v - Macroarea di Scienze

Meccanica dei fluidi
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Definizione di fluido: liquido o gas
La pressione in un fluido
Equilibrio nei fluidi: legge di Stevino
Il Principio di Pascal
Il barometro di Torricelli
Il principio di Archimede
Fluidodinamica: fluido ideale
Regime stazionario. Portata
Il teorema di Bernulli
I fluidi
La materia può presentarsi in tre stati: Solido, liquido e gassoso:
Un solido ha una forma ed un volume ed è incomprimibile
Un liquido ha un volume definito, non ha una forma propria ed è incomprimibile
Le proprietà dei liquidi e dei solidi dipendono dal loro struttura microscopica, ovvero
dal legame tra le molecole.
Un gas non ha né volume ne forma definiti ed è comprimibile
Queste definizioni sono in realtà un artificio, più in generale lo stato in cui si
presenta la materia viene determinato in funzione del tempo necessario a quella
materia per cambiare la sua forma sotto l’azione di una forza esterna
Una sostanza che non è dotata di forma propria è detta fluido. I fluidi assumono la
forma del recipiente che li contiene.
I fluidi sono un insieme di molecole sistemate casualmente legate da deboli forze di
coesione e forze esercitate da pareti del contenitore
Sono fluidi :

le sostanze liquide - che hanno volume definito ed una superficie limite

le sostanze gassose - che non hanno un volume definito e tendono ad
occupare tutto il volume a disposizione.
Dal punto di vista meccanico un fluido si può pensare composto da elementi
infinitesimi di massa dm =  dV, che scorrono tra loro in una qualunque direzione.
Densità
Con i fluidi non ha molto senso parlare di massa, ma piuttosto di densità ( o massa
volumica).
Se consideriamo un elemento di volume V di un fluido intorno ad un certo punto e
misuriamo la sua massa m la densità è data dal rapporto:
m
Densità

V
La densità ( o massa volumica) di un corpo (o fluido) è una grandezza scalare ed è
pari alla massa per l’unità di volume.
m

V
Dove m e V sono massa e volume di un
campione di fluido
L’unità di misura della densità è il kg/m3
La densità di un fluido varia ( anche se debolmente) con la temperatura poichè al
variare della temperatura varia il volume.
La densità dei liquidi  = M/V è molto maggiore di quella dei gas (di circa un
fattore 103)
Dal punto di vista meccanico un fluido si può pensare composto da elementi
infinitesimi di massa dm =  dV, che scorrono tra loro in una qualunque direzione.
Tabella densità
Pressione
I fluidi non possono sopportare forze tangenziali, in un fluido
sottoposto ad una forza parallela alla sua superficie, le molecole
scivolano le une sulle altre, per cui il solo tipo di forza che può
esistere in un fluido è quella perpendicolare alla superficie.
La pressione viene definita come il rapporto tra una forza
agente su una superficie infinitesima dA e la superficie stessa:
p  dF dA
pressione
Se la forza esercitata su una superficie estesa è uniforme si può scrivere:
F
p
A
La pressione è una grandezza scalare (non ha proprietà direzionali ed anche se la
forza è un vettore, solo la sua intensità contribuisce alla peressione)
L’unità di misura è il Pa (pascal) : 1Pa= N/m2
- Un suo multiplo importante è 1 bar = 105 Pa ( più precisamente: 1 bar = 105 Pa
- La pressione atmosferica 1 atm = 1,01325 bar
NB: la pressione e la forza sono due grandezze diverse, si può avere una pressione
molto alta anche con una forza relativamente piccola se la superficie è ridotta ( es: la
pressione esercitata da un ago), oppure una pressione ridotta se la superficie è
ampia ( es: le zampe del cammello => pianta larga non affonda nella sabbia del
deserto)
Le differenze di pressione tra l’interno e l’esterno di una superficie vengono usate
come “collanti” potenti
Fluidostatica (equilibrio dei fluidi)-Stevino(1)
Determiniamo ora come varia la pressione all’interno di un fluido a riposo
Definiamo:
-forze di volume: le forze che, come la forza peso, vengono applicate a tutto il volume V
dell’elemento di fluido
Fg = g m = g   V
-forze di superficie, le forze che agiscono sulla superficie infinitesima dell’elemento di fluido,
sono le forze che determinano la pressione: p=dF/dS
Si consideri un fluido in quiete, ovvero un fluido in cui tutti i sui elementi di volume non
subiscono spostamenti ed hanno quindi velocità ed accelerazione nulle, ed un campione di tale
fluido racchiuso in una cilindro ideale di base A ed altezza h posto ad una profondità d dalla
superficie del liquido. In questo caso, la somma delle forze ( di volume e di superficie) agenti
sul fluido deve essere nulla ( 2° legge di Newton )


Fv  Fs  0
Il liquido esterno esercita forze su tutta la superficie del campione
( perpendicolarmente ad essa)
Le forze agenti sulla superficie laterale del cilindro si elidono a coppie
Solo tre forze rimango ad agire
 sul corpo:
1) la forza gravitazionale
Fg  gAh ˆj

2) La forza F1   P0 Aˆj che agisce sulla superficie superiore del cilindro
( rivolta verso
 il basso)
3) La forza F2  PAˆj che agisce sulla superficie inferiore del cilindro
(rivolta verso l’alto)



 
Fv  Fs  Fg  F1  F2  0
Vcilindro  Ah
Fluidostatica (equilibrio dei fluidi)-Stevino(2)
Per la seconda legge di Newton si ha che sul campione di fluido a riposo la somma delle forze
deve essere nulla:



 
Fv  Fs  Fg  F1  F2   gAh ˆj  P0 Aˆj  PAˆj  0
Poiché le forze agenti sono tutte parallele all’asse z possiamo togliere la notazione vettoriale:
 h  P0 A
  PA
 0
 gA
P  gh  P0
Legge di Stevino
Legge di Stevino: la pressione in un liquido a densità costante cresce
linearmente con la profondità.
Conseguenze:
La pressione di un punto del fluido all’equilibrio dipende solo dalla
profondità del punto
La pressione lungo superfici orizzontali è costante ( superficie isobare o
isobariche): la superficie libera di un liquido in quiete deve essere orizzontale.
Se consideriamo di prendere l’elemento di volume con la superficie superiore
corrispondente alla superficie libera del liquido ( d=0) P0 è proprio la pressione
atmosferica
Un corpo immerso in acqua alla profondità di 10 m subisce una pressione :
P  gh  P0  9.8 m s 2  1000 kg m310m  1atm  9.8  104 Pa  1atm  1atm  1atm  2atm
Principio di Pascal
Consideriamo la legge di Stevino:
P  gh  P0
Osservando questa relazione che lega la pressione P in un punto del fluido posto ad una
profondità h dalla superficie, se si varia la pressione P0 in superficie, anche P dovrà variare.
Si ha quindi che ogni variazione della pressione alla superficie si ripercuote su tutti i punti del
fluido. Questo proprietà dei fluidi fu formulata come principio da Pascal:
Principio di Pascal: Una variazione della pressione applicata ad un fluido
chiuso è trasmessa integralmente ad ogni punto del fluido stesso
Quindi se la pressione esterna varia dal valore p0 al valore p0 la pressione interna
varierà dal valore p al valore p secondo la relazione:
p  p'  p  p'ext  gh  pext  gh  p'ext  pext
p'  p'ext  gh
p  pext
p  pext  gh
Esempio:
Premiamo con le dita su due lati opposti di esso, notiamo che,
allo schiacciamento causato dalla pressione delle dita,
corrisponderà un rigonfiamento nelle altre zone che
aumenterà in relazione all'aumento della pressione
da noi esercitata.
Questo fenomeno, facilmente riscontrabile da chiunque possieda un palloncino, è giustificato
dal fatto che la pressione da noi esercitata si trasmette all'intera massa di fluido contenuto
nell'involucro (che in questo caso sarà aria).
Esempio -Vasi comunicanti
Si chiamano vasi comunicanti due o più recipienti uniti da un tubo di comunicazione.
Consideriamo due vasi comunicanti riempiti con lo stesso liquido ed esaminiamo
cosa accade su una superficie S di liquido posta nel tubo di collegamento.
S
Se l’altezza hA del liquido nel
recipiente di sinistra è maggiore
di hB, anche la pressione ( per la
legge di stevino) che agisce su S
da sinistra è maggiore di quella
da destra.
S
Quindi la superficie S è spinta
verso destra: si ha così un flusso
di liquido dal recipiente in cui il
liquido ha un’altezza maggiore
verso l’altro
S
Soltanto quando la quota del
liquido è la stessa nei due
recipienti, le due pressioni che
agiscono su S sono uguali e il
liquido è in equilibrio
Quindi:
un liquido versato in un sistema di vasi comunicanti raggiunge in tutti i recipienti lo stesso
livello.
Questa proprietà è valida qualunque sia la forma dei recipienti, purché siano abbastanza ampi. Infatti, il
modello dei vasi comunicanti ha un campo di validità limitato: cessa di essere valido quando i recipienti sono
dei tubi molto sottili (detti capillari).
Martinetto idraulico (pressa idraulica)
Un martinetto idraulico è costituito da due pistoni di sezione molto differente collegati
mediante un vaso comunicante nei quali è contenuto un fluido, il pistone 1 ha superficie A1
molto più piccola della superficie del pistone 2:
A1  A2

Sul pistone 1 viene esercitata una forza F1
verso il basso che servirà a
sollevare un oggetto pesante sul pistone 2 ( esempio un’automobile)
La forza

F1
produce sul pistone 1 una pressione P pari a
P  F1 A1
La pressione 2 si trasmette per il principio di Pascal
 attraverso il liquido fino al pistone 2.
Sul pistone 2 viene quindi esercitata una forza F2 verso l’alto pari a: F2  PA2
Si ha quindi che
F2 PA2 A2


 1
F1 PA1
A1
Cioè la forza F2 risulta essere maggio di F1 per un fattore moltiplicativo
A2
A1
A2
F2  F1
A1
Poiché nei due pistoni deve essere spostato un ugual volume di liquido si avrà :
V  x1  A1  x2  A2
x2  x1
A1
 x1
A2
Il pistone 2 si solleverà di meno di
quanto si abbassa il pistone 1
Il lavoro compiuto dal pistone 2 sarà comunque uguale al lavoro svolto sul pistone 1 :
L2  F2  x2  F1
A2
A
 x1 1  F1x1  L1
A1
A2
Il barometro di Torricelli
Torricelli fu il primo a sostenere che l’atmosfera esercita
una pressione e fu il primo a misurarne il valore.
Lo strumento utilizzato fu un barometro a mercurio:
Un tubo con un’estremità chiusa, pieno di mercurio viene rovesciato
in un bicchiere anch’esso pieno di mercurio.
Nell’estremità superiore si forma una regione di vuoto ( in cui la
pressione può essere considerata nulla)
La pressione nel punto A e nel punto B deve essere la stessa( legge di Stevino) e quindi pari
alla pressione atmosferica.
Si ha quindi che il peso della colonnina di mercurio di altezza h deve determinare una
pressione sul fluido pari a quella atmosferica
P0  
P  g Hg h  g Hg h
0
Nel suo esperimento Torricelli osservò che la colonnina di mercurio nelle condizioni di
3
3
equilibrio si innalza di 760 mm. Si ha quindi, considerando che  Hg  13.596  10 Kg m :
P0  9.8  13,596  0.760  103 Pa  1.013  105 Pa  1atm
Il principio di Archimede
Sappiamo per esperienza che ci sono alcuni corpi che in acqua galleggiano ed altri no.
Andiamo ora a vedere le cause del galleggiamento che è dovuto ad una forza rivolta verso l’alto
che si esercita su un corpo immerso in un fluido.
Consideriamo un fluido sottoposto alla gravità, ed isoliamone idealmente un volume finito V
di forma qualsiasi.
Poiché il volume di fluido è all’equilibrio, la risultante delle forze esercitate sul volume V di
fluido isolato deve essere nulla
La risultante delle forze di pressione
 che il fluido circostante il volume
isolato esercita sul volume isolato ( B ) deve essere uguale ed opposta alla forza


peso esercitata del volume stesso.
B  Fg  0

B sarà quindi rivolta verso l’alto e pari in modulo alla forza peso del volume
di fluido
B  Fg  g fluidoV
B  g fluidoV
risultante delle
forze di pressione
Sostituiamo ora il volume di fluido con un ugual volume di una
 qualsiasi altra sostanza di
densità  => la risultante delle forze di pressione è la stessa, ( B ) ma la forza peso cambia con
la densità  della sostanza. => Non vi e’ più una condizione di equilibrio.


B  Fg  0
B  gcorpoV  g fluidoV  gcorpoV  gV  fluido  corpo   0

  fluido   corpo 


 fluido  corpo 
 F  0 Risulta una forza verso l’alto ( il corpo sale)
una forza verso il basso minore della forza peso
 F  0 Risulta
(il corpo scende nel fluido
In entrambi i casi vale il Principio di Archimede : un corpo immerso in un
fluido riceve un spinta verso l’alto ( spinta di Archimede) pari a al peso del
fluido spostato
Esempio- corpo galleggiante
Abbiamo visto esplicitato il caso di un corpo completamente immerso in un liquido.
Vediamo cosa succede nel caso il corpo, in equilibrio statico galleggi sulla superficie
del liquido.
In questo caso solo una frazione del corpo è immerso nel liquido.
Poiché il corpo è solo parzialmente immerso, il volume di fluido spostato è solo una
frazione del volume totale V0 del corpo.
Tale frazione corrisponde proprio alla parte di corpo immerso.
L’oggetto è in equilibrio => la risultante delle forze agenti sul corpo è nulla
La Spinta di Archimede deve equilibrare la forza peso =>
B  g fluidoVimmerso 

 g fluidoVimmerso  g corpoV0
Fg  g corpoV0


 corpo
Vimmerso

V0
 fluido
La frazione di corpo immerso è pari al rapporto fra la densità del corpo e la densità
del liquido
Il peso apparente
Se si misurasse il peso ( inteso come forza-peso) di un corpo in acqua con una
bilancia esso risulterebbe sicuramente minore del peso misurato fuori dall’acqua.
Questo peso minore è detto “peso apparente” ed in realtà è dovuto alla somma
vettoriale della forza peso del corpo con la spinta di Archimede



Papp  Fg  B
Papp  Fg  B
y
Es:
Un corpo di massa m=10Kg volume 1dm3 viene immerso in acqua.
Determinare il suo peso apparente
Papp  mg  B  mg  g H 2OV  9.8  10 N  9.8 m s 2  1 kg dm3  1dm3  98N  9.8N  88N
Fluidodinamica-Moto dei fluidi
In generale lo studio della fluidodinamica è molto complesso, poiché i fluidi reali sono soggetti
a moti turbolenti
Noi studieremo perciò il moto dei fluidi ideali, più semplice da trattare matematicamente.
Caratteristiche che identificano i fluidi ideali:
Moto laminare (o stazionario) => la velocità del fluido in ogni punto fissato non cambia nel
tempo né in direzione né in intensità. In questo tipo di moto i cammini seguiti da ciascuna
particella di fluido non si intersecano mai
Fluido Incomprimibile => come nel caso statico il fluido è
incomprimibile, quindi la sua densità è costante ed uniforme
Flusso non viscoso => il fluido non si oppone allo spostamento
l’attrito interno è trascurabile
Fluido irrotazionale => cioè se il momento angolare del fluido è nullo, un oggetto immerso in
un fluido irrotazionale non ruota intorno al suo centro di massa
Linee di flusso ( o linee di corrente) => sono le traiettorie percorse
dalle particelle nel fluido.
Ciascuna paraticella di fluido ha velocità sempre tangente alla linea di
flusso( che non si intersecano mai)
Le linee di flusso che attraversano una certa sezione vengono dette tubo di flusso
Equazione di continuità
Consideriamo un fluido ideale che scorre all’interno di un tubo a sezione variabile
Si trova che la velocità del fluido nel tubo dipende dall’area della sezione normale attraverso
cui passa il fluido.
Consideriamo quindi il tubo di flusso in figura.

•Nel punto 1 la sezione ha area A1 e la velocità del fluido è v
1
•Nel punto 2 la sezione ha area A2 e la velocità del fluido è v2
•Il flusso va dal punto 1 al punto2
•Supponiamo che nell’intervallo di tempo t passi attraverso
la sezione A1 un volume di fluido V.
•Poiché il fluido è incomprimibile nello stesso intervallo di tempo un uguale volume V deve
attraversare la sezione A2
•Se consideriamo le particelle di fluido che all’istante iniziale attraversano la superficie A1 esse
percorreranno nell’intervallo di tempo t una distanza x1 data da: x1  v1t
e quindi il volume di fluido che avrà attraversato la sezione A1 sarà: V  x1 A1  v1tA1
Analogamente si avrà che il volume che avrà attraversato nello stesso intervallo di tempo la
sezione A2 sarà: V  x2 A2  v2 tA2
Quindi:
V  v1tA1  v2 tA2
v1 A1  v2 A2
Equazione di
continuità
Questa equazione che lega la velocità del fluido alla sezione attraversata è nota come
equazione di continuità, e da essa si evince che: il prodotto della velocità con la sezione
attraversata è costante in un fluido ideale, per cui se la sezione aumenta la velocità
diminuisce e viceversa
Portata
Se un fluido scorre da un condotto largo ad uno
stretto: il modulo della velocità nel tubo stretto è
maggiore che nel tubo largo
L’equazione di continuità può anche essere riscritta:
R  vA  costante
PORTATA
La quantità R prodotto della velocità per la sezione attraversata è detta PORTATA.
Si ha quindi che in un fluido ideale la portata rimane costante
ESEMPIO:
Stringendo il tubo dell’acqua riduciamo la sezione di
uscita dell’acqua ed aumentiamo la velocità del flusso
Teorema di Bernoulli
Consideriamo un fluido a densità costante che scorre
in regime stazionario attraverso il tubo di flusso ( o reale) a sezione
variabile mostrato in figura.
In un intervallo di tempo t una certa quantità di fluido m entra
attraverso la superficie A1 con velocità v1 ed esce dalla superficie A2
con velocità v2.
x
 Vogliamo ricavare la relazione tra velocità, pressione e quota del fluido alle varie
m  V
sezioni del condotto.
Cominciamo determinando il lavoro sul liquido:
V  x1 A1  x2 A2
Nello spostamento l’energia potenziale cambia solo per le parti
x1  v1t , x2  v2 t
del fluido che corrispondono ad una variazione globale di quota.
Il lavoro della forza peso è pari a: Lg  U g    V g y2  y1


Le forze di pressione dovute alle pareti compiono un lavoro nullo
le forze di pressione esercitate sulle sezioni A1 ed A2 forniscono il lavoro:
Ls  F1x1  F2 x2  P1 A1x1  P2 A2 x2


V
Il lavoro totale è quindi:
V
Ls  P1  P2 V
L  Lg  Ls    V g  y2  y1   P1  P2 V
Per il teorema dell’energia cinetica tale lavoro è pari alla variazione di energia cinetica:
T  L


1
 V v22  v12    V g  y2  y1   P1  P2 V
2
Teorema di Bernoulli


1
 V v22  v12    V g  y2  y1   P1  P2 V
2
T  L
Semplificando il volume e raggruppando i termini in modo da avere a sinistra i termini
associati al passaggio attraverso la superficie A1 ed a destra quelli associati
all’attraversamento della superficie A2 si ha:
P1 
1
1
 v12   gy1  P2   v22   gy2
2
2
P
1
 v 2   gy  costante
2
Equazione di Bern0ulli
Teorema di Bernoulli:
In un fluido ideale in moto in regime stazionario la somma della pressione, della
densità di energia potenziale per unità di volume e della densità di energia cinetica
per unità di volume e’ costante lungo il condotto, ovvero lungo qualunque tubo di
flusso.
NB: il teorema di Bernoulli è una riformulazione della conservazione dell’energia meccanica
adattata alla meccanica dei fluidi
Equazione di Bernoulli-casi particolari
Fluidi a riposo:
In questo caso l’energia cinetica è nulla e l’equazione di Bernoulli si riduce alla legge di Stevino
P1 
1
1
 v12   gy1  P2   v22   gy2
2
2
P1   gy1  P2   gy2
P1  P2   g  y2  y1 



h
Tubo di flusso ad altezza costante y (y=0 per esempio)
P1 
1
1
 v12   gy1  P2   v22   gy2
2
2
P1 
1
1
 v12  P2   v22
2
2
 Se P1>P2 allora v1<v2

 Se P1<P2 allora v1>v2
Se lungo una linea di flusso orizzontale aumenta la velocità di un fluido, deve
diminuire la pressione e viceversa