Lez. 19 - Forze elettriche [modalità compatibilità]

06/06/2013
Lez. 18 – Forze Elettriche
Prof. Giovanni Mettivier
1
Dott. Giovanni Mettivier, PhD
Dipartimento Scienze Fisiche
Università di Napoli “Federico II”
Compl. Univ. Monte S.Angelo
Via Cintia, I-80126, Napoli
[email protected]
+39-081-676137
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Gli antichi Greci osservarono fenomeni elettrici e
magnetici, probabilmente fin dal 700 a.c. Essi trovarono
che quando un pezzo di ambra veniva strofinato, si
elettrizzava e attirava pezzetti di paglia e piume.
L’esistenza di forze magnetiche fu scoperta osservando
che pezzi di un minerale esistente in natura chiamato
magnetite (Fe3O4) attiravano il ferro.
Il termine elettrico deriva dalla parola greca per l’ambra,
elektron. Il termine magnetico deriva da Magnesia,
regione costiera della Turchia dove fu trovata la
magnetite.
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Lez. 18 - FORZE ELETTRICHE
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Gli esperimenti dimostrarono che vi sono due differenti
specie di cariche elettriche, chiamate positiva e
negativa da B. Franklin. Una bacchetta di bachelite (o
plastica) che è stata strofinata con una pelliccia (o un
materiale acrilico) viene sospesa a un filo. Quando una
bacchetta di vetro strofinata con seta viene avvicinata
alla bacchetta di bachelite, la bacchetta di bachelite
viene attirata verso la bacchetta di vetro.
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Se due bacchette di bachelite cariche (o due bacchette
di vetro cariche) vengono avvicinate l’una all’altra, la
forza fra esse è repulsiva. Queste osservazioni
dimostrano che la bachelite ed il vetro hanno cariche di
specie diversa.
Noi usiamo la convenzione
suggerita da Franklin, nella quale
la carica elettrica sulla bacchetta
di vetro è chiamata positiva e
quella
sulla
bacchetta
di
bachelite è chiamata negativa.
Sulla base di osservazioni come
queste,
concludiamo
che
cariche dello stesso segno si
respingono mentre cariche di
segno opposto si attraggono.
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Un’altra importante caratteristica è il principio di
conservazione della carica elettrica e cioè che la
carica netta in un sistema isolato si conserva sempre.
Quando due oggetti inizialmente neutri vengono caricati
strofinandoli insieme, nel processo non vengono create
cariche. Gli oggetti diventano carichi in quanto elettroni
vengono trasferiti da un corpo all’altro. Un oggetto
guadagna una certa quantità di carica negativa mentre
l’atro perde la stessa quantità di carica negativa e quindi
rimane con una carica positiva. La sola variazione
riguarda la carica che è stata trasferita tra i due oggetti.
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Un oggetto neutro (o scarico) contiene un numero
immenso di elettroni (dell’ordine di 1023). Per ogni
elettrone negativo, è presente un protone carico
positivamente; quindi un oggetto neutro non possiede
carica netta di alcun segno.
La carica elettrica totale di un oggetto è quantizzata
come multiplo intero della carica dell’elettrone e. Questa
carica vale e = 1,60 x 10-19C. La carica elettrica
posseduta da un oggetto è dovuta ad un eccesso di
elettroni oppure ad una mancanza di elettroni, per
questo motivo la carica elettrica complessiva di un
oggetto è quantizzata in multipli della carica elementare
e.
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E’ possibile per una carica elettrica muoversi da un posto
a un altro all’interno di un oggetto: tale moto delle cariche
si chiama conduzione elettrica. E’ conveniente
classificare i materiali secondo la capacità delle cariche
di muoversi al loro interno:
Conduttori sono i materiali in cui le cariche si muovono
relativamente libere
Isolanti sono i materiali in cui le cariche elettriche non si
muovono liberamente.
I semiconduttori sono una terza classe di materiali e le
loro proprietà elettriche sono a metà strada tra quelli
degli isolanti e dei conduttori. Le cariche possono
muoversi in un semiconduttore piuttosto liberamente, ma
vi sono molte meno cariche in un semiconduttore che in
un conduttore.
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Quando un conduttore è collegato alla Terra per
mezzo di un filo conduttore si dice che è messo a
terra. La Terra può quindi essere considerata un
serbatoio infinito per gli elettroni, nel senso che può
ricevere o fornire un numero illimitato di elettroni.
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Consideriamo una sfera conduttrice neutra
(scarica) isolata in modo da non offrire alcun
percorso conduttore verso terra. Essendo la
sfera neutra, essa possiede un egual
numero di cariche positive e negative. Una
bacchetta di bachelite carica negativamente
è avvicinata alla sfera. La forza repulsiva fra
gli elettroni della bacchetta e quelli della
sfera causa una distribuzione della carica
sulla sfera poiché alcuni elettroni si
muoveranno verso la parte della sfera più
lontana dalla bacchetta. La regione della
sfera più vicina alla bacchetta avrà un
eccesso di carica positiva a causa della
migrazione di un certo numero di elettroni
lontano da questa posizione.
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Se un filo conduttore messo a terra viene
allora collegato alla sfera alcuni degli
elettroni lasceranno la sfera e migreranno
verso terra.
Se il filo collegato a terra viene quindi
rimosso, la sfera conduttrice rimarrà con un
eccesso di carica positiva indotta, avendo
perso una certa quantità di carica elettrica
negativa fluita attraverso il filo. Infine,
quando la bacchetta di bachelite è
allontanata dalla sfera, la carica positiva
indotta rimane sulla sfera non collegata a
terra.
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Nel processo di induzione di carica sulla sfera, la
bacchetta di bachelite carica non perde alcuna delle
sue cariche negative, poiché essa non viene mai in
contatto con la sfera.
La carica di un oggetto per induzione non richiede
alcun contatto con l’oggetto che induce la carica. Ciò è
diverso dal processo di carica di un oggetto mediante
strofinio, che richiede il contatto fisico fra i due oggetti.
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Le forze elettriche fra oggetti carichi furono misurate
quantitativamente da Coulomb usando la bilancia di
torsione, da lui inventata. Coulomb confermò che la forza
elettrica fra due piccole sfere cariche è proporzionale al
reciproco del quadrato della loro distanza r, cioè, Fe ∝
1/r2.
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La forza elettrica fra le sfere cariche
A e B in fig. causa l’attrazione o la
repulsione reciproca, e il moto che
ne risulta causa la torsione del filo
di sospensione. Poiché il momento
di richiamo della fibra ruotata è
proporzionale
all’angolo
di
rotazione,
una
misura
di
quest’angolo fornisce una misura
quantitativa della forza elettrica di
attrazione e repulsione. Una volta
che le sfere siano caricate per
strofinio, le forze elettriche tra di
esse sono molto maggiori rispetto
all’attrazione
gravitazionale,
cosicché la forza di gravità può
essere trascurata.
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La legge di Coulomb descrive il modulo della forza
elettrostatica fra due cariche puntiformi di carica q1 e q2 e
separate da una distanza r:
Fe = ke
q1 q2
r2
dove ke (=8.99 x 109 Nm2/C2) è la costante di Coulomb, e
la forza è espressa i newton se le cariche sono espresse
in coulomb e la distanza in metri.
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La costante ke si può anche scrivere
ke =
1
4πε 0
dove la costante εo è nota come costante dielettrica del
vuoto, e ha il valore
εo= 8.8542 x 10-12 C2/Nm2
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La legge di Coulomb è valida esattamente solo per
cariche puntiformi o particelle. La forza elettrica
esercitata da q1 su q2, rappresenta da F12, può essere
espressa in forma vettoriale come
r
qq )
F12 = ke 1 2 2 r12
r
dove r12 è un versore (vettore
unitario) diretto da q1 a q2, come in
fig. la forza elettrica che esercita
q2 su q1 ha lo stesso modulo, la
stessa direzione e verso opposto
alla forza elettrica esercitata da q1
su q2; cioè, F12 = -F21. Se q1 e q2
hanno lo stesso segno, il prodotto
q1q2 è positivo e la forza è
repulsiva.
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Se q1 e q2 sono di segno opposto, il prodotto q1q2 è
negativo e la forza è attrattiva.
Quando sono presenti più di due cariche, la forza
risultante su ciascuna particella è uguale alla somma
vettoriale delle forze dovute a tutte le altre particelle
(principio di sovrapposizione).
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Tre cariche puntiformi giacciono lungo l’asse x. La
particella con carica q1 = 15 µC si trova in x = 2 m, e la
particella con carica q2 = 6 µC si trova nell’origine. Dove
deve essere posta la carica negativa q3 sull’asse x in
modo tale che la forza risultante su di essa sia nulla?
r
F13 = k e
q1 q 3 )
q1 q 3 )
r = −ke
i
2 13
(2 − x )
(2 − x )2
r
q q )
q q
F23 = k e 2 2 3 r23 = k e 2 2 3 iˆ
x
x
r
r
r
q1 q 3 )
q q
Σ F = F13 + F23 = − k e
i + k e 2 2 3 iˆ = 0
2
x
(2 − x )
q1
q
= 2
(2 − x )2 x 2
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Un campo elettrico in un punto dello spazio può essere
definito in funzione della forza elettrica agente su una
carica di prova q0 posta in quel punto. Per convenzione,
una particella di prova trasporta sempre una carica
elettrica positiva. Con questa convenzione, introduciamo
il campo elettrico E in un punto dello spazio definito
come la forza elettrica Fe agente su una carica di prova
posta in quel punto diviso per la carica q0 della particella
di prova:
r
r Fe
E≡
q0
20
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Quindi, un campo elettrico esiste in un punto se una
particella carica di prova posta a riposo in quel punto
subisce una forza elettrica.
Poiché la forza è un vettore, il campo elettrico è pure un
vettore. Si noti che E è il campo prodotto dalla particella
di prova. Chiamiamo sorgente la o le particelle che
creano il campo.
Il campo elettrico della particella sorgente è presente
indipendentemente che si introduca oppure no una
particella di prova nel campo. La particella di prova si
usa solo per misurare la forza e quindi rivelare
l’esistenza del campo e valutarne l’intensità.
Dobbiamo assumere che la carica di prova q0 sia piccola
abbastanza da non perturbare la distribuzione di carica
responsabile del campo elettrico.
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Il vettore E ha le unità SI di newton su coulomb (N/C),
analoghe alle unità N/kg per il campo gravitazionale. La
direzione orientata di E è la stessa di quella di Fe poiché
abbiamo usato la convenzione della carica positiva per la
particella di prova.
Una volta noto il campo elettrico in un punto dello spazio,
la forza su qualsiasi particella con carica q posta in quel
punto si può calcolare come
r
r
Fe = qE
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Consideriamo una carica puntiforme q posta a distanza r
da una carica di prova qo. In base alla legge di Coulomb,
la forza che si esercita sulla carica di prova da parte di q
è
r
Fe = ke
qq0
rˆ
r2
Troviamo che il campo elettrico creato da q in un punto
P, E = Fe/qo, che è la posizione di qo, è
r
q
E = k e 2 rˆ
r
Il campo elettrico totale in un dato punto nello spazio,
generato da un insieme di particelle cariche, è uguale
alla somma vettoriale dei campi elettrici in quel punto
generati da tutte le particelle.
r
E = ke ∑
i
qi
rˆi
ri 2
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Un dipolo elettrico è costituito da
una carica puntiforme positiva q e
una carica puntiforme negativa –q
separate da una distanza 2a, come
in Fig. Come vedremo nei capitoli
seguenti, gli atomi neutri e le
molecole, quando sono posti in un
campo
elettrico
esterno,
si
comportano come dipoli. Inoltre,
molte
molecole,
sono
dipoli
permanenti.
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Lez. 18 - FORZE ELETTRICHE
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a) Trovare il campo elettrico E dovuto al dipolo lungo
l’asse y nel punto P che dista y dall’origine.
E1 = E2 = ke
q
q
= ke 2
2
r
y + a2
q
cos θ =
y + a2
q
a
2qa
= 2k e 2
= ke
1/ 2
2
2
2
2
y +a y +a
y + a2
E = 2k e
2
(
)
(
)
3/ 2
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b) Trovare il campo elettrico nei punti y >> a lontani dal
dipolo.
E ≈ ke
2qa
y3
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Un rappresentazione
grafica conveniente per la
visualizzazione della configurazione campo elettrico
consiste nel tracciare delle linee che hanno in ogni punto
la direzione orientata del vettore campo elettrico. Queste
linee, chiamate linee di campo elettrico, sono legate al
campo elettrico in qualunque regione dello spazio nel
seguente modo:
-Il vettore campo elettrico E è
tangente alle linee di forza in ogni
punto
- Il numero di linee di forza per unità di
area che attraversano una superficie
perpendicolare alle linee stesse è
proporzionale all’intensità del campo
elettrico in quella regione. Quindi E è
intenso dove le linee di forze sono fitte
ed e debole dove esse si diradano.
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Le regole per disegnare le linee di forza per una
distribuzione di carica qualsiasi sono le seguenti:
- Le linee di forza per un insieme di cariche puntiformi
devono avere origine dalle cariche positive e terminare
sulle cariche negative. Nel caso di un eccesso di carica
di un tipo, alcune linee inizieranno e termineranno
all’infinito.
- il numero di linee di forza che escono da una carica
positiva o che entrano in una carica negativa è
proporzionale alla carica
- due linee di forza non si possono intersecare
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Quando una particella di carica q e massa m è posta in
un campo elettrico E, la forza elettrica che agisce sulla
carica è data da Fe = qE. Se questa è l’unica forza
agente sulla particella
r
r
r
Fe = qE = ma
L’accelerazione della particella è quindi data da
r
r qE
a=
m
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Una carica positiva puntiforme q di massa m è lasciata
libera in quiete in un campo elettrico uniforme E, diretto
lungo l’asse x. Descrivere il suo moto.
1
1
qE 2
x f = xi + vi t + at 2 = at 2 =
t
2
2
2m
qE
v f = vi + at = at =
t
m
 2qE 
v 2f = vi2 + 2a (x f − xi ) = 2ax f = 
x f
m


1
1  2qE 
K = mv 2 = m
 x = qEx
2
2  m 
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Il campo elettrico, nello spazio racchiuso tra due piastre
metalliche
cariche
di
segno
opposto
è
approssimativamente uniforme. Supponiamo che un
elettrone di carica –e venga sparato orizzontalmente in
questo campo con una velocità iniziale vi. Poiché il
campo elettrico E è nel verso positivo di y,
l’accelerazione dell’elettrone è nel verso negativo di y,
ovvero
r
eE ˆ
a=−
j
me
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Poiché l’accelerazione è costante, possiamo applicare le
equazioni della cinematica con vxi = vi e vyi = 0. Al tempo
t, le componenti della sua velocità sono
v x = vi = cos tan te
vy = a yt = −
eE
t
me
Le sue coordinate in funzione del tempo t sono
x f = vi t
yf =
1 2
1 eE 2
a yt = −
t
2
2 me
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Sostituendo il valore t = xf/vi, vediamo che yf è
proporzionale a xf2. Quindi la traiettoria è una parabola.
La traiettoria dell’elettrone in un campo elettrico uniforme
E sotto l’azione di una forza costante di modulo qE ha la
stessa forma di quella di una particella in un campo
gravitazionale uniforme g sotto l’azione di una forza
costante mg.
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Un elettrone entra in una regione di campo uniforme, con
vi = 3 x 106 m/s e E = 200 N/C. La lunghezza orizzontale
delle piastre è l = 0.1 m.
a) Trovare l’accelerazione dell’elettrone nel campo
elettrico.
(
)
r
eE ˆ
1.6 x10 −19 C (200 N / C ) ˆ
a=−
j=−
j = −3.51x1013 ˆjm / s 2
me
9.11x10 −31 kg
b) Trovare il tempo impiegato
attraversare il campo elettrico.
∆t =
dall’elettrone
per
l
0.1m
=
= 3.33x10 −8 s
6
vi 3 x10 m / s
c) Qual è lo spostamento verticale ∆y dell’elettrone dopo
che ha attraversato tutta la regione di campo
1
elettrico?
∆y = y f − yi = a y t 2
2
1
= − 3.51x1013 m / s 3.33x10−8 s
2
= −0.0195m = −1.95cm
(
)(
)
2
37
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Lez. 18 - FORZE ELETTRICHE
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Il flusso elettrico è una grandezza proporzionale al
numero di linee di campo elettrico che attraversano una
data superficie.
Il prodotto dell’intensità del campo elettrico E per l’area
perpendicolare alla direzione del campo è chiamato
flusso elettrico, ΦE’:
ΦE = EA
Dalle unità SI di E e A, vediamo che il flusso ha come
unità Nm2/C.
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Se la superficie considerata non è perpendicolare al
campo, il numero di linee cha la attraversano deve
essere minore di quanto dato. Ciò può essere facilmente
compreso considerando la fig, dove la normale alla
superficie di area A forma un angolo θ con la direzione
del campo elettrico uniforme. Si noti che il numero di
linee che attraversano quest’area è uguale al numero di
linee che attraversano l’area proiettata A’, perpendicolare
al campo.
Le due aree sono legate dalla relazione A’ = Acosθ .
Poiché il flusso attraverso l’area A è uguale al flusso
attraverso A’, si può concludere che il flusso desiderato è
dato da
ΦE = EA cos θ
39
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Lez. 18 - FORZE ELETTRICHE
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Nel caso più generale, il campo elettrico può variare sia
in modulo che in direzione e verso sulla siperficie in
questione. Quindi, a meno che il ccampo non sia
uniforme, la nostra definizione di flusso data nell’eq.
19.18 ha significato soltanto su un piccolo elemento di
area. Consideriamo una generica superficie, suddivisa in
un gran numero di piccoli elementi, ciascuno di area ∆ai
il cui modulo rappresenta l’area dell’i-esimo elemento e
la cui direzione è per definizione perpendicolare alla
superficie, come in fig.. Il flusso elettrico ∆ΦE attraverso
questo piccolo elemento è dato da
r r
∆Φ E = Ei ∆Ai cos θ i = Ei ∆Ai
40
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Φ E ≡ lim
∆Ai →0
r r
E
∑ i ∆Ai =
r r
E
∫ dA
sup erficie
Attraverso una superficie chiusa
r r
Φ E = ∫ EdA = ∫ En dA
in cui En rappresenta la componente del campo elettrico
normale alla superficie.
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Teorema di Gauss
Innanzitutto consideriamo una carica puntiforme positiva
q posta al centro di una sfera di raggio r come in fig. Le
linee di campo sono radiali e hanno verso uscente, per
cui sono perpendicolari (o normali) alla superficie in ogni
punto. Cioè, in ogni punto, E è parallelo al vettore ∆Ai
che rappresenta l’elemento locale di area ∆Ai. Quindi,
per tutti i punti della superficie
r r
E∆Ai = En ∆Ai = E∆Ai
dall’eq. troviamo che il flusso totale attraverso la
superficie è data da
Φ E = ∫ En dA = ∫ EdA = E ∫ dA = EA
42
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Poiché E è costante sull’intera superficie. Dall’eq,
sappiamo che l’intensità del campo elettrico ovunque
sulla superficie della sfera è E = keq/r2. inoltre, per una
superficie sferica, A = 4πr2. Quindi, il flusso totale
attraverso la superficie è
(
)
k q
Φ E = EA =  e2  4πr 2 = 4πke q
 r 
Ricordando che ke = 1/4πε0, possiamo scrivere questa
relazione nella forma
ΦE =
q
ε0
43
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Lez. 18 - FORZE ELETTRICHE
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Questo risultato, che è indipendente da r, dice che il
flusso totale attraverso una superficie sferica è
proporzionale alla carica q all’interno della superficie.
Consideriamo, ora, diverse superfici
chiuse che circondano una carica q,
come in fig.. La superficie S1 è
sferica, mentre le superfici S2 ed S3
non sono sferiche. Il flusso che
attraversa la superficie S1 ha il
valore q/εo.
Come abbiamo discusso nel precedente paragrafo, il
flusso è proporzionale al numero di linee di forza che
attraversano quella superficie. La costruzione in fig.
mostra che il numero di linee di forza che attraversano la
superficie S1 è uguale al numero di linee di forza che
attraversano le superfici non sferiche S2 ed S3.
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Quindi, è ragionevole concludere che il flusso totale
attraverso una qualunque superficie chiusa è
indipendente dalla forma di questa superficie. (Si può
provare che ciò avviene se E è proporzionale a 1/r2). In
effetti, il flusso totale che attraversa una qualunque
superficie chiusa che circonda una carica puntiforme
q è dato da q/εo. Poiché potremmo scegliere una
superficie sferica che circonda una carica che non è
posta al centro della sfera, possiamo concludere che il
flusso attraverso la superficie è indipendente dalla
posizione della carica all’interno della superficie.
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Consideriamo,
ora,
una
carica
puntiforme posta al di fuori di una
superficie chiusa di forma arbitraria,
come in fig.. Come si può vedere da
questa costruzione, alcune linee di
forza entrano nella superficie, altre
invece escono dalla superficie. Però, il
numero di linee di forza che entrano è
uguale al numero di linee di forza che
escono
dalla
superficie.
Quindi,
possiamo concludere che il flusso
elettrico totale che attraversa una
superficie chiusa che non circonda
alcuna carica è nullo.
Estendiamo questi stessi argomenti al
caso generale di più cariche puntiformi,
o a una distribuzione continua di carica.
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Giovanni Mettivier
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06/06/2013
Il flusso totale che attraversa una qualunque superficie
chiusa che circonda una carica puntiforme q è dato da
q/ε0
Il flusso attraverso la superficie è indipendente dalla
posizione della carica all’interno della superficie.
Il teorema di Gauss, che è una generalizzazione della
discussione precedente, afferma che il flusso totale
attraverso una qualunque superficie chiusa è dato da
r r q
Φ E = ∫ EdA = in
ε0
dove qin rappresenta la carica totale interna alla
superficie ed E rappresenta il campo elettrico in ogni
punto della superficie.
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Lez. 18 - FORZE ELETTRICHE
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