Lezione 13 Induzione di MAXWELL
Come un campo elettrico variabile
possa indurre un campo magnetico
Se una variazione del flusso di B produce E, non può
essere vero che una variazione di E produca B?
Nella fase di carica:
S1 :
∂S
Ragionamento di Maxwell
B ⋅ dl = − µ 0 i
i
i
S1
S2 :
B ⋅ dl = 0
∂S
S2
∂S
Legge dell’INDUZIONE di MAXWELL
B ⋅ dl = µ 0 (I C + I D )
circuito
ID
Q = CV
Q = ε 0 SE
Corrente di SPOSTAMENTO
V = Ed
S
C = ε0
d
dE
dQ
= ε 0S
ID =
dt
dt
Flusso elettrico
Φ E = SE
dΦ E
ID = ε0
dt
B ⋅ dl = µ 0
circuito
dΦ E
IC + ε 0
dt
La corrente di spostamento in un condensatore
dV
dQ
=C
ID =
dt
dt
Esercizio – un condensatore piano con armature quadrate di
l=1.22 m è caricato da una corrente di 1.84 A.
• Quanto vale la corrente ID fra le armature?
• Quanto E’(t)?
• Quanto vale la corrente di spostamento attraverso il
quadrato (lato l’) tratteggiato?
• Quanto vale la circuitazione di B lungo quest’ultimo
quadrato?
l
l'
1)
I D = IC
2)
dΦ E
dE
= ε 0S
= 1.84 A
ID = ε0
dt
dt
dE I D
11
-1
=
= 1.40 ⋅10 V/m s
dt ε 0 S
3)
S'
dE
= I D = 0.46 A
I'
D = ε 0S'
S
dt
4)
−7
B ⋅ dl = µ 0 I '
=
5
.
78
⋅
10
Tm
D
D’altra parte, se applichiamo l’operatore div al th. di Ampere
∇ ⋅∇×B = 0
sempre
Conservazione della carica
∂ρ
=0
∇ ⋅ ∇ × B = ∇ ⋅ ( µ 0 j) = − µ 0
∂t
Vera solo in condizioni di STAZIONARIETA’
Dal teorema di Gauss
∇⋅D = ρ
∂
µ 0∇ ⋅ j = − µ 0 (∇ ⋅ D)
∂t
∂ρ ∂
= (∇ ⋅ D )
∂t ∂t
∂D
µ 0∇ ⋅ j +
=0
∂t
∂D
∇ × B = µ0 j +
∂t
IV eq. di Maxwell
∂D
∇ × B = µ0 j +
∂t
La conservazione della carica è implicata automaticamente
Una variazione spaziale di B produce un campo D variabile nel tempo
Una variazione temporale di D produce un campo B che varia nello
spazio
EQUAZIONI DI MAXWELL
Campo magnetico nella materia
Magnetizzazione uniforme
Ogni atomo di un materiale magnetico
equivale a una microscopica spira
i
BM
µ0
µ0
jm × r
dV +
=
3
4π V
4π
r
jms × r
∂V
r
3
dS
jm densità di corrente magnetizzazione
jms densità superficiale di corrente magnetizzazione
Magnetizzazione uniforme
m =Momento magnetico della singola spira
M = Nm essendo N il numero di spire per unità di volume
Per un cilindro Sl, il momento magnetico totale
jms = M × n
MSl
Il campo magnetico H
In un mezzo magnetico:
B = B0 + B M
B 0 induzione magnetica nel vuoto
µ0
B M induzione originata dalla Magnetizzazione del materiale
B M = µ0M
M (B 0 )
H=
B0
µ0
=
MAGNETIZZAZIONE
B
µ0
−M
∇×H = ∇×
B
µ0
− M = j + ∂t D − ∇ × M
j = jc + jm è la densità di corrente totale
jc densità di corrente di conduzione
jm densità di corrente magnetizzazione
Densità di corrente di magnetizzazione
jm = ∇ × M
∇ × H = jc + ∂ t D
Solenoide avvolto in un cilindro di materiale magnetico
H ⋅ dl = Hl = nIl
I è la corrente sorgente, che viene fissata dall'
esterno
Attenzione!
B è sempre un campo solenoidale ∇ ⋅ B = 0
H non è solenoidale ∇ ⋅ H = −∇ ⋅ M
Mx
M (B 0 ) = χ m
B0
µ0
= χ mH
χ m SUSCETTIVITA'MAGNETICA RELATIVA
χ m ≈ 103 - 105 materiali ferromagnetici
x
∇⋅H = ∇⋅
B
µ0
− M = −∇ ⋅ M
Divergenza di H- dipolo magnetico
d
Mx
∇⋅M =
dx
Mx
dM x
−
dx
∇ ⋅ H = −∇ ⋅ M = ρ H
x
