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Concetti chiave e regole
Che cos'eÁ la statistica
La statistica ha come scopo lo studio di fenomeni collettivi ed esegue le sue indagini su popolazioni di individui al fine
di raccogliere e analizzare dati relativi a uno o piuÁ caratteri del fenomeno stesso; i vari modi con cui si puoÁ presentare
un carattere si dicono modalitaÁ del carattere.
Di un carattere, oggetto di una indagine statistica, si dice che eÁ:
l una mutabile statistica se le sue modalita
Á sono di tipo qualitativo, cioeÁ si possono esprimere mediante nomi o aggettivi (colore dei capelli, tipo di laurea);
l una variabile statistica se le sue modalita
Á sono di tipo quantitativo, cioeÁ si possono esprimere mediante numeri o
intervalli di numeri (altezza, peso, numero di abitanti).
La rappresentazione dei dati
I dati di un'indagine statistica possono essere raccolti in una distribuzione di frequenze (assolute o relative) nelle quali
ogni modalitaÁ xi del carattere eÁ associato a un numero fi , la sua frequenza assoluta, che indica quante volte quel carattere compare.
Ad ogni modalitaÁ del carattere puoÁ anche essere associata la sua frequenza relativa pi , intesa come rapporto fra la
frequenza assoluta e il totale T delle osservazioni.
I dati relativi a modalitaÁ xi e frequenze fi oppure pi sono di solito riassunti in una tabella delle frequenze.
Una distribuzione di frequenze puoÁ essere rappresentata graficamente in diversi modi:
l mediante un diagramma a rettangoli o circolare
l mediante un diagramma cartesiano o un istogramma
l mediante un ideogramma o un cartogramma.
Gli indici di posizione
Una distribuzione di frequenze puoÁ essere sintetizzata da alcuni indici di posizione:
l
le medie ferme, fra cui:
± la media aritmetica
n
X
Mˆ
iˆ1
n
± la media geometrica MG ˆ
n
X
xi
xi f i
oppure nel caso di medie ponderate M ˆ iˆ1
n
X
p

n
x1 x2 ::: xn
oppure nel caso di medie ponderate
MG ˆ
fi
iˆ1
q
F
f
f
f
…x1 † 1 …x2 † 2 ::: …xn † n dove
Fˆ
n
X
fi
iˆ1
r
x12 ‡ x22 ‡ ::: ‡ xn2
± la media quadratica MQ ˆ
n
s
x12 f1 ‡ x22 f2 ‡ ::: ‡ xn2 fn
oppure nel caso di medie ponderate MQ ˆ
f1 ‡ f2 ‡ ::: ‡ fn
± la media armonica
MA ˆ
n
1
1
1
‡
‡ ::: ‡
x1 x2
xn
oppure nel caso di medie ponderate
MA ˆ
f1 ‡ f2 ‡ ::: ‡ fn
f1
f2
fn
‡
‡ ::: ‡
x1 x2
xn
Le medie ferme si possono calcolare solo per caratteri di tipo quantitativo.
La statistica descrittiva
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
l
le medie lasche, fra cui:
± la moda, cioeÁ il termine a cui corrisponde la massima frequenza
± la mediana, cioeÁ il termine che, disposti i dati in ordine crescente o decrescente, occupa il posto centrale.
Le medie lasche, quando esistono, si possono calcolare per qualsiasi tipo di carattere.
Le proprietaÁ della media e della mediana
La media aritmetica e la mediana di una distribuzione godono di alcune proprietaÁ:
l la somma degli scarti dalla media aritmetica e
Á sempre nulla, mentre la somma dei quadrati degli scarti eÁ minima
l la somma dei valori assoluti degli scarti dalla mediana e
Á minima.
Le misure di dispersione
Per avere informazioni su come i dati di una indagine statistica si distribuiscono attorno ai loro valori di sintesi e quindi
per poter confrontare distribuzioni, si studiano gli indici di variabilitaÁ; i piuÁ importanti fra essi sono:
l
lo scarto quadratico medio o deviazione standard , che eÁ la media quadratica degli scarti dalla media aritmetica:

v
n
uX
2
u
…
†
xi M
t
iˆ1
nel caso di dati semplici
ˆ
n
v
o
uX
n n
u
2
…xi M† fi
u
u iˆ1
u
ˆu
n
X
t
fi
nel caso di dati ponderati con pesi fi
iˆ1
l
lo scostamento medio S, che eÁ la media aritmetica dei valori assoluti degli scarti dalla mediana:
n
X
jxi Me j
S ˆ iˆ1 n
nel caso di dati semplici
n X
Sˆ
iˆ1
jxi
Me j fi
n
X
nel caso di dati ponderati con pesi fi
fi
iˆ1
l
la varianza 2 , che eÁ il quadrato della deviazione standard
Per il calcolo della deviazione standard (e quindi della varianza) si puoÁ anche usare la formula
q
ˆ media dei quadrati delle osservazioni quadrato della media
I coefficienti di variazione
Quando si devono confrontare distribuzioni molto diverse fra loro, con caratteri che hanno differenti unitaÁ di misura o
ordini di grandezza dei dati molto diversi, si ricorre ai coefficienti di variazione che hanno il vantaggio di essere numeri puri, quindi sempre confrontabili; i coefficienti di variazione sono definiti come rapporto fra l'indice di variabilitaÁ
della distribuzione ed il valore medio utilizzato per calcolarlo:
l
CV ˆ
M
se il polo eÁ la media aritmetica
La statistica descrittiva
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
l
CV ˆ
S
Me
se il polo eÁ la mediana