Analisi Matematica II-Reggio2 - Università degli Studi Mediterranea

Università Mediterranea di Reggio Calabria
Facoltà di Ingegneria
Corso di laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni
Programma provvisorio di Analisi Matematica II e Calcolo delle Probabilità
1) Successioni e Serie di funzioni (1 CFU)
Successioni di funzioni – Convergenza puntuale ed uniforme di una successione di funzioni – Criterio di Cauchy
per la convergenza uniforme – Teorema di continuità per successioni di funzioni – Passaggio al limite sotto il
segno di integrale – Teorema di derivazione per successioni di funzioni – Serie di funzioni – Convergenza
puntuale, convergenza uniforme, (convergenza assoluta e convergenza totale) per le serie di funzioni – Criterio di
convergenza uniforme per le serie di funzioni – Teorema di continuità per le serie di funzioni – Teorema di
integrazione per serie di funzioni – Teorema di derivazione per serie di funzioni – Serie di potenze nel campo
reale – Raggio di convergenza ed intervallo di convergenza di una serie di potenze – Teorema di CauchyHadamard – Teorema di Abel per le serie di potenze – Derivazione ed integrazione delle serie di potenze –
Significato dei coefficienti di una serie di potenze – Funzioni analitiche – Serie di Taylor – Sviluppi in serie di
Taylor di alcune funzioni notevoli – Funzioni periodiche – Serie di Fourier – (Disuguaglianza di Bessel ed
identità di Parseval) – Convergenza delle serie di Fourier
2) Equazioni differenziali ordinarie (1,5 CFU)
Definizioni e classificazioni – Il problema di Cauchy – Teorema di Peano di sola esistenza di soluzioni del
problema di Cauchy – Teorema di esistenza ed unicità della soluzione del problema di Cauchy – Estensioni e
complementi dei teoremi di Peano e di esistenza ed unicità – Equazioni differenziali a variabili separabili –
Esistenza delle soluzioni raccordate – Equazioni differenziali lineari omogenee di ordine n: soluzioni indipendenti
e dimensione dello spazio delle soluzioni – Equazioni differenziali lineari non omogenee di ordine n: spazio delle
soluzioni e calcolo di una soluzione particolare con il metodo della variazione delle costanti arbitrarie – Metodi
risolutivi per vari tipi di equazioni differenziali del primo ordine: lineari, di Bernoulli, omogenee – Equazioni
differenziali esatte – Equazioni differenziali risolubili mediante il fattore integrante – (Sistemi di equazioni
differenziali – Teoremi di esistenza ed unicità per sistemi di equazioni differenziali lineari omogenee a
coefficienti costanti – Sistemi lineari non omogenei a coefficienti costanti – Cenni sulle equazioni differenziali
alle derivate parziali – Classificazione delle equazioni differenziali a variabili separabili del secondo ordine –
Risoluzione delle equazioni differenziali alle derivate parziali col metodo della separazione delle variabili)
3) Curve in R3 - Forme differenziali-Integrali curvilinei (1,5 CFU)
Funzioni a valori vettoriali – Curve in R3 – Equazione parametrica e vettoriale di una curva – Curve regolari e
generalmente regolari – Vettore tangente ad una curva in un punto – Curve rettificabili e lunghezza di una curva –
Integrali curvilinei di funzioni rispetto alla lunghezza d’arco – Significato geometrico e proprietà degli integrali
curvilinei di funzioni – Forme differenziali lineari e campi vettoriali ad esse associate – Integrali curvilinei delle
forme differenziali – Proprietà degli integrali curvilinei delle forme differenziali – Forme differenziali esatte:
campi vettoriali conservativi – Potenziale di un campo conservativo – Integrale curvilineo di una forma
differenziale esatta – Forme differenziali chiuse: campi vettoriali irrotazionali – Forme differenziali su insiemi
semplicemente connessi – Metodi per il calcolo del potenziale di un campo vettoriale conservativi – Teorema di
Gauss-Green nel piano – Applicazioni del teorema di Gauss-Green: area di una figura piana, teorema della
divergenza nel piano, teorema del rotore nel piano
4) Funzioni complesse – Trasformata di Laplace (1 CFU)
Funzioni complesse di variabile complessa – La funzione esponenziale, la funzione logaritmica e le funzioni
trigonometriche nel campo complesso – La trasformata di Laplace – Funzioni trasformabili e assolutamente
trasformabili secondo Laplace – Ascissa di convergenza e di assoluta convergenza – Teorema sul semipiano di
convergenza della trasformata di Laplace – Proprietà della trasformata – Le trasformate di Laplace di alcune
funzioni elementary – I teoremi fondamentali sulla trasformata di Laplace – La funzione Gamma di Eulero – Il
prodotto di convoluzione – Applicazioni della trasformata di Laplace alle equazioni differenziali
5) Antitrasformata di Laplace - Trasformata di Fourier (1 CFU)
L’antitrasformata di Laplace – L’antitrasformata di Laplace di funzioni elementary – L’antitrasformata di funzioni
fratte – La formula di Heaviside per l’antitrasformata – Alcuni cenni sul legame della trasformata di Fourier e di
Laplace e sul teorema di inversione della Trasformata di Laplace – Proprietà dell’antitrasformata di Laplace – La
trasformata di Fourier – La trasformata di Fourier di funzioni sommabili – La trasformata aggiunta di Fourier –
Proprietà della trasformata di Fourier – Il prodotto di convoluzione – I teoremi fondamentali sulla trasformata di
Fourier – Il teorema di inversione – Il teorema di Dirichlet
6) Calcolo delle probabilità (3 CFU)
Spazi di probabilità – Eventi – Assiomi e proprietà degli eventi – Proprietà generali della probabilità – Fenomeni
casuali – Variabili aleatorie – Variabili aleatorie discrete – Esempi di densità discrete notevoli: densità binomiale
e bernoulliana, densità geometrica, densità di Poisson, variabile aleatoria ipergeometrica – Variabili aleatorie
continue – Esempi di densità continue notevoli: densità uniforme continua, densità esponenziale, densità
gaussiana – Funzioni di variabili aleatorie – Probabilità condizionata ed indipendenza – Teorema di Bayes –
Dipendenza ed indipendenza di variabili aleatorie – Valore atteso – Valore atteso di funzioni di variabili aleatorie
– Proprietà del valore atteso – Varianza e momenti – Proprietà della varianza – Momenti e funzioni generatrici di
momenti – Variabili aleatorie indipendenti – Vettori aleatori – Vettori aleatori discreti – Vettori aleatori continui –
Funzioni di vettori aleatori – Vettori aleatori indipendenti – Valore atteso di funzioni di vettori aleatori –
Covarianza – Vettori gaussiani – Teoremi limite per somme di variabili aleatorie: legge dei grandi numeri,
teorema centrale del limite
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N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone – Analisi Matematica due – Liguori Editore
E. Giusti – Analisi Matematica II – Bollati Boringhieri
C.D. Pagani, S. Salsa – Analisi Matematica II – Masson
S. Salsa, A. Squellati – Esercizi di Analisi Matematica II – Masson
G.C. Barozzi – Matematica per l’ingegneria dell’informazione – Zanichelli
M. Codegone – Metodi matematici per l’ingegneria – Zanichelli
Il Professore ufficiale
Dott. Filippo Cammaroto