Esame Fondamenti di Elettromagnetismo, 7 Luglio ’09
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P1: Una molecola d’acqua ha momento di dipolo pari a p = 6.17 ⋅ 10 −30 u x
[Cm ] . Calcolare il momento di torsione
che la molecola subisce quando immersa in un campo elettrostatico uniforme pari a E = 1u x [V / m ] , e l’energia
potenziale ad esso associata.
Soluzione: La molecola è allineata al campo elettrico: non c'è momento di torsione e l'energia potenziale è nulla. In
realtà quello che interessa nell'energia potenziale non è il valore assoluto ma la differenza di energia potenziale. Se si
utilizza l'espressione comparsa in precedenza U = −p ⋅ E = −6.17 ⋅ 10 −30 [ J ] si ottiene un valore diverso da zero, e
negativo, visto che tale espressione sottintende come "zero" di potenziale la posizione in cui il dipolo forma un angolo
di 90° con le linee di campo e restituisce quindi come potenziale minimo un numero negativo (invece del nostro
"zero"). In questo esercizio entrambe le risposte possono quindi essere considerate giuste.
P2: : Un’onda piana, frequenza 1 GHz incide perpendicolarmente su di un semiconduttore con permettività dielettrica
pari a 9, conducibilità σ=10 S/m e spessore 1mm. Quanto vale il coefficiente di riflessione sul semiconduttore (lato
incidenza)?
Soluzione: Si tratta di valutare il coefficiente di riflessione all'interfaccia tra una linea che rappresenta l'aria ed una linea
equivalente caricata da un'impedenza di 377 Ohm, che rappresenta il semiconduttore con l'aria dietro. Per il
semiconduttore calcoliamo la costante dielettrica relativa complessa εˆr = ε r + σ / jωε 0 = 9 − j179 .7 Quindi per tale
linea avremo impedenza caratteristica
Z semic =
µ / εˆr ε 0 = 20 .3 + j19 .3Ohm e costante di propagazione
β = ω µεˆr ε 0 = 203 .7 − j193 .8Ohm . Usando l'espressione per il calcolo dell'impedenza di ingresso di una linea
caricata
Z in = Z semic
Γ=
diventa
η cos βl + jZ semic sinβl
= 78.9 + j0.177 ≈ 78.9Ω .
Z semic cos β l + jηsinβ l
Quindi il coefficiente di riflessione
η − Z in
= -0.653
η + Z in
P3: Del filo di rame sottile viene avvolto a formare un solenoide con 5 spire per millimetro; il solenoide così realizzato
è lungo 5cm ed ha diametro di mezzo centimetro. Nel solenoide viene fatta scorrere una corrente "a rampa",
inizialmente pari a circa I(t)=0.1t Ampère. Quanto vale la tensione ai capi del solenoide trascurando le perdite per
effetto Joule? Appare sensato trascurare le perdite per effetto Joule in questo caso? (motivare la risposta)
Soluzione: si tratta di valutare semplicemente l'induttanza del solenoide, in accordo con quanto descritto nella lezione
11 con n=5000, l=0.05m ed S=1.963 10-5 m2. Si ottiene così:
V =L
L = µ0n 2 Sl =30.8 µH. La caduta di tensione ai capi è
di
= 30.8 ⋅10 −6 ⋅ 0.1 = 3µV costanti. La caduta di tensione dovuta ad autoinduzione è quindi piuttosto
dt
piccola, a fronte di un filo che ha una lunghezza totale di quasi 4 metri: in pochissimi istanti, vista la crescita della
corrente, la caduta di tensione dovuta all'effetto Joule (legge di Ohm) diverrebbe dominante.
P4: Una carica q1=+q si trova ad una distanza d da un piano perfettamente conduttore. Si calcoli la posizione in cui
collocare e tenere ferma una seconda carica q2=-2q perché la prima carica si trovi in equilibrio
Soluzione: Si tratta di applicare il teorema delle immagini: la prima carica vede una immagine –q a distanza 2d. Le
cariche, sia quelle reali che quelle immagine, sono coassiali, quindi il problema è piuttosto semplice. Chiamiamo -x la
posizione lungo l’asse della carica q2, e scegliamo come origine dell’asse la posizione di q1. Esiste una forza lungo x,
q2
verso il piano conduttore, dovuta all’immagine e pari a F =
. A questa si sovrappone una forza pari a
1
2
4πε (2 d )
F2 = −
2q 2 dovuta alla carica q2, che tende ad attrarre q1 verso q2 (quindi in direzione –x), ed una pari a
4πεx 2
2q 2
dovuta alla sua immagine (repulsiva, ma in ancora direzione di q2). La somma deve essere zero,
4πε ( 2d − x ) 2
ovvero F1 + F2 + F3 = 0 . Risolvendo l’equazione (biquadratica) si trovano come possibili soluzioni
F3 = −
x = − d 1 ± 9 ± 4 6 . Il risultato con il "-" sotto radice non è accettabile visto che si ottengono soluzioni immaginarie.
La soluzione corretta è quella che da poi una distanza positiva, quindi entrambi i segni positivi.
P5: Quanto vale l'impedenza di ingresso del circuito mostrato in figura (tra il terminale indicato come "Porta" e massa)
?
PORTA
L=1 nH
R=10 Ohm
R=10 Ohm
C=10 pF
R=10 Ohm
C=10 pF
C=10 pF
R=10 Ohm
R=10 Ohm
R=10 Ohm
Zo=50 Ohm
R=10 Ohm
λ
Soluzione: La struttura è molto simile a quella comparsa nell'appello precedente. Come spiegato nell'ultima lezione, la
struttura è perfettamente simmetrica (simmetria pari) ed il circuito può essere tagliato nel mezzo. Infatti ai capi della
rete che comprende le tre capacità, non c'è caduta di tensione. Quindi questa parte della rete può essere ignorata.
Rimane il tratto di linea su cui le impedenze sono chiuse, che alla frequenza assegnata vale una lunghezza d'onda.
Tagliata diventa un tratto lungo mezza lunghezza d'onda chiuso su circuito aperto, che all'ingresso presenta un aperto,
quindi ininfluente rispetto alla resistenza da 10 Ohm in parallelo. Ecco quindi che il circuito composto dal parallelo di
due blocchi, ciascuno composto dalla serie di 3 resistenze da 10 Ohm: L'impedenza di ingresso è quindi semplicemente
15 Ohm, ma SOLO alla frequenza in cui la linea è una lunghezza d'onda (e multipli). Alle altre frequenze occorrerà
considerare valore dell'impedenza di ingresso (reattiva) della linea aperta in parallelo alle ultime resistenze da 10 Ohm.
