UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Ing. MeccanicaMat. Pari A.A 2015/2016 –1 Aprile 2016
Problema 1
Una massa m1 = 2.5 kg si muove nel tratto liscio di un piano orizzontale con velocita’ v0 = 4m/s. Essa
urta in modo completamente anelastico una massa m2 = 1.5 kg. Le due masse si muovono con la stessa
velocita. Prima dell’urto la mssa m2 e’ ferma ed e’ collegata come in figura a una molla a riposo; l’altro
estremo della molla e’ fissato a una parete fissa.
Si nota che prima di fermarsi per la prima volta dopo l’urto, le due masse comprimono la molla di un
tratto Δx=0.1m e durante questo tratto
a) la velocita’ delle due masse subito dopo l’urto. si muovono in una zona in cui c’e’ attrito dinamico
µd=0.1 per entrambe le masse. Calcolare :
b) la costante K della molla .
c) quale valore massimo deve avere µ s perche’ le due masse ritornino indietro.
d) Calcolare l’energia cinetica di quando ripassano per la posizione di riposo della molla.
m1
m2
Risoluzioneproblema1
a) Urto tra due corpi liberi non vincolati : si conserva nell’urto la quantita’ di moto .
Pin = Pfin
Pin = m1v1
Pfin = (m1+m2) vf =(m1+m2) v cm
m1v1 = (m1+m2) vf =(m1+m2) v cm
:
vf = v cm = m1v1 / (m1+m2) =2.5 m/s
b) Dopo l’urto l’energia cinetica del sistema in parte e’ spesa contro il lavoro della forze d’attrito e il resto si
ritrova come energia elastica.
½ (m1+m2) v2 cm = ½ KΔ x 2 + µ d(m1+m2) g Δ x K= 2421.6 N/m
1
Probleman.2
Una massa m e’ ferma su un piano inclinato tenuta da una forza F parallela al piano stesso. La massa e’
legata all’estremo di una molla ideale di costante elastica K che risulta cosi compressa di una quantita’ d1
(l’altro estremo e’ fisso ).
Il piano e’ inclinato di 30 0 rispetto l’orizzontale e non c’e’ attrito. Dati m= 2Kg K=800 N/m d1=0.1 m
g=10N/m2
Ad un certo istante la forza F viene tolta. Calcolare:
1) La velocita’ della massa m quando la molla raggiunge la sua posizione di riposo.
2) La posizione rispetto la posizione di riposo della molla in cui la massa ha accelerazione nulla.
3) Calcolare il valore della forza F applicata all’inizio e l’accelerazione con cui la massa m si era messa
in movimento.
4) Il massimo allungamento della molla quando la massa raggiunge velocita’ nulla lungo il piano
inclinato.
5) ( facoltativo). Descrivere il moto della massa m giustificando le ragioni . Quant’e’ il tempo
impiegato a raggiungere di nuovo la posizione iniziale ?
d1
F
F
RISOLUZIONE PROBLEMA 2
1) Il piano inclinato e’ privo di attrito, le forze presenti ( forza peso e forza elastica) sono conservative e quindi si
conserva l’energia meccanica totale tra lo stato iniziale e lo stato finale. Assumendo nulla l’energia potenziale della
forza peso nella posizione di riposo della molla si ha :
Eki+Eel.i +Epeso.i = Ekf+Eel.f +Epeso.f
⇒
0+½ k d12 + mgd1sinθ = 0+ 0+ ½ mvf2
⇒
vf = √5 m/s
2) Eki+Eel.i +Epeso.i = Ekf+Eel.f +Epeso.f
⇒
0+½ k d12 + mgd1sinθ =0+ ½ k d22 - mgd2sinθ
⇒
400d22-10d2-5=0 d2= 0.0625 m
3) ΣF=ma ( seconda legge di Newton)
scegliendo l’asse x rivolto verso il basso con lo zero nella posizione di
riposo della molla si ha :
⇒ Fel +Fpeso=ma
con la richiesta di a=0
⇒
-k|x|+ mg sinθ =0
⇒
|x c|= mg sin θ / K = 0.0125 m
4) scegliendo l’asse x rivolto verso il basso con
ΣF=ma ( seconda legge di Newton) Fel +Fpeso+F=0
F= -Fel –Fpeso
=
a =(Fel +Fpeso)/m =45 m/s2
5)Siamo in presenza di una forza elastica e di una forza costante per cui e’ sempre un moto armonico perche’:
( seconda legge di Newton)
ma
= -kx+ mgsinθ
md2x/dt2 = -kx+ mgsinθ
md2x/dt2 = -k(x- mgsinθ / Κ)
posto y= x- mg sinθ/Κ si ottiene d2y/dt2+k/m y =0 T= 2 π √(m/k)
avendo come pulsazione √(k/m)
E’ un moto armonico ma il centro dell’oscillazione e’ spostato di xc=g sinθ /Κ.
2
Problema 3 (punti **) Dinamica dei sistemi
Un cannoncino a molla di massa M=0.2 kg poggia su un piano orizzontale ruvido di coefficiente µ d=0.1 e spara un
proiettile di massa m=0.01kg orizzontalmente. Il cannoncino rincula ma a causa dell’atrito si ferma dopo aver
percorso un tratto d=0.5m. Calcolare (assumendo g=10m/s2):
1)
La velocità vM iniziale di rinculo del cannoncino subito dopo lo sparo.
2)
La velocità vp del proiettile subito dopo lo sparo.
3)
L’energia E fornita dalla molla alle masse e la costante elastica K della molla se è compressa di
Δx=5cm prima dello sparo.
C
Corso di Laurea in Ingegneria per l’Ambiente ed il Territorio
(Prof. G. Naletto)
Prova scritta di Fisica 1 - Padova, 16 Aprile 2004
Cognome .............................................................. Nome ........................................... Matricola .......................
Problema 4 (punti **) Dinamica dei sistemi
Problema 1
Una molla di costante elastica k = 50 N/m è vincolata ad un estremo ad una parete fissa e
all’altro da un corpo A di massa mA = 1 kg che giace su un piano liscio. La molla è posta
B
parallela al piano ed è compressa di ∆x. Sopra il corpo A giace un altro corpo B di massa
A
mB = 0.5 kg e tra i due corpi esiste attrito radente con coefficiente di attrito statico µs = 0.2.
Ad un certo istante il vincolo che tiene compressa la molla viene rimosso, ed il sistema di
mette in movimento, con il corpo B solidale al corpo A. Determinare:
a) la compressione ∆x iniziale della molla sapendo che la massima velocità raggiunta dal sistema A+B è pari a
vmax = 0.3 m/s;
b) il modulo della forza di attrito statico Fas che agisce tra i due corpi all’istante iniziale del moto;
c) il modulo della massima compressione ∆xmax iniziale della molla per mantenere B solidale ad A durante il moto.
Soluzioni
Problema 2
Una sbarretta omogenea di massa m = 4 kg e di lunghezza l = 0.8 m è vincolata a ruotare senza
attrito in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale passante per un suo estremo O.
g
+ mB di un angolo θ = 30° rispetto alla verticale
1
1
m Ainclinata
2 è mantenuta in equilibrio
(m A + mB )essa
v max
⇒ ∆x = v max
= 0.052 m
a) θ
k∆x 2 = Inizialmente
2
2da una forza orizzontale F applicata all’estremo
k libero (vedi figura). Successivamente si toglie la
l
b)
Sul corpo A agisce la forza elastica più la forza di attrito statico dovuta all’interazione con B. Su B agisce solo la
F edovuta
la sbarretta
si muove.con
Quando
si trova esattamente sulla verticale (θ = 0) essa viene
forza di attritoforza
statico
all’interazione
A. Quindi:
r
da un corpo di massa m’ e dotato di
m A aF = k∆urtata
x − Fasin modo completamente
k∆x anelastico all’estremomlibero
B
r
⇒
=
⇒
=
∆xdella
= 0.sbarretta
866 N e rivolta verso la
a
F
k
as
nel piano dimoscillazione
v
mB a = Fasuna velocità orizzontale
+ mB
m A contenuta
A + mB
sbarretta
stessa di modulo v = 5 m/s. Determinare:µ g
mB
F
=
k
∆xmax = µ s mB g ⇒ ∆xmax = s (m A + mB ) = 0.059 m
c)
,max forza F;
a) il moduloasdella
m A + mB
k
b) il modulo della reazione vincolare R sul perno O all’equilibrio;
c) il modulo ω della velocità angolare della sbarretta subito prima dell’urto;
Problema 2
d) la massa m’ del corpo sapendo che la velocità angolare ω’ del sistema dopo l’urto è un vettore di modulo ω’ = 2
r
rad/s, perpendicolare
r red uscente dall foglio stesso.
ral foglio
1
l
π
OProblema 1PROBLEMA
SOLUZIONE
4
r
a)
Mo =
r
2
× mg + l × F = 0 ⇒
r
2
mg sin θ − lF sin
r
2
−θ = 0 ⇒
F=
2
mg tan θ = 11.3 N
1
2
2
2
b)
Problema
3R = −(mg + F ) ⇒ R = (mg ) + F = mg 1 + 4 tan θ = 40.8 N
l
1
1 1
3g
2
I oωtemperatura
= 0 ⇒ simg
(1 −incos
θ ) = alla
= ⋅ mTlA2ω
1 − cos θ )inizialmente
= 2.22 rad/s
Trec)moli di ∆gasEmbiatomico
trovano
equilibrio
= 2500 ⇒
K in ω
un =cilindro (adiabatico
di
3
Problema5
4
5
Seconda Prova di Accertamento di Fisica 1
-
Padova, 19 Marzo 2007
Cognome .............................................................. Nome ........................................... Matricola .....................
Problema 1
Un corpo A di massa mA e dimensioni trascurabili è inizialmente fermo su un
piano inclinato ad una altezza h dal suolo (NB il piano inclinato è vincolato al
suolo). Ad un certo istante il corpo A è lasciato libero di muoversi ed inizia a
scendere; alla fine del piano inclinato, esso continua il suo moto su un piano
h
B
orizzontale dove urta con velocità vA = 5 m/s un corpo B di massa mB = 3 kg
fermo sul piano. Dopo l’urto, il corpo A rimbalza con una velocità v’A = –vA/2
ed il corpo B si mette in movimento con velocità v’B = 0.5 m/s lungo il piano orizzontale. Ad un certo punto, il corpo B
inizia a salire su un piano inclinato di massa M non vincolato al suolo e inizialmente fermo; si trova che B si ferma
istantaneamente rispetto al piano inclinato mobile quando si trova ad un’altezza h’ dal suolo. Assumendo che su tutto il
sistema non ci siano attriti, determinare:
a) l’altezza h rispetto al suolo del corpo A all’inizio del moto;
b) il valore della massa mA del corpo A;
c) la massa M del piano inclinato mobile sapendo che quando il corpo B si ferma istantaneamente rispetto al piano
stesso la sua velocità è V = 0.2 m/s;
d) l’altezza h’ rispetto al suolo raggiunta dal corpo B sul piano inclinato mobile nello stesso istante.
A
B
e) calcolare l’energia dissipata nell’urto tra A e B.
Problema 2
Una sbarretta omogenea AB, di massa m = 5 kg e lunghezza L = 6 , può ruotare attorno ad un
A
Soluzioni
asse fisso orizzontale privo di attriti posto sulla sbarretta stessa ad una distanza AO = 2 da A.
La sbarretta è inizialmente mantenuta ferma inclinata di un angolo θ = 20° rispetto alla
verticale
tramite una fune ideale collegata in A tesa perpendicolarmente alla sbarretta nel
Problema 1
piano
di
rotazione
della stessa e fissata all’altro estremo. Determinare:
θ
a) il modulo
T della tensione della fune;
2
vA
1
m A gh = m A vB2A ⇒
= 1della
.28 mlunghezza sapendo che il momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse di
a)
b) hil=valore
2
2g
rotazione vale IO = 0.8 kgm .
2 v'
m v' B
la fune,
v' A + mstaccata
v
'
⇒
= si Bmette
m A v A = m Aviene
m A =e la Bsbarretta
mB =a0ruotare.
.2 kg Calcolare:
b)Successivamente
B B
v A della
- v' A sbarretta
3v A nell’istante in cui viene staccata la fune;
c) il modulo α dell’accelerazione angolare
c)d) la La
componente
orizzontale
delle forze
esterne
di due
corpi esattamente
B + piano inclinato
mobile è
ω della sbarretta
quando
nelapplicate
suo motoaldisistema
rotazione
si mette
verticale.
velocità
angolare
nulla. Quindi la componente orizzontale della quantità di moto si conserva.
Px = 0 ⇒ mB v'B = mB v' ' B + Mv' ' piano
Problema
3 B si ferma istantaneamente rispetto al piano, entrambi hanno la stessa velocità istantanea V.
Quando
Un corpo rigido è costituito
omogenea di lunghezza = 2R e massa trascurabile ai cui
) = sbarretta
m B (v'Bda−Vuna
4.5 kg
v m B v'B = m BV + MV ⇒ M =
estremi sono attaccati due sfere
di massa m e raggio R = 0.2 m: le sfere sono attaccate alla sbarra sulla
V
m’
loro
superficie
e
la
linea
che
congiunge
O della sbarretta. Il corpo può
⎤ per il −centro
⎛ centri
O1
1
1 ⎡ i2 loro
M ⎞ passa
2
2
⎟⎟V un
⎜⎜1 +
d)
' piano
'=
7.7verticale
⋅ 10 3 m fisso passante per O. Inizialmenm B v'B2 ruotare
= (m Bsenza
+ M )Vattrito
+ msu
⇒ horizzontale
un
ad
asse
⎢ v'B −attorno
⎥=
B gh
2
2 g ⎣⎢
⎥momento di modulo MO = 0.44 Nm rispetto al
B ⎠un ⎦
⎝ mdi
te 2il sistema è fermo; poi, tramite l’applicazione
polo O, il sistema si mette in rotazione con accelerazione angolare costante α = 0.5 rad/s2. Determinare:
Problema
2 m della massa delle sfere;
a) il valore
b) il lavoro W compiuto dall’esterno per far ruotare il sistema di Δθ = 5π rad a partire dall’istante iniziale del moto.
1
, unamgsfera
da un corpo
2ℓ × Tè+ruotato
ℓ × mg =di0Δθ⇒
ℓ sin θviene
− 2ℓ Turtata
= 0 in
⇒modo
T = completamente
mg sin θ = 8.38anelastico
N
a)Nell’istante
∑ M inE =cui0 il⇒sistema
2
puntiforme di massa m’ = m/5 e velocità v orientata perpendicolarmente alla sbarretta,
giacente nel piano orizzontale di
rotazione del1sistema 2e con 2verso opposto
alla 1velocità
I O istantanea della sfera stessa. Nell’urto il corpo di massa m’ si
2
I O = m ⋅ 36al centro
+ m della
= 4msfera.
⇒
=
= 0.2 m
b)blocca esattamente
Calcolare:
12
2 m
c) il modulo v della velocità del corpo di massa m’ sapendo che la velocità angolare del sistema immediatamente dopo
g
⇒ ℓ × mg = I Oα ⇒ mgℓ sin θ = 4mℓ 2α ⇒ α = sin θ = 4.19 rad/s 2
c)
l’urto
Oα rad/s.
∑ Mè ωE ’==I2.5
4ℓ
2mg (1 − cos θ )
1
= 1.22 rad/s
I Oω 2 = mgh = mg ⋅ (1 − cos θ ) ⇒ ω =
d)
IO
2
oppure
0
1
W = I O ω 2 con W = ∫ Mdθ = ∫ mg sin θ dθ = mg (1 − cos θ )
2
θ
O
Problema 3
a)
2
⎡2
44
⎞ ⎤
⎛
M O = I Oα = 2 ⎢ mR 2 + m⎜ + R ⎟ ⎥α =
mR 2α
5
2
5
⎠
⎝
⎦⎥
⎣⎢
b)
W = M O dθ = M O Δθ = 6.91 J
⇒ m=
∫
oppure
1
1
W = ΔE k = I Oω 2 = I O ⋅ 2αΔθ = ( I Oα )Δθ = M O Δθ
2
2
5M O
= 2.5 kg
44αR 2
6
Problema 6
Una massa M1 incognita, ruota in un piano orizzontale con velocità angolare costante. La massa è collegata tramite un
filo inestensibile e di massa trascurabile ad un’altra massa M2 = 1 kg, come mostrato in figura. La massa M1 precorre
una traiettoria circolare di raggio R = 1 m (pendolo conico) e la semiapertura del cono è α = 30˚. In queste condizioni
la massa M2 rimane sospesa in equilibrio.
Calcolare:
a.
il valore della tensione del filo;
b.
il valore della massa M1;
c.
la velocità angolare ω;
α
d.
il periodo del pendolo conico.
R
M1
M2
Problema 4
Un blocco di massa m = 0.2 kg è lasciato da fermo da un’altezza h = 50 cm lungo un piano inclinato di 30°. La
superficie inclinata ha un coefficiente di attrito dinamico µd = 0.1. Il blocco scende verso la base del piano e
successivamente scivola lungo la superficie orizzontale senza attrito fino a urtare elasticamente ( urto completamente
elastico) un blocco di massa M = 800 g fermo a 1.4 m dalla base del piano inclinato.
Calcolare:
a) lavelocitàdelbloccodimassamquandoarrivaallabasedelpianoinclinato.
b) lavelocita’delcentrodimassadopol’urto.
c) lavelocita’dopol’urtodeisingolicorpi.
Risoluzione
a)
Em = Energia meccanica
co
Em(h)
= E (0) + |Watt |
urto fra 2 punti
materialimsi deve considerare:
Em(h)di=moto
mgh = 0.2 *9.81 *0.5 =0.98 J
ne della quantità
ne dell’energia
|Wattcinetica.
|= Fatt *2h = µd mgcos30 *2h = 0.1 *0.2 *9.81 *0.87 *2*0.5 =0.17 J
mghmolto
= ½semplice:
mv12 + µd mgcos30 *2h
v1= sqrt( 2 ( mgh-2h µd m gcos30)/m) =
sume una forma
ma=anche:
b) vcm
m1v1/(m1+m2) = 0.2 v1
1D)
m2 v 2
2
m2 2
v2
2
c)
v1
v2
rio:
1
1
m1
m2 v1 2m2 v2
m1 m2
m2
m1 v2 2m1v1
m1 m2
Dopo
V’1 = [ (m1-m2) v1 +2m2v2]
m1 m2 / (m1+m2) = - 0.6 * v1/1 = -0.6*v1
V’2 = [ -(m1-m2) v2 +2m1v1] / (m1+m2) = (0.6 * 0 + 0.4 v1)/1 = 0.4 v1
m1 m2
m1 m2
7
