- I.I.S. Prever – Pinerolo

Capitolo 3
Calcolo combinatorio
3.1 Introduzione
Consideriamo le prime cinque lettere dell’alfabeto latino:
A,B,C,D,E.
A partire da tali lettere intendiamo formare dei sottoinsiemi costituiti da 3 lettere ciascuno. In
generale possiamo formare (in alternativa) :


sottoinsiemi in cui ciascuna lettera non si ripete, ma compare una sola volta (gruppi
semplici)
sottoinsiemi in cui la stessa lettera compare più di una volta (gruppi con ripetizione)
3.2 Gruppi semplici
A seconda della regola in base alla quale i gruppi semplici si formano si distingue fra:



disposizioni semplici
permutazioni semplici
combinazioni semplici
3.3 Disposizioni semplici
Definizione 3.3.1. Si dice disposizione semplice di n oggetti di classe k ( k  n , e si indica con la
scrittura D n , k , l’insieme di tutti i gruppi costituiti da k elementi senza ripetizione che si possono
formare con gli n oggetti in modo tale che due gruppi si distinguano per il fatto che hanno almeno
un oggetto diverso o per l’ordine in cui gli oggetti sono contenuti.
Qui di seguito attraverso l’insieme
A, B, C, D, E giungeremo alla costruzione della formula che
fornisce il numero di elementi di una disposizione semplice.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Si osserva che:

D5,1 , l’insieme dei gruppi costituiti da 1 elemento che si possono formare con le 5 lettere

date, è ovviamente pari a 5.
D5, 2 , l’insieme dei gruppi costituiti da 2 elementi che si possono formare con 5 lettere

date, è pari a 20 come mostra lo sviluppo seguente AB, AC, AD, AE, BA, BC, BD, BE,
CA, CB, CD, CE, DA, DB, DC, DE, EA, EB, EC, ED
D5,3 , l’insieme dei gruppi costituiti da 3 elementi che si possono formare con 5 lettere date,
è pari a 60 come mostra lo sviluppo seguente ABC, ABD, ABE, ACB, ACD, ACE, ADB,
ADC, ADE, AEB, AEC,AED, BAC, BAD,BAE, BCA, BCD, BCE, BDA,BDC, BDE,
BEA,BEC, BED,CAB, CAD, CAE,CBA,CBD, CBE, CDA, CDB, CDE, CEA,CEB, CED,
DAB, DAC, DAE, DBA, DBC, DBE, DCA, DCB, DCE, DEA, DEB, DEC, EAB, EAC,
EAD, EBA, EBC, EBD, ECA, ECB, ECD, EDA, EDB, EDC.
Per giungere alla formula finale analizziamo i casi suddetti:

Il caso di D5,1 è assolutamente scontato.

Per quel che riguarda il caso di D5, 2 osserviamo che le coppie che si possono formare con

le 5 lettere devono cominciare con una qualunque di esse, per cui abbiamo 5 possibilità per
la prima lettera, ma ne abbiamo soltanto 4 = 5 - 1 per la seconda, perché intendiamo evitare
ripetizioni. In altri termini: abbiamo la possibilità di accoppiare ciascuna delle 5 lettere con
le 4 lettere restanti, formando per ognuna di esse 4 coppie. Va da sé che le coppie che si
possono formare sono 5  4  20 .
Relativamente al caso di D5,3 osserviamo che per formare delle triple in cui non compaia
più di una volta la stessa lettera disponiamo di 5 lettere per la prima posizione, di 4 per la
seconda e di 3 per la terza. In altri termini: possiamo formare triple mettendo nella prima
posizione una delle 5 lettere in questione. Tenendo ferma la prima lettera abbiamo 4
possibilità di variazione per la seconda posizione. Infine, tenendo ferma la prima e la
seconda lettera abbiamo 3 possibilità di variazione per la terza. Segue che le triple che si
possono formare sono 5  4  3  20
Osservazione 3.3.1. Dai suddetti esempi si nota facilmente che una disposizione semplice di di n
oggetti di classe k ( k  n , contiene n  n  1  ...  n  k  1 elementi. La conclusione a cui
giungiamo a seguito dell’osservazione dei suddetti casi non è, però, supportata da un ragionamento
rigoroso. Procediamo perciò alla dimostrazione della formula attraverso l’induzione matematica
prima su k e poi su n. Se fissiamo n. Prendiamo , per esempio, n = 5 come negli esempi presentati.
La base induttiva è fornita dai casi in cui k = 1,2,3. Ora, supponiamo che
5  5  1  ...  5  k  1  1 sia il numero degli elementi di D5, k 1 . Per determinare il numero degli
elementi di D5,k occorre aggiungere a ciascuna delle k-1-uple uno degli oggetti rimanenti che sono
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
in numero di 5  k  1  5  k  1. Per ogni k-1-upla abbiamo, quindi,
5  k  1 possibilità. Si
deduce quindi che il numero di elementi di D5,k è pari a
5  5  1  ...  5  k  1  1 5  k  1  5  5  1  ...  5  k 5  k  1 .
Il caso n = 5, costituisce la base dell’induzione su n. Ora fissiamo k. Prendiamo, per esempio, k = 2 .
Supponiamo che il numero di elementi di Dn 1, 2 sia pari a n  1  n  2  1 . Per determinare il
numero di elementi di D n , 2 occorre tenere conto del fatto che per formare le coppie che si formano
con n-1 lettere abbiamo n-1 possibilità per la prima posizione e n  1  1  n  1  2  1 per la
seconda posizione. Se, invece, si parte da n oggetti le possibilità per la prima posizione diventano n
e per la seconda n  1  n  2  1 . In definitiva: Dn , 2  n(n  2  1) ,da cui, grazie all’induzione su k,
si ottiene che Dn ,k  nn  1  ...  (n  k  1) .
3.4 Permutazioni semplici
Definizione 3.4.1. Si dice permutazione semplice di n oggetti, e si indica con la scrittura Pn ,
l’insieme di tutti i gruppi costituiti da n elementi senza ripetizione disposti in tutti i modi possibili.
In altri termini vale l’uguaglianza Pn  Dn ,n  n  (n  1)  ...  n  n  1  n  (n  1)  ...  1  n!
3.5 Combinazioni semplici
Definizione 3.4.1. Si dice combinazione semplice di n oggetti di classe k ( k  n , e si indica con
la scrittura C n ,k , l’insieme di tutti i gruppi costituiti da k elementi senza ripetizione che si possono
formare con gli n oggetti in modo tale che due gruppi si distinguano soltanto per il fatto di avere
almeno un oggetto diverso.
Per giungere alla formula che fornisce il numero degli elementi di C n ,k , occorre osservare tra gli
elementi di D n , k ci sono esattamente k! k-uple che contengono gli stessi elementi. Ciò si evince dal
fatto che k oggetti possono essere disposti in k! modi diversi. Nelle combinazioni semplici di n
oggetti di classe k per ognuna di quelle k! k-uple ce ne deve essere soltanto una. Ora chiediamoci
nn  1  ...  (n  k  1)
quanti sono i gruppi di k! k-uple fra gli elementi di D n , k ? Sono esattamente
.
k!
D
nn  1  ...  (n  k  1)
In definitiva: C n,k  n,k 
. Faccio notare che la formula precedente si può
k!
k!
n!
esprimere come segue: C n ,k 
.
Per ottenerla basta moltiplicare numeratore e
k!(n  k )!
denominatore dell’espressione precedente per n  k !. Si precisa che C n ,k si può anche scrivere così:
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
n
C n,k    .
k 
Relativamente alle combinazioni semplici vale il seguente
Teorema 3.4.1 (Formula di Stifel)
 n   n  1  n  1
   
  

 k   k  1  k 
Dimostrazione
 n  1  n  1
n  1!
n  1! 

  
 

 k  1  k  k  1!n  1  k  1! k!n  1  k !

(n  1)  (k  1)n  1!
k k  n  k n  1!
n!


k k  1!n  1  k  1! k!(n  1)  (k  1)n  1  k !
k!n  k !
k!n  k !
k n  1!

3.7 Disposizioni con ripetizione
Definizione 3.7.1. Si dice disposizione con ripetizione di n oggetti di classe k , e si indica con la
scrittura Dn( r,k) , l’insieme di tutti i gruppi costituiti da k elementi nei quali gli oggetti si possono
ripetere fino a k volte, in modo tale che due gruppi si distinguano o per il fatto che hanno almeno un
oggetto diverso o per l’ordine in cui gli oggetti sono contenuti o per la ripetizione. Faccio notare che
per comprendere quanti gruppi di k elementi con ripetizione che si possono formare con n elementi
è utile pensare a k caselle allineate come quelle in figura
Nel caso rappresentato k  10 . Si osserva per ogni casella abbiamo n possibilità, per cui il numero di
k-uple possibili è n k .
3.8 Permutazioni con ripetizione
Definizione 3.3.1. Si dice permutazione con ripetizione di n oggetti, nella quale gli oggetti che si
ripetono sono  e si indica con la scrittura Pn( ) , l’insieme di tutti i gruppi costituiti da n elementi
nei quali soltanto  sono identici. Si ha che Pn( ) 
n!
. Se oltre agli  oggetti identici fra loro ce
!
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
n!
. Un esempio di applicazione delle
!  !
formule in questione è la ricerca degli anagrammi di una parola nella quale ci sono lettere che sono
identiche tra loro. Consideriamo il caso della parola MINIMIZZARE. In tal caso M si ripete 2 volte
11!
la I 3 volte e la Z 2. In tal caso il numero di anagrammi della parola è : P11( 2,3, 2) 
2!3!2!
ne sono altri  identici tra loro la formula diventa Pn( ,  ) 
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)