Programma del corso Analisi Matematica III
C.L. in Fisica - a.a. 2007-2008
Prof.ssa Anna Canale
Funzioni di più variabili. Lo spazio Rn . Richiami di topologia in Rn . Funzioni di
due o più variabili. Grafici di funzioni di due variabili. Insiemi di livello. Insiemi di
definizione. Limiti di funzioni. Funzioni non dotate di limite in un punto. Continuità.
Derivate parziali nei punti interni e sul bordo di un insieme. Interpretazione geometrica
della derivata parziale. Derivabilità delle funzioni a valori vettoriali. Derivate parziali
e continuità. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Funzioni armoniche.
Gradiente. Differenziabilità e differenziale. Differenziabilità e continuità. Teorema del
differenziale. Interpretazione geometrica del differenziale. Differenziale di funzioni a valori
vettoriali. Funzioni composte. Teorema di derivazione delle funzioni composte. Derivate
direzionali. Formula di Taylor in più variabili. Forme quadratiche. Matrice hessiana.
Punti critici. Massimi e minimi relativi: definizione, condizioni necessarie e sufficienti.
Massimi e minimi assoluti.
Introduzione alle equazioni differenziali. Problema della ricerca di una primitiva
di una funzione in un intervallo. Problema di Cauchy. Esempi di equazioni differenziali
lineari e relativa risoluzione. Esempi di equazioni differenziali non lineari e relativi problemi
di Cauchy: soluzioni locali. Rappresentazione grafica di curve integrali. Differenze tra
equazioni lineari e non lineari in riferimento al problema dell’esistenza ed unicità.
Teoria delle equazioni differenziali. Definizioni: equazione differenziale di ordine
n, integrale particolare, integrale generale e curve integrali. Equazioni in forma normale
e condizioni iniziali. Equivalenza tra equazioni di ordine superiore al primo e sistemi di
equazioni del primo ordine. Il teorema di esistenza ed unicità di Cauchy. Formulazione
integrale del problema di Cauchy. Equazioni lineari. Proprietà delle soluzioni. Teorema di
esistenza ed unicità. Equazioni omogenee: teorema sul wronskiano, teorema sull’esistenza
di n integrali linearmente indipendenti, teorema sull’integrale generale. Equazioni non
omogenee: teorema sull’integrale generale.
Metodi risolutivi di equazioni differenziali. Equazioni lineari del primo ordine.
Equazioni a variabili separabili. Equazioni di Riccati. Equazioni del primo ordine tipo:
y 0 = f ( yx ), y 0 = g(ax + by). Equazioni differenziali non lineari di ordine superiore al primo
della forma: g(x, y 0 , y 00 ) = 0 e g(y, y 0 , y 00 ) = 0. Equazioni differenziali lineari omogenee
a coefficienti costanti e loro risoluzione. Equazioni differenziali lineari non omogenee a
coefficienti costanti con il termine noto del tipo: pm (x) (polinomio di grado m), A eαx ,
pm (x) eαx , pm (x) eαx cosβx, pm (x) eαx senβx, f1 (x) + f2 (x) con f1 e f2 funzioni del tipo
indicato.
Integrali curvilinei. Curve e rappresentazione parametrica. Curve semplici e curve
regolari. Retta tangente e vettore tangente. Lunghezza di una curva. Integrale curvilineo
di una funzione e sua interpretazione geometrica.
Forme differenziali. Forme differenziali lineari. Integrale curvilineo di una forma differenziale. Forme differenziali esatte: definizione e condizioni. Forme differenziali chiuse.
Rapporto tra forme chiuse e forme esatte. Ricerca di una primitiva di una forma differenziale esatta.
Integrali multipli. Teorema di Fubini. Integrali doppi su domini normali. Formule
di riduzione per gli integrali doppi. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Applicazioni al calcolo delle aree di domini nel piano ed uso delle formule di Gauss-Green.
Integrali doppi estesi a domini non limitati.
Testi consigliati
N. Fusco - P. Marcellini - C. Sbordone, Analisi Matematica II, Liguori Editore.
N. Fusco - P. Marcellini - C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica II, Liguori
Editore.
E. Giusti, Analisi Matematica 2, Boringhieri Editore.
F. Conti, Calcolo, McGraw-Hill Libri Italia.
P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica, Volume II, parte
prima, Liguori Editore.
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