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Indici normativi
Un diverso approccio alla misura della disuguaglianza è quello definito
"normativo". Secondo questo approccio, la scelta dell'indice che misura la
diseguaglianza tiene esplicitamente conto di un giudizio di tipo etico sulla
diseguaglianza stessa. In realtà, almeno implicitamente, anche la scelta di
un indice assiomatico riflette in parte un giudizio soggettivo su quali
caratteristiche della diseguaglianza siano da considerare più gravi. Ad
esempio, se ritengo che l'aspetto peggiore della diseguaglianza della
distribuzione sia la presenza di alcuni individui poverissimi rispetto al
resto della popolazione, sceglierò un indice in grado di rappresentare la
diseguaglianza di tipo γ, come la varianza dei logaritmi. Se invece sono
incline a dare più peso ad una diseguaglianza di tipo α, ovvero la presenza
di alcuni individui molto più ricchi del resto della popolazione, utilizzerò
altri indici come ad esempio il coefficiente di variazione.
L'approccio normativo si basa sulla definizione di una funzione del
benessere sociale, separabile in senso additivo (aggregazione dei livelli
indipendenti di benessere derivanti dal reddito dei singoli individui che
compongono la popolazione) e simmetrica nei redditi individuali
(anonimità). In queste condizioni, il benessere sociale aumenta al
diminuire della concentrazione e la misura della diseguaglianza coincide
con la perdita di benessere sociale che si ha in caso di distribuzione
diseguale dei redditi. Ne deriva che, date due popolazioni con un differente
ammontare di reddito totale, il benessere sociale può essere superiore in
quella con un reddito totale inferiore se questo è distribuito in modo meno
diseguale.
Indicando con xi il reddito dell'i-esimo individuo e con U(xi) l'utilità
attribuita dal giudizio della società al reddito individuale, il benessere
sociale W può essere espresso da:
=
( )
Si noti che la funzione del benessere cresce al crescere dei redditi
individuali (l'utilità marginale dei redditi
è positiva) ed è strettamente
concava (la derivata seconda è negativa). La concavità indica che nella
società è presente un certo grado di avversione all'ineguaglianza: se infatti
l'utilità marginale è decrescente l'aumento di benessere sociale dovuto ad
un aumento di reddito di un individuo povero è maggiore rispetto a quello
determinato da un aumento di pari importo del reddito di un individuo
ricco.
Data una distribuzione (x1, x2, ..., xn) cui corrisponde un determinato
livello W di benessere sociale, definiamo "reddito equivalente ugualmente
distribuito" xE quel livello di reddito che, se ugualmente distribuito tra gli
n individui darebbe luogo allo stesso livello di benessere W, ovvero:
(
)=
( )
Una prima misura di diseguaglianza potrebbe allora essere data, indicando
con µ la media dei redditi (x1, x2, ..., xn) da
( )=
−
=1−
La differenza
−
indica l'ammontare di reddito pro-capite che
potrebbe essere sacrificato senza ridurre il benessere globale. Poiché il
reddito equivalente varia tra 0 e il reddito medio effettivo, l'indice varia tra
0 e 1: il valore dell'indice indica in che percentuale il reddito totale
potrebbe diminuire se fosse equidistribuito tra tutti gli individui
mantenendo uguale il livello di benessere sociale.
L'indice A'(x) tuttavia non gode della proprietà di indipendenza in media.
Per ottenere una misura di diseguaglianza indipendente dal livello di
reddito possiamo specificare la forma della funzione di utilità sociale
imponendo che l'elasticità dell'utilità marginale al reddito (riduzione
percentuale dell'utilità marginale per un aumento dell'1% del reddito) sia
costante per ogni livello di reddito.
La funzione U che soddisfa questa proprietà è definita da:
( )=
+
$ "# ≥ 0, ≠ 1
1−
+ log "# = 1
Per ≠ 1 il reddito equivalente che assicura lo stesso livello di utilità della
distribuzione effettiva è allora definito dall'espressione
) +
1−
*=
( +
1−
)
da cui si ottiene il reddito equivalente come media di potenza di ordine 1-r
dei redditi individuali
mentre, per
= 1, si ha:
=(
( + log
) =
)
( + log
)
in questo caso, quindi, il reddito equivalente è uguale alla media
geometrica dei redditi osservati:
=+
Infine, in caso di indifferenza alla presenza di diseguaglianza, che
corrisponde a considerare r=0 nella funzione di utilità, il reddito
equivalente è uguale alla media aritmetica dei redditi osservati, essendo
definito da:
( +
)=
( +
)
Indice di Atkinson
L'indice di Atkinson si ottiene introducendo nella formula dell'indice A'(x)
definito in precedenza il valore del reddito equivalente corrispondente alla
funzione U(x). Si ottiene quindi
per
> 0, ≠ 1 la formula generale15:
( )=
per
-
= 0:
( )=
per
-
-
-
.
.
=1−
=
- -
.
-
= 1 − (∑
-
=0
= 1, indicando con
( )=
-
-
.
=
- -8
-
7
012
0
012
)
=1−3 ∑
4 5
-
0
012
6
la media geometrica:
In generale, al crescere di r l'esponente dei rapporti
-
diminuisce, quindi
nel calcolo dell'indice aumenta il contributo dei redditi degli individui più
poveri (con reddito inferiore alla media) e diminuisce quello dei redditi dei
percettori più ricchi (con reddito superiore alla media).
L'indice A raggiunge il valore minimo in caso di equiripartizione dei
redditi. Se infatti tutti i redditi sono uguali
-
= 1∀: = 1, … , , si ha, per
ogni valore di r, A(x)=1-1=0. Pertanto l'indice di diseguaglianza di
Atkinson è nullo o quando tutti gli individui percepiscono lo stesso reddito
o, nel caso visto in precedenza di r=0, quando essendo completamente
indifferenti alla diseguaglianza i redditi, anche differenti, vengono
percepiti come uguali.
Per → ∞, l'indice
assumere.
15
( ) → 1, che è il massimo valore che esso può
Si noti che r rappresenta il grado di avversione al rischio di diseguaglianza nella distribuzione dei redditi, ovvero una
valutazione di quanto la presenza di diseguaglianza comporti una riduzione nel livello di benessere sociale. Pertanto,
l'ipotesi r<0 in questo quadro non avrebbe senso.
Nelle applicazioni, Atkinson suggerisce di utilizzare valori di r compresi
tra 0 e 2,5.
L'indice di Atkinson soddisfa tutti e tre i requisiti assiomatici, nonché il
principio di Pareto. Infatti si ha:
>
=−
2
012
4 ∑
-
5
<0
In caso di un trasferimento di reddito pari a k da un individuo più ricco j a
un individuo più povero i, l'indice si riduce:
? =
@
-
2
012
4 ∑
5
A
B
−
C < 0 essendo
B
>
.
Come l'indice di Theil, infine, la formula di Atkinson permette di
scomporre la diseguaglianza totale di una popolazione divisa in gruppi
nella somma di una componente che esprime le diseguaglianze all’interno
dei gruppi (within) e di una componente che misura la diseguaglianza tra i
diversi gruppi (between).
Indice di Champernowne:
Champernowne ha proposto due misure della diseguaglianza che derivano
dall’indice di Atkinson:
• E =
- -8
-
, ottenuto ponendo r=1 nella funzione di utilità che
definisce il reddito equivalente;
- -G2H
, ottenuto ponendo il reddito equivalente uguale alla
• EF =
-
media armonica I J dei redditi osservati.
Entrambe le misure variano tra 0 (massima uguaglianza) e 1 (massima
diseguaglianza), soddisfano i 3 assiomi e il principio di Pareto, permettono
la decomponibilità della diseguaglianza di una popolazione divisa in
gruppi nella componente within e in quella between. Inoltre, l'indice E è
particolarmente sensibile alla diseguaglianza di tipo β, mentre EF è
particolarmente sensibile alla diseguaglianza di tipo γ.