Esempio seconda prova

Esempio seconda prova
Si deve realizzare un sistema a tempo continuo per il controllo della temperatura di un forno
industriale avente forma cubica e lo spigolo uguale a 1 m. Sono richiesti a regime, una
temperatura uguale a TR = 200 °C e un errore percentuale ε% = 2%.
Le pareti interne ed esterne del forno sono di acciaio e nell'intercapedine c'è della lana di
vetro in fibra. Fissata la tensione di riferimento per il controllo della temperatura VRIF = 12 V,
e la costante del riscaldatore Rh pari a 90 W/s e le sottostanti caratteristiche:
Data la funzione di trasferimento del forno:
G( s) 
 ( s)
 qi (s)

RT
1  RT  CT  s
Il candidato fatte le opportune ipotesi aggiuntive rappresenti con uno schema a blocchi
il sistema descrivendone sinteticamente i vari blocchi e calcoli:
• Il guadagno statico ad anello aperto
• Il guadagno statico del blocco di retroazione H0
• Il valore del blocco relativo al regolatore Kp
• Il grado di stabilità con Bode
Inoltre il candidato progetti il riscaldamento del forno con un programma a PLC nel linguaggio
che ritiene più opportuno e che tenga conto delle seguenti condizioni:
• alimentazione trifase 400 V 50 Hz ;
• riscaldatore formato da 3 resistenze corazzate collegate a stella;
• ventola per la uniformità del calore, azionata da un motore trifase
• termostato di minima temperatura (per il controllo del funzionamento delle resistenze
e dell'avvio della ventola);
• termocoppia che controlla costantemente la temperatura del forno, con funzione di
trasferimento 10mV/K, agendo sul regolatore che alimenta il riscaldatore;
• programmatore per l'impostazione dei tempi del processo di riscaldamento;
Possibile Soluzione
Il controllo del forno può essere rappresentato dallo schema a blocchi sotto rappresentato
G
R
+
Regolatore
K
Amplificatore
1
TD(s)
Forno
Riscaldatore
90W/s
-
U
Condizionatore
segnale
Trasduttore di
temperatura
10mV/°K
I
H

La prima importante considerazione da fare è che l’uscita di questo sistema di controllo
TD è rappresentata da una differenza di temperatura; più precisamente tra la
temperatura a regime TR e quella iniziale dell’ambiente TA , supposta a 20°C.
𝑇𝐷 = 𝑇𝑅 − 𝑇𝐴
𝑇𝐷 = 200° − 20° = 180°𝐶
Poiché le unità di misura utilizzate nel testo sono in Kelvin allora T
D
vale :
𝑇𝐷 = (200° + 273) − (20° + 273) = 180𝐾
Si nota che per le differenze di temperatura il valore rimane inalterato.


La seconda considerazione è quella che riguarda la f.d.t. del forno data. L'uscita in
questo caso è   T  TA , l'unita di misura può essere espressa in modo equivalente in
K/W e °C/W. la stessa cosa accade per RT. Nel Sistema internazionale l'unità di misura
della resistenza termica è data da kelvin per watt (K/W), o in modo equivalente in gradi
Celsius (°C) per watt (°C/W) (nelle equazioni usate compare solo la differenza di
temperatura tra due punti che ha lo stesso valore se misurata in gradi Celsius o kelvin:
1 K = 1 °C; quello che cambia è solo il riferimento.
Per studiare il sistema è necessario trovare innanzitutto la f.d.t. del forno. Per questo
bisogna determinare la RT complessiva del forno e la sua Capacità termina CT.
Per calcolare la resistenza termica complessiva del forno bisogna tener conto delle resistenze
termiche dei materiali che lo costituiscono e dello scambio termico tra l’aria e la parete del
forno. Le pareti del forno possono essere rappresentate secondo lo schema:
K1
ha
K2
K1
ha
La resistenza complessiva è dunque:
RT 
L1
L2
L1
1
1




h  A K1  A K 2  A K1  A h  A
dove A è l’area delle superficie del forno. Con i dati in nostro possesso calcoliamo RT
RT 
1
0,002
0,1
0,002
1
sK




 0,737
25  6 11 45  6 11 0,023  6 11 45  6 1 1 25  6 11
J
Ricordando che la Capacità termica è data da:
CT  M  c dove M è la massa d’aria contenuta
nel forno e c il calore specifico dell’aria occorre determinare la massa d’aria M che sarà data
dal prodotto del volume per la densità dell’aria:
La capacità termica sarà:
M  V    1,25  13  1,25m 3
CT  M  c  1,25  1030  1287,5
La costante di tempo sarà:
J
K
  RT  CT  0,737 1287,5  949s
La f.d.t. del forno è:
G(s) forno 
RT
0,737

1  s   1  949s
Per poter analizzare la stabilità del sistema è necessario determinare la G(s) a catena aperta.
C’è bisogno quindi di trovare il Kp del regolatore tenendo conto dell’errore massimo richiesto,
della f.d.t. del condizionatore di segnale .
Partendo dall’uscita del sistema TD(s) (temperatura desiderata 180°C ) che ritroviamo
all’ingresso del blocco trasduttore di temperatura, possiamo dire che l’uscita in volt del blocco
trasduttore vale:
Vu  10mV  (180)  1,8V
la temperatura è trasformata in gradi Kelvin
Questa tensione la troviamo all’ingresso del blocco condizionatore di segnale la cui uscita vale
12V. La f.d.t. di tale blocco vale quindi:
G( s) cond 
U 12

 6,67V
I 1,8
La f.d.t. di tutto il blocco di reazione H è:
H ( s)  G ( s) trasd.  G ( s) cond .  10  10 3  6,67  66,7  10 3
Poiché l’ingresso del sistema considerato è di tipo a gradino 12V, l’errore statico,detto errore di
posizione perché il sistema è di tipo 0 non avendo poli nell’origine, vale, così come da tabella:
e
R
H  (1  H  Kp)
Trovo prima il Kp che rappresenta il guadagno statico della catena di andata:
La f.d.t. della catena di andata è data dal prodotto di tutte le f.d.t. dei blocchi che costituiscono
la catena :
G ( s ) andata  K  1  90 
0,737
66,33
K
1  949s
1  949s
Si pone quindi s =0 e si ricava:
Kp  K  66,33
Poiché l’uscita desiderata TD è pari a 180 ° il nostro errore (2%) può essere al massimo di
+/- 3,6 si ottiene:
e
R
H  (1  H  Kp)
3,6 
12
66,7 10 (1  66,7 10 3  K 66.33)
3
Si ricava K del controllore che risulta :
K =11,32
Per ricavare i parametri dinamici è necessario innanzitutto tracciare i diagrammi di Bode
che ci consentono di determinare i Mg e Mf. E stabilire se il sistema è stabile o meno.
Per tracciare i diagrammi di Bode devo ovviamente utilizzare la funzione di trasferimento
ad anello aperto Gap :
G AP ( s)  G Andata ( s)  H ( s)  11,32 
66,33
49,5
 66 10 3 
1  949s
1  949s
Si può notare che il sistema è di primo ordine che ha un polo pari a :
p
1
 0,001
949
e guadagno statico
K  49,5
Possiamo ora tracciare i diagrammi di Bode calcolando prima la costante di Bode Kb:
Kb  20 log K  20 log 49,5  33,9dB
Per valutare la stabilità del sistema è necessario ricavare i margini dai fase e di guadagno che
possono essere rilevati dal diagramma di Bode.
Come si può osservare il margine di fase è di gran lunga superiore a quello richiesto perché un
sistema sia stabile infatti risulta >> di 45°.
Il sistema risulta stabile.
Bode Diagram
Gm = Inf , Pm = 91.2 deg (at 0.0521 rad/sec)
40
Magnitude (dB)
30
20
10
0
Phase (deg)
-10
0
-45
-90
-5
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
Frequency (rad/sec)
La risposta al gradino ottenuta con Matlab evidenzia che l'errore vale 180 -3,6 =176,4 K,
quindi le specifiche sono rispettate
Step Response
180
160
140
Amplitude
120
100
80
60
40
20
0
0
20
40
60
Time (sec)
80
100
120
In figura è riportato il confronto tra sistema senza controllore (linea blu) e sistema con
controllore ( linea verde), si nota che l'effetto è duplice :
a) si riduce l'errore a regime
b) aumenta la velocità del sistema, si riduce la durata del transitorio
Step Response
180
160
140
Amplitude
120
100
80
60
40
20
0
0
200
400
600
Time (sec)
800
1000
1200
PROGRAMMAZIONE CON PLC GE FANUC 90 - 30
appendice :
sistema termico di primo ordine (Ing. Utizi Cesare)
Si consideri un sistema termico costituito da una stanza non isolata termicamente e riscaldata da un
resistore in grado di fornire un flusso termico istantaneo  qi (t ) . Sia T(t) la temperatura interna della stanza
e Ta quella esterna, considerata costante per lunghi intervalli di tempo. Si vuole studiare l’andamento della
temperatura T(t) in funzione del tempo nell’ipotesi che dall’istante t = 0 il sistema sia sollecitato da un
gradino di ampiezza  qi
Sia  qu (t ) il flusso istantaneo trasferito per convezione verso l’ambiente esterno.
Il processo di riscaldamento ha inizio all’istante t=0 quando viene chiuso l’interruttore.
La quantità di calore che nell’unità di tempo rimane nella stanza è la differenza tra la quantità di calore
 qi (t ) immessa nell’unità di tempo nella stanza e quella  qu (t ) che nello stesso intervallo di tempo è
trasferita nell’ambiente esterno.
La temperatura della stanza aumenta se  qi (t )   qu (t ) , diminuisce se  qi (t )   qu (t ) e rimane
invariata se  qi (t )   qu (t ) .
Nell’ipotesi che all’istante t = 0 la temperatura della stanza sia nulla, il sistema può essere schematizzato
con il circuito riportato in figura.
Dal circuito di figura :
 qu ( s) 
ove RT 
T ( s)  Ta ( s)
RT
1
è la resistenza termica di convenzione.
h A
Inoltre :
 qi ( s )   qu ( s ) 
T (s)
1
CT  s
 qi ( s)   qu ( s)  T ( s)  CT  s
Sostituendo nell’ultima equazione il valore di  qu (t ) , si ottiene:
 qi (s) 
T ( s)  Ta ( s)
 T ( s)  CT  s
RT
Da cui si ricava
 qi (s) 
T ( s) Ta (s)

 T (s)  CT  s
RT
RT
Ponendo dalla stessa parte dell’uguaglianza i termini con T(s) si ottiene
 qi (s) 
Ta ( s) T (s)

 T ( s)  CT  s
RT
RT
Moltiplichiamo ambo i membri dell’uguaglianza per RT e mettendo in evidenza T(s)
 qi ( s )  RT  Ta ( s )  T ( s)  (1  RT CT  s)
Da cui
T ( s) 
RT   qi ( s)

Ta ( s)
1  RT  CT  s
1  RT  CT  s
dove   RT  CT è la costante di tempo del sistema
Il sistema termico può essere rappresentato dallo schema a blocchi di figura, dove di è posto
G1 ( s) 
RT
1
e G2 ( s ) 
1  RT  CT  s
1  RT  CT  s
T(s)
Il sistema ha due ingressi e una sola uscita.
La risposta complessiva, ottenuta applicando il principio di sovrapposizione degli effetti è:
T (t )  ( qi  RT  Ta )  (1  e

t
RT CT
)