Prova Scritta di Fisica 19 luglio 2012 (i) problema 1 Un corpo di massa m1 = 2 kg ed energia cinetica Ecin = 100 J urta in maniera completamente anelastica un secondo corpo di massa m2 inizialmente fermo. Dopo l’urto si osserva che i corpi hanno un’energia (f ) cinetica complessiva Ecin = 40 J. Calcolare il valore di m2 . problema 2 Un’asta sottile di massa ms = 2 kg, lunghezza L = 40 cm e momento d’inerzia rispetto al suo centro 1 Icm = 12 ms L2 , inizialmente ferma, è poggiata su un piano orizzontale ed è vincolata a muoversi intorno ad un suo estremo. Un corpo puntiforme di massa m = 1 kg avente velocità v0 perpendicolare alla direzione della sbarretta, la colpisce elasticamente nel suo centro, mettendola in rotazione con velocità angolare ω = 20 rad/s. Determinare il modulo di v 0 . problema 3 Una sbarretta molto sottile di lunghezza L = πr, con r = 10 cm è piegata a forma di semicirconferenza. Su di essa è distribuita uniformemente la carica Q = 10−9 C. Una carica puntiforme q = −5 × 10−10 C, si trova nel centro della semicirconferenza. Oltre al campo elettrico generato da quest’ultima, sulla carica puntiforme agisce anche una forza esterna F est che la mantiene a riposo. Calcolare F est . Determinare, inoltre, l’energia potenziale elettrostatica della carica q (prendendo lo zero all’infinito). problema 4 Una spira circolare, di raggio r = 20 cm e resistenza R = 4 Ω, ruota con velocità angolare costante ω0 = 50 rad/s intorno ad un suo diametro. La spira è immersa in un campo magnetico uniforme, ortogonale all’asse di rotazione, di modulo B = 0.5 T. Trascurando l’autoinduzione, determinare: 1. il valore massimo della corrente che scorre nella spira; 2. l’espressione della potenza meccanica istantanea necessaria per mantenere la spira in rotazione. (a) (b) q v0 x Figura 1: (a) problema 2; (b) problema 3. Soluzioni soluzione 1 L’energia cinetica finale vale: (f ) Ecin = 1 1 (m1 + m2 ) vf2 = (m1 + m2 ) 2 2 Pertanto ( m1 v1 m1 + m2 ( (i) E m1 + m2 = cin (f ) m1 Ecin ⇒ m2 = m1 (i) Ecin (f ) Ecin )2 ≡ m1 (i) E . m1 + m2 cin ) −1 = 3 kg . soluzione 2 Per la conservazione dell’energia e della componente uscente dal foglio del momento angolare (calcolato rispetto all’estremo della sbarretta) si può scrivere 1 1 1 mv 2 = Iω 2 + mvf2 2 0 2 2 L L mv0 = Iω + mvf 2 2 dove I = Icm + L2 4 ms (1) (2) = 13 ms L2 . Risolvendo il sistema si trova: ( ) 2 Lω 4ms vf = v0 − Iω , v0 = 1+ = 7.3 m/s . Lm 4 3m soluzione 3 Per ragioni di simmetria, il campo elettrico generato dalla semicirconferenza è diretto lungo l’asse x e vale ∫ E(centro) = ûx π/2 −π/2 Q cos θ Q r dθ 2 ≡ ûx . 4πε0 L r 2π 2 ε0 r2 La forza esterna vale pertanto F est = −qE(centro) = |q| Q ûx ≃ 9 × 10−7 N ûx . 2π 2 ε0 r2 L’energia potenziale è, invece, Epot = qV (centro) = q Q ≃ −4.5 × 10−8 J . 4πε0 r soluzione 4 Il flusso del campo magnetico attraverso la spira e la f.e.m. indotta in essa valgono ΦB (t) = πr2 B cos ω0 t ⇒ f.e.m. = − dΦB = πr2 Bω0 sin ω0 t . dt Allora la corrente massima è data da Imax = πr2 Bω0 f.e.m.max ≡ = 0.78 A . R R La potenza meccanca necessaria per mantenere spira in rotazione è pari a quella dissipata nella spira per effetto Joule: π 2 r4 B 2 ω02 sin2 (ω0 t) . Pmecc ≡ PJoule = RI(t)2 = R