Analisi Matematica II-Reggio2 - Università degli Studi Mediterranea

Università Mediterranea di Reggio Calabria
Facoltà di Ingegneria
Corso di laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni
Programma di Analisi Matematica II e Calcolo delle Probabilità
1) Successioni e Serie di funzioni (1 CFU)
Successioni di funzioni – Convergenza puntuale ed uniforme di una successione di funzioni – Criterio di Cauchy
per la convergenza uniforme – Teorema di continuità per successioni di funzioni – Passaggio al limite sotto il
segno di integrale – Teorema di derivazione per successioni di funzioni – Serie di funzioni – Convergenza
puntuale e convergenza uniforme per le serie di funzioni – Criterio di convergenza uniforme per le serie di
funzioni – Teorema di continuità per le serie di funzioni – Teorema di integrazione per serie di funzioni –
Teorema di derivazione per serie di funzioni – Serie di potenze nel campo reale – Raggio di convergenza ed
intervallo di convergenza di una serie di potenze – Teorema di Cauchy-Hadamard – Teorema di Abel per le serie
di potenze – Derivazione ed integrazione delle serie di potenze – Significato dei coefficienti di una serie di
potenze – Funzioni analitiche – Serie di Taylor – Sviluppi in serie di Taylor di alcune funzioni notevoli –
Funzioni periodiche – Serie di Fourier – Convergenza delle serie di Fourier
2) Equazioni differenziali ordinarie (1,5 CFU)
Definizioni e classificazioni – Il problema di Cauchy – Teorema di Peano di sola esistenza di soluzioni del
problema di Cauchy – Teorema di esistenza ed unicità della soluzione del problema di Cauchy – Estensioni e
complementi dei teoremi di Peano e di esistenza ed unicità – Equazioni differenziali a variabili separabili –
Esistenza delle soluzioni raccordate – Equazioni differenziali lineari omogenee di ordine n: soluzioni indipendenti
e dimensione dello spazio delle soluzioni – Equazioni differenziali lineari non omogenee di ordine n: spazio delle
soluzioni e calcolo di una soluzione particolare con il metodo della variazione delle costanti arbitrarie – Metodi
risolutivi per vari tipi di equazioni differenziali del primo ordine: lineari, di Bernoulli, omogenee – Equazioni
differenziali esatte – Equazioni differenziali risolubili mediante il fattore integrante
3) Curve e superfici - Forme differenziali - Integrali curvilinei e superficiali (1,5 CFU)
Funzioni a valori vettoriali – Curve in R3 – Equazione parametrica e vettoriale di una curva – Curve regolari e
generalmente regolari – Vettore tangente ad una curva in un punto – Curve rettificabili e lunghezza di una curva –
Integrali curvilinei di funzioni rispetto alla lunghezza d’arco – Significato geometrico e proprietà degli integrali
curvilinei di funzioni – Forme differenziali lineari e campi vettoriali ad esse associate – Integrali curvilinei delle
forme differenziali – Proprietà degli integrali curvilinei delle forme differenziali – Forme differenziali esatte:
campi vettoriali conservativi – Potenziale di un campo conservativo – Integrale curvilineo di una forma
differenziale esatta – Forme differenziali chiuse: campi vettoriali irrotazionali – Forme differenziali su insiemi
semplicemente connessi – Metodi per il calcolo del potenziale di un campo vettoriale conservativi – Teorema di
Gauss-Green nel piano – Applicazioni del teorema di Gauss-Green: area di una figura piana, teorema della
divergenza nel piano, teorema del rotore nel piano – Superfici in R3 – Equazioni parametriche di una superficie –
Superfici regolari – Area di una superficie regolare – Integrali superficiali – Teorema della divergenza nello
spazio – Teorema del rotore nello spazio – Campi vettoriali solenoidali – Potenziale vettore di un campo
vettoriale – Flusso di un campo vettoriale solenoidale attraverso superfici regolari
4) Funzioni complesse - Trasformata di Laplace (1 CFU)
Funzioni complesse di variabile complessa – Funzioni olomorfe – Condizioni di Cauchy-Riemann – La funzione
esponenziale, la funzione logaritmica, le funzioni trigonometriche e le funzioni iperboliche nel campo complesso
– La trasformata di Laplace – Funzioni trasformabili secondo Laplace – Ascissa di convergenza – Proprietà della
trasformata di Laplace – Le trasformate di Laplace di alcune funzioni elementari – Derivata della trasformata di
Laplace – Trasformata di Laplace dei segnali periodici – Trasformata di Laplace della derivata – I teoremi
fondamentali sulla trasformata di Laplace – La funzione Gamma di Eulero – Il prodotto di convoluzione –
Applicazioni della trasformata di Laplace alle equazioni differenziali
5) Antitrasformata di Laplace - Trasformata di Fourier (1 CFU)
L’antitrasformata di Laplace – L’antitrasformata di Laplace di funzioni elementari – L’antitrasformata di funzioni
fratte – Metodo di Heaviside per l’antitrasformata – Proprietà dell’antitrasformata di Laplace – La trasformata di
Fourier – La trasformata di Fourier di funzioni sommabili – Proprietà della trasformata di Fourier – Alcuni cenni
sul legame della trasformata di Fourier e di Laplace – Il prodotto di convoluzione – I teoremi fondamentali sulla
trasformata di Fourier – Il teorema di inversione
6) Calcolo delle probabilità (3 CFU)
Spazi di probabilità – Eventi – Assiomi e proprietà degli eventi – Proprietà generali della probabilità – Spazi finiti
e spazi equiprobabili – Probabilità condizionata ed indipendenza – Teorema delle probabilità totali – Probabilità
composta – Teorema di Bayes – Fenomeni casuali – Prove bernoulliane – Variabili aleatorie – Funzione di
ripartizione – Variabili aleatorie discrete – Densità discreta – Esempi di densità discrete notevoli: densità
uniforme discreta, densità binomiale e bernoulliana, densità geometrica, densità di Poisson – Variabili aleatorie
continue – Densità – Esempi di densità continue notevoli: densità uniforme continua, densità esponenziale,
densità gaussiana – Funzioni di variabili aleatorie – Valore atteso – Valore atteso di funzioni di variabili aleatorie
– Proprietà del valore atteso – Varianza e momenti – Proprietà della varianza – Momenti di ordine k –
Disuguaglianza di Markov – Disuguaglianza di Chebyshev – Variabili aleatorie indipendenti – Teoremi limite per
somme di variabili aleatorie: legge dei grandi numeri, teorema centrale del limite
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N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone – Analisi Matematica due – Liguori Editore
E. Giusti – Analisi Matematica II – Bollati Boringhieri
C.D. Pagani, S. Salsa – Analisi Matematica II – Masson
S. Salsa, A. Squellati – Esercizi di Analisi Matematica II – Masson
G.C. Barozzi – Matematica per l’ingegneria dell’informazione – Zanichelli
M. Codegone – Metodi matematici per l’ingegneria – Zanichelli
G. Teppati – Esercizi svolti di Analisi Matematica 3 – Levrotto & Bella
G. Dall’Aglio – Calcolo delle probabilità – Zanichelli
Il Professore ufficiale
Dott. Filippo Cammaroto