9 Giugno 2010 - Matematica e Informatica

Candidato/a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Corso di Laurea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esami di Calcolo delle Probabilitá del 9 Giugno 2010
É fatto assoluto divieto di usare appunti e libri di testo, il candidato che
non osserverá questo divieto avrá annullato il compito e sará allontanato dalla
prova. Si possono usare invece tabelle e calcolatrici tascabili.
Esercizio n.1
Un’urna A contiene n palline tutte rosse. Un’urna B contiene n palline di
cui r rosse (1 ≤ r < n) e le rimanenti n − r nere. Si sceglie a casa una delle urne
e da essa si effettua una successione di estrazioni con rimpiazzo (cioé si ripone
la pallina nell’urna dopo l’estrazione).
a) Qual’é la probabilitá che la prima pallina estratta sia rossa?
b) Qual’é la probabilitá che le prime due palline estratte abbiano colori diversi?
c) Indicando con T la v.a. ”il tempo di attesa della prima estrazione di una
pallina rossa”, calcolare la speranza matematica di T .
d) Sapendo che le prime k palline estratte sono rosse, qual’é la probabilitá
che l’urna dalla quale esse sono state estratte sia l’urna A?
Soluzione
a) Definiamo i seguenti eventi:
A = {viene scelta l’urnaA}
B = {viene scelta l’urnaB}
Ri = {alla i-esima estrazione si ottiene una pallina rossa }
Ni = {alla i-esima estrazione si ottiene una pallina nera }.
Osserviamo che gli eventi A e B costituiscono una partizione dell’evento
certo. Per il teorema delle probabilitá totali si ha
P (R1 ) = P (R1 |A)P (A) + P (R1 |B)P (B).
Per come il probleme é stato posto é chiaro che deve essere
P (R1 |A) = 1,
P (R1 |B) =
e dunque
P (R1 ) =
r
,
n
P (A) = P (B) =
1 1r
1(
r)
+
= 1+
.
2 2n
2
n
1
1
,
2
b) Indichiamo con C l’evento ”le prime due estrazioni danno palline di colori
diversi”. La probabilitá che in due estrazioni dall’urna A si ottengono una
pallina rossa e una nera é chiaramente zero. Invece il numero di palline
rosse estratte dall’urna B in due estrazioni segue la legge binomiale B(2, nr )
Dunque
P (C|A) = 0
( )
r)
r(n − r)
2 r(
1−
=2
P (C|B) =
1 n
n
n2
P (C) = P (C|A)P (A) + P (C|B)P (B) =
r(n − r)
.
n2
c) Ora la probabilitá
P (T = k) = P (T = k|A)P (A) + P (T = k|B)P (B).
Ma, poiché l’urna A contiene solo palline rosse
{
1, se k = 1
P (T = k|A) =
0, altrimenti.
mentre
{
P (T = k|B) =
dove si é posto p =
E(T ) =
∞
∑
r
n
e dunque
k P (T = k) =
k=1
=
p (1 − p)k−1 , se k = 1, 2, . . .
0,
altrimenti.
∞
∑
k (P (T = k|A)P (A) + P (T = k|B)P (B))
k=1
∞
1(
1) 1(
n)
1 1∑
k p (1 − p)k−1 = 1 +
= 1+
,
+
2 2
2
p
2
r
k=1
dove abbiamo riconosciuto nella serie la speranza matematica di una legge
geometrica modificata, che vale appunto p1 .
Esercizio n.2
Si suppone che l’altezza degli uomini in Italia segua approssimativamente una
v.a. normale di media 175 cm e varianza 81 cm2 . Quale sarebbe la percentuale
di italiani di statura superiore al metro e 90? Alla visita di leva vegono scartate
le reclute di altezza inferiore ai 153 cm. Quale sarebbe la percentuale di reclute
scartate alla visita di leva?
2
Soluzione. La probabilitá che un individuo abbia altezza superiore ai 190
cm é P (X > 190) dove X ∼ N (175, 81). Ma sappiamo che si puó scrivere
X = 9Z + 175, dove Z ∼ N (0, 1). Dunque
(
190 − 175 )
5
P (X > 190) = P Z >
= P (Z > ) = 1 − Φ(1, 67)
9
3
done Φ é la f.r. di una v.a. N (0, 1). Uno sguardo alle tavole dá Φ(1, 66) = 0, 95
e dunque 1 − Φ(1, 66) = 0.05. La percentuale d’italiani di statura > 190 cm
sarebbe del 5%. Allo stesso modo la probabilitá che un italiano sia riformato
alla visita di leva é
(
153 − 175 )
22
P (X ≤ 153) = P Z ≤
= P (Z ≤ − ) = Φ(−2, 44) = 0, 008.
9
9
Dunque la percentuale di reclude scartate é dello 0, 8%.
Esercizio n.3
In un acquario, ci sono 5 pesci rossi, 3 pesci neri e 2 pesci argentati. Si
pescano a caso 3 pesci. Calcolare la probabilitá dei seguenti eventi:
a) A = ” i tre pesci pescati sono dello stesso colore”.
b) B = ”I tre pesci pescati sono di tre colori differenti”.
c) C = ”i tre pesci pescati sono esattamente di due colori”.
Soluzione.
a) Ci sono 10 pesci nell’acquario. Allora il numero di eventi elementari
dell’evento certo Ω é l’insieme dell 3-parti di un 10-insieme. Si supponga
che tale insieme sia composto
da eventi elementari equiprobabili; la car( )
3
= 10
=
120.
L’evento A:
dinalitá é allora C10
3
( 5)
3
Ci sono C5 = 3 = 10 modi di scegliere 3 pesci rossi, poi c’é 1 modo di
scegliere 3 pesci neri. Ci sono allora 10 + 1 = 11 modi di realizzare A.
Allora
11
P (A) =
.
120
b) L’evento B. Si deve pescare un pesce di ogni colore. Ci sono dunque
5 × 3 × 2 modi di realizzare B allora
5×3×2
1
P (B) =
= .
5×3×8
4
c) L’evento C. Osserviamo che C é l’evento complementare di A ∪ B. Allora
P (C) = 1 − P (A ∪ B).
A e B sono incompatibili, allora P (A ∪ B) = P (A) + P (B). Segue che
P (C) = 1 −
1
79
11
− =
= 0, 658.
120 4
120
3
Esercizio n.4
Nel gioco del lotto ad ogni estrazione (settimanale) cinque numeri vengono
estratti simultaneamente da un’urna che contiene 90 palline numerate da 1 a
90. Fissiamo un mumero, ad esempio il 67 e indichiamo con p la probabilitá che
esso esca in una singola estrazione.
a) Quanto vale p?
b) Qual’é la probabilitá che dopo 30 estrazioni il 67 non sia ancora uscito?
c) Supponiamo che nelle prime 100 estrazioni il 67 non sia ancora uscito.
Qual’é la probabilitá che esso esca entro la 101-esima?
Soluzione.
a) Il calcolo di p si riconduce alla distribuzione ipergeometrica: probabilitá
di estrarre una pallina dal gruppo formato dal solo elemento 67 e 4 dal
gruppo degli altri 89 numeri in 5 estrazioni senza rimpiazzo:
(1)(89)
5
1
p = 1(90)4 =
=
= 0, 0556 = 5, 56%.
90
18
5
b) Poiché é ragionevole supporre che le estrazioni di settimane diverse siano
indipendenti tra loro, allora il numero di volte in cui il 67 viene estratto
in 30 settimane si modellizza come il numero di successi in 30 prove in1
dipendenti con probabilitá p = 18
di successo in ogni prova. Il numero di
estrazioni che contengono il 67 tra i numeri estratti é dunque una v.a. di
legge binomiale B(30, p). La probabilitá di avere 0 successi é dunque
( )
30
(1 − p)30 = 0, 18 = 18%.
0
c) Indichiamo con A l’evento ≪il 67 non é uscito nelle prime 100 estrazioni≫
e con B e C gli eventi≪ il 67 esce entro la 101-esima estrazione≫ e ≪
il 67 esce dopo la 130-esima estrazione≫ rispettivamente. Per ottenere
P (B|A) calcoliamo prima P (B|A).
P (B|A) = 1 − P (B|A) = 1 −
(1 − p)101
= 1 − (1 − p) = p.
(1 − p)100
La probabilitá é la stessa che se le prime 100 estrazioni non avessero avuto
luogo.
Rispondere alle seguenti domande
4
T1 Definire la funzione caratteristica φξ (t) di una v.a. ξ e dimostrare che φξ (t)
é uniformemente continua per ∀t ∈ R. La distribuzione normale N (m, σ):
scrivere la funzione di densitá, dimostrare che l’integrale su tutto l’asse
reale vale 1, e trovare la funzione caratteristica. Perché questa v.a. oltre
a essere chiamata v.a. di Laplace -Gauss é detta anche ”normale”?
T2 Funzione di ripartizione di una v.a.: a) dare la definizione, b)esponi le
proprietá b) dimostrale. Dimostra che: ogni funzione F (x) con le proprietá
di una f.r. é la f.r. di una v.a. definita su una σ-algebra di probabilitá
{Ω, A, P } convenientemente scelta.
T3 Teorema Se f (x.) > 0, f (.y) > 0, allora dimostrare che f (x/y) = ff(x,y)
(.y) .
Poi mostrare che la densitá marginale della distribuzione normale bidimensionale é:
f (x.) =
1
√
σ1 2π
−
e
(x−α)2
2σ 2
1
T4 Enunciare e dimostrare il teorema di inversione.
T5 Enunciare e dimostrare il teorema di Levy.
T6 Enunciare e dimostrare il teorema di Darmois.
5