Verifiche as 2013/2014 – classe 4 C - IIS Severi

Verifiche 4 C – a.s. 2013/2014
Verifiche anno scolastico
2013/2014 – classe 4 C
1
Verifiche 4 C – a.s. 2013/2014
1)
30∙2𝑥
2𝑥 +8
−𝑥
2) 3
< 2𝑥+1 − 1
4
+ 2−3𝑥  5
[x>3]
2
[ x  log 3 5  0  x < log32 ]
1
3) 2(log 2 𝑥)2 + log 2 (𝑥 2 ) + 2 log 4 𝑥 + 1 ≤ 0
2
4) 1 + log 3 ( 𝑥 − 2) > log 3 (−𝑥 + 4𝑥)
5) 𝑙𝑛(𝑒
3𝑥
− 1) > 1
[𝑥 >
1
3
[2 ≤ 𝑥 ≤
1
]
√2
[3<x<4]
ln(𝑒 + 1)]
6) Per quali valori di k i numeri
2 𝑘
 = (3)
5 |1+𝑘|
 = (2 )
 = 104k+5 sono tutti maggiori di
1? Giustifica la risposta che hai dato.
7) Per ciascuna delle funzioni che seguono ricava qual è il suo dominio e stabilisci che segno
ha al variare di x: a) y = log4x2
b) y = log1/10(1 – x2)
c) y = log1/2(4 + x2)
8) Per quali valori di k positivi la funzione y = log1/2( k + x2) ha segno costante? Giustifica la
risposta che hai dato.
[k>1]
Trigonometria
1) Rappresenta in [0, 2π ] la funzione 𝑦 = 5√3 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 5𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 +
5
2
2) Data la funzione y = 4senx + 4cosx , ricava le coordinate dei minimi interni all’intervallo
[ - 2π, 2π]
3) Sono assegnate le rette r di equazione x – y = 0 e s di equazione 2x + y = 0
a) Calcola l’angolo formato dalle rette r, s
b) Ricava le equazioni delle bisettrici degli angoli formati da r , s
[ a) 𝑟𝑠
̂ = arctg3 ; b) y =
4+√10
√10−2
𝑥
2−√10
, y = 4+√10 ]
4) Sono assegnate due semirette s,t che hanno origine comune in un punto O e formano un
𝜋
angolo α = 3 , indicare con A il punto di s tale che OA = 2 a. Internamente all’angolo α
tracciare una semiretta r di origine O che forma un angolo β = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠
2
√5
con s, proiettare A
su r in P e P su t in Q. Calcolare il perimetro del quadrilatero OAPQ.
[ 2p =
12+2√5+6√3
5
𝑎]
5) Un triangolo ABC ha le seguenti caratteristiche: AC = 4√3 , 𝛾 =
𝜋
6
3
, 𝛽 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 5 .
Calcola:
a) L’altezza AH relativa al lato BC
b) Il lato BC
c) Il lato AB
d) Il perimetro e l’area del triangolo
e) cosα.
8
10
[ AH = 2√3 , BC = 6 + 3 √3 , AB = 3 √3; 2p = 6 + 10√3 , area = 8 + 6√3 ; cosα =
3−4√3
10
]
6) Sapendo che senα = −
1
√10
e che 𝜋 < 𝛼 <
3
2
𝜋, calcolare
2
Verifiche 4 C – a.s. 2013/2014
𝜋
a) 𝑠𝑒𝑛 (2 + 𝛼)
𝜋
b) cos( 4 + 𝛼)
[ a) −
3
√10
, b) −
1
√5
]
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠
7) Sono assegnati gli angoli:
a) tg( α – β)
b) sen(2β )
1
3
1
𝛽 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2 .
√10
Calcola
4
[ a) − 7 , b) 5 ]
8) Data una semicirconferenza  di diametro AB = 2r, costruire nel semipiano di origine AB a cui non
appartiene  il quadrato ABCD. Indicato con P un generico punto di  determinare per quali
posizioni di P vale la relazione: PD2 + AP2 – AB2> 8r2.
𝜋
[ P𝐴̂𝐵 = x , - sen2x + senx cosx > 0 , 0 < x < 4 ]
𝜋
9) È assegnato un rombo ABCD che ha i lati di misura a e gli angoli acuti di 𝐷𝐴̂𝐵 = 𝐵𝐶̂ 𝐷 = 3 .
Tracciata una semiretta r di origine A, interna all’angolo 𝐷𝐴̂𝐵, indicare con E, F i punti in cui r
interseca, rispettivamente, la diagonale BD e il lato CD. Esprimere, al variare di r, la differenza
𝐸𝐵
𝐷𝐹
2 𝐴𝐸 − 𝐸𝐹 ; rappresentare in [0, 2 ] la funzione ottenuta e mettere in evidenza il tratto di grafico
relativo al problema.
𝜋
[ E𝐴̂𝐷 = x, y = cosx - √3 senx, 0 < x  6 ]
2
[ −3 < 𝑥 <
10) cos2x – cosx < 0
1
11) 𝑠𝑒𝑛𝑥 
3
2
3
  x ≠ 2k ]
𝜋
2
[ -  + 2k < x  2k  3 + 2𝑘  x  3  + 2𝑘
𝑠𝑒𝑛𝑥+ √3
𝜋
𝜋
12) 10sen2x + 2√3 senx cosx – 9  0 [ − 2 + 𝑘  𝑥  𝑎𝑟𝑡𝑔(−3√3)  3 + 𝑘  𝑥 
3𝑠𝑒𝑛𝑥+ √3 𝑐𝑜𝑠𝑥
13) |𝑠𝑒𝑛𝑥|+ |1−𝑐𝑜𝑠𝑥| > 0
𝜋
[ − 6 + 2𝑘 < 𝑥 <
14) Sono assegnate le funzioni:
1
1−𝑡𝑔2 𝑥
,
5
6
𝜋
2
+k ]
 + 2𝑘  𝑥 ≠ 2𝑘 ]
1
f(x) = √𝑡𝑔2 𝑥 − 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥−5 ,
g(x) = √𝑐𝑜𝑠𝑥 − 5 −
𝑡𝑔2 𝑥−1
h(x) = √|𝑐𝑜𝑠𝑥−5|
Individua quali tra le seguenti risposte è corretta e motiva la scelta che hai operato :
a) le tre funzioni hanno lo stesso dominio
b) f(x) e g(x) hanno lo stesso dominio
c) f(x) e h(x) hanno lo stesso dominio
d) g(x) e h(x) hanno lo stesso dominio
e) nessuna delle precedenti risposte è esatta
[ c]
15) Un grattacielo panoramico è alto 380m, da quale distanza dalla base del grattacielo l’angolo di
inclinazione sotto cui è vista la cima è di 20°? Se a partire da quella posizione un turista si avvicina
camminando in linea retta verso la porta d’ingresso alla velocità costante di 4km/h, dopo quanto
tempo vede la cima del grattacielo con un angolo di inclinazione di 40°? [circa 8.19min ]
Numeri complessi
3
Verifiche 4 C – a.s. 2013/2014
16) Risolvi l’equazione z2 – 2z + 4 – 4i = 0 e scrivi le soluzioni in forma trigonometrica. [ - 2i; 2 + 2i]
17) Esegui le operazioni 𝑖 +
1
2−𝑖
1+𝑖
, rappresenta nel piano di Gauss il risultato e scrivilo in forma
𝑖
trigonometrica. [2 − 2]
18) Calcola √−3 − 𝑖3√3 , scrivi le radici ottenute sia in forma algebrica sia in forma trigonometrica e
rappresentale nel piano di Gauss. [|𝑧1 | = |𝑧2 | = √6 , 𝛼 =
2
𝜋, 𝛽
3
= −
𝜋
3
]
Geometria dello spazio
19) Un rettangolo ABCD ha le dimensioni AB = 4𝑎 e AD = 6𝑎, indicato con M il punto medio di AD
tracciare la retta r perpendicolare in M al piano del rettangolo e indicare con N il punto di r tale che
NM = 5𝑎.
a) Calcola l’angolo che ciascuno dei segmenti AN, BN, CN, DN forma con il piano del rettangolo.
b) Calcola l’angolo che il piano generato dai punti B, C, N forma con il piano del rettangolo
c) Dimostra che NCD è un triangolo rettangolo. Calcola l’angolo che il piano generato dai punti N,
C, D forma con il piano del rettangolo.
𝜋
̂ 𝑀 = N𝐴̂D = arctg5 ; b) angolo fra piani N𝐾
̂ M = artg5 se K è la
[ a) N𝐵̂𝑀 = N𝐶̂ 𝐷 = ; N𝐷
4
3
4
̂ 𝑀 è l’angolo cercato ]
proiezione di M su BC; c) N𝐷
20) Un segmento AB ha misura 8𝑎 ricava qual è il luogo dei punti dello spazio che hanno distanza 5𝑎
dagli estremi del segmento. Giustifica la risposta che hai dato. [ Circonferenza che è situata nel
piano assiale di AB, ha centro nel punto medio di AB e raggio 3𝑎 ]
21) È assegnata una piramide a base quadrata ABCD di lato 4𝑎 e vertice V; l’altezza della
piramide ha misura 8𝑎 e cade nel punto medio del lato AD.
a) Calcola la misura degli spigoli laterali VB e VC e l’angolo che ciascuno di essi forma
con il piano di base
b) Calcola l’ampiezza del diedro formato dalla faccia VBC e dal piano di base
c) Tracciato un piano parallelo al paino di base, a distanza x dal vertice V, proietta il
poligono sezione sul piano di base e esprimi in funzione di x la superficie del
parallelepipedo costruito. Rappresenta la funzione ottenuta e metti in evidenza il tratto
di grafico relativo al problema.
d) Traccia un piano  parallelo al piano di base a distanza 4𝑎 dal vertice e considera il
parallelepipedo inscritto nella piramide che ha una base su . Ricava la distanza del
punto d’intersezione delle diagonali dal piano di base della piramide.
4
3
[ a) VB = VC = 2√17𝑎, V𝐵̂ 𝐻 = arctg( ); b) acrtg2 ; c) 𝑦 = − 2 𝑥 2 + 16𝑎𝑥 0  x 8𝑎; d)
√5
2𝑎 ]
22) Un prisma retto di altezza a, ha per base il trapezio isoscele ABCD che ha gli angoli
𝜋
adiacenti alla base maggiore AB di misura 3 , base minore CD = a e lati obliqui BC = AD =
a. Traccia il piano  che è parallelo alla faccia BB’C’C e contiene la retta DD’, sia EE’
l’intersezione tra  e la faccia ABB’A’.
a) Il prisma assegnato è così diviso in due solidi, descrivi tutte le caratteristiche dei due
solidi che riesci a riconoscere (motiva tutte le caratteristiche elencate).
4
Verifiche 4 C – a.s. 2013/2014
b) Calcola l’ampiezza del diedro che ha per facce i piani ADD’A’ e DEE’D’.
𝜋
[ a) i due prismi hanno l’uno per base un triangolo equilatero, l’altro un rombo; b) 3 ]
23) Un triangolo rettangolo isoscele di cateti AB = AC = a è la base di una piramide che ha il
vertice V sulla retta perpendicolare in A al piano del triangolo e AV = a.
a) Calcola l’ampiezza del diedro che la faccia VBC forma con il piano di base, esprimila in
gradi sessagesimali
b) Calcola l’ampiezza del diedro formato dalle facce laterali VAB e VBC, esprimila in
gradi sessagesimali.
1
[ a) artg√2 ; b) arcos ]
√3
24) È assegnata una sfera di raggio R
2
a) Nella sfera è inscritto un parallelepipedo a base quadrata che ha altezza 3 𝑅, ricavare il
volume del parallelepipedo.
b) Calcolare la superficie laterale del cilindro equilatero inscritto nella sfera.
[ a)
32
27
𝑅 3 ; b) 2R2 ]
25) Disegna lo sviluppo della superficie laterale del cono equilatero di raggio r . Esponi il
procedimento che hai seguito. [ lo sviluppo è un semicerchio ]
26) È assegnato un rettangolo ABCD che ha dimensioni AB = 6𝑎 e BC = 8𝑎.
a) Il rettangolo ABCD è la base di una piramide la cui altezza ha misura 4𝑎 e cade nel
centro del rettangolo. Ricavare le dimensioni dei parallelepipedi di volume 9𝑎3 inscritti
nella piramide.
b) Nel cilindro ottenuto dalla rotazione del rettangolo ABCD attorno al lato BC è scavato
un cono che ha la base situata sulla base del cilindro di centro C, raggio di base
𝐶𝐷
2
e
altezza variabile. Riconoscere quale tra i grafici che seguono rappresenta meglio il
volume del solido ottenuto in funzione dell’altezza del cono, spiegare la scelta fatta.
A)
B)
[ a) altezza del prisma h1 = 3𝑎 , h2 = 𝑎
C)
5−√21
2
; b)
A) ]
5
Verifiche 4 C – a.s. 2013/2014
27) Un ottaedro regolare ha spigolo di misura 10cm, ricavare lo spigolo dell’esaedro regolare
equivalente all’ottaedro assegnato.
𝑟
28) È assegnato un cono ha raggio r e altezza h = 2 . Ricavare le dimensioni dei cilindri inscritti
2
nel cono assegnato, sapendo che la superficie laterale dei cilindri è 9 𝜋𝑟 2 .
Calcolo della probabilità
29) Una casa produttrice di notebook ha analizzato i prodotti provenienti da tre stabilimenti e ha
rilevato che il primo stabilimento ha prodotto 500 apparecchi e lo 0.2% presentava una
scheda di rete difettosa, nello stesso periodo un secondo stabilimento ha prodotto 300
apparecchi dei quali l’1 % presenta lo stesso difetto nella scheda di rete e da ultimo ha
analizzato i 400 apparecchi prodotti dal terzo stabilimento e ha ritrovato lo 0.5% degli
apparecchi con il medesimo difetto. Calcolare:
a) Il numero di apparecchi difettosi prodotti da ciascun stabilimento
b) La probabilità che un apparecchio sia difettoso
c) La probabilità che un apparecchio giudicato difettoso provenga dal terzo stabilimento.
17
5
[ a) 1 , 3, 2 ; b) 3000 ; c) 17 ]
30) Ricavare per quale valore di n (n > 5) vale la relazione
𝐷𝑛,5 − 𝐷𝑛+1,4
𝐷𝑛,3
= 11.
[n=8]
31) Ricavare per quale valore di n > 1 vale la relazione (𝑛 + 1)! − 2(𝑛 − 1)! = 40
𝑛!
𝑛
32) Si lanciano due dadi simultaneamente; calcolare la probabilità che:
a) La somma delle facce valga 10 o che entrambe le facce siano pari
b) La somma delle facce sia minore di 10
c) Le facce siano uguali o la somma sia dispari.
[ a)
5
18
5
; b) 6 ; c)
2
3
]
33) Da un mazzo di carte da quaranta si pescano simultaneamente 4 carte. Calcolare la
probabilità che:
a) Le prime tre carte estratte siano rosse
b) Almeno una delle quattro carte sia una figura rossa.
c) Due carte siano di cuori e due siano figure.
3
22507
198
[ a) 26 ; b) 45695 ; c) 45695 ]
34) Su uno scaffale ci sono due sacchetti, il sacchetto 1 contiene 10 palline gialle e 4 palline blu,
mentre il sacchetto 2 contiene 6 palline gialle e 8 blu.
a) Si pesca dal sacchetto 1 se nel lancio di un dado esce un numero maggiore o uguale di 3,
in caso contrario si pesca dal sacchetto 2. Qual è la probabilità che, avendo estratto una
pallina blu, questa provenga dal sacchetto 2?
b) Pescando tre palline dal primo sacchetto, qual è la probabilità che almeno una sia gialla?
6