Corso di Laurea in Matematica
Geometria 2
Esercitazione sulle curve algebriche - aprile 2010
1. Si consideri la cubica Γ = V (x3 − 2y 3 ) del piano affine con coordinate x, y nel
campo Q dei numeri razionali. Si denoti con Γ̄ la chiusura proiettiva di Γ.
Individuare l’affermazione falsa:
(a) Γ̄ coincide con Γ;
(b) Γ consiste di un solo punto;
(c) Γ̄ possiede un punto singolare;
(d) una delle precedenti affermazioni è falsa.
Soluzione: Le coordinate (a, b) di un punto P ∈ Γ devono soddisfare l’identità
a3 = 2b3 . Se b = 0, allora anche a deve essere 0 e P è il punto (0, 0). D’altronde,
¡ ¢3
se fosse b 6= 0 si potrebbe scrivere l’identità ab
= 2 e troveremmo che
√
¡a¢
il numero razionale b dovrebbe coincidere con il numero irrazionale 3 2.
L’evidente contraddizione porta a concludere che Γ consiste del solo punto
(0, 0).
Nel piano proiettivo P2 (Q) di coordinate [X0 , X1 , X2 ], un eventuale punto
improprio di Γ deve avere coordinate [0, a, b] con a3 = 2b3 , se prendiamo
V (X0 ) come retta impropria. Per quanto detto sopra deve essere a = b = 0,
ma nessun punto proiettivo può avere coordinate tutte nulle. Dunque Γ non
possiede punti impropri, cioè Γ̄ = Γ.
L’unico punto [1, 0, 0] di Γ̄, è necessariamente singolare perché ogni retta che
passa per esso, cioè ogni retta del tipo V (cX1 + dX2 ), incontra Γ̄ in P con
molteplicità d’intersezione 3 (si tratta di un punto triplo).
2. Tra le seguenti cubiche del piano proiettivo complesso di coordinate [X, Y, Z]
individuare l’unica proiettivamente equivalente a Γ := V (XZ 2 + Y 3 + Y 2 Z):
(a) V (X 2 (X − Z) − Y 2 Z);
(b) V (Y (Y 2 − Z 2 ) − X 2 Z);
(c) V (X 3 + Y Z 2 );
(d) V (Y 2 Z + X 3 + XZ 2 ).
Soluzione: Le derivate parziali del polinomio F (X, Y, Z) := XZ 2 + Y 3 + Y 2 Z
che definisce Γ sono
∂
∂X F (X, Y, Z)
= Z 2,
∂
∂Y
F (X, Y, Z) = 3Y 2 + 2Y Z;
∂
∂Z F (X, Y, Z)
= 2XZ + Y 2
e vengono contemporaneamente annullate per Y = Z = 0. Dunque Γ ha nel
punto P di coordinate [1, 0, 0] un punto singolare. Tra le rette V (bY + cZ) del
fascio per P l’unica ad avere in P molteplicità d’intersezione con Γ superiore a
2 è la retta V (Z), cioè in P vi è una sola tangente principale, ovvero P è una
cuspide per Γ.
Tra le cubiche (a) . . . (d) le uniche a possedere punti singolari sono la (a) e la (c):
la (a) ha un punto singolare in Q = [0, 0, 1], mentre la (c) ha un punto singolare
in R = [0, 1, 0]. Più precisamente vi sono due tangenti principali alla (a) in Q
(le rette V (iX + Y ) e V (iX − Y )) ed una tangente principale alla (c) in R (la
retta V (Z)), cioè Q è un nodo ed R una cuspide. Poiché due cubiche irriducibili
con una cuspide del piano proiettivo complesso sono sempre proiettivamente
equivalenti, deduciamo che la (c) è l’unica delle quattro cubiche date ad essere
proiettivamente equivalente a Γ. (Si noti che se Γ o la (c) fossero riducibili
la tangente principale V (Z) dovrebbe essere una loro componente, ma Z non
divide né XZ 2 + Y 3 + Y 2 Z, né X 3 + Y Z 2 .)
3. Sia dato nel piano affine reale l’insieme di punti
©¡
¢
ª
Γ = k2 , k3 : k ∈ R
e si denoti con ΓQ l’insieme dei punti (a coordinate) razionali di Γ. Individuare
l’affermazione falsa:
(a) ΓQ è una cubica riducibile del piano affine razionale;
(b) Γ è una cubica del piano affine reale avente una cuspide nel punto O =
(0, 0);
(c) Γ è una curva algebrica del piano affine reale la cui chiusura proiettiva
contiene il punto di coordinate [0, 1, 0];
(d) ΓQ è una curva algebrica del piano affine razionale la cui chiusura proiettiva ha la retta V (Z) come tangente di flesso;
Soluzione. Chiaramente Γ ⊆ V (x3 − y 2 ). D’altronde la retta V (y − kx)
interseca Γ due volte in O ed una volta in (k 2 , k 3 ). Poiché Γ non contiene punti
con ascissa nulla a parte O e questo punto si può congiungere ad ogni altro
punto di V (x3 − y 2 ) mediante una retta V (y − kx) scegliendo opportunamente
k, vediamo che Γ esaurisce V (x3 − y 2 ). Pertanto Γ è la cubica irriducibile
V (x3 − y 2 ) del piano affine reale. Le stesse considerazioni fatte per Γ valgono
anche per ΓQ : ΓQ è la cubica irriducibile V (x3 − y 2 ) del piano affine razionale.
Questo ci dice immediatamente che la (a) è un’affermazione falsa. Verifichiamo
la veridicità delle rimanenti affermazioni.
Ogni retta del fascio V (y − kx) interseca Γ due volte in O, a parte V (y) che
la cui molteplicità d’intersezione con Γ in O è 3. Ciò significa che il punto O
è una cuspide per Γ (ma anche per ΓQ ).
La chiusura proiettiva Γ di Γ è V (X 3 − Y 2 Z) e questa curva proiettiva contiene il punto Y∞ = [0, 1, 0]. Questo punto è di flesso con tangente V (Z)
(l’intersezione V (X 3 − Y 2 Z) ∩ V (Z) dà tre volte Y∞ ). Poiché Y∞ e V (Z)
li ritroviamo anche nel piano proiettivo razionale, si vede che anche le affermazioni (c) e (d) sono corrette.
4. Siano Γ = V (F (X1 , X2 , X3 )), l = V (a1 X1 + a2 X2 + a3 X3 ) e P = [p1 , p2 , p3 ]
rispettivamente una curva algebrica, una retta ed un loro punto d’intersezione
in un dato piano proiettivo. Indicare quale delle possibilità:
(a) P è un punto singolare di Γ,
(b) l è tangente a Γ in P ,
(c) l ha molteplicità d’intersezione 1 con Γ in P ,
(d) l è una componente irriducibile di Γ,
è esclusa dalla condizione che il rango della matrice
¶
µ
a1
a2
a3
A=
∂
∂
∂
∂X1 F (p1 , p2 , p3 )
∂X2 F (p1 , p2 , p3 )
∂X3 F (p1 , p2 , p3 )
sia 1.
Soluzione: Se P è un punto singolare di Γ si ha
µ
¶
∂
∂
∂
F (p1 , p2 , p3 ),
F (p1 , p2 , p3 ),
F (p1 , p2 , p3 ) = (0, 0, 0)
∂X1
∂X2
∂X3
e conseguentemente il rango di A è 1 perché certamente (a1 , a2 , a3 ) 6= (0, 0, 0),
non potendo l essere definita dal polinomio nullo.
³P
´
3
∂
Se P non è un punto singolare di Γ, la retta t = V
F
(p
,
p
,
p
)X
1
2
3
i
i=1 ∂Xi
è la tangente a Γ in P . Si ha l = t precisamente quando
³
´ i vettori (a1 , a2 , a3 ) e
∂
∂
∂
∂X1 F (p1 , p2 , p3 ), ∂X2 F (p1 , p2 , p3 ), ∂X3 F (p1 , p2 , p3 ) sono linearmente dipendenti, cioè nel caso (b) il rango di A è 1, mentre nel caso (c) il rango di A è
2.
Se l è una componente irriducibile di Γ solo due possibilità si possono presentare: o P è un punto singolare di Γ, oppure l è la tangente a Γ in P ; in
ambedue i casi il rango di A, per quanto detto sopra, è 1.
5. Tra le seguenti cubiche del piano affine A2 (Q) ve ne sono tre che hanno in
O = (0, 0) una cuspide, ed una no. Indicare quest’ultima:
(a) V (y 3 − y 2 − x3 );
(b) V (y 2 x + y 2 − x3 );
(c) V (y 3 + y 2 − x2 y − x2 − x3 );
(d) V (y 2 x + y 2 + y 3 − x3 ).
Soluzione. Intersechiamo ciascuna delle cubiche col fascio di rette V (y − kx)
passante per O.
Le ascisse dei punti d’intersezione della cubica (a) con ciascuna retta del fascio
si ottengono risolvendo l’equazione k 3 x3 − k 2 x2 − x3 = x2 ((k 3 − 1)x − k 2 ) = 0 e
vediamo che otteniamo due volte la soluzione x = 0 (che corrisponde al punto
O) per ciascuna retta del fascio, mentre la otteniamo tre volte esattamente
quando k = 0. D’altronde la rimanente retta x = 0 per O interseca la cubica
(a) due volte in O ed una volta nel punto (0, 1). Quindi tutte le rette per
O intersecano la (a) due volte in O (quindi O è un punto singolare) e solo la
retta V (y) la interseca tre volte, cioè O è una cuspide per (a) avendo una sola
tangente principale.
Le ascisse dei punti d’intersezione della cubica (b) con ciascuna retta del fascio
si ottengono risolvendo l’equazione k 2 x3 − k 2 x2 − x3 = x2 ((k 2 − 1)x − k 2 ) = 0
e si trova due volte la soluzione x = 0 per ciascuna retta del fascio, mentre
tale soluzione è ottenuta tre volte esattamente quando k = 0. D’altronde la
rimanente retta x = 0 per O interseca la cubica (b) due volte in O ed una
volta nel suo punto improprio. Quindi tutte le rette per O intersecano la (b)
due volte in O e solo la retta V (y) la interseca tre volte, cioè O è una cuspide
per (b).
Le ascisse dei punti d’intersezione della cubica (c) con ciascuna retta del fascio
si ottengono risolvendo l’equazione
k 3 x3 + k 2 x2 − kx3 − x2 − x3 = x2 ((k 3 − k − 1)x + k 2 − 1) = 0
e si trova due volte la soluzione x = 0 per ciascuna retta del fascio, mentre tale
soluzione è ottenuta tre volte esattamente quando k = ±1. Quindi (c) ha due
tangenti principali in O, precisamente V (y + x) e V (y − x), e non può essere
una cuspide.
Le ascisse dei punti d’intersezione della cubica (d) con ciascuna retta del fascio
si ottengono risolvendo l’equazione
k 2 x3 + k 2 x2 + k 3 x3 − x3 = x2 ((k 3 + k 2 − 1)x + k 2 ) = 0
e si trova due volte la soluzione x = 0 per ciascuna retta del fascio, mentre
tale soluzione è ottenuta tre volte esattamente quando k = 0. D’altronde la
rimanente retta x = 0 per O interseca la cubica (d) due volte in O ed una volta
nel punto (0, −1). Quindi tutte le rette per O intersecano la (d) due volte in
O e solo la retta V (y) la interseca tre volte, cioè O è una cuspide anche per
(d).
6. Si consideri la varietà
©
ª
Γ := [a2 , ab, b2 ] : [a, b] ∈ P1 (R)
del piano proiettivo reale di coordinate [X0 , X1 , X2 ]. Tra le seguenti coniche del
piano affine reale, indicare quella la cui chiusura proiettiva è proiettivamente
equivalente ad X:
(a) V (2x2 + y 2 + 1);
(b) V (2x2 + y 2 );
(c) V (xy + 1);
(d) V (xy).
Soluzione. Γ è la conica V (X0 X2 − X12 ) di P2 (R), una conica non degenere
con sostegno non vuoto. Quindi si tratta di vedere quale delle coniche affini
date è non degenere ed ha una chiusura proiettiva non vuota.
La chiusura proiettiva di (a) è vuota perché
X02 + 2X12 + X22 > 0
∀[X0 , X1 , X2 ] ∈ P2 (R).
La (b) è degenere in quanto consiste dell’unico punto (0, 0).
La (c) è un’iperbole e quindi la sua chiusura proiettiva ha le proprietà richieste.
La (d) è degenere in quanto si decompone nelle rette V (x) e V (y).
