“Liceo Scientifico Statale “Guido Castelnuovo”
PROGRAMMA SVOLTO
MATEMATICA
A.S. 2013-2014
Classe VA P.N.I.
LIMITI DI FUNZIONI E CONTINUITA’
Gli assiomi dei numeri reali. Numeri naturali, interi, razionali. La topologia della retta reale: l’assioma di
continuità, massimi, minimi, estremo superiore, estremo inferiore. Illimitatezza dell’insieme dei numeri
naturali (D*). Densità dell’insieme dei numeri razionali in quello dei reali (D). Il concetto di punto di
accumulazione. Il teorema di Bolzano Weierstrass (D). Premesse all’analisi infinitesimale. Limite finito di una
funzione per x che tende ad un valore finito.
Limite infinito di una funzione per x che tende ad un valore
finito.
FUNZIONI CONTINUE
Definizione di funzione continua. Insieme di definizione e continuità. Classificazione dei punti di
discontinuità di una funzione. Teorema di Weierstrass (D). Teorema degli zeri di funzioni continue.
Teorema dei valori intermedi (D*), La continuità della funzione inversa. Limite finito per x che tende
all’infinito. Limite infinito per x che tende all’infinito. Il teorema dell’unicità del limite (D*). Il teorema della
permanenza del segno (D*). Il teorema del confronto (D*). Il teorema di collegamento. Limiti di funzioni
goniometriche. Limiti di funzioni razionali. Limiti di funzioni irrazionali. Limiti di funzioni esponenziali e
logaritmiche.
DERIVATE
Il problema delle tangenti. Definizione del concetto di derivabilità di una funzione. Continuità delle funzioni
derivabili (D*). Derivate fondamentali. Teoremi per il calcolo delle derivate. Il teorema di Fermat (D*). Il
teorema di Rolle (D*). Il teorema di Lagrange (o del valor medio) (D*). Il teorema di Cauchy (D*). Le
derivate e l’andamento delle funzioni. Problemi di massimo e minimo. L’approssimazione polinomiale delle
funzioni. Il polinomio di Taylor. Il teorema di De l’Hospital (D*), e il calcolo dei limiti di funzioni. Funzioni
convesse: definizione ed interpretazione geometrica. Una condizione sufficiente per i massimi ed i minimi di
una funzione (D*). Un’applicazione numerica: il metodo delle tangenti (o di Newton) per la determinazione
degli zeri di una funzione derivabile. Asintoti obliqui. Studio completo di una funzione.
INTEGRALI
L’area del segmento di parabola. Funzioni integrabili. Alcune proprietà algebriche dell’integrale. Il teorema
della media integrale (D*). Definizione di funzione integrale. Il teorema fondamentale del calcolo integrale
(D*). La formula fondamentale del calcolo integrale (D*). Un’applicazione numerica: la formula di quadratura
(detta dei trapezi). L’integrale indefinito: primitive di una funzione integrabile. Integrazione per sostituzione.
Integrazione per parti. Integrazione di semplici funzioni razionali fratte. Calcolo di aree. Calcolo di volumi di
solidi di rotazione. Il teorema di Guldin. Integrali impropri. La funzione gaussiana.
DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA’
Introduzione: richiami sulle variabili aleatorie discrete. Processi di Bernoulli. Valor medio di una variabile
aleatoria discreta. Varianza. Funzione di ripartizione. Variabili aleatorie continue. Valor medio di una
variabile aleatoria continua. Funzione di ripartizione. Varianza. Distribuzione binomiale (o di Bernoulli).
Distribuzione normale (o di Gauss). Distribuzione uniforme.
Per quanto riguarda le dimostrazioni dei risultati presentati (indicate con la notazione (D) e (D*) nel programma svolto di cui
sopra), si ritiene doveroso precisare che sono state richieste soltanto quelle contrassegnate da (D*).
Il docente
prof. Francesco Parigi
I rappresentanti degli studenti
