11 Analisi elettromagnetica di strutture cilindriche

11 Analisi elettromagnetica di strutture
cilindriche
Introduzione
La trasmissione d’informazioni a distanza che utilizza la propagazione libera del campo elettromagnetico è molto diffusa in molteplici settori delle telecomunicazioni. Le
motivazioni di tale diffusione sono da ricercare nella semplicità d’installazione e nella possibilità di realizzare dei collegamenti in altro modo impossibili (si pensi ai ponti
radio in regioni montuose e in regioni con clima particolarmente ostile). D’altra parte il radiocollegamento presenta seri problemi legati all’inquinamento elettromagnetico,
al rendimento di potenza molto basso e alla forte dipendenza del collegamento dalle
condizioni atmosferiche, alcune delle quali non controllabili (per esempio pioggia).
Da ciò nasce la necessità di realizzare delle strutture capaci di convogliare l’energia
elettromagnetica in regioni di spazio limitate che vanno dal trasmettitore al ricevitore.
Se il mezzo è omogeneo non vi è nessun motivo fisico che consenta il trasporto di energia
lungo un determinato percorso. L’unico modo per “obbligare” il campo elettromagnetico a propagarsi in una direzione ben determinata è di introdurre delle discontinuità
all’interno del mezzo materiale: uno o più conduttori a frequenze fino a quelle delle
microonde, oppure due o più dielettrici alle frequenze ottiche.
Alle basse frequenze l’energia elettromagnetica è trasmessa prevalentemente mediante
due o più conduttori metallici: la trasmissione avviene attraverso lo spazio esterno ai fili
che, con la loro presenza conformano il campo elettromagnetico in modo da localizzarlo
in regioni di spazio molto prossime ai fili stessi. Tipici esempi sono le linee aeree, usate
per la trasmissione e la distribuzione dell’energia elettrica, e il doppino telefonico usato
per la trasmissione di segnali telefonici e per la realizzare reti informatiche di area locale
(LAN). In questo tipo di strutture, dette aperte, oltre al fenomeno della propagazione
lungo la direzione longitudinale, è presente anche il fenomeno della radiazione, cioè
una dispersione dell’energia nello spazio circostante (in direzione trasversale a quella di
propagazione). Tale comportamento provoca effetti trascurabili alle basse frequenze e
quando le dimensioni del circuito sono trascurabili rispetto alla lunghezza d’onda, ed
effetti di importanza crescente al crescere della frequenza. Il fenomeno della radiazione
è indesiderato, non solo per la perdita di efficienza della trasmissione energetica, ma
anche perché genera interferenze tra apparati differenti. Inoltre, per potenze di emissione
particolarmente elevate (come nel caso dei radar e delle stazioni radio base), la radiazione
può costituire un pericolo per le persone e le cose prossime alla zona di emissione. Il
modo più ovvio per limitare fortemente questi problemi consiste nel realizzare opportune
strutture capaci di confinare il campo elettromagnetico all’interno di un tubo metallico
228
229
che funge da schermo. E’ per questa ragione che alle radiofrequenze le linee aeree sono
sostituite dai cavi coassiali, cioè strutture composte da un conduttore centrale coassiale
con una calza metallica concentrica in cui l’intercapedine tra i due conduttori è riempita
parzialmente o totalmente da dielettrico. Essi sono usati sia per la trasmissione di segnali
analogici a banda larga, come ad esempio il segnale televisivo, che per trasmissioni digitali
ad elevato bit rate.
Il fenomeno della radiazione può anche essere reso trascurabili utilizzando strutture
aperte, purché il campo decresca rapidamente al di fuori di esse. Tipici esempi sono le
microstrisce, cioè strutture guidanti costituite da una striscia di materiale conduttore
depositato su un substrato dielettrico metallizzato sulla faccia posteriore, le quali sono
usate prevalentemente per realizzare elementi reattivi nella banda delle frequenze più
basse delle microonde e per effettuare il collegamenti all’interno di circuiti elettronici
per applicazioni ad elevata frequenza in tratti che non superano qualche centimetro.
Infine, alle frequenze più alte delle microonde ed in particolare modo per lunghezze
d’onda inferiori a 10 cm le strutture cilindriche costituite da semplici tubi metallici, sono
spesso preferite alle strutture coassiali a causa delle migliori proprietà elettriche e meccaniche. Di queste quella a sezione rettangolare e circolare sono largamente usate nelle
applicazioni ad elevata potenza, per accoppiare i ricevitori e i trasmettitori alle antenne,
nella realizzazione delle cavità risonanti ad elevato fattore di merito, Q, come fonti di
eccitazione di cavità risonanti, per realizzare antenne ad apertura di vari tipi, e nella
realizzazione di accoppiatori direzionali. Esse sono disponibili in dimensioni che coprono
l’intervallo di frequenza da 320 MHz a 500 GHz (la guida d’onda standard WR-90 ha
dimensioni tali da poter funzionare nell’intevallo di frequenze da 8.2 GHz a 12.5 GHz).
Inoltre per applicazioni ad elevata potenza la guida d’onda è riempita con gas inerte
come azoto e pressurizzata, allo scopo di incrementare la tensione di rottura. Le guide
d’onda a sezione circolare, anche se meno usate rispetto a quelle a sezione rettangolare,
sono disponibili in diametri che coprono l’intervallo di frequenza da 800 MHz a 116 GHz.
L’uso di tali guide è interessante per la possibilità di far propagare due onde nel modo
fondamentale T E11 , polarizzate ortogonalmente tra loro: una applicazione tipica è quella di eccitare una antenna con due polarizzazioni ortogonali. Inoltre, se il collegamento
tra apparato e antenna è lungo si utilizza a volte la guida circolare anche nella zona di
propagazione plurimodale per ridurre notevolmente l’attenuazione della guida. Sezioni
di guide d’onda chiuse in corto circuito sono anche utilizzate per realizzare elementi
induttivi e capacitivi alle frequenze delle microonde i quali sono largamente usati come
elementi per l’adattamento d’impedenza. Infine la guida d’onda rettangolare caricata
(ridge) è qualche volta usata al posto della guida d’onda rettangolare commerciale standard per le migliori proprietà d’impedenza e di una più ampia larghezza di banda di
operatività, anche se le perdite sono superiori.
Da quanto detto risulta evidente che l’analisi della propagazione delle onde elettromagnetiche in strutture guidanti rappresenta uno degli aspetti essenziali dell’elettromagnetismo, in quanto costituisce il fondamento in tutti i sistemi di comunicazioni elettriche su
portante fisico. E’ di fondamentale importanza comprendere come l’impiego di frequenze sempre più elevate si ripercuote sulla complessità dei modelli matematici. Inoltre, è
importante conoscere le differenti metodologie di progetto delle strutture utilizzate per
Ing. Luciano Mescia
11.1. Strutture cilindriche
Cavo coassiale
Guida circolare
230
Guida rettangolare
Guida rettangolare
ridged
(a)
Guida circolare
dielettrica
Linea bifilare
(b)
Linea a striscia
Microstriscia
Linea a fessura
Image line
(c)
Microstriscia
sospesa
Linea complanare
Figura 11.1: Tipologie di guide d’onda
guidare il segnale elettromagnetico in funzione della frequenza, delle perdite di potenza,
dei ritardi d propagazione nonchè le consideraziomi di ordine pratico su cui è basata la
scelta di una struttura guidante.
11.1 Strutture cilindriche
Nelle applicazioni dell’elettromagnetismo è di particolare interesse lo studio delle guide
d’onda è cioé di strutture che consentono la propagazione del campo elettromagnetico
lungo una determinata direzione. Una guida d’onda è in generale rappresentata da una
struttura cilindrica e cioé una regione di spazio in cui le caratteristiche geometriche ed
elettromagnetiche sono invarianti lungo una direzione dello spazio (direzione assiale).
Questo significa che sia la geometria sia le condizioni al contorno e di continuità del
campo elettromagnetico sono le stesse in ogni piano perpendicolare a tale direzione.
Tipici esempi di questo tipo di strutture sono quelle in cui la regione di spazio in esame
è quella interna a tubi conduttori cavi (fig11.1(a)), quella esterna a due o più conduttori
metallici o all’interno di una regione dielettrica (fig11.1(b)), quella compresa tra due o più
superfici metalliche (fig11.1(c)). Allo scopo di semplificare il più possibile la trattazione
matematica relativa all’analisi elettromagnetica è conveniente scegliere un sistema di
coordinate in cui si fa coincidere la linea della superficie di contorno con una delle linee
coordinate. A tale scopo, si ipotizzi che l’asse z coincida con la direzione delle generatrici
della superficie cilindrica (direzione assiale) e che la regione di spazio in esame sia sede di
un mezzo lineare, isotropo, privo di cariche elettriche libere e di correnti di conduzione,
Ing. Luciano Mescia
11.1. Strutture cilindriche
231
z
ε2
al
an
S
az
ε1
l
Figura 11.2: Rappresentazione geometrica di una generica guida d’onda dielettrica
caratterizzato da permittività elettrica ϵ e permeabilità magnetica µ. Come mostrato
in figura 11.2, la struttura cilindrica è quindi caratterizzata da una sezione trasversale
S, che rimane invariata spostandosi lungo l’asse z, da un versore z, da un volume V
racchiuso dalla superficie S, e da un contorno l avente versore tangente l̂ e normale
n̂ tali che n̂ × l̂ = ẑ. L’invarianza delle struttura lungo la direzione di propagazione
impone che la permettività elettrica e la permabilità magnetica siano funzioni delle sole
coordinate trasversali
ϵ = ϵ(n, l)
µ = µ(n, l)
In tali ipotesi, il problema da risolvere è quello di ricavare le configurazioni di campo
elettromagnetico guidato 1 , in regime sinusoidale e in assenza di sorgenti (o equivalentemente in regioni lontane dalle sorgenti), sostenute dalla struttura considerata e soggette
alle condizioni al contorno o di continuità all’infinito e sul contorno l. Nelle ipotesi sopra
illustrate, le equazioni di Maxwell sono notevolmente semplificate ed assumono la forma:
∇ × E = −jωµH
(11.1a)
∇ × H = jωϵE
(11.1b)
∇·E = 0
(11.1c)
∇·H = 0
(11.1d)
dove E e H sono rispettivamente i vettori del campo elettrico e magnetico.
Una considerevole semplificazione delle (11.1a)–(11.1d) è ottenuta nel momento in cui
si distinguono per ogni vettore la componente trasversale (quella che giace sul piano
perpendicolare alla direzione longitudinale) da quella longitudinale. In questa situazione
è possibile quindi esprimere il campo elettromagnetico nella forma
1
E(n, l, z) = Et (n, l, z) + Ez (n, l, z)ẑ
(11.2)
H(n, l, z) = Ht (n, l, z) + Hz (n, l, z)ẑ
(11.3)
particolari soluzioni delle equazioni di Maxwell che hanno il carattere di onde elettromagnetiche
viaggianti lungo l’asse della struttura
Ing. Luciano Mescia
11.1. Strutture cilindriche
232
e l’operatore gradiente come
∇ = ∇t + ẑ
∂
∂z
(11.4)
dove il pedice t indica il piano trasversale.
Sostituendo le (11.2)–(11.4) nella (11.1a) si ha:
(
)
∂
∇ × E = ∇t + ẑ
× (Et + Ez ẑ) = −jωµ (Ht + Hz ẑ)
∂z
e cioé
∂
∂Ez
(ẑ × Et ) + (∇t × ẑ) Ez + (ẑ × ẑ)
= −jωµHt − jωµHz ẑ.
∂z
∂z
Considerando che i) ẑ ×ẑ è nullo in quanto i due vettori coinvolti nel prodotto vettoriale
sono paralleli, ii) ∇t × Et è un vettore diretto lungo l’asse z, iii) i vettori ẑ × Et e
∇t × ẑEz = −ẑ × ∇t Ez sono vettori aventi solo le componenti trasverse si ottiene in
definitiva:
∇t × Et +
∇t × Et = −jωµHz ẑ
∂Et
= −jωµHt + ẑ × ∇t Ez
ẑ ×
∂z
Sostituendo invece le (11.2)–(11.4) nella (11.1b) si ottiene:
∇t × Ht = jωϵEz ẑ
∂Ht
ẑ ×
= jωϵEt + ẑ × ∇t Hz
∂z
Considerando invece l’equazione (11.1c) si ha:
(
)
∂
∇t + ẑ
· (Et + Ez ẑ) = 0
∂z
(11.5a)
(11.5b)
(11.6a)
(11.6b)
da cui
∂Et
∂Ez
+ ẑ · ẑ
=0
∂z
∂z
Osservando che i termini ∇t · ẑ e ẑ · Et sono nulli in quanto coinvolgono vettori ortogonali
tra loro, si ottiene in definitiva
∂Ez
∇t · Et = −
(11.7)
∂z
Effettuando inoltre le stesse considerazioni partendo dall’equazione (11.1d) si ricava:
∇t · Et + ∇t · ẑEz + ẑ ·
∂Hz
(11.8)
∂z
Moltiplicando scalarmente ambo i membri della (11.5a) e (11.6a) per ẑ e utilizzando
l’identità vettoriale A · B × C = B · C × A, è possibile ricavare facilmente le relazioni
che esprimono i campi longitudinali in funzione di quelli trasversali
∇t · Ht = −
Ing. Luciano Mescia
jωµHz = ∇t · (ẑ × Et )
(11.9)
jωϵEz = ∇t · (Ht × ẑ)
(11.10)
11.1. Strutture cilindriche
233
Sostituendo la (11.9) nella (11.6b) si ha
ẑ ×
∂Ht
1
= jωϵEt +
ẑ × [∇t ∇t · (ẑ × Et )]
∂z
jωµ
{
}
1
= jωϵ Et − 2 ẑ × [∇t ∇t · (ẑ × Et )]
ω µϵ
(11.11)
Sostituendo la (11.10) nella (11.5b) si ricava
ẑ ×
∂Et
1
= −jωµHt +
ẑ × [∇t ∇t · (Ht × ẑ)]
∂z
jωϵ
da cui, moltiplicando vettorialmente ambo i membri per ẑ, e utilizzando l’dentità vettoriale
ẑ × (ẑ × At ) = ẑ (ẑ · At ) − At (ẑ · ẑ) = −At
(11.12)
con At il generico vettore che giace sul piano trasversale a ẑ, si ottiene
∂Et
1
= jωµẑ × Ht +
∇t ∇t · (Ht × ẑ)
∂z
jωϵ
[
]
1
= jωµ ẑ × Ht − 2 ∇t ∇t · (Ht × ẑ)
ω µϵ
(11.13)
In definitiva, dalle (11.11) e (11.13) è possibile ricavare le equazioni che legano tra loro
le componenti trasversali del campo elettromagnetico
{
}
(
)]
1 [
∂
(ẑ × Ht ) = jωϵ Et + 2 ∇t ∇t · ẑ × Êt × ẑ
(11.14)
∂z
k
[
]
1
∂Et
= jωµ ẑ × Ht + 2 ∇t ∇t · (ẑ × Ht )
(11.15)
∂z
k
dove k 2 = ω 2 µϵ.
Moltiplicando ambo i membri della (11.5b) per ẑ × ∂/∂z si ha
ẑ × ẑ ×
∂ 2 Et
∂Ez
∂Ht
+ ẑ × ẑ × ∇t
= −jωµẑ ×
∂z 2
∂z
∂z
da cui tramite la (11.12) si ricava
−
∂Ez
∂ 2 Et
∂Ht
= −jωµẑ ×
− ∇t
2
∂z
∂z
∂z
Sostituendo la (11.6b) si ottiene
−
∂ 2 Et
∂Ez
= ω 2 µϵEt − jωµẑ × ∇t Hz − ∇t
2
∂z
∂z
o equivalentemente
∂ 2 Et
∂Ez
+ k 2 Et = jωµẑ × ∇t Hz + ∇t
∂z 2
∂z
Ing. Luciano Mescia
11.1. Strutture cilindriche
234
Moltiplicando ambo i membri della (11.6b) per ẑ × ∂/∂z si ha
ẑ × ẑ ×
∂ 2 Ht
∂Et
∂Hz
= jωϵẑ ×
+ ẑ × ẑ × ∇t
2
∂z
∂z
∂z
da cui tramite la (11.12) si ricava
−
∂Et
∂Hz
∂ 2 Ht
= jωϵẑ ×
− ∇t
2
∂z
∂z
∂z
Sostituendo la (11.5b) si ottiene
∂Hz
∂ 2 Ht
+ k 2 Ht = −jωϵẑ × ∇t Ez + ∇t
∂z 2
∂z
Riassumendo si ottiene in definitiva:
∂Ez
∂ 2 Et
+ k 2 Et = jωµẑ × ∇t Hz + ∇t
2
∂z
∂z
∂ 2 Ht
∂Hz
+ k 2 Ht = −jωϵẑ × ∇t Ez + ∇t
2
∂z
∂z
(11.16)
(11.17)
da cui si osserva che le equazioni (11.16) e (11.17) esprimono le componenti trasversali
del campo elettromagnetico in funzione delle sole componenti longitudinali.
Dalla (11.5a) si ha
∇ × ∇ × Et = −jωµHz ∇t × ẑ − jωµ∇t Hz × ẑ = jωµẑ × ∇t Hz
da cui, tramite la relazione vettoriale ∇ × ∇ × Et = ∇t ∇t · Et − ∇2t Et e la (11.7) si
ottiene
∂Ez
− ∇2t Et = jωµz × ∇t Hz
−∇t
∂z
da cui
∂Ez
jωµẑ × ∇t Hz + ∇t
= −∇2t Et
∂z
Sostituendo inoltre quest’ultima relazione nella (11.16) si ricava l’equazione differenziale
alle derivate parziali
∂ 2 Et
∇2t Et +
+ k 2 Et = 0
(11.18)
∂z 2
Ripetendo le stesse operazioni partendo dalla (11.6a) e considerando la (11.17) è possibile
ricavare l’equazione differenziale
∇2t Ht +
∂ 2 Ht
+ k 2 Ht = 0
∂z 2
(11.19)
Volendo considerare delle soluzioni delle (11.18) e (11.1) compatibili con il metodo della separazione delle variabili per la soluzione delle equazioni differenziali alle derivate
parziali, si ipotizza che il generico campo elettromagnetico possa essere fattorizzato nel
Ing. Luciano Mescia
11.1. Strutture cilindriche
235
prodotto tra due funzioni, una delle sole coordinate trasversali (n, l) e l’altra della sola
coordinata longitudinale z
Et (n, l, z) = e(n, l)V (z)
Ht (n, l, z) = h(n, l)I(z)
Considerando ad esempio la (11.18) si ottiene
V ∇2t e + e
d2 V
+ k2 V e = 0
dz 2
da cui dividendo per V e si ricava
1 2
1 d2 V
∇t e = −
− k2
e
V dz 2
Dall’ultima equazione si ha che il primo membro è funzione solo delle coordinate r, l,
mentre il secondo membro è funzione solo della coordinata z. Di conseguenza, si ha un
paradosso perché una funzione di z è uguagliata ad una funzione di (r, l) ed (r, l, z) sono
variabili indipendenti. Il paradosso è risolto se s’impone che i due membri siano uguali
alla stessa costante di propagazione trasversale −βt2 e cioé
d2 V
+ β2V = 0
dz 2
∇2t e + βt2 e = 0
β 2 = k 2 − βt2
dove β 2 è la costante di propagazione longitudinale. Una generica soluzione della prima
equazione è del tipo
V (z) = V + exp{(−jβz} + V − exp{jβz}
dove il primo termine al secondo membro rappresenta un’onda viaggiante lungo l’asse z
(onda progressiva), mentre il secondo termine rappresenta un’onda viaggiante nel verso negativo dell’asse z (onda regressiva). V + e V − sono rispettivamente le ampiezze
complesse dell’onda progressiva e regressiva.
Considerando invece la e procedendo in modo analogo a quanto appena fatto si ricava
d2 I
+ β2I = 0
dz 2
∇2t h + βt2 h = 0
β 2 = k 2 − βt2
e
Ing. Luciano Mescia
I(z) = I + exp{(−jβz} + I − exp{jβz}
11.1. Strutture cilindriche
236
Pertanto, le componenti trasversali del campo elettromagnetico possono essere espresse
come:
Et (n, l, z) = V + e(n, l) exp{−jβz} + V − e(n, l) exp{jβz}
−
+
Ht (n, l, z) = I h(n, l) exp{−jβz} + I h(n, l) exp{jβz}
(11.20)
(11.21)
dove e e h sono soluzioni delle equazioni di Helmholtz
∇2t e + βt2 e = 0
(11.22)
∇2t h + βt2 h = 0
(11.23)
Si osservi che l’invarianza della struttura lungo la direzione z impone che la dipendenza
del componente trasverso del campo elettromagnetico lungo tale direzione sia del tipo
exp(±jβz) e cioè uno sfasamento indrodotto nel campo durante la propagazione. E’ inoltre ragionevole ipotizzare che anche i componenti del campo elettromagnetico abbiano
una dipenza lungo z del tipo exp(±jβz) e perciò
Ez (n, l, z) = A+ ez (n, l) exp{−jβz} + A− ez (n, l) exp{jβz}
−
+
Hz (n, l, z) = B hz (n, l) exp{−jβz} + B hz (n, l) exp{jβz}
(11.24)
(11.25)
dove ez , hz rappresentano la parte trasversale delle componenti longitudinali del campo
elettromagnetico.
Nelle equazioni ricavate, le costanti arbitrarie A+ , A− , B + , B − , V + , V − , I + , I −
sono legate tra loro tramite opportune relazioni ricavabili dalle equazioni di Maxwell.
Considerando la (11.7) si ha infatti
[ +
]
[
]
V exp{−jβz} + V − exp{jβz} ∇t · e = A+ exp{−jβz} − A− exp{jβz} jβez
e affinché l’ugualianza sia soddisfatta per ogni valore di z si deve avere
A+ = V +
A− = −V −
∇t · e = jβez
Dalla (11.5a) si ha invece
[ +
]
[
]
V exp{−jβz} + V − exp{jβz} ∇t × e = −jωµ B + exp{−jβz} + B − exp{jβz} hz ẑ
da cui
B+ = V +
B− = V −
∇t × e = −jωµhz ẑ
Infine, dalla (11.5b) si ha
[
]
[
]
−jβ V + exp{−jβz} − V − exp{jβz} ẑ × e = −jωµ I + exp{−jβz} + I − exp{jβz} h+
[
]
+ V + exp{−jβz} − V − exp{jβz} ẑ × ∇t ez
Ing. Luciano Mescia
11.1. Strutture cilindriche
237
da cui si ricava
[ +
]
[
]
V exp{−jβz} − V − exp{jβz} (jβẑ × e + ẑ × ∇t ez ) = jωµ I + exp{−jβz} + I − exp{jβz} h
e quindi in definitiva
I+ = V +
I − = −V −
jβẑ × e + ẑ × ∇t ez = jωµh
Sostituendo quanto ottenuto nelle (11.20) e (11.21) si ottengono per i componenti trasversali del campo elettromagnetico
[
]
j dL(z)
Et = V + exp{−jβz} + V − exp{jβz} e =
e = V (z) e
β dz
[
]
j dV (z)
Ht = V + exp{−jβz} − V − exp{jβz} h = L(z)h =
h
β dz
(11.26)
(11.27)
e per i componenti longitudinali
[
]
j dV (z)
ez
Ez = V + exp{−jβz} − V − exp{jβz} ez = L(z)ez =
β dz
[
]
j dL(z)
Hz = V + exp{−jβz} + V − exp{jβz} hz =
hz = V (z)hz
β dz
(11.28)
(11.29)
Sostituendo (11.26)–(11.29) nelle (11.16)–(11.17) si ricava
d2 V
j d2 V
e + k 2 V e = jωµV ẑ × ∇t hz +
∇ t ez
2
dz
β dz 2
[
[
]
]
j
j d d2 V
d
2
− jωϵV z × ∇t ez + V ∇t hz
+k V h=
β dz dz 2
dz
β
da cui
−β 2 V e + k 2 V e = jωµV ẑ × ∇t hz − jβV ∇t ez
−β 2 V h + k 2 V h = −jωϵV ẑ × ∇t ez − jβV ∇t hz
e quindi in definitiva è possibile ricavare immediatamente le relazioni che esprimono i
componenti trasversali del campo elettromagnetico in funzione delle sole componenti
longitudinali
( 2
)
(11.30)
k − β 2 e = jωµẑ × ∇t hz − jβ∇t ez
( 2
)
2
(11.31)
k − β h = −jωϵẑ × ∇t ez − jβ∇t hz
Si osservi che nella struttura cilindrica il problema elettromagnetico è notevolmente
semplificato in quanto il sistema di equazioni in sei incognite è stato ridotto ad un
Ing. Luciano Mescia
11.1. Strutture cilindriche
238
sistema di due sole equazioni nell due incognite rappresentate dai componenti trasversali
del campo elettromagnetico. Ricordando la relazione
∇t × e = −jωµhz ẑ
[
]
1
(−ωµẑ × ∇t hz + β∇t ez ) = ωµhz ẑ
∇t ×
ω 2 µϵ − β 2
si ha
Utilizzando la proprietà
∇t × (f A) = f ∇t × A + ∇t f × A
si ha
∇t ×
[
]
1
1
(−ωµẑ
×
∇
h
+
β∇
e
)
= 2
∇t × [ωµ∇t hz × ẑ + β∇t ez ] +
t z
t z
ω 2 µϵ − β 2
ω µϵ − β 2
(
)
1
× (ωµ∇t hz × ẑ + β∇t ez )
+ ∇t
ω 2 µϵ − β 2
Applicando la proprietà del calcolo vettoriale
∇ × (a × b) = a∇ · b − b∇ · a + (b · ∇) a − (a · ∇) b
si ottiene
∇t × (∇t hz × ẑ) = ∇t hz ∇t · ẑ − ẑ∇t · ∇t hz + (ẑ · ∇t ) ∇t hz − (∇t hz · ∇t ) ẑ
Osservando che
1. ∇t · ẑ = 0
2. (ẑ · ∇t ) ∇t hz =
∂∇t hz
=0
∂z
3. (∇t hz · ∇t ) ẑ = 0
si ricava
ωµ∇t × (∇t hz × ẑ) = −ωµ∇2t hz ẑ
Osservando inoltre che
∇t × β∇t ez = β∇t × ∇t ez = 0
e che
(
∇t
1
ω 2 µϵ − β 2
)
(
=−
1
ω 2 µϵ − β 2
)2
(
ω 2 µ∇t ϵ = −
)2
√
ω µϵ
∇t ϵ
k 2 ∇t ϵ
=
−
ω 2 µϵ − β 2
ϵ
βt4 ϵ
si ottiene in definitiva
−
ωµ 2
k 2 ∇t ϵ
k 2 ∇t ϵ
∇
h
ẑ
−
ωµ
×
(∇
h
×
ẑ)
−
β
× ∇t ez = ωµhz ẑ
z
t
z
t
βt2
βt4 ϵ
βt4 ϵ
Ing. Luciano Mescia
11.2. Modi di propagazione
239
e cioé
(
)
β k 2 ∇t ϵ
k 2 ∇t ϵ
× (∇t hz × ẑ) =
× ∇t ez
∇2t hz + βt2 hz ẑ + 2
ωµ βt2 ϵ
βt ϵ
Con passaggi analoghi si ricava l’equazione
( 2
)
k 2 ∇t ϵ
β k 2 ∇t ϵ
∇t ez + βt2 ez ẑ + 2
× (∇t ez × ẑ) = −
× ∇t hz
ωµ βt2 ϵ
βt ϵ
(11.32)
(11.33)
In definitiva, l’insieme di equazioni (11.30)–(11.31), (11.32)–(11.33), con le opportune
condizioni al contorno e di continuità, consentono di calcolare il campo elettromagnetico
sostenuto dalla struttura cilindrica. Si osservi che le (11.32)–(11.33) sono accoppiate
tra loro e perciò la soluzione analitica del sistema è possibile solo per un numero molto
limitato di casi. Inoltre se il mezzo è omogeneo si ha ∇t ϵ = 0 e perciò le (11.32)–(11.33)
si riducono alle equazioni di Helmholtz
∇2t hz + βt2 hz = 0
(11.34)
∇2t ez + βt2 ez = 0
(11.35)
11.2 Modi di propagazione
Nel paragrafo precedente è stato dimostrato che l’aver imposto l’asse z parallelo all’asse
della struttura cilindrica autorizza a scindere le funzioni che determinano la distribuzione spaziale delle componenti del campo elettromagnetico come prodotto di una funzione
delle sole variabili r, l e una della sola variabile z. Questo tipo di soluzioni delle equazioni di Maxwell sono compatibili con il concetto di propagazione guidata. Infatti, la
dipendenza dalla coordinata assiale per il tramite del fattore di propagazione exp{±jβz}
fornisce loro il carattere di onde elettromagnetiche viaggianti lungo l’asse della struttura.
Naturalmente, affiché tale scomposizione abbia un significato fisico è necessario che essa
sia compatibile con le condizioni al contorno le quali, con tale scelta dell’asse z, devono
essere indipendenti dalla coordinata z. Perciò, esse possono essere verificate per qualunque valore della coordinata z solo se è possibile esprimere le componenti del campo
elettromagnetico come prodotto delle due funzioni citate. Inoltre, l’uniformità assiale
della struttura implica delle soluzioni caratterizzate da una uniformità assiale della distribuzione trasversale del campo elettromagnetico. A tali soluzioni si dà il nome di
modi di propagazione, e nel caso particolare in cui sono considerate solo le soluzioni che
rappresentano delle onde progressive si può scrivere
E = E+ + E−
+
−
(11.36)
H=H +H
(11.37)
E+ = (e + ez ẑ) exp{−jβz}
(11.38)
dove
+
H = (h + hz ẑ) exp{−jβz}
(11.40)
−
(11.41)
E = (e − ez ẑ) exp{jβz}
H = (−h + hz ẑ) exp{jβz}
Ing. Luciano Mescia
(11.39)
−
11.2. Modi di propagazione
240
Nelle (11.38)–(11.41) (E+ , H+ ) rappresenta il campo elettromagnetico che si propaga
nella direzione positiva dell’asse z, e (E− , H− ) rappresenta il campo elettromagnetico
che si propaga nella direzione opposta. Nelle (11.38)–(11.41) sono state omesse le costanti
V + e V − in quanto la determinazione delle soluzioni delle equazioni di Maxwell in assenza
di sorgenti implica la risoluzione di un problema omogeneo che ammette soluzioni a meno
di un fattore arbitrario. Tale fattore può essere determinato una volta fornite ulteriori
condizioni come ad esempio l’energia del campo elettromagnetico.
Le equazioni (11.38)–(11.41) insieme alle (11.30)–(11.31) e (11.34)–(11.35) sono molto
utili per la valutazione delle configurazioni di campo elettromagnetico sostenute dalle strutture cilindriche con mezzo omogeneo in quanto evidenziano che, malgrado la
natura vettoriale del problema, la propagazione elettromagnetica è ricondotta a un problema scalare in quanto deducibile dalle soluzioni di due equazioni differenziali scalari
(11.34)–(11.35). Si osservi che le (11.30)–(11.31) non permettono di ricavare una generica configuarazione di campo elettromagnetico, ma solo un’onda elettromagnetica avente
una distribuzione di campo caratterizzata da una uniformità assiale, in cui le funzioni
vettoriali e e h sono dette funzioni di modo le quali, prese da sole, non rappresentano
un campo elettromagnetico. La possibilità di considerare solo questo tipo di soluzioni,
si basa sul fatto che l’insieme di modi della struttura è in generale completo, cioè un
generico campo elettromagnetico che può propagarsi all’interno della struttura cilindrica è esprimibile come combinazione lineare di un numero finito o infinito di modi. Più
precisamente, sulla base dei componenti longitudinali di campo i modi di propagazione
possono essere classificati in:
• modi trasversi elettromagnetici (TEM) caratterizzati da ez = hz = 0. In essi il campo elettrico può essere ricavato dal gradiente trasverso di una funzione scalare delle sole coordinate trasversali e soluzione dell’equazione di Laplace
bidimensionale;
• modi trasversi elettrici (TE) o modi H caratterizzati da ez = 0. In essi tutte le
equazioni del campo possono essere derivate dalla componente longitudinale hz del
campo magnetico;
• modi trasversi magnetici (TM) o modi E caratterizzati da hz = 0. In essi tutte
le equazioni del campo possono essere derivate dalla componente longitudinale ez
del campo elettrico;
• modi ibridi caratterizzati da ez ̸= 0, hz ̸= 0. Tali modi sono generalmente presenti
in guide d’onda dielettriche o guide d’onda a pareti metalliche con dielettrico non
omogeneo. Essi possono essere distinti in modi ibridi EH, quando il campo trasversale dipende prevalentemente da ez , modi ibridi HE, quando il campo trasversale
dipende prevalentemente da hz .
Ing. Luciano Mescia
11.2. Modi di propagazione
241
11.2.1 Modi TEM
Dovendo essere Ez = Hz = 0, dalle (11.5a)–(11.8) e considerando le (11.26)–(11.29) si
ha
∇t × e = 0
(11.42)
∇t × h = 0
ωµ
ẑ × e =
h
β
ωϵ
ẑ × h = − e
β
∇t · e = 0
(11.43)
∇t · h = 0
(11.44)
(11.45)
(11.46)
(11.47)
Dalla (11.42) e (11.43) si deduce immediatamente che i componenti trasversali del campo
elettromagnetico possono essere espressi in termini del gradiente di due funzioni potenziali scalari. Infatti, ricordando che per un qualsiasi funzione scalare ϕ vale la relazione
∇t × ∇t ϕ = 0 è immediato ricavare
e = ∇t ϕ
(11.48)
h = ∇t ψ
(11.49)
Partendo invece dalla (11.43) si ottiene
Pertanto, è possibile esprimere i componenti trasversi come
Et (n, l, z) = V (z)∇t ϕ(n, l)
j dV (z)
∇t ψ(n, l)
Ht (n, l, z) =
β dz
(11.50)
(11.51)
Dalla (11.46) si ha invece
∇t · e = ∇t · ∇t ϕ = 0
mentre dalla (11.47)
∇t · h = ∇t · ∇t ψ = 0
da cui si osserva che le due funzioni potenziali scalari devono soddisfare l’equazione di
Laplace
∇2t ϕ = 0
(11.52)
∇2t ψ
(11.53)
=0
Di conseguenza, le distribuzioni delle funzioni ϕ e ψ, e quindi di e e h, sono uguali a
quelle di un campo statico.
Ing. Luciano Mescia
11.2. Modi di propagazione
242
Ponendo nella (11.16) Ez = Hz = 0 si ha che il componente trasverso del campo
elettrico deve essere soluzione dell’equazione differenziale:
∂ 2 Et
+ k 2 Et = 0
∂2z
da cui, sostituendo la (11.50), si ha
[
d2 V
∇t ϕ
+ k2 V
dz 2
(11.54)
]
=0
e quindi
β 2 = k2
(11.55)
√
da cui si ottiene β = k = ω µϵ. Quindi la costante di propagazione longitudinale di
un campo TEM coincide con quella di un’onda piana uniforme nel mezzo infinitamente
esteso di permittività ϵ. Osservando inoltre che β è un numero reale per qualunque
frequenza ω, ne conseguono le due importanti proprietà
1. il modo TEM può esistere soltanto se il mezzo in cui ha sede del campo elettromagnetico è omogeneo;
2. il modo TEM non possiede una frequenza di cut-off, e cioé una frequenza al di
sotto della quale il modo non può più propagarsi all’interno della guida d’onda.
Osservando che, per il modo TEM, la quantità ωµ/β ha le dimensioni di una impedenza,
è possibile definire l’impedenza intrinseca del mezzo, Z0 , tramite la relazione
√
µ
ωµ
ωµ
η = Z0 =
= √ =
(11.56)
β
ω µϵ
ϵ
Sostituendo quindi la (11.56) nella (11.44) si ottiene
h=
1
1
ẑ × e =
ẑ × ∇t ϕ
Z0
Z0
(11.57)
dalla quale utilizzando la (11.49) si ottiene la relazione che lega le due funzioni potenziali
ϕeψ
1
ẑ × ∇t ϕ
(11.58)
∇t ψ =
Z0
Per i componenti trasversali del campo elettromagnetico si ha invece
[
]
Et = V + exp{(−jkz)} + V − exp{(jkz)} ∇t ϕ
(11.59)
e
]
1 [ +
V exp{−jkz} − V − exp{jkz} ẑ × ∇t ϕ
Z0
]
1 V + exp{−jkz} − V − exp{jkz} [ +
V exp{−jkz} + V − exp{jkz} ẑ × ∇t ϕ
=
+
−
Z0 V exp{−jkz} + V exp{jkz}
1
=
ẑ × Et
(11.60)
ηT EM
Ht =
Ing. Luciano Mescia
11.2. Modi di propagazione
dove
ηT EM =
243
Et
V + exp{−jkz} + V − exp{jkz}
= Z0 +
Ht
V exp{−jkz − V − exp{jkz}}
(11.61)
è l’impedenza d’onda del campo TEM.
Dalle (11.60)–(11.61) si osserva che quando il campo TEM si propaga solo nella direzione positiva o negativa dell’asse z, è possibile ottenere la relazione più compatta tra i
componenti trasversali del campo elettromagnetico
Ht = ±
1
ẑ × Et
Z0
(11.62)
In particolare, se ne conclude che, quando vale la (11.62), l’impedenza caratteristica del
mezzo, η, è numericamente uguale al rapporto tra il componente trasverale del campo
elettrico e il componente trasversasle del campo magnetico. Lo stesso ragionamento
può anche essere esteso al caso in cui si ha una sovrapposizione di due onde TEM che
avanzano in direzioni opposte, ottenendo però una forma analitica più complessa che
dipende dalla coordinata z.
Considerando il prodotto scalare tra i componenti trasversali del campo elettrico e
magnetico si ha inoltre
Et · Ht =
dV
j
dV
j
V
(∇t ϕ · ẑ × ∇t ϕ) =
V
(ẑ · ∇t ϕ × ∇t ϕ)
Z0 β dz
Z0 β dz
e cioè
Et · Ht = 0
(11.63)
La (11.63) evidenzia una importante proprietà delle onde TEM e cioé che il componente
trasversale del campo elettrico è perpendicolare al componente trasversale del campo
magnetico ed entrambi sono perpendicolari alla direzione longitudinale della struttura
cilindrica. Inoltre, i tre vettori e, h e ẑ formano una terna destrogira.
Il vettore di Poynting per un modo TEM è dato da
(
) (
)∗
S = E × H∗ = E + + E − × H+ + H−
= E+ × H+∗ + E+ × H−∗ + E− × H+∗ + E− × H−∗
= V +2 e × h∗ − V −2 e × h∗ + V + V − e × h∗ e2jβz − V + V − e × h∗ e−2jβz
= V +2 e × h∗ − V −2 e × h∗ + 2jV + V − sin (2βz)e × h∗
e di conseguenza la potenza trasportata da un segnale temporale di tipo sinusoidale è
uguale al valore medio nel tempo del flusso del vettore di Poynting attraverso la sezione
trasversale S della struttura cilindrica:
∫
1
Re{E × H∗ } · ẑ dS
PT EM =
2 S
∫
V +2 − V −2
=
e × h∗ · ẑ dS = PT+EM − PT−EM
2
S
Ing. Luciano Mescia
11.2. Modi di propagazione
244
dove PT+EM e PT−EM indicano rispettivamente la potenza attiva antrante ed uscente dalla
superficie S. Dalle (11.48) e (11.57) si ha
1
[∇t ϕ × (ẑ × ∇t ϕ)∗ ]
Z0
1
=
[∇t ϕ · (∇t ϕ)∗ ẑ − (∇t ϕ · ẑ) ∇t ϕ∗ ]
Z0
1
=
∇t ϕ · (∇t ϕ)∗ ẑ
Z0
e × h∗ =
e perciò
∫
1
e × h · ẑ dS =
Z0
S
∗
∫
1
∇t ϕ · (∇t ϕ) ẑ · ẑ dS =
Z0
S
∗
∫
∇t ϕ · (∇t ϕ)∗ dS
S
Nel caso particolare del modo TEM, dovendo il potenziale ϕ soddisfare l’equazione di
Laplace, si ha ∇t ϕ = cost e di conseguenza la potenza attiva sarà fornita dalla relazione
1 ( + 2 − 2 )
(11.64)
− A
PT EM =
A
2Z0
11.2.2 Modi TE
Dovendo essere Ez = 0 le equazioni (11.5a)–(11.8), ricavate per il caso generale, assumono, considerando le (11.26)–(11.29) la forma:
∇t × e = −jωµhz ẑ
ωµ
ẑ × e =
h
β
∇t × h = 0
(11.66)
− jβẑ × h − ẑ × ∇t hz = jωϵe
(11.68)
∇t · e = 0
(11.69)
∇t · h = jβhz
(11.70)
(11.65)
(11.67)
da cui si possono trarre le seguenti conseguenze:
• il componente trasversale del campo magnetico, h, è irrotazionale;
• il componente trasversale del campo elettrico, e, è solenoidale;
• i vettori ẑ × e e h sono paralleli.
Si osservi che la (11.66) è formalmente identica alla (11.44) con la differenza che il valore
di β non coincide più con la costante di propagazione dell’onda piana uniforme.
Anche per i modi TE i componenti trasversali del campo elettromagnetico sono forniti
dalle relazioni
[
]
Et (n, l, z) = V + exp{−jβz} + V − exp{jβz} e(n, l)
[
]
Ht (n, l, z) = V + exp{−jβz} − V − exp(jβz) h(n, l)
Ing. Luciano Mescia
11.2. Modi di propagazione
245
che sostituite nella (11.66) forniscono
1
ẑ × Et
ηT E
k0
V + exp(−jβz) + V − exp(jβz)
k0
ηT E = Z0 +
= ηT EM
−
β
V exp (−jβz) − V exp (jβz)
β
√
β = ω 2 µϵ − βt2
Ht =
(11.71)
(11.72)
(11.73)
Il fatto che il componenente trasversale h è irrotazionale consente di derivare il campo elettromagnetico di un modo TE da una funzione potenziale elettrica Φ. Infatti,
ricordando che
∇t × (∇t Φ) = 0
da un confronto con la (11.67) si ha
h = ∇t Φ
(11.74)
Sostituendo la (11.74) nella (11.66) si ricava
ẑ × e =
da cui
e=−
ωµ
∇t Φ
β
ωµ
k0
ẑ × ∇t Φ = − Z0 ẑ × ∇t Φ = −ZT E ẑ × ∇t Φ
β
β
(11.75)
ωµ
k0
= Z0
β
β
(11.76)
dove
ZT E =
è l’impedenza d’onda del modo TE. Sostituendo ancora la (11.74) nella (11.70) si ottiene
j
∇t · ∇t Φ = −hz
β
da cui
j
hz = − ∇2t Φ
β
(11.77)
Sostituendo (11.74)–(11.77) nella (11.68) è possibile ricavare l’equazione differenziale che
deve soddisfare la funzione potenziale Φ e cioé
−jβẑ × ∇t Φ +
da cui
Ing. Luciano Mescia
(
)
j
ω 2 µϵ
ẑ × ∇t ∇2t Φ + j
ẑ × ∇t Φ = 0
β
β
(
)
j
ẑ × ∇t ∇2t Φ + ω 2 µϵΦ − β 2 Φ = 0
β
11.2. Modi di propagazione
246
e in definitiva
∇2t Φ + βt2 Φ = 0
(11.78)
βt2 = k 2 − β 2
(11.79)
hz =
jβt2
Φ
β
jβ
h = − 2 ∇t hz
βt
jωµ
e = 2 ẑ × ∇t hz
βt
(11.80)
(11.81)
(11.82)
dove (11.81) e (11.82) sono state ottenute dalle (11.30) e (11.31).
Il vettore di Poynting per un modo TE è dato da
(
) (
)∗
S = E × H∗ = E+ + E− × H+ + H−
= E+ × H+∗ + E+ × H−∗ + E− × H+∗ + E− × H−∗
= V +2 (e × h∗ + hz e × ẑ) − V −2 (e × h∗ − hz e × ẑ) +
+ V + V − (e × h∗ − hz e × ẑ) e2jβz − V + V − (e × h∗ − hz e × ẑ) e−2jβz
(
)
= V +2 − V −2 (e × h∗ − hz e × ẑ) + 2jV + V − sin (2βz) (e × h∗ − hz e × ẑ)
pertanto la potenza trasportata da un modo TE è data da
∫
∫
1
V +2 − V −2
∗
PT E =
Re{{E × H } · ẑ dS} =
(e × h∗ − hz e × ẑ) · ẑ dS
2 S
2
S
∫
∫
V +2 − V −2
V +2 − V −2
=
e × h∗ · ẑ dS = −
ZT E (ẑ × h) × h∗ · ẑ dS
2
2
S
S
∫
∫
( +2
)
( +2
) 1
−2 ZT E
∗
−2
= V −V
h · h dS = V − V
e · e∗ dS
2
2Z
TE S
∫S
( +2
)
Z
T
E
= V − V −2
∇t Φ · (∇t Φ)∗ dS
(11.83)
2
S
Dalla (11.83) si osserva che l’utilizzo dell’impedenza d’onda consente di esprimere la
potenza trasmessa in termini delle sole componenti trasverse del campo elettrico o
magnetico.
Ing. Luciano Mescia
11.2. Modi di propagazione
247
11.2.3 Modi TM
Dovendo essere Hz = 0 le equazioni (11.5a)–(11.8), ricavate per il caso generale, assumono la forma:
∇t × e = 0
(11.84)
jβẑ × e + ẑ × ∇t ez = jωϵh
(11.85)
∇t × h = jωϵez
ωϵ
ẑ × h = − e
β
∇t · e = jβez
(11.86)
∇t · h = 0
(11.89)
(11.87)
(11.88)
da cui si possono trarre le seguenti conseguenze:
• la componente trasversale del campo elettrico, e, è irrotazionale;
• la componente trasversale del campo magnetico, h, è solenoidale;
• i vettori ẑ × h e e sono paralleli.
Per i modi TM il campo elettrico ez assume il ruolo di fondamentale importanza per
la determinazione di tutte le componenti del campo elettromagnetico. Infatti, quest’ultimo è ricavato risolvendo l’equazione differenziale (??) con le opportune condizioni al
contorno. Dalla (11.9) si ha
∇t · (ẑ × Ht ) = 0
che sostituita nella (11.14) fornisce
∂Ht
= −jωϵẑ × Et
∂z
Usando le (11.20) e(11.21) si ha
]
ωϵ [ +
Ht =
V exp (−jβz) − V − exp (jβz) ẑ × e
β
(11.90)
(11.91)
e di conseguenza, utilizzando le stesse considerazioni fatte per i modi TE, si ottiene
β
β
= Z0
ωϵ
k0
1
h=
ẑ × e
ZT M
V + exp (−jkz) + V − exp (jkz)
β
ηT M = Z0 +
k0 V exp (−jkz) − V − exp (jkz)
1
Ht =
ẑ × Et
ηT M
√
β = ω 2 µϵ − βt2
ZT M =
Ing. Luciano Mescia
(11.92)
(11.93)
(11.94)
(11.95)
(11.96)
11.2. Modi di propagazione
248
Anche per i modi TM, in virtù del fatto che il componenente trasversale del campo
elettrico è irrotazionale, è possibile derivare il campo elettromagnetico da una funzione
potenziale magnetica Ψ. Infatti, considerando la (11.82) si ha
e = ∇t Ψ
(11.97)
Sostituendo la (11.97) nella (11.87) si ricava
h=
1
ẑ × ∇t Ψ
ZT M
(11.98)
Sostituendo ancora la (11.97) nella (11.88) si ottiene
j
ez = − ∇2t Ψ
β
(11.99)
e infine, sostituendo (11.97)–(11.99) nella (11.85) è possibile ricavare l’equazione differenziale che deve soddisfare la funzione potenziale Ψ e cioé
∇2t Ψ + βt2 Ψ = 0
(11.100)
e quindi ricavare in definitiva
jβt2
Ψ
β
jβ
e = − 2 ∇ t ez
βt
jωϵ
h = − 2 ẑ × ∇t ez
βt
ez =
(11.101)
(11.102)
(11.103)
Il vettore di Poynting per un modo TM è dato da
(
)
S = E × H∗ = C +2 − C −2 (e × h∗ − ez e × ẑ) + 2jC + C − sin (2βz) (e × h∗ − ez e × ẑ)
pertanto, in analogia con quanto fatto per i modi TE, la potenza trasportata da un modo
TM è data da
∫
∫
1
V +2 − V −2
∗
PT M =
Re{{E × H } · ẑ dS} =
(e × h∗ − hz e × ẑ) · ẑ dS
2 S
2
S
∫
∫
( +2
)
( +2
) 1
−2 ZT M
∗
−2
= V −V
h · h dS = V − V
e · e∗ dS
2
2ZT M S
S
∫
( +2
) 1
−2
∇t Ψ · (∇t Ψ)∗ dS
(11.104)
= V −V
2ZT M S
Ing. Luciano Mescia
11.3. Guide d’onda chiuse da pareti metalliche ideali
249
11.2.4 Decomposizione del campo elettromagnetico in termini di modi TE
e TM
Analizzando le equazioni (11.36)–(11.37) si osserva che, in virtù del principio di sovrapposizione degli effetti, il campo elettrico E e il campo magnetico H sono composti di
due termini: uno che si ricava ponendo ez = 0 e l’altro che si ricava ponendo hz = 0.
Indicando con ET E e HT E le soluzioni ottenute ponendo Ez = 0 e con ET M e HT M
le soluzioni ottenute ponendo Hz = 0 si ottiene
E = ET E + ET M
(11.105)
TE
(11.106)
E=H
+H
TM
dove
ET E = ETt E
HT M = HTt M
HT E = HTt E + HzT E ẑ
HT M = ETt M + EzT M ẑ
(11.107)
(11.108)
Pertanto, si può affermare che in una regione di spazio priva di sorgenti il generico
campo elettromagnetico può essere espresso come somma del campo TE e quello TM
che possono avere in comune l’eventuale campo TEM. Inoltre, dalle proprietà dei campi
TE e TM precedentemente analizzate, risulta che quanto ottenuto è in perfetto accordo
con il teorema di Helmholtz in cui si afferma che un arbitratio campo vettoriale può
essere espresso come sovrapposizione di un campo irrotazionale e uno solenoidale.
E’ inoltre utile puntualizzare che la possibilità che i modi TE e TM siano indipendenti
tra loro dipende dalle particolari condizioni al contorno che caratterizzano la struttura
cilindrica considerata. In particolare, nel caso in cui il contorno sia costituito da un conduttore elettrico perfetto le condizioni al contorno relative ai componenti longitudinali
dei modi TE e TM sono indipendenti tra loro e questo assicura che anche i campi in
ogni punto dello spazio sono indipendenti. Quando invece le condizioni al contorno sui
componenti longitudinali non son indipendenti tra loro, le (11.30)–(11.31) consentono
di affermare che il campo trasverso può essere scritto come una combinazione lineare
di modi TE e TM solo che in questo caso i singoli modi sono chiamati modi ibridi EH
(predominanza di ez ) e modi ibridi HE (predominanza di hz ).
11.3 Guide d’onda chiuse da pareti metalliche ideali
Una guida d’onda chiusa a pareti metalliche è una struttura in cui il dominio sede del
campo elettromagnetico è limitato da un metallo. In linea di principio i campi elettromagnetici penetrano anche nei metalli e devono soddisfare le condizioni di continuità sulle
superfici di separazione tra materiali differenti. Il problema si semplifica notevolmente
se si ipotizza che le pareti della struttura cilindrica siano costituite da un conduttore
perfetto. Infatti, in tale situazione il campo all’interno del conduttore stesso è nullo e
quindi è possibile imporre sulla superficie una condizione al contorno anziché una condizione di continuità. L’ipotesi di conduttore elettrico perfetto equivale ad imporre la
Ing. Luciano Mescia
11.3. Guide d’onda chiuse da pareti metalliche ideali
250
condizione al contorno an × E = 0 sulla superficie del metallo, cioè le componenti tangenziali del campo elettrico devono essere nulle sulla parete conduttrice. Le condizioni
al contorno del campo magnetico presuppongono invece la conoscenza della densità di
corrente superficiale sulle pareti della guida, la quale è ignota nel caso di un conduttore
perfetto. Un metodo alternativo consiste nel riscrivere la condizione al contorno del
campo elettrico nel seguente modo:
an × E = an × e + an × ẑez = 0
(11.109)
dove la (11.109) è stata ricavata considerando che la funzione lungo la coordinata z,
essendo una sovrapposizione di onda progressiva e regressiva, può annullarsi solo se
tutte le costanti arbitrarie sono nulle. Ma dalla (11.30) si ha
β
ωµ
an × (az × ∇t hz ) − j 2 an × ∇t ez
2
βti
βti
[
]
ωµ
β ∂ez
∂ez
= j 2 [az (an · ∇t hz ) − ∇t hz (an · az )] − j 2
an × an +
an × al
∂l
β
βti ∂n
)
( ti
ωµ ∂hz
β ∂ez
az
= j 2
−j 2
βti ∂n
βti ∂l
an × e = j
da cui
an × E =
(
)
ωµ ∂hz
β ∂ez
j 2
−j 2
a z − ez a l = 0
βti ∂n
βti ∂l
Quindi sulle pareti metalliche di una struttura cilindrica devono essere verificate le
condizioni:

 ez = 0
(11.110)
 ∂hz = 0
∂n
La prima equazione della (11.110) è detta condizione di Dirichelet, mentre la seconda
è detta condizione di Neumann. Si osservi che sono state ottenute delle condizioni
al contorno scalari nonostante il problema da risolvere è di tipo vettoriale. Quanto
ottenuto conferma quello detto in precedenza visto che il campo elettromagnetico in
una struttura cilindrica è deducibile dalle soluzioni delle equazioni differenziali scalari
(??)–(??). Inoltre, sostituendo la (11.110) nelle (11.30)–(11.31) consegue che sia la
componente normale del campo magnetico (hn = h · an ) sia quella tangente del campo
elettrico (el = e · al ) devono essere nulle sul contorno.
Dalla (11.110) è inoltre possibile ricavare le condizioni al contorno dei modi TEM,
TE, TM delle guide d’onda aventi come contorno un metallo perfetto. Il modo TEM
per definizione soddisfa entrambe le equazioni della (11.110). Il modo TE soddisfa per
definizione solo la prima della (11.110) e perciò deve essere presa in considerazione solo
la seconda equazione. Infine, il modo TM soddisfa per definizione solo la seconda della
(11.110) e perciò deve essere presa in considerazione solo la prima equazione. Le due
equazioni ricavate sono inoltre indipendenti tra loro e perciò, in virtù di quanto appena
detto, ne discende che in una guida d’onda a pareti metalliche perfette anche le condizioni
al contorno corrispondenti ai modi TE e TM sono indipendenti tra loro.
Ing. Luciano Mescia
11.3. Guide d’onda chiuse da pareti metalliche ideali
251
C0
C2
C1
Cn
Figura 11.3: Sezione trasversale di una generica guida d’onda chiusa a pareti metalliche
11.3.1 Modo TEM
Sul contorno metallico, oltre alla componente lungo la direzione z, deve essere nulla
anche la componente lungo la direzione l del campo elettrico
e · al = −∇t ϕ · al = −
∂ϕ
=0
∂l
sul contorno C
da cui
ϕ = costante
sul contorno C
(11.111)
Quindi se si considera la generica sezione trasversale di una chiusa chiusa a pareti metalliche, mostrata in Figura 11.3, si avrà che il contorno C0 , C1 , C2 , . . . Cn di ciascun
conduttore, è una linea equipotenziale.
Considerando il vettore ϕ∇t ϕ e applicando il teorema della divergenza alla superficie
trasversale, S, della guida d’onda si ottiene
∫
∫
∫
I
I
∂ϕ
2
∇ · (ϕ∇t ϕ) dS =
∇t ϕ · ∇t ϕ dS +
ϕ∇t ϕ dS =
ϕ∇t ϕ · an dl =
ϕ dl
S
S
S
C
C ∂n
da cui, dovendo ϕ soddisfare l’equazione di Laplace, si ottiene
I
∫
∂ϕ
∇t ϕ · ∇t ϕ dS =
ϕ dl
S
C ∂n
Nel caso in cui la struttura cilindrica chiusa ha solo il contorno C = C0 (sezione
trasversale semplicemente connessa), si avrà che ϕ = ϕ0 sul contorno C. Di conseguenza,
I
I
I
∫
∫
∂ϕ
∂ϕ
ϕ dl = ϕ0
dl = ϕ0
∇t ϕ · an dl = ϕ0 ∇t · ∇t ϕ dS = ϕ0 ∇2t ϕ dS = 0
∂n
∂n
C
C
C
S
S
Ing. Luciano Mescia
11.3. Guide d’onda chiuse da pareti metalliche ideali
e quindi
252
∫
∇t ϕ · ∇t ϕ dS = 0
S
Tale relazione è soddisfatta solo se ∇t ϕ = 0 su tutta la sperfice S e di conseguenza,
essendo per un modo TEM e = ∇t ϕ, se ne deduce che tutte le componenti del campo
elettromagnetico sono nulle. Pertanto, si può affermare che i modi TEM non possono
essere sostenuti da strutture cilindriche aventi come contorno metallico un solo tratto.
D’altra parte se il contorno è costituito da più tratti distinti C0 , C1 , C2 , . . . Cn (sezione
trasversale molteplicemente connessa), come per il cavo coassiale, la funzione ϕ può
assumere valori costanti ma distinti su ciascun contorno. Considerando per esempio una
struttura con due contorni metallici C0 e C1 , si ha ϕ = ϕ0 su C0 e ϕ = ϕ1 su C1 . Di
conseguenza
I
I
I
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
ϕ dl = ϕ0
dl + ϕ1
dl
C ∂n
C0 ∂n
C1 ∂n
e osservando che
I
C
si ricava in definitiva
I
∂ϕ
dl =
∂n
I
C0
∂ϕ
ϕ dl = (ϕ0 − ϕ1 )
∂n
C
∂ϕ
dl +
∂n
I
C1
I
C1
∂ϕ
dl = 0
∂n
∂ϕ
dl ̸= 0 se
∂n
ϕ0 ̸= ϕ1
Si può affermare quindi che il modo TEM può esistere solo in guide d’onda metalliche
caratterizzate da una sezione trasversale molteplicemente connessa. In particolare, se n
è il numero dei conduttori disgiunti, esistono n − 1 soluzioni indipendenti dell’equazione
di Laplace che corrispondono alle n − 1 costanti da assegnare su n − 1 contorni.
In definitiva, è evidente che la distribuzione della funzione di modo e ha carattere
statico, la propagazione è solo assiale e le superfici equifasi sono dei piani.
11.3.2 Modi TE
Come detto in precedenza, per i modi TE la determinazione del campo elettromagnetico
è derivata dalla conoscenza o del componente hz o del potenziale Φ a cui devono essere
associate le opportune condizioni al contorno. In particolare, essendo per definizione
verificata la condizione ez = 0 sul contorno metallico, si ha per la (??)

∇2t hz + βt2 hz = 0
(11.112)
 ∂hz = 0
sul contorno S
∂n
Quando invece si considera la funzione Φ, è necessario considerare che anche il componente del campo elettrico lungo la direzione l si deve annullare e cioé
al · e = al · (ẑ × ∇t Φ) = ∇t Φ · al × ẑ = ∇t Φ · an = 0
Ing. Luciano Mescia
11.3. Guide d’onda chiuse da pareti metalliche ideali
Pertanto si ha

∇2t Φ + βt2 Φ = 0
 ∂Φ = 0
sul contorno S
∂n
253
(11.113)
Considerando il vettore Φ∗ ∇t Φ e applicando il teorema della divergenza alla superficie
trasversale, S, della guida d’onda si ottiene
∫
∫
∫
I
I
∂Φ
∗
∗
∗ 2
∗
∇ · (Φ ∇t Φ) dS =
∇t Φ · ∇t Φ dS +
Φ ∇t Φ dS =
Φ ∇t Φ · an dl =
Φ∗
dl
∂n
S
S
S
C
C
da cui considerando la (11.113) si ricava
∫
∫
I
∫
∗
∗ 2
∗ ∂Φ
2
∇t Φ · ∇t Φ dS = − Φ ∇t Φ dS +
Φ
dl = βt
ΦΦ∗ dS
∂n
S
S
C
S
Sostituendo quanto ottenuto nella (11.83) e possibile ricavare l’espressione della potenza
in termini del potenziale Φ
∫
∫
( +2
) 2
( +2
) 2
−2 βt ZT E
∗
−2 βt ZT E
PT E = V − V
ΦΦ dS = V − V
|Φ|2 dS (11.114)
2
2
S
S
o, usando la (11.80), in termini della componente del campo magnetico hz
∫
∫
2
2
( +2
)
( +2
)
−2 1 β
∗
−2 1 β
PT E = V − V
ZT E
hz hz dS = V − V
ZT E
|hz |2 dS
2 βt2
2 βt2
S
S
(11.115)
11.3.3 Modi TM
Il campo elettromagnetico dei modi TM può essere derivato dalla conoscenza o di ez o
di Ψ a cui devono essere associate le opportune condizioni al contorno. In particolare,
essendo per definizione verificata la condizione hz = 0 sul contorno metallico, si ha
{
∇2t ez + βt2 ez = 0
(11.116)
ez = 0
sul contorno S
Quando invece si considera la funzione Ψ, si ha
{
∇2t Ψ + βt2 Ψ = 0
Ψ=0
sul contorno S
(11.117)
dove la condizione al contorno, ottenuta ugualiando a zero la (11.101), annulla anche
il componente hn del campo magnetico e il componente el del campo elettrico. Considerando il vettore Ψ∗ ∇t Ψ e applicando lo stesso ragionamento fatto per i modi TE si
ricava
∫
∫
∇t Ψ · ∇t Ψ∗ dS = βt2 ΨΨ∗ dS
S
Ing. Luciano Mescia
S
11.4. Proprietà dei modi TE e TM di guide d’onda chiuse
da cui tramite la sostituzione nella (11.104) si ottiene
∫
∫
( +2
) βt2
( +2
) βt2
−2
∗
−2
PT M = V − V
ΨΨ dS = V − V
|Ψ|2 dS
2ZT M S
2ZT M S
254
(11.118)
o, usando la (11.101), in termini della componente del campo elettrico ez
∫
∫
(
) 1 β2
( +2
)
β2
∗
−2 1
PT M = C +2 − C −2
e
e
dS
=
C
−
C
|ez |2 dS
z z
2 βt2 ZT M S
2 βt2 ZT M S
(11.119)
11.4 Proprietà dei modi TE e TM di guide d’onda chiuse
E’ stato illustrato nei precedenti paragrafi che il problema vettoriale riguardante la propagazione elettromagnetica all’interno di una struttura cilindrica chiusa con pareti perfettamente conduttrici è matematicamente riconducibile a un problema scalare in cui
vengono presi in considerazione i modi TE, TM e TEM. Più precesamente, se il mezzo tra
i conduttori metallici è omogeneo, il problema rientra nella classe dei cosiddetti problemi agli autovalori in quanto ammettono soluzioni solo in corrispondenza di determinati
valori di βt2 chiamati autovalori del modo. In particolare, visto che βt2 è individuato solo
dal problema di valori al contorno esso dipenderà solo dalla geometria della struttura e
non dalla frequenza, dalle caratteristiche del mezzo e del regime elettrico. Inoltre, viste
le proprietà analitiche delle (11.112) e (11.116) si può dimostrare che per le strutture
chiuse esiste un insieme disceto (anche se infinito) di autovalori. Ad ognuno di questi
autovalori corrispondono delle autofunzioni che rappresentano andamenti trasversali di
campo elettrico e magnetico dei modi TE e TM i quali godono di importanti proprietà.
Proprietà 1. Gli autovalori βt2 sono reali e positivi.
Per dimostrare tale proprietà è necessario considerare la forma bidimensionale della
prima identità di Green
I
∫
(
)
∂ψ
dC
φ∇2 ψ + ∇φ · ∇ψ dS =
φ
S
C ∂n
dove S è la superficie compresa all’interno del contorno C (pareti metalliche). Ponendo
ψ = hz per i modi TE e ψ = ez per i modi TM, l’equazione di Helmholtz agli autovalori
da considerare è
∇2 ψ + βt2 ψ = 0
Moltiplicando ambo i membri dell’ultima equazione per ψ ∗ e integrando sulla superficie
S si ha
∫
( ∗ 2
)
ψ ∇ ψ + βt2 ψ ∗ ψ dS = 0
S
da cui
∫
∗
∫
ψ ∇ ψ dS =
S
Ing. Luciano Mescia
2
|ψ|2 dS
−βt2
S
(11.120)
11.4. Proprietà dei modi TE e TM di guide d’onda chiuse
255
Considerando nella prima identità di Green φ = ψ ∗ si ottiene
∫
I
( ∗ 2
)
∂ψ
∗
ψ ∇ ψ + ∇ψ · ∇ψ dS =
ψ∗
dC
∂n
S
C
e osservando che le condizioni al contorno dei problemi (11.112) e (11.116) annullano il
secondo membro, si ricava
∫
( ∗ 2
)
ψ ∇ ψ + ∇ψ ∗ · ∇ψ dS = 0
S
da cui
∫
∗
∫
ψ ∇ ψ dS = −
S
∫
∗
∇ψ · ∇ψ dS = −
2
S
|∇ψ|2 dS
(11.121)
S
Sostituendo la (11.120) nella (11.121) si ricava
∫
∫
2
2
βt
|ψ| dS =
|∇ψ|2 dS
S
S
∫
da cui ottiene in definitiva
βt2
= S∫
|∇ψ|2 dS
2
S |ψ| dS
(11.122)
Osservando che sia |∇ψ|2 sia |ψ|2 sono delle funzioni reali e positive si avrà che sia
l’integrale al numeratore sia quello al denominatore sono anche loro reali e positivi e
perciò anche βt2 sarà reale e positivo.
Proprietà 2. Per ogni modo TE o TM esiste un solo valore della pulsazione ωc , detta
pulsazione di taglio, in corrispondenza del quale la costante di propagazione longitudinale
β si annulla. Dalla relazione
√
β=
ω 2 µϵ − βt2
(11.123)
essendo per la proprietà 1 βt2 reale e positivo, è chiaro che in funzione della pulsazione
ω la costante di propagazione longitudinale può essere o un numero reale o un nummero
immaginario. In particolare, esisterà una pulsazione critica ωc detta pulsazione di taglio
tale che
ωc2 µϵ − βt2 = 0
cioè
βt
ωc = √
µϵ
da cui
fc =
βt
√
2π µϵ
(11.124)
(11.125)
è detta frequenza di taglio. Considerando la (11.124) la (11.123) può anche essere espressa
come
√
√
( )2
(
)
√
2
ωc
fc
√
√
β = ω 2 µϵ − ωc2 µϵ = ω µϵ 1 −
= 2πf µϵ 1 −
(11.126)
ω
f
Ing. Luciano Mescia
11.4. Proprietà dei modi TE e TM di guide d’onda chiuse
256
Quindi β è reale quando ω > ωc ed immaginario puro quando ω < ωc . Ricordando
inoltre che la propagazione lungo l’asse longitudinale z è rappresentata da una funzione
del tipo exp{(−jβz)}, si avrà che al di sotto della frequenza di taglio
β = jα
con
√( )
ωc 2
√
−1
α = ω µϵ
ω
e di conseguenza l’andamento lungo z assume la forma exp{(−αz)}. Pertanto, si può
concludere dicendo che in una guida d’onda non si può avere propagazione per frequenze
al di sotto di quella di taglio in quanto il campo si attenua esponenzialmente lungo z.
Si fa osservare che tale attenuazione non può essere associata a fenomeni di dissipazione
di potenza, visto che la guida è considerata per ipotesi senza perdite, ma al fenomeno
dell’evanescenza dell’onda elettromagnetica. Infatti, sostituendo la (11.126) nelle (11.76)
e (11.92) si ottiene per le impedenze d’onda longitudinali
Z0
( ω )2
c
1−
ω
√
( ω )2
c
= Z0 1 −
ω
ZT E = √
(11.127)
ZT M
(11.128)
che sostituite nelle (11.114) e (11.118) forniscono
∫
(
)
Z0 ωc µϵ
|Φ|2 dS
PT E = V +2 − V −2 √
( ω )2
S
c
2 1−
ω
∫
(
)
ω µϵ
√ c ( )
PT M = V +2 − V −2
|Ψ|2 dS
2
ωc
S
2Z0 1 −
ω
o sostituite nelle (11.115) e (11.119) forniscono
√ ( ) √
( ω )2 ∫
V +2 − V −2 µ ω 2
c
PT E =
1−
|hz |2 dS
2
ϵ ωc
ω
S
√ ( ) √
( ω )2 ∫
V +2 − V −2 ϵ ω 2
c
1−
PT M =
|ez |2 dS
2
µ ωc
ω
S
(11.129)
(11.130)
(11.131)
(11.132)
da cui si osserva che per ω < ωc sia PT E sia PT M sono puramente immaginari e pertanto
il modo di propagazione non è in grado di trasportare potenza attiva lungo la direzione
longitudinale.
Ing. Luciano Mescia
11.4. Proprietà dei modi TE e TM di guide d’onda chiuse
257
Proprietà 3. L’impedenza d’onda nella direzione longitudinale è puramente immaginaria per ω < ωc (sotto taglio) e reale per ω > ωc .
Tale proprietà è una diretta conseguenza delle (11.127)–(11.128). Considerando il
modo TE, si ha che ZT E è una reattanza capacitiva per ω < ωc che si annulla per ω = 0
e cresce al crescere di ω. Inoltre, quando ω = ωc si ha ZT E → ∞ cui corrisponde un
circuito aperto. In quest’ultima situazione si annulla infatti il componente trasverso del
campo magnetico e quindi nulla cambia se la generica sezione trasversale è chiusa con
un conduttore magnetico perfetto. Per ω > ωc l’impedenza diventa di tipo resistivo
e tende a Z0 per ω → ∞ e cioé quando il modo TE tende a divenire un’onda piana.
Considerando il modo TM, si ha invece che per ω < ωc ZT M è una reattanza induttiva
infinita per ω = 0, decrescente al crescere di ω e corrispondente a un corto circuito
per ω = ωc . In quest’ultima situazione si annulla infatti il componente trasverso del
campo elettrico e quindi la sezione trasversale può essere chiusa in corto circuito, con un
conduttore elettrico perfetto, senza modoficare la situazione preesistente. Per ω > ωc
l’impedenza diventa di tipo resistivo e tende a Z0 per ω → ∞. Il fatto che sotto taglio
l’impedenza d’onda è un carico reattivo giustifica da un punto di vista fisico il fenomeno
dell’attenuazione anche in assenza di fenomeni dissipativi. Infatti, in questa situazione
essendo la guida assimilabile ad un carico reattivo, la potenza trasportata dal modo
sarà riflessa verso il generatore e perciò non potrà propagarsi lungo la guida stessa. In
definitiva, in virtù di quanto detto si può concluderre dicendo che una guida d’onda si
comporta come un filtro passa–alto.
Indicando con λcn la lunghezza d’onda di taglio corrispondente alla pulsazione di taglio
e con λgn = 2π/betan la lunghezza d’onda in guida e cioé il periodo di ripetizione del
campo elettromagnetico lungo la direzione longitudinale z, si ha
√
√
√
√
2
ωcn
λ2
λ2
λ2
2πf
2π
2π
√
√
= βn = ω µ0 ϵ0 1 − 2 = ω µ0 ϵ0 1 − 2 =
1− 2 =
1− 2
λgn
ω
λcn
c
λcn
λ
λcn
da cui si ricava
λgn = √
λ
(11.133)
λ2
1− 2
λcn
Proprietà 4. La velocità di fase e la velocità di gruppo di ogni modo di propagazione
sono funzioni della frequenza.
La velocità di fase è per definizione la velocità di propagazione lungo z di una generica
superficie equifase
ωt − βz = costante
(11.134)
da cui, differenziando ambo i membri, si ottiene
dz
ω
= vp =
dt
β
Ing. Luciano Mescia
(11.135)
11.4. Proprietà dei modi TE e TM di guide d’onda chiuse
258
Di conseguenza, la velocità di fase di un generico modo di propagazione è data dalla
relazione
ω
ω
1
c
vpn = = √ √
=√
(11.136)
2
2
β
ω µϵ
ωcn
ωcn
1− 2
1− 2
ω
ω
√
dove c = 1/ µϵ è la velocità della luce all’interno del dielettrico. Dalla (11.136) si
osserva che la funzione è reale solo per ω > ωcn , presenta un asintoto verticale in corrispondenza di ω = ωcn e decresce al crescere di ω tendendo a c per ω → ∞. Ciò significa
che in condizione di taglio il modo è assimilabile ad un insieme di onde piane che si
propagano lungo direzioni appartenenti al piano ortogonale all’asse z, mentre man mano
che la frequenza cresce, e quindi la lunghezza d’onda diventa piccola rispetto alle dimensioni geometriche trasversali della guida d’onda, il modo tende a ignorare le pareti della
struttura e perciò può essere considerato come un insieme di onde piane che si propagano
lungo z. Dalla (11.136) si osserva inoltre che per una determinata frequenza due modi
modi guidati caratterizzati da differenti autovalori, e quindi differenti pulsazioni critiche,
hanno diverse velocità di fase.
La velocità di gruppo di un modo è definita dalla relazione
√
ω2
dω
= c 1 − cn
(11.137)
vgn =
dβ
ω2
Dalla (11.137) si osserva che la velocità di gruppo assume valori positivi quando ω > ωcn ,
è nulla per ω = ωcn e cresce tendendo alla velocità c per ω → ∞. Inoltre, calcolando la
funzione
2
ωcn
2
−
dvgn
ω2
= c√
dω
ω2
1 − cn
ω2
si osserva che essa è sempre maggiore di zero per ogni valore ω > ωcn e cioè che la
propagazione di un modo guidato è sottoposta al fenomeno della dispersione normale.
Dalla (11.137) si osserva inoltre che modi di propagazione aventi differenti pulsazioni
critiche hanno diverse velocità di gruppo. Quindi la propagazione contemporanea di più
modi è causa di una distorsione del segnale. Pertanto, la dipendenza della velocità di
fase e di gruppo dal tipo di modo di propagazione introduce un fenomeno di distorsione
del segnale che prende il nome di dispersione inter-modale. Combinando le (11.136) e
(11.137) si ricava
vgn vpn = c2
(11.138)
la quale mostra che in una struttura guidante omogenea la velocità di fase o di gruppo di
due modi aventi differenti pulsazioni di taglio non possono essere rese uguali per nessun
valore di ω. Invece, le (11.136)–(11.138) mostrano che modi di propagazione caratterizzati dagli stessi autovalori hanno uguali velocità di fase e di gruppo a tutte le frequenze. Tali
modi, detti modi degeneri, rivestono un ruolo di fondamentale importanza negli scambi energetici tra modi di una stessa struttura o più strutture accoppiate.Dalla(11.136)
risulta che la velocità di propagazione di fase di un onda elettromagnetica all’interno
Ing. Luciano Mescia
11.5. Guida d’onda a piani metallici paralleli
259
x
x=d
z
y
x=0
Figura 11.4: Guida d’onda a piani metallici paralleli
di una guida d’onda è maggiore di quella di un’onda piana che si propaga in un mezzo
dielettrico uguale a quello contenuto nella guida d’onda. Pertanto, nel caso in cui tale
mezzo sia il vuoto, ne consegue che tale velocità è superiore a quella della luce nel vuoto.
Questo risultato non contraddice comunque la teoria della relatività in quanto essa si
applica alla velocità di propagazione di un segnale fisico, quindi la velocità di gruppo, e
non alla velocità di fase che è una grandezza geometrica.
Proprietà 5. Il minimo autovalore compatibile con le condizioni al contorno della struttura è detto modo fondamentale. Esso, se non è degenere, è l’unico modo che può propagarsi nell’intervallo di pulsazioni compreso tra ωc0 e la minima pulsazione di taglio di
tutti gli altri modi. Solo in quest’intervallo è possibile evitare gli inconvenienti legati
alla dispersione inter-modale.
11.5 Guida d’onda a piani metallici paralleli
Come esempio di applicazione dell’uso della teoria delle guide d’onda cilindriche, si
vogliono ricavare le configurazioni di campo elettromagnetico, in regime sinusoidale e in
assenza di sorgenti, che si propagano nelle regione di spazio delimitata da una coppia di
piani conduttori paralleli infinitamente estesi nelle direzioni y e z ed aventi conducibilità
elettrica infinita (vedi Figura11.4) In tali ipotesi, essendo la sezione trasversale della
guida d’onda invariante lungo la direzione longitudinale (asse z) è plausibile ipotizzare
che anche la configurazione del campo elettromagnetico guidato sia caratterizzato da
una invarianza longitudinale.
Osservando che i piani metallici sono infinitamente estesi lungo l’asse y, è possibile
supporre un campo uniforme lungo tale direzione e di conseguenza considerare ∂/∂y =
0. In tali ipotesi, è possibile semplificare il problema elettromagnetico e le equazioni
(11.30)–(11.31) si semplificano come
β dez
ωµ dhz
ŷ − j 2
x̂
2
dx
βt
βt dx
ωϵ dez
β dhz
h = −j 2
ŷ − j 2
x̂
βt dx
βt dx
e=j
Ing. Luciano Mescia
(11.139)
(11.140)
11.5. Guida d’onda a piani metallici paralleli
260
con
d2 ez
+ βt2 ez = 0
dx2
d2 hz
+ βt2 hz = 0
dx2
(11.141)
(11.142)
(11.143)
Modi TEM. In questo caso essendo il campo derivabile da un potenziale scalare (e =
∇t ϕ), ed essendo inoltre βt2 = 0, l’equazione da risolvere è
d2 ϕ
=0
dx2
la cui soluzione generale è
ϕ(x) = Ax + B
Imponendo le condizioni al contorno ϕ = 0 per x = 0 e ϕ = V0 per x = b si ha
V0
B=0 e A=
d
e quindi
V0
ϕ(x) =
x
d
Calcolando il componente trasversale del campo elettrico si ha
dϕ
V0
e = ∇t ϕ =
x̂ =
x̂
dx
d
mentre per il componente trasversale del campo magnetico si ha
√
√
ϵ
V0 ϵ
V0
h=
ẑ × e =
ŷ =
ŷ
µ
d µ
Z0 d
Pertanto, il campo elettromagnetico può essere espresso come
]
V0 [ +
E=
V exp(−jβz) + V − exp(jβz) x̂
(11.144)
d
]
V0 [ +
H=
V exp(−jβz) − V − exp(jβz) ŷ
(11.145)
Z0 d
Per la potenza trasportata lungo la linea si ha invece dalla (11.64)
{∫
}
∫
1
V +2 − V −2
V +2 − V −2 aV02
PTEM = Re
E × H∗ · ẑ dS =
|e|2 dS =
2
2Z0
2Z0
d
S
S
(11.146)
dove nel calcolo è stata considerata una striscia larga a nella direzione dell’asse y.
In definitiva, nel sistema guidante considerato si può propagare un’onda piana polarizzata linearmente. Inoltre, il sistema considerato è descrivibile facendo riferimento a
linee di trasmissione con due conduttori. Infatti, un campo elettrico normale ai piani
conduttori implica la presenza di una densità di cariche elettriche, mentre un campo
magnetico tangente sul lato interno di ciascun conduttore implica l’esistena di correnti
di conduzione superficiali dirette lungo l’asse ze di verso opposto nei due conduttori.
Ing. Luciano Mescia
11.5. Guida d’onda a piani metallici paralleli
261
Modi TE. Questi modi sono caratterizzati da un campo elettrico longitudinale nullo
(ez = 0) e perciò l’equazione di Helmholtz da risolvere è
d2 hz
+ βt2 hz = 0
dx2
il cui integrale generale può essere scritto nella forma
hz = A cos(βt x) + B sin(βt x)
dove A e B sono costanti arbitrarie da calcolare imponendo le opportune condizioni al
contorno. In particolare, osservando che l’asse x è perpendicolare ai piani che delimitanola guida è necessario che la condizione dhz /dx = 0 sia verificata in x = 0 e x = d. In
particolare, essendo
dhz
= −Aβt sin(βt x) + Bβt cos(βt x)
dx
deve essere
{
Bβt = 0
−Aβt sin (βt d) + Bβt cos (βt d) = 0
da cui si ricava B = 0 e sin (βt d) = 0 e quindi
βt =
mπ
d
m = 1, 2, . . .
Pertanto, si può scrivere in definitiva
hz = A cos
( mπ )
x
d
e di conseguenza
( mπ )
ωµ mπ
A
sin
x ŷ
d
d
βt2
( mπ )
β mπ
h = +j 2 A
sin
x x̂
d
d
βt
e = −j
Essendo m un numero intero, risulta che esiste un numero infinito numerabile di modi
trasversi elettrici ognuno dei quali è individuato da un particolare valore di m. Essi sono
generalmente individuati per mezzo della notazione T E1 , T E2 , . . .. Si osservi che m = 1
è il più basso valore utilizzabile, visto che per m = 0 il campo è identicamente nullo.
Modi TM. Questi modi sono caratterizzati da un campo elettrico longitudinale nullo
(hz = 0) e perciò l’equazione di Helmholtz da risolvere è
d2 ez
+ βt2 ez = 0
dx2
il cui integrale generale può essere scritto nella forma
ez = C cos(βt x) + D sin(βt x)
Ing. Luciano Mescia
11.5. Guida d’onda a piani metallici paralleli
262
dove C e D sono costanti arbitrarie da calcolare imponendo le opportune condizioni al
contorno. In particolare, è necessario che la condizione ez = 0 sia verificata in x = 0 e
x = d e quindi deve essere
{
C=0
C cos (βt d) + D sin (βt d) = 0
da cui si ricava sin (βt d) = 0 e quindi
mπ
d
βt =
m = 1, 2, . . .
Pertanto, si può scrivere in definitiva
ez = D sin
( mπ )
x
d
e di conseguenza
( mπ )
β mπ
D
cos
x x̂
d
βt2 d
(
mπ )
ωϵ mπ
cos
x ŷ
h = −j 2 D
d
d
βt
e = −j
Essendo m un numero intero, risulta che anche in questo caso esiste un numero infinito numerabile di modi trasversi magnetici ognuno dei quali è caratterizzato da un
particolare valore di m. Essi sono generalmente individuati per mezzo della notazione
T M1 , T M2 , . . ..
Condizione di taglio (Cut-off)
derare la relazione
Per valutare la frequenza di cut-off è necessario consi√
( mπ )2
β = ω 2 µϵ −
a
da cui si osserva che la propagazione lungo l’asse longitudinale non avviene sempre ma
solo, fissato il modo di propagazione, per particolari valori della frequenza del segnale e
della separazione tra i due piani metallici. In particolare, quando vale la relazione:
mπ
√
< ω µϵ
d
β è un numero reale è quindi la funzione exp(−jβz) rappresenta un campo elettromagnetico che si propaga lungo l’asse z come un’onda progressiva senza subire nessuna
√
attenuazione. Quando mπ/a diventa superiore a ω µϵ il campo elettromagnetico è attenuato esponenzialmente lungo z e non si ha nessuna propagazione dell’onda in quanto
le variazioni di fase sono nulle. La transizione tra i due regimi di funzionamento si
√
ha quando mπ/d = ω µϵ. Considerando quindi una fissata distanza tra i due piani
conduttori si avrà che per frequenze inferiori ad un valore critico fc = ωc /2π tale che
mπ
√
ωc µϵ =
d
Ing. Luciano Mescia
11.6. Guida d’onda rettangolare
263
y
y=b
x=a
z
x
Figura 11.5: Guida d’onda metallica a sezione rettangolare
da cui
m
√
2d µϵ
Questo significa che per ogni valore di m esiste una corrispondente frequenza di cutoff al di sotto della quale la propagazione non può verificarsi. E’ quindi chiaro che il
modo T E1 (m = 1) ha una frequenza di cut–off inferiore a quella dei modi di ordine
superiore (m > 2), e che per garantire la propagazione del solo modo fondamentale T E1
è necessario che la frequenza del segnale verifichi la condizione
1
1
√ <f < √
2d µϵ
d µϵ
fc =
Infine, è possibile riscrivere il tutto in termini della frequenza di cut–off ed ottenere
√
√
( )2
( )2
2π
fc
fc
β=
1−
= k0 1 −
λ
f
f
11.6 Guida d’onda rettangolare
Si consideri la guida d’onda a sezione rettangolare di lati a e b (vedi Figura11.5). In
questo caso le equazioni (11.30)–(11.31) diventano
(
)
(
)
ωµ dhz
β dez
ωµ dhz
β dez
+j 2
x̂ + j 2
−j 2
ŷ
(11.147)
e=− j 2
βt dy
βt dx
βt dx
βt dy
)
(
)
(
β dhz
ωϵ dez
β dhz
ωϵ dez
−j 2
x̂ − j 2
+j 2
ŷ
(11.148)
h= j 2
βt dy
βt dx
βt dx
βt dy
con
d2 ez
d2 ez
+
+ βt2 ez = 0
(11.149)
dx2
dy 2
d2 hz
d2 hz
+
+ βt2 hz = 0
(11.150)
dx2
dy 2
Ing. Luciano Mescia
11.6. Guida d’onda rettangolare
Modi TE.
264
In questo caso è necessario risolvere l’equazione
d2 hz
d2 hz
+
+ βt2 hz = 0
dx2
dy 2
Ipotizzando una soluzione compatibile con il metodo della separazione delle variabili si
ha
hz = X(x)Y (y)
che sostituita nell’equazione differenziale di partenza fornisce l’equazione
Y
d2 Y
d2 X
+
X
+ βt2 XY = 0
dx2
dy 2
da cui dividendo per XY si ricava
1 d2 X
1 d2 Y
=
−
− βt2
X dx2
Y dy 2
In particolare, si ottiene
1 d2 X
= −kx2
X dx2
1 d2 Y
−
− βt2 = −kx2
Y dy 2
da cui
d2 X
+ kx2 X = 0
dx2
d2 Y
+ ky2 Y = 0
dy 2
con
βt2 = kx2 + ky2
Pertanto, le soluzioni generali delle equazioni ricavate sono
X(x) = A cos(kx x) + B sin(kx x)
Y (y) = C cos(ky y) + D sin(ky y)
da cui
hz = [A cos(kx x) + B sin(kx x)] [C cos(ky y) + D sin(ky y)]
Imponendo le condizioni al contorno
dhz =0
dx e
dhz =0
dx x=a
dhz =0 e
dy y=0
dhz =0
dy y=b
x=0
e
Ing. Luciano Mescia
11.6. Guida d’onda rettangolare
si ha
{
265
Bkx [C cos(ky y) + D sin(ky y)] = 0
[−Akx sin(kx a) + Bkx cos(kx a)] [C cos(ky y) + D sin(ky y)]
la quale dovendo valere per ogni y conduce alle relazioni
{
B=0
−Akx sin (kx a) = 0
da cui si ricava
nπ
n = 1, 2, . . .
a
Procedendo in modo analogo con l’altra condizione al contorno si ha
{
D=0
−Cky sin (ky b) = 0
kx =
da cui si ricava
mπ
b
Con queste considerazioni deve essere
ky =
βt2 =
m = 1, 2, . . .
( nπ )2
a
+
( mπ )2
b
a cui corrisponde l’autofunzione
hz = F cos
nπx
mπy
cos
a
b
Pertanto le componenti trasverse del campo elettromagnetico sono
nπx
mπy
nπ
nπx
mπy )
F ωµ ( mπ
cos
sin
x̂
−
sin
cos
ŷ
b
a
b
a
a
b
βt2
F β ( nπ
nπx
mπy
mπ
nπx
mπy )
h=j 2
sin
cos
x̂ +
cos
sin
ŷ
a
a
b
b
a
b
βt
e=j
Ing. Luciano Mescia