Teoremi dei circuiti

Teoremi dei circuiti
www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm
(versione del 19-3-2011)
Teorema di Tellegen
● Ipotesi:
 Circuito con n nodi e l lati
 Versi di riferimento scelti per tutti i lati secondo la
convenzione dell’utilizzatore
 {v1, ..., vl } = insieme di tensioni che soddisfano la LKV per il
circuito considerato
 {i1, ..., il } = insieme di correnti che soddisfano la LKI per il
circuito considerato
 La somma estesa a tutti i lati del circuito dei prodotti vkik è nulla
l
v i
k 1
k k
0
2
Teorema di Tellegen – Dimostrazione (1)
● Le tensioni dei lati soddisfano la LKV
 possono essere espresse come differenze tra tensioni di nodo
(rispetto ad un nodo di riferimento arbitrario)
● Si indica con iPQ iQP la corrente totale dei lati che collegano il
nodo P al nodo Q (diretta da P a Q)
 se non c’è nessun lato tra i nodi P e Q  iPQ 
 se c’è un solo lato k che collega i nodi P e Q
 se il lato va da P a Q  vkik vP  vQiPQ
 se il lato va da Q a P  vkik vQ  vPiQP vP 
vQiPQ
 se ci sono più lati che collegano i nodi P e Q
il prodotto vP  vQiPQ rappresenta la somma dei prodotti
vkik estesa a tutti questi lati
3
Teorema di Tellegen – Dimostrazione (2)
 Quindi si ha
l
v i
k 1
k k

n 1 n 1
1
2
 v
P 0 Q 0
P
 v Q iPQ 
n 1 n 1
1
2
 v
P 0 Q 0
i
P PQ
 v QiQP  
 n 1  1 n 1  n 1 
  v P   iPQ   2  v Q   iQP   0
Q 0
P 0
P 0
Q 0








0
0
 I fattori ½ derivano dal fatto che, se i nodi P e Q variano su
n 1
1
2
tutto l’insieme dei nodi del circuito, ogni lato viene contato due
volte
 Le sommatorie tra parentesi sono nulle perché rappresentano
rispettivamente la corrente totale uscente dal nodo P e dal
nodo Q (e le correnti dei lati per ipotesi soddisfano la LKI)
4
Teorema di Tellegen - Note
● Il teorema richiede solo che le tensioni e le correnti dei lati
soddisfino le leggi di Kirchhoff, non è necessario che soddisfino
anche le equazioni dei componenti
● Se le tensioni e le correnti soddisfano anche le equazioni dei
componenti i prodotti vkik rappresentano le potenze assorbite
 La somme delle potenze assorbite dai componenti di un
circuito è nulla
 Si indica con K G l’insieme dei valori di k per i quali il lato k è
un generatore

v i
kK G
k k

v i
kK G
k k
La potenza complessivamente erogata dai generatori è
uguale alla somma delle potenze assorbite dagli altri
componenti
5
Proprietà di non amplificazione
● Ipotesi:
 Circuito con n nodi e l lati
 Versi di riferimento scelti per tutti i lati secondo la
convenzione dell’utilizzatore
 v1(t), ..., vl(t) e i1(t), ..., il(t)  tensioni e correnti dei lati
 All’istante t0 risulta
 vh(t0) ih(t0) < 0
 vk(t0) ik(t0) > 0  k  h
 Proprietà di non amplificazione delle tensioni
|vh(t0)| ≥ |vk(t0)|  k
 Proprietà di non amplificazione delle correnti
|ih(t0)| ≥ |ik(t0)|  k
6
Proprietà di non amplificazione per i circuiti di bipoli
● In un circuito di bipoli ciascuno dei prodotti vkik rappresenta la potenza
assorbita da un componente
 In un circuito di bipoli, se all’istante t uno solo dei componenti eroga
potenza, mentre per tutti gli altri la potenza assorbita è positiva, i valori
assoluti della tensione e della corrente ai terminali del bipolo che eroga
potenza non possono essere superati da quelli delle tensioni e delle
correnti degli altri bipoli
 In un circuito formato da resistori passivi contenente un solo generatore
indipendente, i valori assoluti delle correnti e delle tensioni dei resistori
non possono superare il valore assoluto della corrente e della tensione
del generatore
 In un circuito contenente bipoli dinamici passivi con un solo generatore,
è possibile che il valore assoluto della tensione o della corrente del
generatore sia superato da quello di altri componenti (in questo caso il
generatore non è l’unico componente in grado di erogare potenza)
7
Proprietà di non amplificazione delle tensioni
Dimostrazione (1)
● P = nodo non coincidente con un estremo del lato h
● Si assume che tutti i lati collegati a P abbiano verso di riferimento
entrante in P
 Si può ottenere questa condizione modificando i versi di alcuni lati
(questo non cambia i segni dei prodotti vkik)
● vP  tensione del nodo P rispetto ad un nodo di riferimento arbitrario
8
Proprietà di non amplificazione delle tensioni
Dimostrazione (2)
● LKI  le correnti dei lati collegati a P non hanno tutte lo stesso segno
● Per i lati collegati a P risulta vkik > 0
 Le tensioni non hanno tutte lo stesso segno
 Esistono due nodi Q e M tali che vP < vM e vP > vQ
 La massima e la minima tensione di nodo devono essere quelle degli
estremi del lato h
 La massima tensione di lato (in valore assoluto) è quella del lato h
9
Proprietà di non amplificazione delle correnti
Dimostrazione (1)
● P, Q  estremi di un lato j  h
● vP, vQ (vP  vQ)  tensioni di P e Q rispetto ad un nodo di riferimento
arbitrario
● Si dividono i nodi del circuito in due gruppi, a seconda che la loro
tensione sia  vQ o  vQ
● I lati che collegano i due gruppi di nodi formano un taglio
● Per la proprietà di non amplificazione delle tensioni questo taglio deve
comprendere il lato h
10
Proprietà di non amplificazione delle correnti
Dimostrazione (2)
● Modificando (eventualmente) i versi di alcuni lati, si può fare in modo
che siano tutti concordi con il verso del taglio
● Tensioni e correnti modificate: vk, ik
● Per costruzione: vk > 0
● Per ipotesi: vk ik > 0 k  h  ik  |ik|
vh ih < 0  ih  |ih|
● Equazione del taglio:
 i  0
k
k
 ih 
i
k h
k
 ih  ik k
11
Teorema di sostituzione
● Ipotesi:
 Circuito con l lati
 Unica soluzione vk vk0 ik ik0 (k = 1,...,l)
 Il lato h coincide con un bipolo
 Caso a): Il circuito che si ottiene sostituendo il lato h con un
generatore di tensione vh0 ammette un’unica soluzione
 Caso b): Il circuito che si ottiene sostituendo il lato h con un
generatore di corrente ih0 ammette un’unica soluzione
 Sia nel caso a) che nel caso b) la soluzione del circuito
modificato coincide con la soluzione del circuito originale
● Dimostrazione: è immediato verificare che la soluzione del
circuito originale soddisfa anche le equazioni dei circuiti
modificati a) e b)
12
Teorema di sovrapposizione
● Ipotesi: circuito formato da componenti lineari resistivi e da
 NV generatori indipendenti di tensione vG1, ..., vGNV
 NI generatori indipendenti di corrente iG1, ..., iGNI
 La tensione e la corrente del generico lato h sono combinazioni lineari
delle tensioni e delle correnti impresse dei generatori indipendenti
NV
NI
k 1
k 1
NV
NI
k 1
k 1
vh    hk vGk   rhk iGk
ih   g hk vGk    hk iGk
● Dimostrazione: la proprietà è diretta conseguenza del fatto che le
tensioni e le correnti dei lati sono la soluzione di un sistema di equazioni
lineari algebriche nel quale le tensioni e le correnti impresse dei
generatori rappresentano i termini noti
13
Coefficienti di rete
● I coefficienti delle combinazioni sono detti coefficienti di rete
 hk 
vh
vGk
vGj  0 j  k
iGj  0 j
guadagno di tensione
ih
g hk 
vGk
rhk 
vh
iGk
vGj  0 j
iGj  0 j  k
resistenza di ingresso (h  k)
resistenza di trasferimento (h  k)
vGj  0 j  k
iGj  0 j
conduttanza di ingresso (h  k)
conduttanza di trasferimento (h  k)
ih
 hk 
iGk
vGj  0 j
iGj  0 j  k
guadagno di corrente
14
Teorema di sovrapposizione – Note (1)
● Ciascuna tensione o corrente può essere espressa come somma dei
valori che essa assume quando nel circuito agisce un solo generatore
mentre tutti gli altri sono azzerati (cioè come sovrapposizione degli
effetti prodotti dai singoli generatori)
● Da ciò deriva anche che è possibile suddividere in modo arbitrario i
generatori in gruppi ed esprimere le tensioni e le correnti del circuito
come sovrapposizione degli effetti prodotti dai singoli gruppi
● Si noti che
 azzerare un generatore indipendente di tensione corrisponde a
sostituirlo con un cortocircuito
 azzerare un generatore indipendente di corrente corrisponde a
sostituirlo con un circuito aperto
15
Teorema di sovrapposizione – Note (2)
● Il teorema di sovrapposizione non vale per le potenze, legate da
relazioni non lineari alle tensioni e alle correnti dei generatori
V V
i  G1 G 2
R
(VG1  VG 2 ) 2
2
pR  Ri 
R
i  i  i
VG1
R
2
VG1
pR 
R
i 
VG 2
R
VG22
pR 
R
i 
pR  pR  pR
16
Teorema di sovrapposizione e generatori dipendenti
● Il teorema di sovrapposizione non riguarda i generatori dipendenti dato
che le loro tensioni o correnti non sono termini noti delle equazioni del
circuito
● E’ comunque possibile utilizzare il teorema di sovrapposizione per
risolvere circuiti con generatori dipendenti mediante il seguente
procedimento:
 Si sostituiscono i generatori dipendenti con generatori indipendenti
di valore incognito
 Mediante sovrapposizione, si determinano le tensioni o le correnti
che controllano i generatori (variabili di controllo) in funzione delle
tensioni o correnti incognite dei generatori (variabili controllate)
 Si sostituiscono alle variabili controllate le loro espressioni in
funzione delle variabili di controllo
 In questo modo si ottengono delle equazioni in cui compaiono come
incognite le sole variabili di controllo
 Note le variabili di controllo, e quindi anche quelle controllate, si
determinano le rimanenti tensioni e correnti
17
Esempio (1)
R1  2 
R2  3 
R3  6 
VG1  10 V
2
Determinare le correnti nei resistori.
18
Esempio (2)
● Si sostituisce il generatore dipendente con un generatore indipendente
di tensione incognita VG2 e si calcola la variabile di controllo V3
mediante sovrapposizione.
R2 R3
2
R2  R3
R23
V3  VG1
5V
R1  R23
R23 
R1R3
 1.5 
R1  R3
R13
V
 G2 V
V3  VG 2
5
R2  R13
R13 
19
Esempio (3)
● Sommando i contributi dei due generatori e sostituendo a VG2 la sua
espressione in funzione della variabile di controllo V3 si ottiene
un’equazione nell’incognita V3
VG 2 
2

V
V3


5


5
3
5

 V3  2V3
V3  V3  V3  5 
VG 2
 V3  15 V
● Nota V3 si possono determinare le correnti nei resistori
VG1  V3
  2 .5 A
R1
V  V (  1)V3
I2  G2 3 
5A
R2
R2
V
I 3  3  2 .5 A
R3
I1 
20
Circuiti inerti e coefficienti di rete (1)
● I coefficienti di rete non dipendono dalle tensioni e dalle correnti
impresse dei generatori indipendenti
● I coefficienti di rete dipendono solo
 dalla topologia del circuito
 dai parametri dei componenti diversi dai generatori
indipendenti
● Circuito inerte associato ad un circuito formato da componenti
lineari resistivi e generatori indipendenti = circuito ottenuto
azzerando tutti i generatori indipendenti
 I coefficienti di rete sono una proprietà del circuito inerte
21
Circuiti inerti e coefficienti di rete (2)
● Tutti i circuiti associati allo stesso circuito inerte si possono
ottenere inserendo generatori nei modi seguenti:
 Per ciascuna coppia di lati j e k è possibile definire coefficienti di
rete che legano la tensione o la corrente prodotta nel lato j con la
tensione o la corrente del generatore inserito nel lato k in
assenza di altri generatori
22
Circuiti reciproci
● Si dice che un circuito inerte è reciproco se, per ogni coppia di lati h e
k, valgono le seguenti proprietà
 rhk  rkh
la tensione del lato h prodotta da un generatore di corrente in
parallelo al lato k è uguale alla tensione del lato k prodotta dallo
stesso generatore posto in parallelo al lato h
 ghk  gkh
la corrente del lato h prodotta da un generatore di tensione in
serie al lato k è uguale alla corrente del lato k prodotta dallo
stesso generatore posto in serie al lato
 hk  kh
il guadagno di tensione dal lato k al lato h è uguale all’opposto
del guadagno di corrente dal lato h al lato k
23
Teorema di reciprocità
● Una circuito inerte formato da resistori lineari e N-porte lineari resistivi
reciproci è reciproco
Dimostrazione (1)
● Si indica con l il numero dei lati
● Si aggiungono al circuito due lati a e b che possono essere:
 generatori di tensione VG collegati in serie ai lati k e h
 generatori di corrente IG collegati in parallelo ai lati k e h
● Si orientano tutti i lati secondo la convenzione dell’utilizzatore
● Si considerano i due insiemi di tensioni e correnti che si ottengono
quando uno dei generatori (a o b) viene azzerato
va , ia , vb , ib , vj , ij ( j  1,  , l )
va , ia, vb, ib, vj, ij ( j  1, , l )
24
Teorema di reciprocità
Dimostrazione (2)
● I due insiemi di tensioni e correnti soddisfano le leggi di Kirchhoff
 Per il teorema di Tellegen valgono le relazioni
l
l
va ia  vb ib   vj ij  0
vaia  vbib   vjij  0
j 1
j 1
● Dato che tutti i componenti del circuito sono resistori lineari o N-porte
reciproci, si ha anche
l
l
 v i   vi
j 1
j j
j 1
j j
 Quindi deve essere
va ia  vb ib  vaia  vbib
● A partire da questa relazione si può dimostrare che valgono le
condizioni
rhk  rkh
ghk  gkh
hk  kh
25
Teorema di reciprocità
Dimostrazione (3)
● Si assume che i bipoli a e b siano generatori di corrente in parallelo,
rispettivamente, ai lati k e h
● Si considerano le seguenti condizioni di funzionamento:
ia  I G
ib  0
va  vk
vb  vh
va ia  vb ib  vaia  vbib
ia  0
ib  I G
va  vk
vb  vh
 vk  0  vh  I G  vk  I G  vh  0
 vh  vk  rhk I G  rkh I G  rhk  rkh
26
Teorema di reciprocità
Dimostrazione (4)
● Si assume che i bipoli a e b siano generatori di tensione in serie,
rispettivamente, ai lati k e h
● Si considerano le seguenti condizioni di funzionamento:
va  VG
vb  0
ia  ik
ib  ih
va ia  vb ib  vaia  vbib
va  0
vb  VG
ia  ik
ib  ih
 VG  ik  0  ih  0  ik  VG  ih
 ih  ik  g hkVG  g khVG  g hk  g kh
27
Teorema di reciprocità
Dimostrazione (5)
● Si assume che il bipolo a sia un generatore di tensione in serie al lato k
e il bipolo b sia un generatore di corrente in parallelo al lato h
● Si considerano le seguenti condizioni di funzionamento:
va  VG
vb  vh
ia  ik
ib  0
va ia  vb ib  vaia  vbib
v
i
h
k
V   I
G
G
va  0 ia  ik
vb  vh ib  I G
 VG  ik  vk  I G  0  ik  vh  0
  hk   kh
28
Resistenza equivalente (1)
● Si consideri un bipolo formato da componenti lineari
(non contenente generatori indipendenti)
● Se il bipolo è comandato in tensione è possibile collegare ai suoi
terminali un generatore indipendente di tensione
● Il circuito così ottenuto è lineare
 la corrente entrante nel bipolo risulta proporzionale alla tensione del
generatore indipendente
 il bipolo è equivalente a un resistore
● La costante di proporzionalità rappresenta la conduttanza equivalente
del bipolo (e il suo reciproco la resistenza equivalente)
Geq 
iAB
vAB
Req 
vAB
iAB
29
Resistenza equivalente (2)
● Se il bipolo è comandato in corrente è possibile collegare ai suoi
terminali un generatore indipendente di corrente
● Dato che il circuito è lineare, la tensione ai terminali del bipolo risulta
proporzionale alla corrente del generatore indipendente
● La costante di proporzionalità rappresenta la resistenza equivalente del
bipolo (e il suo reciproco la conduttanza equivalente)
Req 
vAB
iAB
Geq 
iAB
vAB
30
Esempio
Determinare la resistenza equivalente del bipolo A-B.
● Il bipolo è comandato sia in tensione che in corrente
 E’ possibile valutare la resistenza equivalente
 collegando un generatore di tensione arbitraria VAB ai suoi terminali
e calcolando la corrente IAB
 collegando un generatore di corrente arbitraria IAB ai suoi terminali e
calcolando la tensione VAB
31
Esempio – Metodo 1
● Si collega un generatore di tensione VAB ai terminali del bipolo A-B
(il valore di VAB è irrilevante ai fini del calcolo di Req)
● In primo luogo si ricava l’espressione della tensione V1, che controlla il
generatore dipendente, in funzione di VAB
● Dalla LKV si ha
VAB  V1  V2
● Si esprime V2 in funzione di V1
V2  R2 I 2  R2 ( I1  gV1 ) 

V
 R2  1  gV1 

 R1
● Sostituendo questa espressione nell’equazione precedente si ricava
VAB  V1 
R2
V1  gR2V1
R1

V1  VAB
R1
R1  R2  gR1 R2
32
Esempio – Metodo 1
● Nota V1 si può calcolare la corrente IAB
I AB  I1 
V1
VAB

R1 R1  R2  gR1 R2
● Dato che il bipolo A-B è lineare, si è ottenuta una corrente proporzionale alla tensione del generatore indipendente
 Il rapporto tra VAB e IAB non dipende da VAB e rappresenta la resistenza
equivalente del bipolo A-B
Req 
VAB
 R1  R2  gR1 R2
I AB
33
Esempio – Metodo 2
● Si collega un generatore di tensione VAB ai terminali del bipolo A-B
(il valore di VAB è irrilevante ai fini del calcolo di Req)
● Dato che R1 è in serie al generatore, si ottiene immediatamente
l’espressione della variabile di controllo in funzione di IAB
V1  R1 I AB
● Si calcola la tensione VAB
● Dalla LKV si ha
VAB  V1  V2
● Si ricava l’espressione di V2 in
funzione di IAB
V2  R2 I 2  R2 ( I1  gV1 )  ( R2  gR1 R2 ) I AB
34
Esempio – Metodo 2
● Utilizzando le espressioni di V1 e V2 in funzione di IAB, si ricava la
seguente espressione di VAB
VAB  ( R1  R2  gR1 R2 ) I AB
● Dato che il bipolo è A-B lineare, si è ottenuta una tensione proporzionale alla corrente del generatore indipendente
 Il rapporto tra VAB e IAB non dipende da IAB e rappresenta la resistenza
equivalente del bipolo A-B
Req 
VAB
 R1  R2  gR1 R2
I AB
35
Note
● Se il bipolo è comandato sia in tensione che in corrente i due metodi
sono equivalenti
 Si può scegliere di utilizzare il generatore con cui la soluzione del
circuito risulta più semplice
● Se si deve risolvere il circuito per via numerica, si può attribuire alla
tensione o alla corrente del generatore indipendente un valore scelto
arbitrariamente. Ad esempio:
 si può collegare al bipolo un generatore di tensione da 1 V, in modo
che il valore numerico (in ampere) della corrente IAB coincida con
quello della conduttanza equivalente del bipolo (in siemens)
 si può collegare un generatore di corrente da 1 A, in modo che il
valore numerico (in volt) della tensione VAB coincida con quello della
resistenza equivalente (in ohm)
36
Teorema di Thévenin
● Ipotesi: si considera un bipolo A-B
 formato da componenti lineari e generatori indipendenti
 comandato in corrente
 Il bipolo A-B equivale a un bipolo formato da un generatore indipendente di tensione v0 in serie con un resistore Req
 v0 è la tensione a vuoto del bipolo A-B
 Req è la resistenza equivalente del bipolo A-B con i generatori
indipendenti azzerati
vAB  v0  Req iAB
37
Teorema di Thévenin – Dimostrazione (1)
● Per ipotesi il bipolo è comandato in corrente
 ad ogni valore della corrente iAB corrisponde uno e un solo valore
della tensione vAB
● Per determinare la relazione tra la corrente e la tensione si può imporre
il valore della corrente ai terminali mediante un generatore indipendente
di corrente iAB e valutare la tensione vAB risolvendo il circuito così
ottenuto
● Dato che il circuito è lineare, è possibile applicare il teorema di sovrapposizione e scomporre la tensione vAB in due contributi
 uno dovuto ai generatori indipendenti contenuti all’interno del bipolo,
valutato con il generatore iAB azzerato ( circuito aperto)
 uno dovuto alla corrente iAB, valutato con i generatori indipendenti
interni azzerati
38
Teorema di Thévenin – Dimostrazione (2)
  v0  Req iAB
vAB  vA B  vAB
39
Teorema di Thévenin – Dimostrazione (3)
● Il primo contributo, vAB, rappresenta la tensione a vuoto del
bipolo A-B
 è una combinazione lineare delle tensioni e delle correnti
impresse dai generatori indipendenti contenuti nel bipolo A-B
 non dipende dalla corrente iAB
● Il secondo contributo, vAB, è proporzionale alla corrente del
generatore esterno
 la costante di proporzionalità, cioè il rapporto tra vAB e iAB,
rappresenta la resistenza equivalente del bipolo che si
ottiene azzerando i generatori indipendenti contenuti nel
bipolo A-B
40
Teorema di Norton
● Ipotesi: si considera un bipolo A-B
 formato da componenti lineari e generatori indipendenti
 comandato in tensione
 Il bipolo A-B equivale a un bipolo formato da un generatore indipendente di corrente icc in parallelo con un resistore di conduttanza Geq
 icc è la corrente di cortocircuito del bipolo A-B
(con verso di riferimento, nel cortocircuito, diretto da A a B)
 Geq (1/Req) è la conduttanza equivalente del bipolo A-B con i
generatori indipendenti azzerati
iAB  icc  Geq vAB
41
Teorema di Norton – Dimostrazione (1)
● Per ipotesi il bipolo è comandato in tensione
 ad ogni valore della tensione vAB corrisponde uno e un solo valore
della corrente iAB
● Per determinare la relazione tra la tensione e la corrente si può imporre
il valore della tensione ai terminali mediante un generatore indipendente
di tensione vAB e valutare la corrente iAB risolvendo il circuito così
ottenuto
● Dato che il circuito è lineare, è possibile applicare il teorema di sovrapposizione e scomporre la corrente iAB in due contributi
 uno dovuto ai generatori indipendenti contenuti all’interno del bipolo,
valutato con il generatore vAB azzerato ( cortocircuito)
 uno dovuto alla tensione vAB, valutato con i generatori indipendenti
interni azzerati
42
Teorema di Norton – Dimostrazione (2)
  iAB
  icc  Geq vAB
iAB  iAB
43
Teorema di Norton – Dimostrazione (3)
● Il primo contributo, iAB, rappresenta l’opposto della corrente di
cortocircuito del bipolo A-B (iAB icc)
 è una combinazione lineare delle tensioni e delle correnti
impresse dai generatori indipendenti contenuti nel bipolo A-B
 non dipende dalla tensione vAB
● Il secondo contributo, iAB, è proporzionale alla tensione del
generatore esterno
 la costante di proporzionalità, cioè il rapporto tra iAB e vAB,
rappresenta la conduttanza equivalente del bipolo che si
ottiene azzerando i generatori indipendenti contenuti nel
bipolo A-B
44
Teorema di Norton – Nota
● Il verso di riferimento attribuito alla corrente nel cortocircuito è correlato
al verso del generatore presente nel circuito equivalente
 una corrente diretta (nel cortocircuito)
da A verso B corrisponde alla corrente
di un generatore con il verso di riferimento entrante nel nodo A
 se il verso di fosse scelto da B ad A, la
corrente corrisponderebbe a quella di
un generatore con verso entrante nel
nodo B, quindi il circuito equivalente
dovrebbe essere modificato come indicato nella figura
45
Bipoli equivalenti di Thévenin e Norton
● Se il bipolo A-B ammette sia il circuito equivalente di Thévenin sia il
circuito equivalente di Norton, questi sono anche equivalenti tra loro,
quindi (con i versi di riferimento indicati nella figura) valgono le relazioni
Req 
1
Geq
v0  Req icc
46
Teoremi di Thévenin e Norton – Note
● Nel calcolo di Req o di Geq devono essere azzerati solo i generatori
indipendenti, i generatori dipendenti non devono essere alterati
(questo è dovuto al fatto che il principio di sovrapposizione non vale per
i generatori dipendenti)
● I generatori iAB e vAB sono stati introdotti solo ai fini delle dimostrazioni
dei teoremi, ma non è detto che sia necessario utilizzarli nei casi pratici
per il calcolo dei parametri dei circuiti equivalenti
(in casi particolari, come si è visto, può essere conveniente fare uso di
un generatore esterno di tensione o di corrente per calcolare Req o Geq)
● La determinazione dei tre parametri v0, Req (o Geq) e icc richiede lo
studio di tre circuiti distinti, nei quali, in generale, tutte le tensioni e le
correnti assumono valori diversi
 le tre analisi sono indipendenti tra loro: nello studio di ciascuno di
questi circuiti non si possono riutilizzare valori di tensioni o correnti
determinati risolvendo uno degli altri due circuiti
47
Teoremi di rappresentazione dei doppi bipoli
Rappresentazione comandata in corrente
● Ipotesi:
 Q  doppio bipolo formato da componenti resistivi lineari e
generatori indipendenti
 Q è comandato in corrente
 Circuito equivalente:
 vG1, vG2  tensioni a vuoto alle porte di Q
(v1 e v2 per i1  i2  0)
 R  matrice di resistenza del doppio bipolo ottenuto da Q
azzerando i generatori indipendenti
48
Teoremi di rappresentazione dei doppi bipoli
Rappresentazione comandata in tensione
● Ipotesi:
 Q  doppio bipolo formato da componenti resistivi lineari e
generatori indipendenti
 Q è comandato in tensione
 Circuito equivalente:
 iG1, iG2  correnti di cortocircuito alle porte di Q
(i1 e i2 per v1  v2  0)
 G  matrice di conduttanza del doppio bipolo ottenuto da Q
azzerando i generatori indipendenti
49
Teoremi di rappresentazione dei doppi bipoli
Rappresentazione ibrida (diretta)
● Ipotesi:
 Q  doppio bipolo formato da componenti resistivi lineari e
generatori indipendenti
 Q ammette la rappresentazione ibrida diretta
 Circuito equivalente:
 vG1  v1 per i1  0, v2  0
 iG2  i2 per i1  0, v2  0
 H  matrice ibrida (diretta) del doppio bipolo ottenuto da Q
azzerando i generatori indipendenti
50