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Oscillazioni
I fenomeni oscillatori sono frequenti
Es.: navi in mare mosso, altalene, pendoli degli
orologi a pendolo, cristalli di quarzo in alcuni
tipi di orologi, membrane degli altoparlanti,
corde di chitarre, molecole d’aria quando
trasmettono il suono
Sono decrivibili dalle stesse formule matematiche
Moto armonico semplice
Def.: Fenomeno periodico = fenomeno che si ripete a intervalli regolari
rispetto a qualche variabile indipendente (tempo, spazio,…)
Def.: Moto oscillatorio = moto periodico nel tempo
Def.: Frequenza ν del moto oscillatorio = numero di oscillazioni
compiute in 1 s
L’unità SI si chiama hertz (Hz)
1 hertz=1Hz = 1oscillazione al secondo = 1 s-1
Def.: Periodo T del moto oscillatorio = tempo impiegato per compiere
un’oscillazione completa
Risulta
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T=
1
ν
OSCILLAZIONI
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Def.: Moto armonico semplice (di una ptc.) = moto oscillatorio dove la
posizione della ptc. è data da:
x (t ) = xm cos(ωt + φ )
Successione di istantanee di una ptc.
che oscilla avanti e indietro sull’asse x
Valore massimo
di x(t)
Valore della fase
quando t=0
Cosa rappresenta ω?
Dalla definizione di periodo si ha
x (t ) = x (t + T ) ⇒ xm cos(ωt + φ ) = xm cos[ω (t + T ) + φ ]
⇒ (ωt + φ ) = [ω (t + T ) + φ ] ± 2π ⇒ ωT = 2π
⇒
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ω=
2π
= 2πν
T
OSCILLAZIONI
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Ampiezza diversa
periodo diverso
Costante di fase
diversa
Velocità nel moto armonico semplice
dx d ( xm cos(ωt + φ ))
=
=
dt
dt
= −ω xm sin (ωt + φ )
v (t ) =
La curva della velocità è spostata (a
sinistra) di un quarto di periodo
rispetto allo spostamento
π
sin α = cos α − 
2

π
⇒ v = ω xm cos ωt + φ + 
2

Accelerazione nel moto armonico semplice
dv
= −ω 2 xm cos(ωt + φ ) =
dt
= −ω 2 x
a (t ) =
La curva dell’accelerazione è spostata (a sinistra) di un quarto di periodo
rispetto alla velocità
cosα = − cos(α − π ) ⇒ a = ω 2 xm cos(ωt + φ + π )
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Si ha quindi che:
• Non solo la posizione ma anche velocità e accelerazione oscillano di moto
armonico semplice
•
x (t ) = 0 ↔ v (t ) = ± max ↔ a (t ) = 0
x (t ) = ± max ↔ v (t ) = 0 ↔ a (t ) = m max
Moto armonico semplice e forza
Nota l’accelerazione del moto armonico possiamo ricavare l’espressione
della forza che la determina
F = ma = m (− ω 2 x ) = − (mω 2 )x
che è l’espressione della legge di Hooke
F = −kx con k = mω 2
È quindi il moto (anche) di un blocco
fissato ad una molla.
Un dispositivo che dà origine a un moto
armonico semplice è detto oscillatore
armonico semplice lineare (o oscillatore
lineare)
Ricaviamo pulsazione e periodo:
ω=
k
m
T=
2π
ω
= 2π
m
k
N.B. dipendono solo dalle caratteristiche dell’oscillatore (k e m) e non dalle
condizioni iniziali del moto (xm e φ)
Un oscillatore elastico à costituito da una componente elastica e una inerziale
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Moto armonico semplice e bilancio energetico
L’oscillatore lineare è un
sistema dove le forze
sono conservative e
quindi si conserva
l’energia meccanica:
esempio: pendolo che oscilla senza attrito
Energia tutta
potenziale
E = U + K = costante
Già visto in termini
qualitativi.
Energia in parte cinetica e
in parte potenziale
Energia tutta
cinetica
Vediamolo quantitativamente
U (t ) = 12 kx 2 = 12 kxm2 cos2 (ωt + φ )
K (t ) = 12 mv 2 = 12 mω 2 xm2 sin 2 (ωt + φ ) =
= 12 kxm2 sin 2 (ωt + φ )
E = U + K = 12 kxm2 cos2 (ωt + φ ) + 12 kxm2 sin 2 (ωt + φ ) =
1
= 12 kxm2 (cos2 (ωt + φ ) + sin 2 (ωt + φ )) = kxm2
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costante
OSCILLAZIONI
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Moto armonico semplice angolare
Un oscillatore armonico semplice angolare
(o pendolo di torsione) è la versione
angolare dell’oscillatore lineare.
Il disco ruotato di un angolo θm, verrà
richiamato dal momento torcente del filo e
oscillerà con un moto armonico semplice
angolare.
Il momento torcente di richiamo sarà
τ = −κθ
Costante di
torsione
Analogo di:
F = −kx
Per analogia col moto armonico semplice possiamo scrivere
T = 2π
I
κ
Analogo di:
m
T = 2π
k
Pendolo semplice
Il pendolo semplice è un sistema ideale costituito da
una ptc di massa m appesa ad un filo inestensibile e
di massa trascurabile fissato ad un supporto
Le forze sulla ptc sono la forza peso e la tensione del
filo. Una volta spostata, la ptc si muoverà di moto
oscillatorio (armonico?)
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La componente tangenziale della forza di gravità è
una forza di richiamo che tende a riportare il pendolo
alla posizione centrale
La 2a legge di Newton ci dà:
− mg cosθ + T = macentr
r r
r
mg + T = ma ⇔ 
− mg sin θ = ma tang
Il momento della forza di richiamo rispetto al perno è
τ = − L(mg sin θ )
che non risultando dipendente da θ in modo lineare non è relativa a un moto
armonico semplice angolare.
Se consideriamo angoli di oscillazione piccoli allora
moto armonico semplice angolare (τ = −κθ )
τ = Iα
Ricordando che
− L(mg sin θ ) = Iα ⇒ α = −
⇒ ω=
sin θ ≈ θ ⇒
mgL
θ
I
Analogo di:
a (t ) = −ω 2 x
mgL
I
⇔ T = 2π
I
mgL
I = mr 2 = mL2
Nel nostro caso
⇒
L
T = 2π
g
Periodo del pendolo
semplice per piccole
oscillazioni
Indipendente dalla massa e
dalla ampiezza
Per angoli qualsiasi
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L
1
1 32 4 θ m

2 θm
T = 2π
+ 2 2 sin
+ ... 
1 + 2 sin
g 2
2 2 4
2

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Moto armonico semplice e moto circolare uniforme
Il moto armonico semplice può essere ottenuto dalla proiezione
di un moto circolare uniforme su un diametro del cerchio
Dimostrazione:
Chiamiamo xm il raggio della crf lungo cui si
muove la ptc con velocità angolare costante ω.
Vale
ϑ ( t ) = ωt + ϕ
Le proiezioni della posizione della ptc sugli assi:
 x (t ) = xm cos(ωt + φ )

π


(
)
(
)
y
t
=
x
sin
ω
t
+
φ
=
x
cos
ω
t
+
φ
−


m
m

2


Ciascuna rappresenta lo spostamento di un punto che
si muove di moto armonico semplice lungo l’asse
considerato.
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Moto armonico semplice smorzato
Il moto armonico semplice è un moto perpetuo.
Ma sperimentalmente nessun oscillatore continua a muoversi senza mai
fermarsi. (←esistono gli attriti).
Un modello descrittivo più adeguato è quello di oscillatore smorzato.
Def.: Oscillatore smorzato = oscillatore il cui
moto viene rallentato da forze esterne
La paletta nel liquido amplifica lo smorzamento del moto.
La forza di resistenza del liquido trasforma l’energia
meccanica del sistema blocco-molla in energia termica
del liquido e della paletta.
Per velocità della paletta basse, la forza
smorzante è proporzionale alla velocità:
Fsm = −bv (Segno meno perché si oppone al moto)
Costante di smorzamento
Oltre alla forza smorzante agisce la forza della molla e la forza di gravità
(che però è trascurabile).
d 2x
dx
Fsm + Fm = ma → − bv − kx = ma → m 2 + b + kx = 0
dt
dt
La cui soluzione per smorzamenti piccoli ( b < 4mk ) si dimostra essere:
x (t ) = xm e
−bt ( 2 m )
Ampiezza
smorzata
cos(ω sm t + φ )
con
ω sm
k
b2
=
−
m 4m 2
Moto
armonico
Spostamento per moto
armonico semplice smorzato
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• È quindi la stessa soluzione del caso senza smorzamento (a parte il valore
di ω) ma con ampiezza variabile nel tempo (diminuisce)
per
xm e −bt (2 m ) → 0
t→∞
• La pulsazione è legata a quella senza smorzamento da
ω sm
k
b2
b2
2
=
−
= ω −
2
m 4m
4m 2
Pulsazione dell’oscillatore
smorzato
Si ha
Se
Pulsazione dell’oscillatore
non smorzato
ω sm < ω
b << km ⇒ ω sm ≈ ω
Nel caso considerato (di smorzamento modesto) l’energia meccanica è
1 
E (t ) = k  xm e
2 
−
bt
2m
2
 1 2 − btm
 = kxm e
 2
che quindi decresce esponenzialmente col tempo
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Oscillazioni forzate e risonanza
Finora abbiamo considerato oscillazioni compiute
naturalmente (es. corpo spostato dalla sua posizione
d’equilibrio e poi abbandonato).
Es.:Persona che si lascia dondolare passivamente su
un’altalena.
Oscillazione
libera
Consideriamo cosa succede quando il corpo è soggetto
ad una forza esterna oscillante.
Es.:altalena spinta ritmicamente da una persona a terra
Oscillazione
forzata
Def.: Oscillazione forzata = oscillazione di un sistema
oscillante smorzato quando è sottoposto a forze
esterne oscillanti
Scriviamo la forza esterna oscillante come Fosc = F0 cos ω f t
il risultato principale dello studio del moto del sistema oscillante forzato è:
Oscilla con pulsazione ωf uguale a quella della forza impressa e con
ampiezza che dipende sia da ωf che dalla sua frequenza naturale ω
x (t ) = xm (ω , ω f )cos(ω f t + φ ′)
Oscillazione libera
Oscillazione libera
smorzata
x (t ) = xm cos(ωt + φ )
x (t ) = xm e
−bt ( 2 m )
cos(ω sm t + φ )
(smorzamento piccolo)
Oscillazione forzata
(con smorzamento piccolo)
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ω sm
b2
= ω −
4m 2
2
x (t ) = xm (ω , ω f )cos(ω f t + φ ′)
OSCILLAZIONI
L’ampiezza xm è costante nel tempo anche se c’è smorzamento: è la forza
oscillante che fornisce l’energia dissipata dallo smorzamento.
xm (ω , ω f ) = costante nel tempo
Quando ω f ≈ ω
xm (ω , ω f )
⇒ xm (ω , ω f ) = max
risonanza
Es.: per mandare in alto un
bambino su un’altalena
(ampiezza dello spostamento
grande) bisogna spingere in
accordo col moto oscillatorio
In condizioni di risonanza l’energia assorbita dal sistema è massima.
Le strutture meccaniche hanno frequenze naturali proprie.
Bisogna evitare di sottoporre le strutture a forze con frequenze prossime a
quelle naturali
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