7 - dieet

CAPITOLO VII
APPLICAZIONI DEI TRANSISTORI BIPOLARI A GIUNZIONE
(G. Lullo, S. Riva Sanseverino)
In questo capitolo verranno esaminate, per i transistori bipolari a giunzione (Bipolar
Junction Transistors - BJT), sia le reti di polarizzazione in funzionamento statico, sia gli
schemi equivalenti per grandi e per piccoli segnali, insieme alle varie funzioni ottenibili nelle
varie configurazioni del BJT.
7.1. - Regioni di funzionamento del BJT.
Nel capitolo precedente si è visto che il BJT può essere impiegato per lavorare in una delle
quattro regioni di funzionamento, le cui definizioni qui di seguito riassumiamo:
1)
Regione attiva o normale: è la regione in cui la giunzione base-emettitore (B-E) è
polarizzata direttamente e la giunzione collettore-base (C-B) è polarizzata
inversamente.
2)
Regione di interdizione: è la regione in cui entrambe le giunzioni sono polarizzate
inversamente (*).
3)
Regione di saturazione: è la regione in cui entrambe le giunzioni sono polarizzate
direttamente.
4)
Regione di funzionamento inverso: è la regione in cui la giunzione B-E è
polarizzata inversamente e la giunzione C-B è polarizzata direttamente; questa
regione è raramente utilizzata nelle applicazioni.
(*)
Più in generale, un BJT si trova a lavorare nella regione di interdizione quando la
giunzione C-B è polarizzata inversamente, mentre la giunzione B-E risulta polarizzata
inversamente oppure direttamente ma al di sotto della tensione di soglia Vγ, in modo da
poter ritenere trascurabile la corrente di base IB (da cui consegue IC ≅ 0).
(7.7 - Febbraio 2005)
G. Lullo, S. Riva Sanseverino - Applicazioni dei transistori bipolari a giunzione
VII . 2
Come si è avuto modo di sottolineare in precedenza, il guadagno di corrente α nella
regione di funzionamento inverso, detto αR, è minore di quello nel funzionamento normale in
quanto la tecnologia di fabbricazione del transistore planare comporta che, nella maggior
parte dei casi, le intensità dei drogaggi delle tre zone E-B-C siano decrescenti spostandosi
dall’emettitore verso il collettore. Di conseguenza, sia l’efficienza di emettitore γ, sia il fattore
di trasporto αT , hanno valori inferiori a quelli che si ottengono nel funzionamento nella
regione attiva o normale.
Le applicazioni più comuni del BJT, nel funzionamento per piccoli segnali, sono
quelle relative allo svolgimento delle funzioni di amplificatore o di adattatore o trasformatore
di impedenza, per le quali applicazioni è necessario far lavorare il BJT nella zona attiva.
Una seconda tipologia di impiego del BJT è quella per grandi segnali negli
amplificatori di potenza: il transistore viene chiamato a funzionare con grandi variazioni della
tensione di collettore (elevata dinamica) tali da interessare l’intera zona attiva.
Infine una terza classe di applicazioni è quella relativa ai circuiti elettronici digitali, in cui
il transistore funziona in commutazione; il BJT viene cioè utilizzato stabilmente solo in due
stati: interdizione e saturazione. In tal modo il BJT simula rispettivamente la condizione di
interruttore aperto (stato OFF) e di interruttore chiuso (stato ON).
7.2. – Polarizzazione statica in zona attiva.
7.2.1– Reti di polarizzazione per componenti discreti.
I problemi che possono presentarsi nella polarizzazione di un BJT in zona attiva
possono ricondursi, da un lato, alla necessità di scegliere il punto di funzionamento in modo
da soddisfare i requisiti dell’applicazione richiesta in regime di piccoli segnali (zona lineare
delle caratteristiche, zona a basse correnti per limitare il rumore nei primi stadi degli
amplificatori di tensione); dall’altro, alla necessità di limitare i problemi di “fuga termica”,
intendendo con questo termine il processo per cui, dissipandosi potenza nel BJT, cresce la
temperatura di giunzione. Ciò, come già visto, porta ad un aumento del β che, a sua volta, fa
aumentare la corrente di collettore e, di conseguenza, la potenza dissipata, dando luogo ad
una reazione di tipo positivo o destabilizzante che può determinare la distruzione del BJT.
G. Lullo, S. Riva Sanseverino - Applicazioni dei transistori bipolari a giunzione
Con
riferimento
alle
polarizzazioni
delle
VII . 3
due
E
giunzioni, chiariamo subito che, anche se negli schemi
sinora utilizzati per l’analisi del funzionamento del BJT
sono state ipotizzate due tensioni di alimentazione, una in
RB
IC
RC
ingresso e l’altra in uscita, normalmente nei circuiti viene
entrambe le polarizzazioni per il funzionamento in zona
+
IB
usata una sola alimentazione, da cui vengono derivate
VCE
+
VBE
attiva.
La rete di polarizzazione più semplice è quella
chiamata “a corrente di base costante”, riportata in fig.1.
Fig. 1
Per questo circuito, con i riferimenti scelti per tensioni e
correnti, si ha:
IB =
( E − V BE )
RB
≅
E
RB
se, come normalmente si verifica, è E >> VBE (altrimenti si può porre per VBE il normale
valore di 0,7 V). L’equazione alla maglia di uscita dà luogo all’equazione della retta di
carico, con pendenza 1/RC nel piano IC – VCE :
VCE = E – R IC
L’intersezione di questa retta condotta nel piano delle caratteristiche di collettore ad
emettitore comune con la caratteristica ad IB = cost. = E / RB , fornisce il punto di riposo del
BJT o anche detto punto di funzionamento statico.
Nel caso in cui non si disponga delle caratteristiche, ma sia noto il β del BJT, si ha, per
le coordinate del punto di riposo:
IC = β IB ≅ β
E
RB
e
RC

V CE = E − R C I C = E  1 − β
RB





da cui si evince che per avere il funzionamento in zona attiva con questo schema, deve
certamente essere β RC < RB (condizione necessaria affinché sia VCE > 0).
Per quanto riguarda il problema della “fuga termica”, la potenza dissipata sul collettore
vale:
G. Lullo, S. Riva Sanseverino - Applicazioni dei transistori bipolari a giunzione
P C = V CE I C = ( E − R C β I B ) β I B = E β I B − R C β
2
VII . 4
I B2
da cui, derivando in funzione della temperatura, si ottiene:
dP C
dT
= I B (E − 2 RC β I B
)
dβ
dT
= I B (E − 2 RC I C
)
dβ
dT
= I B ( 2 V CE − E )
dβ
dT
e dato che dβ / dT è senz’altro maggiore di 0, al fine di verificare una delle condizioni per la
stabilità termica, è opportuno scegliere il punto di riposo in modo che VCE sia minore di E/2 .
Esercizio:
Dimostrare che nel circuito di fig.1 per una buona stabilità deve verificarsi che
RB/2 < β RC < RB .
Esercizio:
Progettare la rete di polarizzazione di fig.1 in modo che la corrente di
collettore sia di 1 mA e che VCE sia pari ad E/3, supponendo che il β del
transistore sia pari a 100. La linea di alimentazione sia a 12 V. Con i valori di
resistenze trovati, si determini il nuovo punto di riposo nel caso che il β sia
pari a 150.
La seconda rete di polarizzazione, detta “a corrente di base autoregolata”, si ottiene
dalla precedente connettendo l’estremo di RB sul collettore piuttosto che sull’alimentazione
secondo lo schema riportato in fig.2.
E
Per la maglia di ingresso si ha:
RB
mentre per la maglia di uscita si può scrivere:
[1]
IC
RC
(VCE – VBE) / RB = IB
VCE = E – (IC + IB)R
+
IB
La retta di carico, di cui al caso precedente, si può correggere sul
piano delle caratteristiche di uscita (soprattutto nel campo delle
VCE
+
VBE
correnti elevate) per tener conto del contributo sottrattivo a VCE dato
dal termine IB R. Riportata la retta di carico così corretta sul piano
Fig. 2
G. Lullo, S. Riva Sanseverino - Applicazioni dei transistori bipolari a giunzione
VII . 5
IC - VCE, il punto di riposo si troverà alla intersezione tra la suddetta retta ed il luogo dei punti
(curva di polarizzazione) per i quali vale:
[2]
VCE = RB IB + 0,7
Se è noto il β del transistore (il che equivale ad avere una terza relazione da aggiungere per
risolvere il sistema con 3 incognite), dalle [1] e [2] si trovano facilmente le tre quantità che
identificano il punto di riposo del transistore, cioè IC, IB e VCE .
Con riferimento alla stabilità termica, si può affermare che con questa rete è
nettamente migliorata rispetto al caso precedente in quanto un aumento della temperatura e
quindi del β, fa aumentare in un primo tempo la corrente di collettore che a sua volta
determina un decremento della VCE che fa diminuire la corrente IB; in questa rete, attraverso
la resistenza RB collegata tra uscita ed ingresso, si innesca una reazione di tipo negativo e
quindi stabilizzante.
Esercizio:
Supponendo di utilizzare un transistore con β pari a 100, si progetti la rete di
fig.2 in modo tale che la corrente di collettore sia di 1 mA, che VCE sia pari ad
E/2 e che E sia pari a 12 V. Con i valori di resistenze trovati, si determini il
nuovo punto di riposo nel caso che il β sia pari a 150.
La rete di polarizzazione maggiormente impiegata nei circuiti amplificatori con BJT è
quella detta “a quattro resistenze” il cui maggior pregio è correlato al fatto che, con una
opportuna scelta delle quattro resistenze, è possibile ottenere una buona stabilità dal punto
di vista termico ed una assai ridotta dipendenza sia del punto di riposo, sia
dell’amplificazione del circuito, dal β del transistore.
La rete in questione è quella riportata in fig.3.a. Essa è facilmente semplificabile
applicando il teorema di Thevenin alla maglia di ingresso, così come riportato in fig.3.b con
R eq =
R1 R 2
ed
R1 + R 2
E eq = E
L’equazione alla maglia d’ingresso fornisce:
Eeq = Req IB + VBE + RE IE
R2
R1 + R 2
G. Lullo, S. Riva Sanseverino - Applicazioni dei transistori bipolari a giunzione
VII . 6
E
R1
E
IC
RC
Req
+
IB
+
IB
VCE
VCE
+
R2
RE
IC
RC
Eeq
RE
IE
a)
VBE
IE
b)
Fig. 3
Dato che I B =
IE
1+ β
, si ottiene:
 R eq
E eq = 
+RE
 1 + β

 I E + V BE

da cui per la corrente che scorre sull’emettitore si ha:
IE =
E eq − V BE
R eq
1+ β
+RE
Dato che IC ≅ IE, scrivendo l’equazione alla maglia di uscita si trova VCE ; è infatti:
VCE = E – IC (RC + RE)
Al fine di rendere la IE (e quindi la IC e la VCE) insensibile alla variazioni della temperatura, del
β e più in generale alla “dispersione” dei parametri del transistore, è necessario che si
verifichino le seguenti disuguaglianze:
Eeq >> VBE
e
RE >> Req / (1 + β )
G. Lullo, S. Riva Sanseverino - Applicazioni dei transistori bipolari a giunzione
VII . 7
Infatti in tal caso si avrebbe che IE = Eeq / RE ed i valori delle grandezze che individuano
il punto di riposo sarebbero totalmente indipendenti dal BJT. Si osservi però che la tensione
sulla base Eeq non può, per data tensione di alimentazione E, essere molto elevata, in
quanto maggiore è Eeq, minore è la somma della tensione collettore-base e della tensione ai
capi di RC. D’altronde, per avere una grande dinamica del segnale sul collettore, la caduta di
tensione statica su RC è bene che sia elevata, come pure la tensione VCB; un buon
compromesso tra queste contrastanti esigenze si ottiene scegliendo una partizione di E tra
le tre cadute di tensione in modo che un terzo cada su RC , un terzo ai capi di VCE ed un terzo
cada su RE.
Con riguardo alla seconda disuguaglianza, si potrebbero scegliere le resistenze del
partitore in modo da ottenere una Req piccola; questa scelta però, oltre a far aumentare la
corrente assorbita dall’alimentatore, abbassa la resistenza d’ingresso in funzionamento
dinamico. A questo punto si potrebbe pensare che una buona scelta sarebbe quella di far
ricorso a resistenze di valore elevato; però, al fine di assicurare una buona stabilità dal punto
di vista termico, è necessario progettare il partitore come se funzionasse a vuoto, cioè la
corrente che scorre nella serie delle due resistenze R1 ed R2 deve essere maggiore della
corrente IB spillata dalla base. Anche in questo caso un buon compromesso si raggiunge
facendo in modo che la corrente che scorre nel partitore sia pari a (0,1 ÷ 1)IE. Con questa
ipotesi e con i normali valori di β, la tensione del terminale di base rispetto a massa è
costante e pari ad Eeq; al crescere della temperatura e quindi del β, aumenta la corrente di
collettore che a sua volta determina un aumento della tensione ai capi di RE con una
conseguente diminuzione della VBE che pilota il BJT. Ancora una volta questo è un esempio
di reazione negativa o stabilizzante in grado di neutralizzare le variazioni di temperatura. Si
osservi che, come verrà chiarito in seguito, la resistenza RE può parzializzarsi con una
capacità in parallelo, al fine di realizzare un buon compromesso tra la stabilità termica ed
una buona amplificazione nel funzionamento per piccolo segnale.
Esercizio:
Trovare il punto di riposo per il BJT di fig.3.a, assumendo che il β del
transistore sia 100, che l’alimentazione sia di 15 V e che R1 = 100 kΩ,
R2 = 50 kΩ, RC = 5 kΩ ed RE = 3 kΩ. Ripetere il calcolo con β = 120.
G. Lullo, S. Riva Sanseverino - Applicazioni dei transistori bipolari a giunzione
VII . 8
E
Una qualche difficoltà può presentare il
caso del calcolo della polarizzazione statica
per due stadi amplificatori accoppiati in
R1
RC1
RE2
RE1
RC2
continua, come indicato in fig.4. In tal caso si
procede
inizialmente
precedente,
assumendo
come
che
nel
la
caso
corrente
assorbita dalla base del secondo stadio sia
trascurabile rispetto la corrente di collettore del
R2
primo stadio. Una volta trovati i risultati in
questa ipotesi, si procede ad un secondo ciclo
di calcoli considerando la corrente di base
assorbita dal secondo stadio, pervenendo così
Fig. 4
ad una soluzione molto ben approssimata.
Esercizio:
Si calcolino i valori di polarizzazione statica dei due transistori del circuito di
fig.4, verificando che ambedue i BJT siano in zona attiva. Si supponga che i
transistori abbiano un β di 100, la linea di alimentazione E sia a 15 V e che i
componenti abbiano i seguenti valori:
R1 = 100 kΩ, R2 = 50 kΩ, RC1 = 5 kΩ, RE1 = 3 kΩ, RE2 = 2 kΩ, RC2 = 2,7 kΩ. Si
ripeta il calcolo, assumendo per β il valore di 150.
7.2.2. – Reti di polarizzazione per BJT integrati.
Nel processo di integrazione su silicio di dispositivi attivi e passivi si può sfruttare il
fatto che la tecnologia del silicio è così perfezionata che si è in grado di integrare transistori
perfettamente identici tra loro e ciò consente di utilizzare schemi di polarizzazione, da un lato
certamente più complessi, ma dall’altro in grado di fornire soluzioni molto stabili dal punto di
vista termico. I due schemi circuitali che seguono prendono il nome di “specchi di
corrente” in quanto la soluzione in funzionamento statico fornirà per i due transistori
impiegati la stessa corrente (o quasi) di collettore.
G. Lullo, S. Riva Sanseverino - Applicazioni dei transistori bipolari a giunzione
VII . 9
Si esamini inizialmente il circuito di fig.5.
E
Nell’ipotesi che i due BJT siano identici ed in
contatto termico, si può scrivere:
IC1 =
E − V BE
RC1
RC1
IC2
RC2
− I B1 − I B 2
IC1
IB1
se E >> VBE e IC1 >> IB1 + IB2, si ottiene che
IB2
Q1
+
IC1 ≅ E/R1 = cost.
Q2
+
VBE
VBE
Ma se i due transistori sono eguali, dato che
sono pilotati con lo stesso valore di VBE, deve
Fig. 5
essere IC1 = IC2 ; pertanto il circuito, visto dalla
resistenza RC2 , si comporta come un generatore di corrente costante pari ad E/RC1. Per tale
interessante proprietà, il circuito viene spesso impiegato eliminando la RC2 ed inserendo al
suo posto un intero circuito elettronico che debba essere alimentato a corrente costante
(vedi amplificatore differenziale di fig.7).
Si osservi che il primo BJT è connesso a diodo e quindi la VBE sarà pari a
0,026 ln E / (RC1 IS), avendo indicato con IS la corrente inversa del diodo base-emettitore. Si
osservi inoltre che, non essendo presenti nell’espressione approssimata di IC1 né il β né la
VBE , la corrente IC2 non dipende dalla temperatura alla quale si portano i due transistori.
Uno schema un pò più versatile può essere derivato da quello di fig.5, ponendo due
resistenze eguali, RB1 ed RB2, in serie alle due basi, così come indicato in fig.6. Sempre
considerando identici i due transistori e che quindi eguali saranno anche le due correnti di
base, si può scrivere:
IC1 =
E − V CE 1
RC1
E
−2IB
RC1
IC2
RC2
ed anche
VCE1 = VBE + IB RB1 ;
RB1
sostituendo nella precedente, si ottiene:
IB1
IC1
Q1
IC1 =
E − V BE
RC1
 R B1

− I B 
+ 2 
 RC1

+
+
RB2
VCE1
IB2
Q2
+
VBE
VBE
Fig. 6
G. Lullo, S. Riva Sanseverino - Applicazioni dei transistori bipolari a giunzione
VII . 10
se E >> VBE e E / RC1 >> IB1 (RB1 / RC1 + 2), si ha, come nello schema precedente, che
IC1 ≅ E / RC1, ma poiché è IC1 = IC2, anche in questo caso la corrente di polarizzazione del
collettore del secondo transistore è indipendente dallo stesso. In questo schema, se si
sceglie RC2 = RC1 / 2 , si ottiene per il secondo transistore Q2 che la tensione di collettore è
molto prossima a E / 2 e quindi al centro della zona attiva, senza le limitazioni derivanti dalla
connessione a diodo del primo transistore dello schema precedente (in cui si ha
VCE1 = VBE = 0,7 V).
Una configurazione molto utilizzata nei circuiti integrati è quella che impiega due BJT
con gli emettitori accoppiati, chiamata anche “coppia differenziale”, secondo lo schema
di fig.7; in questo schema il generatore di corrente IE nel quale confluiscono le correnti dei
due emettitori può essere realizzato con uno specchio di corrente. Per l’analisi del
funzionamento del circuito si assuma anche in questo caso che i due BJT siano identici e
che le resistenze di collettore RC1 e RC2 siano eguali.
Considerando
la
maglia
E
formata dai due generatori esterni
v1 e v2 e dalle due giunzioni base-
RC1
emettitore dei BJT, con i riferimenti
indicati
in
figura,
è
IC1
RC2
IC2
possibile
scrivere:
vO1
[3]
v1 – VBE1 + VBE2 – v2 = 0 ;
vO2
Q1
Q2
+
avendo inteso v1 e v2 come i valori
istantanei di tensione forniti dai due
generatori
correnti
indicato
di
di
con
segnale.
Per
collettore,
IE01
+
VBE1
VBE2
v1
v2
le
avendo
ed
IE
IE02
rispettivamente le correnti inverse
delle giunzioni emettitore-base dei
Fig. 7
due BJT, si ha:
q V BE 1
I C 1 ≅ α I EO 1 e
kT
q V BE
ed
I C 2 ≅ α I EO 2 e
2
kT
avendo trascurato l’unità rispetto all’esponenziale nell’equazione del diodo. Facendo il
rapporto tra le due correnti si ottiene:
G. Lullo, S. Riva Sanseverino - Applicazioni dei transistori bipolari a giunzione
IC1
IC2
q ( V BE 1 − V BE
=e
2
VII . 11
)
kT
;
ma dalla [3] si ha che VBE1 - VBE2 = v1 – v2 = vD , cioè la tensione “differenza” tra le due
tensioni applicate ai due ingressi e quindi si può scrivere che
IC1
IC2
=e
qvD
vD
kT
VT
=e
;
avendo indicato con VT = kT/q la “tensione equivalente alla temperatura T”. La corrente IE
del generatore di corrente è data da:
IE = IE1 + IE2 = IC1 / α + IC2 / α ;
combinando quest’ultima con la precedente, si ottiene:
IE
IC1 = α
−
1+e
vD
IE
IC 2 = α
e
VT
vD
1+e
VT
i cui andamenti, in funzione di vD sono riportati in fig.8. Come è facile notare, il circuito è
molto sensibile alla differenza tra le due tensioni d’ingresso (per questo motivo, come già
sopra si è detto, il circuito è chiamato coppia differenziale) ed ha un campo di linearità molto
ristretto nell’intorno del valore
VT:
allorché
la
tensione
IC1
differenza vD supera in valore
IC2
α IE
assoluto la quantità 4VT, uno dei
IC1
due transistori va in interdizione
e tutta la corrente del generatore
scorre nell’altro.
α IE /2
Le tensioni di uscita del
circuito valgono:
IC2
vO1 = E – IC1 RC1
vO2 = E – IC2 RC2
-5
-4
-3 -2
-1
0
Fig. 8
1
2
3
4
5
vD [VT]
G. Lullo, S. Riva Sanseverino - Applicazioni dei transistori bipolari a giunzione
VII . 12
Quindi se vD > 4VT, la corrente IE passa tutta nel primo BJT, la cui uscita si può fare
piccola con una opportuna scelta della resistenza RC e la tensione di uscita del secondo
BJT (interdetto) assume il valore della tensione di alimentazione E .In tal modo il circuito può
funzionare in commutazione, simulando bene il comportamento da interruttore.
Esercizio:
Tracciare la caratteristica di trasferimento vO = vO1 – vO2 in funzione di vD per
la coppia differenziale studiata.
7.3. – Modelli del BJT per grande segnale.
Un
primo
modello
αR IC
del
transistore è stato ideato da Ebers e
Moll
utlizzando
il
principio
di
α IE
IE
IC
E
C
sovrapposizione degli effetti, di cui si
è vista una applicazione particolare
+
(IE0)
IB
nel capitolo precedente, al fine di
VCB
VEB
fornire una descrizione completa del
+
(IC0)
B
funzionamento del transistore sotto
Fig. 9
l’aspetto propriamente “elettrico” o
circuitale. Da questo punto di vista, l’effetto transistorico può essere descritto come segue.
La corrente che attraversa ciascuna delle giunzioni è scomponibile in due parti: una è la
corrente “propria” della giunzione, quella, cioè, che si calcola in base alla polarizzazione
della giunzione in assenza di corrente nell’altra giunzione; l’altra componente è una frazione
(α o αR) della corrente che fluisce nella giunzione adiacente. Ciò equivale a scomporre il
transistore in due bipoli, ciascuno formato da due rami in parallelo: un ramo rappresenta il
diodo corrispondente alla giunzione considerata, l’altro è un generatore ideale di corrente,
comandato dalla corrente nell’altra giunzione. Con queste considerazioni è possibile ricavare
un modello circuitale, indicato in fig.9, per un transistore n-p-n.
Per questo modello valgono le seguenti equazioni:
I C = α I E − I CO
 − V CB



VT
−1 
e




e
I E = α R I C − I EO
 − V EB



VT
−1 
e




G. Lullo, S. Riva Sanseverino - Applicazioni dei transistori bipolari a giunzione
avendo indicato con ICO ed IEO i valori assoluti delle
C
VII . 13
IC
correnti inverse di saturazione delle due giunzioni.
Il modello di Ebers e Moll è un circuito equivalente
α IEO exp(VBE/VT)
al transistore; si noti che esso è un circuito non lineare,
rappresentato da equazioni non lineari.
Un modello semplificato rispetto a quello di Ebers e
Moll può dedursi partendo dalla considerazione che il BJT
è
fondamentalmente
rappresentato
da
un
IB
+
diodo
polarizzato direttamente (la giunzione E-B) e che la
VBE
corrente che scorre in questo diodo si trova, quasi per la
IE
E
sua totalità, ad attraversare una giunzione polarizzata
Fig. 10
inversamente (la giunzione C-B) come corrente inversa e
quindi indipendentemente dalla tensione ai suoi capi.
Pertanto nel funzionamento per grandi segnali, il BJT si può schematizzare con un
circuito del tipo rappresentato in fig. 10, anche se da questo se ne possono derivare altri,
sempre con un diodo ed un generatore pilotato, cambiando la configurazione o il parametro
che comanda il generatore comandato. Ovviamente trattasi di reti equivalenti non lineari per
effetto della relazione esponenziale che lega la corrente alla tensione ai capi del diodo
polarizzato direttamente.
7.4. – Modelli del BJT per piccolo segnale.
E
Si supponga adesso che alla tensione continua che pilota il
RC
diodo B-E, venga ad aggiungersi una tensione variabile, ad
esempio sinusoidale, ma il cui valor massimo sia piccolo,
dell’ordine del mV, come indicato nel circuito di fig. 11. Quindi
possiamo porre il valore istantaneo della tensione di base vBE :
vbe
vBE = VBE + vbe
avendo indicato con vbe la tensione variabile di piccola ampiezza
VBE
(il segnale) sovrapposta alla tensione continua VBE. Dato che in
zona attiva è:
Fig. 11
IC
G. Lullo, S. Riva Sanseverino - Applicazioni dei transistori bipolari a giunzione
VII . 14
v BE
i C = α i E = α i EO e
VT
supponendo che in funzionamento dinamico per piccolo segnale i valori di α e β sono eguali
a quelli determinati in continua e sostituendo in quest’ultima espressione la precedente, si
ottiene:
V BE
i C = α i EO e
v be
VT
e
VT
v be
= IC e
VT
ma se vbe è molto minore di VT, è possibile espandere l’esponenziale in serie e troncare lo
sviluppo in serie al primo termine, con il risultato che la corrente totale di collettore si può
mettere sotto la forma:
v be

i C ≅ I C  1 +
VT


 .


La componente variabile della corrente di collettore, che vale ic = IC vbe / VT , si può
scrivere come ic = gm vbe, avendo definito transconduttanza del transistore la quantità
gm = IC / VT. Tale quantità risulta correlata al valore della corrente statica di polarizzazione del
collettore ed il suo valore è normalmente più elevato della gm dei FET: infatti per una corrente
di riposo pari ad 1 mA, la transconduttanza del BJT vale circa 40 mS. Pertanto per segnali
vbe di piccola ampiezza rispetto a 0,026 V, l’uscita si comporta come un generatore pilotato
dalla tensione vbe, con una resistenza in parallelo che in prima ipotesi possiamo ammettere
infinita (sappiamo che questa è una approssimazione in quanto abbiamo esaminato che le
caratteristiche di uscita ad emettitore comune mostrano una pendenza, dovuta all’effetto
Early, che dà luogo ad una resistenza di uscita ro ).
Per il circuito d’ingresso possiamo scrivere:
iB =
dove i b =
I C v be
β VT
=
v be g m
β
iC
β
=
IC
β
+
I C v be
β VT
=IB +ib
; quindi la resistenza dinamica vista dalla base vale:
v be
ib
=
β
gm
= rπ
G. Lullo, S. Riva Sanseverino - Applicazioni dei transistori bipolari a giunzione
ib
e pertanto la resistenza dinamica in ingresso rπ,
nella
configurazione
ad
emettitore
comune,
è
proporzionale
alla
corrente
ic
B
C
+
vbe
direttamente proporzionale al β del transistore ed
inversamente
VII . 15
gm vbe
rπ
di
polarizzazione del collettore. E’ importante osservare
che il prodotto della transconduttanza
gm
per la
E
resistenza d’ingresso rπ è pari al β del BJT:
Quanto
sinora
sviluppato
ci
Fig. 12
consente
di
disegnare lo schema equivalente dinamico lineare del BJT nel funzionamento a bassa
frequenza per piccoli segnali e per la configurazione ad emettitore comune; il circuito
rappresentativo del BJT è riportato in fig.12 ed è importante osservare che, a differenza dei
precedenti schemi, questo è un circuito lineare e rimane sempre valido, allorché sia verificata
l’ipotesi del funzionamento per piccoli segnali e che non si vari il punto di riposo del BJT. In
questo senso lo schema equivalente lineare diventa uno strumento indispensabile per le
analisi dei circuiti amplificatori che si affronteranno nel successivo paragrafo.
7.5. – Modelli del BJT in configurazione a base comune.
Per quanto riguarda la configurazione a base comune, lo schema di fig.10 si modifica
in quello disegnato in fig.13 a); in questo
α IEO exp(-VEB/VT)
caso, guardando il circuito dall’emettitore, è
possibile scrivere, ritenendo ancora valide
le
ipotesi
già
richiamate
nel
iC
=
α
ma poiché i e =
re =
C
+
precedente:
iE =
E
caso
v eb
ie
=
IC
α
+
ic
α
I C v eb
α VT
VT
IE
=α
iE
iC
iB
VEB
a)
=IE +ie
= v eb
VT
IC
=
IE
VT
α
gm
B
gm veb
re
, si ha:
E
≅
rπ
C
+
β
ib
veb
b)
B
Fig. 13
ic
G. Lullo, S. Riva Sanseverino - Applicazioni dei transistori bipolari a giunzione
VII . 16
da cui è possibile disegnare il circuito equivalente lineare per piccoli segnali nella
configurazione a base comune (fig.13 b).
Quindi, riassumendo, una volta noto il punto di riposo ed il β del transistore, è possibile
conoscere i parametri del circuito equivalente dinamico:
rπ = β / gm
gm = IC / VT
re = rπ / β
Pertanto, l’analisi completa di un circuito a transistori che debba funzionare in regime di
piccoli segnali, necessita inizialmente dell’analisi statica e successivamente, tramite le reti
equivalenti lineari rappresentative del transistore, è possibile dedurre tutte le quantità che
interessano le applicazioni cui detti circuiti sono finalizzati (amplificazione, trasformazione del
livello di impedenza, etc..).
7.6. – Modelli del BJT di seconda approssimazione.
Per
maggior
precisione
nel
circuito
ib
equivalente lineare per piccoli segnali ad
emettitore comune, occorre tener conto della
resistenza dinamica d’uscita ro, collegata.
ic
B
C
+
vbe
gm vbe
rπ
ro
come già si è detto, all’effetto Early ed
evidenziata dalla pendenza non nulla delle
caratteristiche
di
uscita
nella
detta
configurazione. Cioè, la corrente di collettore,
E
Fig. 14
oltre a dipendere dalla tensione vbe, cresce al
crescere della tensione di collettore. Si è già visto che tale pendenza può essere espressa
come rapporto tra la tensione di Early VA e la corrente di collettore di riposo IC ; quindi
ro = VA / IC. Tenendo conto di questa resistenza di uscita, il circuito equivalente di fig.12 si
modifica come indicato in fig. 14.
Oltre alla resistenza di uscita ro, lo schema equivalente lineare del BJT nel
funzionamento per piccoli segnali ad emettitore comune, può essere ulteriormente
perfezionato inserendo altre due resistenze, l’una rbb’ posta in serie alla base ed inserita tra
la base interna B’ (non accessibile dall’esterno) e la base esterna B (accessibile), che
richiama l’effetto di “resistenza di base” studiata nel precedente capitolo, e la seconda rµ
posta tra il terminale di base interna B’ ed il collettore C, che tiene conto dell’influenza
G. Lullo, S. Riva Sanseverino - Applicazioni dei transistori bipolari a giunzione
B
del fatto che il BJT è un
dispositivo
bilaterale.
rbb’
ib
dell’uscita sull’ingresso e quindi
Con
rµ
B’
+
vb’e
VII . 17
ic
C
gm vb’e
rπ
ro
riguardo ai valori normali di
queste due resistenze, mentre
la
prima
10 ÷ 100 Ω,
è
dell’ordine
la
dei
seconda
E
è
Fig. 15
dell’ordine del MΩ.
Lo schema equivalente, completato con queste due resistenze, assume l’aspetto
indicato in fig.15.
Esercizio:
Per
il
circuito
a
fianco,
si
+10V
determinino,
nell’ipotesi che β sia pari a 100:
RC
1) I valori delle grandezze statiche del BJT;
RB
3 kΩ
Ω
220 kΩ
Ω
2) Il circuito in funzionamento dinamico con lo
schema equivalente del BJT;
3) I valori del rapporto vu / vs nei due casi In cui
ro = ∞ , ro = 10 kΩ.
vs
3V
7.7. – Il BJT come amplificatore.
7.7.1. – Rette di carico statica e dinamica.
Come è stato evidenziato nei precedenti paragrafi, nel progetto di un amplificatore a
BJT occorre separare il funzionamento statico da quello dinamico, in modo tale che il
secondo non influenzi il primo. Questa separazione viene normalmente effettuata tramite
l’impiego di condensatori di capacità abbastanza elevata (dell’ordine del µF ed è per questo
motivo che la soluzione che sarà presentata è accettabile per amplificatori a componenti
discreti e non integrati) sia per l’accoppiamento in ingresso del segnale, sia per
l’accoppiamento con la resistenza di carico o con stadi successivi. Si è anche visto che per
avere una buona stabilità termica della corrente IC di riposo del BJT, è opportuno inserire una
resistenza RE in serie all’emettitore. Nel caso in cui nel funzionamento dinamico l’inserimento
G. Lullo, S. Riva Sanseverino - Applicazioni dei transistori bipolari a giunzione
VII . 18
di RE riducesse eccessivamente l’amplificazione di tensione, parte di questa resistenza può
essere posta in parallelo con una capacità di valore elevato (capacità di by-pass), in modo
da ridurre il carico dinamico sull’emettitore alle frequenze più basse contenute nel segnale.
La presenza delle capacità di by-pass e delle capacità di accoppiamento fra collettore
di un BJT e carico o fra collettore ed un eventuale stadio amplificatore in cascata dà luogo ad
una retta di carico o ad un luogo di punti (nel caso di impedenza di carico) sulle
caratteristiche di uscita del BJT nettamente distinti in funzionamento dinamico dalla retta di
carico statica, a causa del diverso comportamento dei componenti citati nei due regimi di
funzionamento.
7.7.2. – Configurazioni del BJT amplificatore.
Per lo stesso BJT, a seconda della configurazione (emettitore comune, collettore
comune e base comune), è possibile avere prestazioni diverse in termini delle quattro
grandezze che caratterizzano un amplificatore che sono:
- amplificazione di tensione;
- amplificazione di corrente;
- resistenza d’ingresso;
- resistenza di uscita.
In generale si può affermare che in un amplificazione di tensione ideale, la resistenza
d’ingresso deve essere ∞ e la resistenza di uscita nulla.
Per la configurazione dell’amplificatore ad emettitore comune, che è quella
maggiormente utilizzata, si farà riferimento allo schema riportato in fig 16, dove, come già si
è detto, è inserita la resistenza RE in serie all’emettitore allo scopo di aumentare la stabilità
del BJT rispetto alle variazioni della temperatura e del β . Per l’analisi del circuito in
funzionamento dinamico, i due condensatori di accoppiamento C1 e C2 hanno la funzione di
separare il circuito di polarizzazione a 4 resistenze rispettivamente dal generatore di segnale
vS (di cui è evidenziata la resistenza interna RS) e dalla resistenza di carico RL. Si ipotizzi che
tali condensatori siano dimensionati in modo che la loro reattanza, alle frequenze più basse
contenute nel segnale, sia trascurabile rispetto alle resistenze da loro viste e quindi, in
funzionamento dinamico, sia possibile considerarle dei cortocircuiti.
G. Lullo, S. Riva Sanseverino - Applicazioni dei transistori bipolari a giunzione
Supponendo
VII . 19
E
nota,
secondo quanto indicato nel par.
R1
7.2, l’analisi statica, da questa è
possibile conoscere i parametri
RS
gm ed rπ del circuito equivalente
in funzionamento dinamico ed in
approssimazione
C2
C1
RL
+
bassa frequenza, trascurando in
prima
RC
+
vo
R2
vs
la
RE
resistenza dinamica di uscita rO.
Con queste ipotesi il circuito
completo in regime di piccoli
segnali è quello riportato in
Fig. 16
fig.17. Val la pena di ricordare
che, in questo tipo di funzionamento, la linea di alimentazione E, dato che la variazione nel
tempo di una tensione continua è, per definizione, nulla, si deve intendere connessa al
potenziale di massa. Di conseguenza, R1 si trova ad essere in parallelo ad R2, e la resistenza
risultante è stata indicata nello schema come Req.
Nel circuito di fig.17, oltre al generatore di ingresso con tensione vS e resistenza
interna RS, alla tensione di uscita vO e le correlate correnti d’ingresso ii e di uscita iO, sono
indicate le coppie di terminali ai quali vengono definite le resistenze d’ingresso Ri e di uscita
RO. Si ricordi che per il calcolo della resistenza di uscita RO, va cortocircuitato il generatore
di tensione
vS, va inserito un generatore di servizio ai terminali di uscita e calcolato il
RS
ib
ic
io
+
+
vbe
vs
rπ
Req
gm vbe
RC
RL
RE
Ri
Fig. 17
Ro
Fig
G. Lullo, S. Riva Sanseverino - Applicazioni dei transistori bipolari a giunzione
VII . 20
rapporto tra la tensione di questo generatore e la corrente assorbita dal circuito. Trascurando
la resistenza interna RS del generatore di ingresso, per la maglia di ingresso si può scrivere:
vS = ib rπ + (1 + β ) RE ib
e pertanto la resistenza rb vista dalla base del BJT, vale:
rb = rπ + (1 + β ) RE
cioè la resistenza propria presentata dal BJT rπ viene notevolmente incrementata dalla
resistenza posta sull’emettitore moltiplicata per il β del BJT. La resistenza d’ingresso Ri
dell’amplificatore risulta essere rb in parallelo ad Req.
La resistenza di uscita RO è pari ad RC, in quanto il circuito d’ingresso è inattivo perché
esclusivamente alimentato attraverso un generatore ideale di corrente gmvbe il cui parametro
di controllo è nullo. Naturalmente diverso sarebbe stato il risultato nel caso si fosse
considerata la presenza della resistenza di uscita del BJT, pari ad rO, in quanto attraverso
questo ramo si sarebbe potuta realizzare l’alimentazione del circuito d’ingresso da parte del
generatore indipendente.
Per il calcolo della amplificazione di tensione, si può scrivere per la maglia di uscita:
vO = - gmvbe (RC // RL)
e dato che
v be =
v s rπ
[ r π + (1 + β ) R E ]
si ha:
AV =
vo
vs
=
− g m rπ
(RC
// R L
)
[ r π + (1 + β ) R E ]
Da quest’ultima espressione si può osservare che l’amplificazione di tensione si può
aumentare scegliendo RL >> RC e cortocircuitando a massa la RE tramite una capacità di
elevato valore; in tal caso si avrebbe che
AV,max = - gm RC
G. Lullo, S. Riva Sanseverino - Applicazioni dei transistori bipolari a giunzione
VII . 21
Questo vantaggio si paga, oltre che per il fatto che l’amplificazione di tensione
dipenderebbe dal gm del BJT, con una minore resistenza d’ingresso, la quale, anche con una
opportuna scelta delle resistenze del partitore sulla base, si ridurrebbe ad rπ.
Nel caso in cui si desideri una amplificazione indipendente dal particolare BJT
impiegato, bisogna lasciare al suo posto la RE e fare in modo che sia (1 + β ) RE >> rπ. In tal
caso l’amplificazione di tensione diventa:
R C // R L
AV ≅ −
RE
Poiché, in genere, i criteri di progetto del circuito in funzionamento statico conducono a
valori di RE che potrebbero non soddisfare le specifiche relative al funzionamento dinamico,
è possibile adottare lo schema di fig.18, in cui la RE è stata suddivisa in due resistenze: nel
funzionamento statico, la resistenza di emettitore è data dalla somma di RE1 ed RE2 ; nel
funzionamento dinamico, invece, la resistenza di emettitore coincide con la sola RE1, visto
che la RE2 risulta cortocircuitata dalla capacità CE di by-pass, di valore opportuno.
Nota l’amplificazione di tensione dello stadio studiato, è abbastanza semplice ricavare
l’amplificazione di corrente, ricordando che, per Rs = 0, è vs = ib rb e vo = io RL .
Esercizio:
Progettare un amplificatore ad emettitore comune secondo lo schema di
fig.18, in modo da ottenere un’amplificazione di tensione vo/vs pari a -20. Il
BJT utilizzato abbia un β = 100, VA = 100 V e sia polarizzato con IC = 10 mA,
utilizzando una alimentazione E pari a 15 V. Si consideri XC1 = XC2 = XCE = 0.
E
R1
RS
RC
C1
RL
+
vs
C2
R2
RE1
RE2
Fig. 18
CE
+
vo
G. Lullo, S. Riva Sanseverino - Applicazioni dei transistori bipolari a giunzione
VII . 22
Una seconda configurazione
molto
utilizzata
negli
E
stadi
R1
amplificatori è quella a collettore
comune,
più
chiamata
comunemente
“inseguitore
RS
di
C2
emettitore o emitter follower”. La
caratteristica
più
pregevole
di
C1
+
R2
vs
questa configurazione è quella di
RE
RL
presentare una elevata resistenza
+
vo
d’ingresso ed una bassa resistenza
di uscita e viene generalmente
Fig. 19
usata come stadio “adattatore” o
“trasformatore
di
impedenza”
(stadio buffer) da inserire tra un generatore di segnale con resistenza interna non
trascurabile ed una resistenza di carico di valore ridotto.
Il circuito completo è quello riportato in fig.19 ed il relativo schema equivalente
dinamico è indicato in fig. 20. Come è facile osservare nelle due figure, dato che il segnale di
uscita differisce dal segnale d'ingresso per la caduta dinamica ai capi della giunzione B-E,
l'amplificazione, intesa come rapporto tra questi due segnali, non può che essere minore,
anche se di poco, minore dell'unità.
Nell’ipotesi che la resistenza interna RS del generatore sia trascurabile, per la maglia
d’ingresso è possibile scrivere:
vS = ib rπ + ib (1 + β ) RE // RL
RS
ib
ic
+
+
vbe
rπ
gm vbe
io
vi
Req
+
RE
Ri
rb
RL
vo
Ro
Fig. 20
G. Lullo, S. Riva Sanseverino - Applicazioni dei transistori bipolari a giunzione
VII . 23
e pertanto la resistenza vista dal terminale di base vale:
rb = vs /ib = rπ + (1 + β ) RE // RL
quindi la resistenza d’ingresso Ri sarà pari al parallelo tra questa resistenza rb e la resistenza
equivalente Req.
Per il calcolo dell’amplificazione di tensione, la tensione di uscita vale:
vo = ib (1 + β ) (RE // RL)
e pertanto per l’amplificazione AV risulta:
AV =
vo
vs
=
(1 + β )( R E // R L )
≅1
[ r π + (1 + β )( R E // R L ) ]
Per la resistenza di uscita, si può applicare un generatore indipendente di tensione v
al posto di RL e valutare il rapporto tra questa
tensione e la corrente i assorbita dal circuito
con vS = 0, così come indicato nel circuito
dinamico di fig.21.
+
vbe
gm vbe
rπ
i
Dato che v = - vbe, si ha:
+
i = v / RE + v / rπ + gm v =
RE
v
= v (1 / RE + 1 / rπ + gm)
e quindi la resistenza di uscita RO = v / i , se è
verificato che (1 + β ) >> rπ / RE , risulta pari a
1/gm ≅ re.
Esercizio:
Fig. 21
Ro
Si determini l’espressione della resistenza di uscita dello stadio “emitter
follower” di fig.19 nel caso in cui si prendano in considerazione sia la
resistenza RS del generatore vS, sia la resistenza di uscita del BJT rO.
Esercizio:
Progettare uno stadio “emitter follower” secondo lo schema di fig.19,
supponendo che il BJT impiegato abbia un β pari a 100, una tensione di Early
di 100 V, una corrente di collettore statica di 10 mA. Si ipotizzi di utilizzare una
linea di alimentazione E = 15 V, che RL = 5 kΩ e che RS = 250 Ω.
G. Lullo, S. Riva Sanseverino - Applicazioni dei transistori bipolari a giunzione
RS
C1
VII . 24
C2
+
RE
vs
RC
R2
+
RL
vo
R1
E
CB
Fig. 22
La terza configurazione è quella dell’amplificatore a base comune, in cui il segnale di
ingresso è applicato sull’emettitore, il segnale di uscita viene prelevato sul collettore ed il
terminale di base è, in funzionamento dinamico, in comune con i circuiti di ingresso e di
uscita. L’amplificatore a base comune è riportato in fig.22 ed in fig.23 è indicato lo schema
equivalente per piccoli segnali. Il condensatore CB è ancora una capacità di by-pass che ha
la funzione di portare il terminale di base a massa in funzionamento dinamico.
Considerando
trascu-
rabile la resistenza RS, si può
RS
ie
ic
scrivere:
+
vS = ie re
+
veb re
e vO = iC (RC //RL)
e pertanto l’amplificazione di
gm veb
+
RC
vs
RL
tensione vale:
AV = vO / vS = (RC//RL) / re
La
resistenza
ancora
d’ingresso
è
Fig. 23
re e la resistenza di
uscita, guardando l’amplificatore dalla resistenza di carico RL, risulta essere RC.
7.8. – Il modello del BJT alle alte frequenze: modello di Giacoletto.
Il problema di modificare lo schema equivalente lineare per piccoli segnali del BJT, la
cui validità era limitata al campo delle basse frequenze, nasce dalla osservazione che la
risposta del BJT nel campo delle alte frequenze non è istantanea; fisicamente questo fatto
vo
G. Lullo, S. Riva Sanseverino - Applicazioni dei transistori bipolari a giunzione
VII . 25
C∆
rbb’
ib
ic
B
C
+
vb’e
rµ
gm vb’e
Cd
rπ
ro
E
Fig. 24
dipende dal fenomeno della diffusione dei portatori minoritari iniettati dall’emettitore nella
regione di base e poiché tali portatori impiegano un tempo non nullo (tempo di transito nella
base), si registra un ritardo del segnale di uscita rispetto al segnale di ingresso.
La rappresentazione fedele di tutti i fenomeni presenti nel BJT nel funzionamento in
alta frequenza rende assai complicata la loro schematizzazione in un circuito equivalente
che sia valido anche in quel campo di frequenze; d’altronde uno schema circuitale è
senz’altro utile per prevedere teoricamente la risposta del BJT nel campo delle alte
frequenze. Noi ci limiteremo a descrivere il modello di Giacoletto in quanto si ricava
facilmente dal precedente modello in bassa frequenza e dalla fisica del BJT studiata nel
cap.VI; inoltre il modello di Giacoletto fornisce risultati teorici molto vicini a quelli ricavabili
sperimentalmente.
Con riferimento allo schema equivalente già rappresentato in fig.15, per dedurre il
modello di Giacoletto è sufficiente inserire le due capacità presenti nel BJT ed esattamente
la capacità di diffusione CD ai capi della giunzione B-E polarizzata direttamente e della
capacità di barriera C∆ ai capi della giunzione C-B polarizzata inversamente, così come
rappresentato in fig.24. [Si ricordi quanto già riferito a proposito del terminale rappresentativo della base interna].
Di solito nei “data-sheet” dei BJT il costruttore fornisce l’andamento del guadagno di
corrente
variare
del
della
transistore
frequenza
al
con
l’uscita del BJT in corto circuito;
in queste condizioni il circuito si
semplifica
in
quello
ib
C∆
rbb’
ic
B
C
+
vb’e
rπ
gm vb’e
Cd
rappresentato in fig.25, in cui si
sono omesse le resistenze rµ
E
Fig. 25
G. Lullo, S. Riva Sanseverino - Applicazioni dei transistori bipolari a giunzione
VII . 26
(grande rispetto alla reattanza di C∆) ed rO (in parallelo al corto circuito).
Per il circuito di fig.25, esprimendo adesso le grandezze elettriche con i numeri
complessi, per la corrente di uscita possiamo scrivere:
IO = Ic = gm Vb’e - Vb’e s C∆ = Vb’e [gm – s C∆],
ed avendo posto Cd + C∆ = CT (capacità totale), la corrente d’ingresso vale:
Ii = Ib = Vb’e [ 1/rπ + s CT ];
per cui l’amplificazione di corrente con l’uscita in corto circuito vale:
Ai =
Io
=
Ii
[ g m − s C∆ ] ;
[1 / rπ + s CT ]
dato che alle frequenze di interesse è normalmente gm >> s C∆, si ha:
Ai =
g m rπ
[1 + s rπ
CT ]
=
β
[1 + s rπ
CT ]
=
β
[1 + jω rπ
CT ]
La quantità 1 / rπ CT viene chiamata ωβ e la quantità 1 / 2π rπ CT viene definita fβ, frequenza
di taglio del β del transistore, frequenza alla quale il guadagno del transistore in corto
circuito
si
riduce
di 1/√2 rispetto al valore in bassa frequenza;
l’espressione
dell’amplificazione può essere messa nella forma:
Ai =
β

jω 
1 +

 ωβ 


=
β

j f
1 + 
 fβ 


.
Spesso sui “data sheet” dei BJT, al posto di fβ viene fornito il dato sulla frequenza di
transizione fT , definita come quella frequenza alla quale il modulo del guadagno di corrente
con uscita in corto circuito vale 1 ed è semplice dimostrare che:
fT = β fβ
e pertanto fT vale
fT =
gm
2 π CT
.