradi di libertà
2
che, letto dalle apposite tabelle è pari a χcrit.
95,ν =6 = 21.03. Si deduce quindi che i dati non sono
distribuiti in modo casuale e che quindi c’è una tendenza. Per andare ulteriormente a comprendere
questa tendenza e avere un parametro simile a quello del coefficiente di correlazione lineare r si
può calcolare il φc di Cramer3.4 (evoluzione del φ di Pearson) usando la seguente formula:
φc =
r
χ2
N (k − 1)
(3.14)
In cui N è il totale delle frequenze e k il valore più basso della dimensione r × c della tabella. Nel
caso precedente, essendo la tabella 5 × 4 si ha:
φc =
r
84.579
= 0.237
501 · (4 − 1)
(3.15)
il che corrisponde ad una correlazione modesta, visto che l’indice φc può assumere valori tra
0 (nessuna correlazione) ed 1 (correlazione perfetta, ma solo in tabelle quadrate r × r, in caso
contrario il valore massimo è un po’ inferiore ad 1).
A partire dalla tabella 3.3 si può anche costruire un’ulteriore tabella contenente le frequenze relative
o anche le frequenze relative percentuali, come mostrato in 3.7; questa tabella è utile se si vuole
ragionare in termini di probabilità frequentista, come proposto in precedenza nella nota 1.6.
Freq. rel. % nij
Nessuna ind. Obbligo Secondario II Terziario Totali marg.
Maturità liceale
0.998%
0.998%
5.589%
12.375%
19.960%
Scuola di cultura generale
1.397%
2.395%
8.184%
7.984%
19.960%
AFC in 4 anni
1.796%
1.996%
9.581%
6.587%
19.960%
AFC in 3 anni
2.794%
2.994%
9.381%
4.990%
20.160%
Certificati fed. form. pratica
4.192%
5.788%
7.585%
2.395%
19.960%
Totali marg.
11.178%
14.172%
40.319%
34.331%
100.000%
Tabella 3.7. Probabilità frequentiste (frequenze relative percentuali) della tabella 3.3
Esercizio 3.3. Si interpreti la tabella 3.7 determinando:
•
La probabilità che uno studente preso a caso tra quelli che hanno un AFC ottenuto in 4 anni abbia un
genitore con un titolo terziario.
[0.33]
•
La probabilità che un figlio di un genitore con formazione terziaria ottenga una maturità liceale.
•
La probabilità che uno studente a caso abbia un certificato federale di formazione pratica.
[0.36]
[0.1996]
3.3. Per le tabelle dei valori critici ed un approfondimento degli aspetti teorici che esulano dallo scopo di questa
dispensa si rimanda a testi specifici, ad esempio la monografia di statistica applicata del prof. Soliani, capitolo 3
(copyleft).
3.4. Si tratta di uno dei vari metodi proposti per normalizzare il χ2 nell’intervallo [0; 1]; ne esistono svariati altri.
46
Statistica bivariata
3.4.2 Connessioni tra una mutabile ed una variabile
Per esemplificare la situazione un esempio di indagine statistica svolta con un intervista a 1000
lavoratori di cui è stato analizzato il reddito lordo e la formazione scolastica. Qui sotto trovate la
tabella dei dati delle frequenze congiunte nij e la relativa elaborazione statistica con un diagramma
a colonne tridimensionale. In questa tipologia di dati le frequneze congiunte sono classificate con
due insiemi di criteri, uno costituito da mutabili (formazione) e l’altro costituito da una suddivisione in classi della variabile (reddito).
Reddito [kCHF] / Formazione nij 0-40 40-80 80-120 120-160 Totali marginali
Uni/SUP
43
71
148
118
380
Apprendistato
65
245
174
63
547
Obbligo
35
29
7
2
73
Totali marginali
143
345
329
183
1000
Tabella 3.8. Stipendi suddivisi per formazione scolastica
Figura 3.6. Diagramma a colonne 3D
Per valutare se esiste una correlazione (cioè in questo caso se a maggiore formazione corrisponde un
reddito maggiore) si ricorre nuovamente ad un test sull’omogeneità. Si ipotizza che se non ci fosse
nessun collegamento tra le due grandezze allora le frequenze sarebbero distribuite casualmente e,
in base ai totali marginali, si può calcolare il valore teorico che ciascuna classe dovrebbe assumere,
come mostrato nella tabella.
Freq. teorica tij
0-40
Uni/SUP
380 · 143
= 54.34
1000
547 · 143
= 78.221
1000
Apprendistato
40-80
380 · 345
1000
80-120 120-160 Totali marg.
= 131.1 125.02
69.54
380
188.715
179.963 100.101
547
Obbligo
10.439
25.185
24.017
13.359
73
Totali marginali
143
345
329
183
1000
Tabella 3.9. Frequenze teoriche della tabella 3.8 calcolate sulla base dei totali marginali
In modo simile a quanto fatto nel capitolo precedente si calcolano poi le contingenze e i contributi
al χ2.
47
3.4 Connessioni e contingenze
Contingenze cij
0-40
40-80
80-120 120-160 Totali marg.
Uni/SUP
(43 − 54.34) = −11.34
-60.1
22.98
Apprendistato
48.46
380
-13.221
56.285 -5.963
-37.101
547
Obbligo
24.561
3.815 -17.017 -11.359
73
Totali marginali
143
345
329
183
1000
Tabella 3.10. Contingenze per la tabella 3.8
Contributi al χ2,
c2i j
ti j
0-40
(−11.34)
54.34
Uni/SUP
2
40-80 80-120 120-160 Totali marg.
= 2.366 27.552
4.224
33.770
380
Apprendistato
2.235
16.787
0.198
13.751
547
Obbligo
57.787
0.578 12.057
9.658
73
Totali marginali
143
183
1000
345
329
Tabella 3.11. Contribuiti singoli al Chi quadrato della tabella 3.8
Così si può calcolare il Chi quadrato, secondo la formula 3.12 precedentemente presentata.
Il risultato ottenuto va paragonato nelle tabelle del Chi quadrato con gli appropriati gradi di libertà
ν calcolati, come mostrato in precedenza nella formula 3.13
Nella fattispecie si ottiene χ2stat = 180.96 che è molto più grande del valore di riferimento con ν = 6
2
gradi di libertà che, letto dalle apposite tabelle è pari a χcrit.95,ν
=6 = 12.59. Ciò significa che vi è
una alta probabilità che i dati non siano disposti in ordine casuale, ma che, al contrario, sia presente
una certa tendenza.
Inoltre per il caso come questo in cui si ha una delle due grandezze scalari (qui il reddito) si può
procedere al calcolo della η di Pearson; questo parametro si comporta in modo simile al coefficiente
di correlazione lineare r:
s
Σ(M y/xi − M y)2 · Ai
η=
(3.16)
Σ(y j − M y)2 · B j
Il valore dell’indice η di Pearson va da 0 per nessuna correlazione a 1 per una correlazione perfetta.
In cui:
−
Ai è la frequenza marginale relativa alla i-esima riga;
−
B j è la frequenza marginale relativa alla j-esima colonna;
−
M y/xi è la media parziale dei valori yi calcolata lungo ogni riga, cioè la somma dei prodotti
dei valori yj con le frequenze riportate in ogni riga, divisa per la rispettiva frequenza marginale Ai (la media ponderata per la riga);
−
M y è la media generale dei valori y j , cioè la somma dei prodotti degli yj per le frequenze
marginali B j , divisa per il totale delle osservazioni (media ponderata per la riga finale delle
frequenze marginali);
Per l’esempio si ottengono i seguenti valori:
M y/x1 =
36440
380
M y/x2 =
42220
547
M y/x3 =
3420
73
My =
82080
1000
(3.17)
48
Statistica bivariata
quindi sostituendo si ha:
η=
s
176238.12
≃ 0.35
1438873.6
(3.18)
che corrisponde ad una connessione moderata. Anche l’indice η può assumere valori da 0 a 1.
49
3.5 Esercizi
3.5 Esercizi
Esercizio 3.4. Da una rivista specializzata di automobilismo si hanno i seguenti dati riferiti a 5 autovetture
Vettura Cilindrata V. max km con 10 l
A
1300
130
90
B
1600
145
87
C
1800
160
84
D
2000
170
75
E
2500
190
62
Si costruiscano opportuni diagrammi cartesiani mettendo in relazione cilindrata e v. max e cilindrata e consumi.
Si determinino poi i coefficienti di correlazione r.
[0.993; −0.975]
Esercizio 3.5. La tabella sotto riportata indica l’indice del costo per le assicurazioni malattia negli USA
(100=1967). Si trovi la retta di regressione, si stimi l’indice per l’anno 1985 e quello per l’anno 1975.
Anno 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984
Indice 184.7 202.4 219.4 239.7 265.9 294.5 328.7 357.3 378.0
[400.4; 148.5]
Esercizio 3.6. Sono dati i dettagli di otto punti di vendita di una catena di grandi magazzini. Si analizzino
questi dati con gli strumenti di correlazione e regressione.
Punto di vendita Superficie in m2 Numero addetti Incassi giornalieri
A
640
16
8.4
B
2100
40
19.2
C
1200
28
15.0
D
1040
24
14.0
E
860
22
12.6
F
1600
32
16.4
G
1500
30
15.8
H
980
24
13.6
Esercizio 3.7. La tabella sottostante riporta i dati di pressione e volume di un gas. Considerando che i gas
genericamente hanno una correlazione tra questi due parametri data dall’equazione.
Volume V 54.3 61.8 72.4 88.7 118.6 194.0
Pressione P 61.2 49.5 37.6 28.4 19.2 10.1
P ·V γ=C
con γ e C costanti si linearizza la formula applicando un logaritmo e si trovino queste due costanti con una
regressione lineare.
[γ = 1.40; C = 1.60 × 104]
Esercizio 3.8. La seguente tabella riporta i voti di alcuni studenti in algebra e fisica. Si trovino le dure rette
interpolanti, sia per fisica, sia per algebra come variabile indipendente. Se uno studente ha ottenuto 75 in algebra
quale voto ci si deve attendere abbia ottenuto a fisica? E uno che ha ottenuto 95 in fisica quanto presumibilmente
avrà ottenuto in algebra? Si valuti la qualità della correlazione con la determinazione di r.
Algebra 75 80 93 65 87 71 98 68 84 77
Fisica
82 78 86 72 91 80 95 72 89 74
Esercizio 3.9. Dovendo interpolare i dati della seguente tabella cerca di capire qual è il tipo di funzione più
opportuno e, linearizzando opportunamente i dati, esegui la regressione
x
1
2
3
4
5
6
y 2.969 3.094 3.224 3.359 3.501 3.648
f (x) = 2.85 · 1.042x
50
Statistica bivariata
Esercizio 3.10. In un circondario scolastico viene eseguita un’indagine che analizza il tempo di percorrenza
casa-scuola in funzione del’ordine scolastico.
Minuti tratta 0-20 20-40 40-80
V.C.
10
30
60 Totale
Elementari 155
8
1
164
Medie inf.
68
75
21
164
Medie sup.
22
76
66
164
Totale
245 159
88
492
i. Valutare la connessione
[χ2 = 244.62, χ2crit = 9.49, η = 0.6232]
ii. Calcolare il tempo medio della tratta per gli allievi della scuola elementare, media inferiore e media
superiore.
iii. Calcolare la probabilità che un alunno che impiega dai 20 ai 40 minuti sia iscritto alle medie
h inferiori. i
75
= 0.472
159
iv. Calcolare il tempo medio globale di percorrenza.
[25.41]
Esercizio 3.11. Un’industria alimentare ha condotto una indagine al fine di scoprire eventuali connessioni
tra la professione e il tipo di bevanda usata a colazione fra 1200 persone di una grande città. I risultati sono
riportati nella tabella sottostante.
The Caffè Cioccolata Soft drink Latte Totale
Studenti 42
25
19
216
94
396
Impiegati 219 156
34
96
42
547
Quadri
72
112
12
24
37
257
Totale
333 293
65
336
173
1200
i. Si valuti la connessione con gli indici presentati a lezione
[χ2 = 362.51, χ2crit = 15.51φc = 0.3887]
ii. Si calcoli la probabilità che un impiegato prediliga il the.
iii. Si calcoli la probabilità che un estimatore della cioccolata sia uno studente.
iv. Si calcoli la probabilità percentuale della preferenza della cioccolata.
h
19
65
i
Capitolo 4
Test formativi
4.1 Statistica monovariata (80 minuti)
I seguenti dati si riferiscono alle spese giornaliere registrate da una famiglia nel mese di novembre.
50
55
52
44
70
70
110
58
65
100
50
46
100
0
30
0
80
60
70
105
65
84
60
67
40
65
0
22
98
50
42
96
40
50
55
82
10
40
72
15
•
Costruisci una distribuzione di classi adeguata, indicando valore centrale, frequenza, frequenza relativa %, e frequenza cumulata %; (10p)
•
Prepara un istogramma dei dati; (8p)
•
Prepara un diagramma a colonne (8p)
•
Prepara un areogramma (facoltativo) (8p)
•
Traccia l’ogiva (8p)
•
Calcola la media della spesa, la moda e commenta con questo dato l’istogramma ottenuto
(8p)
•
Calcola la mediana e lo scarto interquartile (8p)
•
Traccia un box plot dei dati (8p)
•
Calcola la media ponderata e lo scarto ponderato medio usando la tabella delle frequenze
(12p)
•
Confronta media e mediana commentando i dati (6p)
51
52
Test formativi
4.2 Regressione e correlazione (80 minuti)
Esercizio 4.1. Qui sono riportati i dati relativi alle dimensioni della circonferenza cranica di un feto a partire
dalla tredicesima settimana di gravidanza. Sulla base dei dati:
i. si tracci un grafico dei dati;
ii. si determini la correlazione dei dati con il coefficiente di Pearson;
iii. si determini la retta di regressione;
iv. si estrapoli la dimensione del cranio per la quarta settimana;
v. si commentino i risultati ottenuti, osservando attentamente il grafico.
Settimana
13 18 23 28 33 38
Circonf. in mm 82 155 215 260 305 330
Esercizio 4.2. Nella tabella seguente sono riportate le lunghezze di 30 foglie di lauro, registrate al millimetro
più prossimo; usando il supporto informatico:
i. si costruisca una distribuzione di frequenza adeguata con limiti tabulati, limiti reali, valore centrale e
ampiezza della classe indicati in modo esplicito;
ii. si calcolino media mediana e scarto quadratico medio ponderati;
iii. Si tracci un istogramma dei dati;
iv. Si calcolino P5, P90 , D6, P30 e Q3 dalla tabella delle frequenze.
138 164 150 132 144 125 149 157 146 158
140 147 136 148 152 144 168 126 138 176
163 119 154 165 146 173 142 147 135 153
Capitolo 5
Esercizi di approfondimento
5.1 Radioattività e cinghiali
Esercizio 5.1. Tracce di cesio 137, oltre la soglia prevista dai regolamenti in caso di incidente nucleare, sono
stati trovati nella lingua e nel diaframma di 27 cinghiali del comprensorio alpino della Valsesia, in provincia di
Vercelli (Piemonte). Sono stati analizzati campioni di capi abbattuti nel 2012-2013.
I campioni erano stati prelevati per essere sottoposti ad una indagine sulla trichinellosi, una malattia parassitaria
che colpisce prevalentemente suini e cinghiali. Successivamente gli stessi campioni sono stati sottoposti a un
test di screening per la ricerca del radionuclide cesio 137, così come previsti da una Raccomandazione della
Commissione europea (2003/274/CE).
I risultati hanno evidenziato la presenza di un numero consistente di campioni con livelli di cesio 137 superiori
a 600 [Bq/Kg] (Becquerel per chilogrammo). I valori dei campioni oscillano tra 0 e 5621 [Bq/Kg] e 27 campioni
presentano valori al di sopra dei 600 [Bq/Kg]5.1.
Ad oggi dei 27 con valore superiore alla soglia ne sono stati inviati dieci al Centro italiano di referenza nazionale
per la ricerca della radioattività nel settore zootecnico veterinario per la Puglia e la Basilicata; nove sono stati
confermati, con la metodica accreditata, con valori superiori ai 600 [Bq/Kg]. Uno ha un valore attorno ai 500
[Bq/Kg]. per gli altri campioni è data la misurazione preliminare.
Nr capo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Radioattività [Bq/Kg] 497 631 721 1083 601 2031 744 902 3124 5621
Età stimata [anni]
0.5
1
1.5
3
1
5
1.5
2
7
9
Tabella 5.1. Misure del centro Nazionale
Nr capo
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
Radioattività [Bq/Kg] 640 2050 1190 940 760 830 510 1550 810 510 770 1390 660 3280 3710 1250 690
Età stimata [anni]
1
4
3
1.5
1
2
0.5
6
1.5
1
2
3
1
5
7
3
Tabella 5.2. Misure preliminari
i. Si analizzi sia in modo grafico, sia con il calcolo degli opportuni parametri, la correlazione tra l’età stimata
e il livello di radioattività sui dati della tabella 5.1
ii. Si confrontino i dati della tabella 5.1 e quelli della tabella 5.2 calcolando gli opportuni parametri statistici
e producendo per entrambe le tabelle grafici per visualizzare correttamente i grafici
iii. (facoltativo) Si provi ad applicare un logaritmo sui dati della tabella 5.1 tracciando nuovamente i grafici
e ricalcolando i parametri di correlazione. Che cosa si può ragionevolmente affermare?
5.1. Liberamente ispirato a http://www.ticinonews.ch/articolo.aspx?id=292586&rubrica=15
53
2
54
Esercizi di approfondimento
5.2 Un fantoccio ai raggi X
Esercizio 5.2. Qui sono riportati i dati relativi alle dosi assorbite da un fantoccio usato per esperimenti
radiologici. Le misurazioni sono relative ad una tensione di 100kV. La colonna SD 0.3 rappresenta la deviazione
standard dell’intensità misurata dai pixel in una zona del fantoccio con spessore omogeneo di 0.3 mm.5.2 Si noti
che trattandosi di una lastra di metallo appositamente creata per essere di spessore preciso, ci si aspetterebbe che
i pixel dei sensori a raggi X possano tutti dare lo stesso livello di assorbimento e quindi la deviazione standard
dovrebbe tendere a valori molto bassi.
mAs SD 0.3 Dose relativa Indice di esposizione
4
59.3
0.8
216
5
6.4
52.4
1
276
51
1.28
357
8
50
1.60
397
10
49.5
2.0
495
12.5
44.4
2.5
634
Tabella 5.3. Deviazione standard SD in base alla intensità di corrente applicata e ai parametri di dose (dose
relativa e indice di esposizione)
Svolgimento:
i. Si valuti con metodi opportuni (calcoli e grafici) l’andamento della SD 0.3 rispetto alle altre grandezze
misurate ragionando sul rapporto causa-effetto e impostando in modo sensato la variabile indipendente.
ii. si commentino i risultati ottenuti.
5.2. Dati presi dal lavoro di diploma di B. Monti, 2011. Esame (SSMT-Locarno) TRM-3 del 2013, adattato alla SMC.
55
5.3 Dosimetri in una centrale nucleare
5.3 Dosimetri in una centrale nucleare
Esercizio 5.3. Qui sotto si trovano i valori diurni in µSv registrati da 18 dosimetri personali dei dipendenti
di una centrale nucleare5.3 . Si tenga in considerazione che il valore medio diurno che si misura solitamente è di
4.7 µSv/giorno e la relativa deviazione standard è di 8 µSv/giorno.
9.1
2.2
2.3
5.4
4.4
1.7
250.9 12.3
0.7
8.9
3.2
112.3
6.5
6.6
1.8
0.9
16.7
3.7
Tabella 5.4. Dati dei dosimetri in µSv/giorno
Svolgimento:
i. Si traccino opportuni grafici per visualizzare i dati. Si noti che sarà sicuramente necessario tracciare un
box-plot.
ii. Si valutino gli indici di centralità e di dispersione, commentandone i risultati in base anche ai grafici
ottenuti nell’attività precedente.
iii. È avvenuto un piccolo incedente nucleare?
5.3. Liberamente adattato dall’esame (SSMT-Locarno) TRM-3 del 2011.
56
Esercizi di approfondimento
5.4 Impianti di riscaldamento in Svizzera
Esercizio 5.4. Nelle tabelle sottostanti, di cui è anche disponibile un file informatico, sono riportati i dati
relativi al tipo di riscaldamento degli edifici (case monofamiliari e plurifamiliari) suddivisi in classi di anni di
costruzione5.4:
Heizöl
Kohle
Gas
Elektrizität
Holz
Wärmepumpe
Sonnenkollektor
Fernwärme
Andere
Energieträger
Kein
Energieträger
Vor
1919
49103
213
15599
19191945
50645
443
22084
19461960
69094
243
12705
19611970
69379
78
5554
19711980
77974
21
8182
19811990
56913
20
18003
19912000
50535
18
29593
20012005
16805
42
18525
20062014
4896
10
15741
14798
13354
12665
8077
24304
33680
6229
2070
2439
40087
16617
9674
7317
5953
8085
6077
2171
5048
4417
3085
3345
2642
5640
17131
24875
19421
62354
187
147
117
119
207
254
323
191
547
1067
986
799
704
932
1124
2434
1761
2580
312
505
477
106
227
201
321
648
874
254
845
226
178
71
40
50
21
11
Tabella 5.5. Dati per gli edifici monofamilari in Svizzera
Heizöl
Kohle
Gas
Elektrizität
Holz
Wärmepumpe
Sonnenkollektor
Fernwärme
Andere
Energieträger
Kein
Energieträger
Vor
1919
4585
1
283
19191945
4984
1
821
19461960
4789
4
608
19611970
3776
1
196
19711980
3379
1
177
19811990
3196
0
336
19912000
2842
1
557
20012005
1560
1
542
20062014
449
0
540
1117
6599
5065
1624
1403
2922
827
148
178
1048
6219
1543
445
256
247
130
78
178
302
669
534
279
218
789
404
498
2966
6
39
23
11
12
9
18
9
21
11
89
42
7
3
58
12
0
1
24
38
32
8
4
10
3
7
11
71
672
66
28
10
9
3
0
3
Tabella 5.6. Dati per gli edifici monofamilari in Ticino
Svolgimento:
i. Si crei un’opportuna rappresentazione grafica dei dati per ciascuna delle tabelle; l’obiettivo è quello di
poter confrontare i dati della Svizzera con quelli del Ticino. Di conseguenza sarà necessaria una iniziale
trasformazione dei dati.
ii. Si valuti l’andamento nel tempo dei vari tipi di impianti di riscaldamento. La distribuzione è casuale o
ci sono dei trend?
iii. Si svolga un’analogo lavoro sui dati delle costruzioni plurifamiliari (dati disponibili sul file informatico).
5.4. Dati da:
https://www.pxweb.bfs.admin.ch/Selection.aspx?px_language=de&px_db=px-x0902010000_102&px_tableid=px-x-0902010000_102\px-x-0902010000_102.px&px_type=PX
5.5 Turismo e pernottamenti in Svizzera
57
5.5 Turismo e pernottamenti in Svizzera
Esercizio 5.5. Nell’apposito file informatico trovate i dati relativi al numero di ospiti e al numero di pernottamenti (notti) registrate nel settore alberghiero svizzero dal 2005 al 20155.5 .
Svolgimento:
i. Concentrandosi su 5 paesi di provenienza estera (Germania, USA, Russia, Giappone, Arabia Saudita)
si proponga un’analisi grafica che evidenzi se c’è stato un aumento o una diminuzione di questo settore
economico.
ii. Si provi a dare un’interpretazione dei dati considerando l’andamento del franco CHF e dell’economia
globale.
5.5. http://www.bfs.admin.ch/bfs/portal/de/index/themen/10/03/blank/key/02/01.Document.64549.xls