Il problema dei tre prigionieri

Il problema dei tre prigionieri
In un penitenziario sono detenuti in isolamento tre prigionieri, A, B e C, condannati alla pena di morte.
Il governatore decide di graziare uno dei tre e ne comunica il nome al guardiano, con il divieto assoluto di
rivelarlo.
Il prigioniero A, in preda a comprensibile ansia, promette al guardiano un lauto compenso in cambio di
un’informazione: sapere almeno chi, tra B e C, sarà giustiziato.
Il guardiano acconsente e rivela ad A che B sarà giustiziato.
A questo punto A si rallegra e ricompensa il guardiano, pensando che grazie all’informazione ricevuta, la
sua probabilità di salvezza sia salita da 1/3 a ½.
Ha ragione il prigioniero A di rallegrarsi?
Soluzione
Il prigioniero A non ha motivo di rallegrarsi e nessun obbligo di ricompensa nei confronti del guardiano.
L’informazione ricevuta non aggiunge nulla a quello di cui era già a conoscenza: uno degli altri due
prigionieri sicuramente sarà giustiziato. Il fatto di poter assegnare probabilità nulla all’evento {B si salverà}
fa aumentare la probabilità che C si salvi, ma non che si salvi A.
Formalizziamo il problema indicando con SA la probabilità che A si salvi…e così via.
Lo spazio degli eventi elementari è inizialmente
SA
SB
SC
ciascuno con probabilità 1/3.
Mettendoci dal punto di vista di A potremo costruire le seguenti tabelle
SA
SB
SC
Probabilità
SA
S
Probabilità
Dopo l’informazione .<< B non si salverà>> va effettuata la seguente modifica
SA
Probabilità
SB
SC
Illustriamo ora un altro metodo risolutivo che utilizza il teorema di Bayes
Indichiamo con IB l’evento {il guardiano indica B}
Poiché il guardiano indicherà sicuramente B se C si salva, mentre lo sceglierà con probabilità ½ se si salva A,
risulta
=
segue
=
Pertanto si deduce che per A non è aumentata la probabilità di salvezza
Invece
=
Ovviamente tutto questo è valido dal punto di vista di A, in quanto lo stesso ragionamento si può
ripetere per ciascuno dei tre prigionieri. Essi non possono comunicare tra loro e quindi ciascuno
valuta la in modo soggettivo la probabilità di salvezza del terzo prigioniero, dopo aver conosciuto il
nome del compagno di sventura più sventurato, che sicuramente sarà giustiziato.