8. 8. Sistemi di Modulazione Numerica in banda-base

1
8. Sistemi di Modulazione Numerica
in banda-base
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
Modulazione e Demodulazione numerica
sequenza
numerica
segnale
analogico
modulatore
numerico
...0010111001...
x(t)
mezzo
trasmissivo
sequenza
numerica
r(t)
demodulatore
numerico
...0010011001...
affetto da
errori
affetto da
distorsioni
e rumore
segnale
analogico
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
2
3
Modulazione numerica: banda base e banda traslata
banda base
banda traslata
utilizza segnali analogici
con trasformata di Fourier
contenuta
in un intervallo di frequenza
contiguo all’origine
utilizza segnali analogici
con trasformata di Fourier
contenuta
in un intervallo di frequenza
non contiguo all’origine
X(f)
X(f)
f
f
Mezzi trasmissivi
in banda base
(es.: linea bifilare)
Mezzi trasmissivi
in banda traslata
(es.: trasmissioni radio)
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
Schema di modulazione numerica in banda traslata
modulatore
numerico in
sequenza numerica banda traslata
segnale analogico
in banda traslata
x(t)
mezzo
trasmissivo
demodulatore
numerico
sequenza numerica (banda traslata)
segnale analogico
in banda traslata
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
r(t)
4
5
Rappresentazione
delle sequenze numeriche
mediante segnali analogici:
I principi della modulazione
numerica
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
6
Rappresentazione delle sequenze numeriche
mediante segnali analogici (1/7)
Una sequenza numerica è rappresentata (dopo modulazione numerica)
da un segnale fisico analogico:
Tensione elettrica sul filo,
dalla tastiera alla CPU
Potenza luminosa entrante in una
fibra ottica
+5V
0 1
0
0
0
1
0
1 …
t
-5V
P0
0
0 1
0
0
0
1
0
1 …
t
Tecniche di MODULAZIONE IN BANDA BASE
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
Rappresentazione delle sequenze numeriche
mediante segnali analogici (2/7)
asse dei tempi
0
→
Sequenze numeriche b(n)
→
(sequenza di simboli)
sequenza di ampiezze a(n)
... 0 1
→
(valori associati ai simboli secondo una
corrispondenza biunivoca:
Es. +5 ⇔ 0 ; -5 ⇔ 1 )
impulsi
→
1
t
di forma g(t)
di ampiezza a(n)
trasmessi negli istanti nT
x (t ) =
2T
0
0
5T
0
1
a (n ) g ( t − nT )
0
1 …
...+5 -5 +5 +5 +5 -5 +5 -5 …
a(0)g(t)
a(1)g(t-T)
a(2)g(t-2T)
a(3)g(t-3T)
+5
+∞
∑
T
7
-5
n = −∞
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
t
Rappresentazione delle sequenze numeriche
mediante segnali analogici (3/7)
Esempio:
x(t)
P0
0
0 1
0
0
simboli:
0
1
ampiezze:
P0
g(t)
0
1
forma di impulso:
0
1
0
1 …
t
t
0 T
+∞
segnale analogico modulato numericamente: x (t ) = ∑ a (n ) g ( t − nT )
n = −∞
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
8
Rappresentazione delle sequenze numeriche
mediante segnali analogici (4/7)
Sia {b(n)} una qualsiasi sequenza numerica avente
9alfabeto di ordine α, cioè costituito da α simboli arbitrari rappresentabili,
senza perdita di generalità, con i numeri naturali {0, 1, 2, ..., α –1}
9intervallo di tempo tra simboli consecutivi : T
9velocità di emissione dei simboli: fs=1/T
Esso è rappresentabile mediante il segnale analogico
x (t ) =
+∞
∑ a (n) g(t − nT)
n = −∞
dove
ƒ g(t) è un segnale impulsivo, in molti casi limitato all’intervallo (-T/2 , +T/2),
detto impulso sagomatore
ƒ i valori a(n) sono estratti da un insieme di α ampiezze di impulso (numeri
reali arbitrari), biunivocamente associati agli α simboli dell’alfabeto
a(n) ∈ { a0 , a1 , a2 , ... , aα-1 }
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
9
Rappresentazione delle sequenze numeriche
mediante segnali analogici (5/7)
10
Un segnale numerico {b(n)} è univocamente associato ad una sequenza di valori
reali mediante una corrispondenza biunivoca fra simboli e ampiezze {a(n)}.
b(n)
a(n)
simboli ampiezze di impulso
0
a0
1
a1
...
...
α -1
aα−1
Criteri di scelta dei valori di ampiezza: ugualmente spaziate e simmetriche rispetto allo 0.
Esempi:
α=2
α=3
+1
a
+1
a
-1
α=4
0
-1
+1
a
+1/3
-1/3
-1
ai = 1 −
2i
α −1
[i = 0, 1, 2, ... , α - 1]
Senza perdita di generalità,nel caso di α=2
assumeremo a0 =1, a1=-1.
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
Rappresentazione delle sequenze numeriche
mediante segnali analogici (6/7)
x (t ) =
11
+∞
∑ a (n) g(t − nT)
n = −∞
onda PAM
PAM : Pulse Amplitude Modulation, (Modulazione di Ampiezza di Impulso)
PROPRIETA’ DI BASE DELL’ONDA PAM
1. simboli b(n) diversi ⇔ differenti valori a(n) della ampiezza degli impulsi
2
2.
X(f) ∝ G(f)
2
3. La larghezza di banda dell’onda PAM è uguale a quella del segnale g(t)
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
Rappresentazione delle sequenze numeriche
mediante segnali analogici (7/7)
12
Esempi di segnali PAM
Ordine
dell’alfabeto
α
Ampiezze di
impulso ai
(i=0,1,...,α-1)
2
[+1 , -1]
Forma di
impulso g(t)
1
-T/2
3
[+1, 0, -1]
0
0
+T/2
1
-T/2
4
segnale PAM x(t)
[+1, +1/3, -1/3, -1]
0
0
T
0
+T/2
1
-T/2
0
+T/2
0
T
0
1
T
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
0
2T
0
0
2T
0
1
2T
1
2
0
3
13
Transito dei segnali
modulati numericamente
(PAM) attraverso canali
analogici di banda base
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
Modulazione numerica in banda base
Obiettivi:
1. trasmettere un segnale numerico facendo uso di un canale
avente banda passante (fisica) limitata tra 0 ed un valore
massimo fm;
2. ottenere elevata efficienza di utilizzazione della banda del
canale, definita come:
f
velocità di simbolo
= s
larghezza di banda del segnale modulato f m
[(simboli/sec)/Hz]
Una alta efficienza si ottiene impiegando impulsi sagomatori g(t) con
occupazione di banda la più piccola possibile
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
14
Schema di principio di un modulatore PAM
Segnale
dalla sorgente
(rappres. PAM ideale)
u (t ) =
+∞
∑ a (n) δ(t − nT)
n = −∞
0
0
0
1
x ( t ) = u (t ) ∗ g (t )
Filtro
formatore di impulso
con risposta impulsiva
g(t)
Segnale PAM ideale
0
t
15
Segnale PAM a banda limitata
(in uscita dal modulatore)
x (t ) =
0
0
+∞
∑ a (n) g(t − nT)
n = −∞
0
T
1
2T
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
0
t
Modello di Canale lineare e permanente
affetto da rumore additivo Gaussiano
Canale
y(t) = x(t) * c(t)
lineare e permanente
C(f) = FT [c(t)]
passa-basso
C(f) = 0 per |f | > fm
n(t)
Segnale PAM a banda limitata
(in uscita dal modulatore)
x (t ) =
0
0
+
z(t) = y(t) + n(t)
segnale in uscita
dal canale
+∞
∑ a (n) g(t − nT)
n = −∞
0
T
1
0
16
rumore additivo gaussiano n(t)
con spettro di densità di potenza
uniforme Wn(f) = N0 (Watt/Hz)
“rumore Gaussiano bianco”
2T
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
Demodulatore PAM
Filtro di ingresso
al demodulatore
GR(f)
Campionatore
negli istanti
t = kT
z(t)
w(t) = y(t) * gR(t) + η(t)
segnale in
= r(t) + η(t)
uscita
dal canale
rumore
componente
filtrato
utile
Esempio:
w(kT) → +1,21
^
a(k) → +1
^
b(k)
→ 0
+0,66
+1
0
-1,35
-1
1
17
Decisore
criterio di decisione
w(kT)
n(t ) * g R (t )
â(k)
sequenza
stimata delle
ampiezze
trasmesse
Il criterio qui applicato è il seguente:
^ = +1 ;
+1,17 w(kT) ≥ 0 → a(k)
^ = -1
w(kT) < 0 → a(k)
+1
Nel segnale numerico ricevuto possono
0
comparire errori dovuti a decisione errata.
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
Modulazione numerica in banda base
MODULATORE
DEMODULATORE
sequenza â(k)
Segnale
dalla sorgente
u (t ) =
Decisore
+∞
w(kT)
∑ a (n) δ(t − nT)
Campionatore
negli istanti t = kT
n = −∞
Filtro formatore di
impulso G(f)
w(t) = y(t) * gR(t) + η(t)
x ( t ) = u (t ) ∗ g (t )
CANALE
n(t)
Canale
lineare e permanente
C(f)
18
y(t)
+
Filtro di ingresso al
demodulatore GR(f)
z(t) = y(t) + n(t) =
= x(t)*c(t) + n(t)
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
Componente di segnale utile all’ingresso del
campionatore
w(t) = y(t)*gR(t) + n(t)*gR(t) = r(t) + η(t)
r (t ) = y (t ) ∗ g R (t )
= x (t ) ∗ c(t ) ∗ g R (t )
= u (t ) ∗ g (t ) ∗ c (t ) ∗ g R (t )
segnale utile
r (t ) =
rumore
(filtrato)
+∞
∑ a (n) h(t − nT)
n = −∞
+∞
= h (t ) ∗ ∑ a ( n ) δ (t − nT )
n = −∞
con
h ( t ) = g ( t ) ∗ c( t ) ∗ g R ( t )
risposta impulsiva della cascata di tre filtri:
formatore di impulso,
canale,
filtro di ingresso al demodulatore
Per le funzioni di trasferimento:
H(f) = G(f) C(f) GR(f)
Il segnale utile r(t) è
ancora un segnale
PAM
con forma di impulso
h(t)
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
19
20
Demodulazione del segnale PAM
in assenza di rumore
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
Demodulazione in assenza di rumore
Obiettivo: ricavare una stima {â(k)} della sequenza di ampiezze
trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione
{w(kT) , k = ..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, …}
Ipotesi: assenza di rumore n(t)=0⇒ η(t)=0
+∞
w(t ) = r (t ) + η (t ) = r (t ) = ∑ a ( n ) h(t − nT )
n = −∞
+∞
w(kT ) = ∑ a ( n ) h( kT − nT )
n = −∞
+∞
= a ( k ) h(0) + ∑ a ( n ) h( kT − nT )
n = −∞ , n ≠ k
coincide con a(k) a
meno della costante
(guadagno) h(0)
Interferenza
intersimbolica (ISI)
componente dipendente dalle ampiezze
trasmesse prima e dopo l’ampiezza
k-esima e dalla funzione h(t) (ISI)
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
21
Interferenza intersimbolo e condizioni di Nyquist
+∞
w(kT ) = a ( k ) h(0) + ∑ a ( n ) h( kT − nT )
n = −∞
Ponendo le condizioni seguenti, dette condizioni di Nyquist:
⎧1,
h(kT ) = ⎨
⎩0,
per k = 0
per k ≠ 0
si ha sempre
w(kT) = a(k)
Il termine di ISI si annulla e la sequenza demodulata coincide
con quella trasmessa (in assenza di rumore).
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
22
Condizioni di Nyquist e forme di impulso limitate nel tempo
Le condizioni di Nyquist risultano soddisfatte, in particolare, quando la
forma di impulso in ricezione, h(t), è limitata nel tempo tra i valori ±T/2.
Esempio:
w(t)
h(t)
1
1
-T -T/2
+T/2 +T
+2T
-T -T/2
+T/2 +T
+2T
Il segnale ricevuto all’uscita del filtro di ricezione è costituito da una sequenza di
impulsi separati tra loro.
PROBLEMA
• Un impulso h(t) di durata limitata nel tempo ha trasformata di
Fourier H(f), illimitata in frequenza (banda infinita).
• Il canale ha banda limitata (C(f) è limitata in frequenza) e,quindi,
H(f) = G(f) C(f) GR(f) deve necessariamente essere limitata in
frequenza ossia nulla per f >f m
.
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
23
24
Condizioni di Nyquist nel dominio della frequenza
Se h(t) soddisfa le condizioni di Nyquist nel dominio del tempo
⎧1
h(kT ) = ⎨
⎩0
per k = 0
per k ≠ 0
la sua trasformata di Fourier H(f) soddisfa la seguente condizione di Nyquist nel
dominio della frequenza
+∞
m⎞
⎛
H⎜ f − ⎟= T
∑
T⎠
⎝
m =−∞
Esempio:
H(f+1/T)
costante
H(f)
H(f)
H(f-1/T)
H(f-2/T)
T
f
-1/2T
0
+1/2T
-2/T
-1/T
0
+1/T
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
+2/T
f
Banda minima per la trasmissione di segnali PAM senza ISI
Dalle condizioni di Nyquist nel dominio della frequenza si deduce che
non è possibile avere forme di impulso h(t) senza interferenza
intersimbolo se H(f) occupa una banda minore di
1 f s velocità di simbolo
= =
fN =
2T 2
2
Banda di Nyquist
H(f)
La somma delle repliche traslate di
una H(f) di frequenza massima
minore di fN non può mai dare
luogo a una costante.
f
-1/2T
0
+1/2T
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
25
Forma d’impulso di Nyquist a banda limitata - passa-basso di Nyquist
26
Una particolare forma di impulso h0(t)
9limitato in banda
9che soddisfa le condizioni di Nyquist
è quella la cui trasformata di Fourier H0(f) è la funzione di trasferimento di
un filtro passa-basso ideale (moltiplicata per il fattore costante T):
⎧T
⎪
H0 ( f ) = ⎨
⎪0
⎩
⎛ t⎞
sin ⎜ π ⎟
T⎠
⎝
h0 (t ) =
t
π
h0(t)
T
1
per f ≤
2T
1
per f >
2T
H0(f)
T
t
0
T
2T
3T
4T
5T
-1/2T
0
+1/2T
6T
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
f
Forma d’impulso di Nyquist a banda limitata
27
Esempio:
Segnale PAM privo di ISI nel caso di forma di impulso h0(t)
h0(t)
H0(f)
+1
T
T
0
t
f
-1/2T
0
+1/2T
r(t)
+1
t
0
-1
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
Forma d’impulso di Nyquist a coseno rialzato
⎧ T, per 0 ≤ f ≤ (1 − γ ) f N
⎪
⎪
⎪⎪ T ⎡
⎤
πT
−
−
1
sin(
(
f
f
))
H( f ) = ⎨
n ⎥ , per (1 − γ ) f N ≤ f < (1 + γ ) f N
⎢
γ
⎦
⎪ 2 ⎣
⎪
⎪
f > (1 + γ ) f N
⎪⎩0 per
γ fattore di roll-off, 0 < γ ≤ 1
γ=1
γ = 0.6
H(f)
T
γ = 0.3
γ=0
0
fN
2fN
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
28
Forma d’impulso di Nyquist a coseno rialzato
29
All’aumentare del fattore di roll-off γ da 0 (filtro passabasso ideale) a 1
Le oscillazioni della h(t) ai due lati del picco dell’impulso si smorzano più
rapidamente.
h(t)
1
γ=1
γ = 0.6
γ = 0.3
γ =0
-4T
-3T
-2T
-T
0
T
2T
3T
Minore criticità nel campionamento in ricezione.
La banda occupata aumenta da fN a fN(1 + γ)
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
t
4T
Forma d’impulso di Nyquist a coseno rialzato
30
Esempio: Segnali PAM privo di ISI per forma di impulso h (t) a coseno rialzato,
(γ =0eγ =1)
h(t)
h(t)
+1
+1
γ =1
γ =0
T
0
T
t
0
r(t)
t
r(t)
+1
+1
0
0
t
-1
-1
Valori di γ di interesse operativo: 0,2 < γ < 0,6
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
t
Ricezione in presenza di interferenza intersimbolo
Se la forma dell’impulso h(t) non rispetta le condizioni di Nyquist, i campioni
del segnale ricevuto sono affetti da interferenza intersimbolo
(anche in assenza di rumori di canale).
Esempio:
Impulso h(t) che non soddisfa le condizioni di Nyquist [in neretto i valori non
nulli di h(kT), per k ≠ 0]
T
Corrispondente segnale PAM [i valori campionati sono diversi dai valori di
T
ampiezza trasmessi ±1]
+1
-1
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
31
32
Segnale PAM multilivello
I simboli sono associati ad α ampiezze diverse (segnale PAM
multilivello ad α livelli)
sorgente
binaria
velocità di
simbolo
binario fb
conversione
di alfabeto
2→α
velocità di
simbolo
modulatore
PAM ad α
livelli
fb
fs=
log2α
canale in
banda base
(freq. max. fm)
fm ≥
fs
fs
=
2 2log2α
Minima banda di canale per trasmissione priva di interferenza
intersimbolo (condizione di Nyquist).
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
Vantaggi e svantaggi del PAM multilivello
All’aumentare del numero di livelli α del segnale PAM utilizzato
abbiamo che:
Aumento dell’efficienza spettrale
Velocità di trasmissione dei simboli binari fb più alta, a parità di banda fm
occupata dal segnale PAM,ovvero riduzione della banda fm occupata
dal segnale PAM a parità di frequenza di simbolo binario fb.
Aumento della probabilità di errore
in presenza di interferenza intersimbolo e/o rumore, a causa
della minore differenza tra valori adiacenti di ampiezza di impulso.
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
33
34
Demodulazione del segnale PAM
in presenza di rumore gaussiano
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
Demodulazione PAM in presenza di rumore di canale
35
Obiettivo: ricavare una stima {â(k)} della sequenza di ampiezze
trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione
{w(kT) , k = ..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, …}
Ipotesi: rumore additivo Gaussiano bianco
w (t ) = r (t ) + η(t ) =
+∞
∑ a (n ) h ( t − nT) + η(t )
(Segnale all’ingresso
del campionatore di ricezione)
n = −∞
Supponendo che la forma di impulso in ricezione, h(t), sia priva di interferenza
intersimbolo, e con h(0) =1, agli istanti di campionamento kT si ha
w(kT ) = r (kT ) + η (kT ) = a ( k ) + η (kT )
Variabile con a valori possibili
Variabile aleatoria
Gaussiana con valore atteso
2
nullo e varianza
σ
η
-∞
2
ση = N 0
∫
+∞
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
G R (f ) df
2
Decisione in presenza di rumore Gaussiano.
Criterio della Massima Verosimiglianza (1/3)
36
w(kT)=a(k)+η(kT)
Problema: Misurato w(kT) w* all’ uscita del campionatore di ricezione,
di possiamo calcolare una “buona” decisione (stima) a(k) del simbolo
≡
trasmesso sulla base di w* ?
Criterio della Massima Verosimiglianza (MLD)
•Misurato w(kT) ≡ w*, si decide a favore della più verosimile tra le ampiezze
∧
{a0 .. aα-1} assumibili dal simbolo a(k), ossia a favore di quell’ampiezza a
alla quale corrisponde la più grande del seguente insieme di probabilità
condizionate {p[w* a(k)= a0 ],…, p[w* a(k)= aα-1]}.
∧
•In formule,la decisione MLD a(k) sul simbolo a(k) è quindi definita
come segue:
∧
a(k)≡argmax{p[w* a(k)= ai]}
0 ≤ i ≤ α −1
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
Decisione in presenza di rumore Gaussiano
Decisore a minima distanza Euclidea (2/3)
w(kT)=a(k)+η(kT),
• Poiché la componente di rumore η(kT) è Gaussiana e a media nulla,
∧
si può provare che la decisione MLD a(k) precedentemente definita è
equivalente a scegliere come decisione a(k) quello tra i possibili
α valori {a0… aα-1} assumibili da a(k) che è più vicino (ossia,dista di meno)
dal valore misurato w(kT)≡w*.
∧
• Quindi, per la decisione MLD a(k) vale la seguente proprietà:
∧
2
a(k)=argmin{(w*- ai) }
0 ≤ i ≤ α −1
IL Decisore MLD è un decisore a minima distanza Euclidea
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
37
Decisione in presenza di rumore Gaussiano
Caso del 2-PAM
(3/3)
w(kT)=a(k)+η(kT)
•Supponiamo che a(k) possa assumere i due valori a(k)=±1 (caso di
modulazione PAM binario)
•Allora il decisore a minima distanza Euclidea si riduce (ossia,
∧
è equivalente) ad un decisore “a soglia” che decide a(k)=+1 quando
∧
w(kT) ≥0 e decide a(k)=-1 quando w(kT)<0, in accordo alla relazione
⎧
∧
⎪
a(k)= ⎨⎪
⎩
+1,
-1,
⎫
per w(kT) ≥ 0⎪⎪
⎬
per w(kT) ≤ 0⎪⎪⎭
(2-PAM)
∧
• Ovviamente, non sempre la decisione a(k) è esatta. Quindi, definiamo
come probabilità d’errore Pe del decisore MLD la quantità:
∧
Pe P(a(k) ≠ a(k)).
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
38
Probabilità d’errore in presenza di rumore gaussiano
Caso 2-PAM
a(k)
w(kT)
p [w(kT) | a(k) = +1]= pη [η=w(kT)-1]
+1
0
p [w(kT) | a(k) = -1]=pη [η=w(kT)+1]
-1
+∞
Pe|−1 =
a(k) = -1
∫
p ⎣⎡ w | a ( k ) = −1⎦⎤ dw =
0
η(kT) > +1
+∞
w(kT) = a(kT) + η(kT) > 0
↓
â(kT) = +1 ≠ a(kT)
w(k) > “errore”
0
Densità di probabilità gaussiana
= ∫ pη (η ) dη = Pe|+1 = Pe
1
Probabilità di errore
(area tratteggiata
in figura)
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
39
Probabilità d’errore nel PAM multilivello
Caso 4-PAM
(1/2)
40
Esempio:
α=4
w(kT)
valori di ampiezza possibili → -A
livelli di decisione →
(criterio MLD)
-A/3
-2A/3
+A/3
0
+A
+2A/3
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base
Probabilità d’errore nel PAM multilivello
Caso 4-PAM
(2/2)
Probabilità d’errore:
per le due ampiezze estreme
(area
)
+∞
→ P =
e
∫ p (η) dη
η
+∞ A / 3
*
per un’ampiezza interna → P = 2
e
(somma delle due aree
)
∫ p (η) dη = 2P
η
A/3
e
41
Probabilità d’errore media
(per simboli equiprobabili)
Formula generale
1
α −1
Pe = [(α − 2 ) 2Pe + 2Pe ] = 2
Pe
α
α
Modulo TLC:TRASMISSIONI – Modulazione numerica in banda base