D.D.P. e calcolo grafico - Digilander

DIFFERENZA DI POTENZIALE, GRAFICO ED AREA
Come avrete già capito, la d.d.p. (V) è una grandezza fondamentale nel campo dell’elettricità: infatti, essa
genera le correnti elettriche e determina la potenza con la quale tali correnti trasportano l’energia. Perciò
saper calcolare la d.d.p. fra due punti nello spazio è un’abilità essenziale per qualsiasi Fisico… “Prof! Ma io poi
mi iscrivo a Psicologia! C’è la d.d.p. là?” “Mimmo, silenzio! Sicuramente la d.d.p. c’è in terza prova e all’orale,
perciò con le buone o con le cattive la devi studiare.” …come dicevo prima che il mimmo mi interrompesse,
saper calcolare correttamente la d.d.p. è un’abilità necessaria. Vediamo come fare.
Nel caso in cui E// sia costante, la d.d.p. fra due punti separati da un tratto S è facilmente calcolabile
dalla ormai stra-usata ed abusata equazione:
V = -E//S
(1)
Se invece E// è variabile… l’eq. (1) non è più usabile! Infatti, il termine E// non è costante e perciò non ho
alcun valore preciso per E// da poter usare nell’eq. (1). E allora: cosa si fa? In questo caso, esistono due
strade: il calcolo integrale –strada matematica- e il calcolo grafico –strada geometrica-. Come vedrete a
matematica, le due strade in realtà sono due diversi aspetti della medesima soluzione: per adesso,
mancandoci la conoscenza degli integrali, seguiremo la strada geometrica.
La ruota di Barlow
A me non piace fare troppi discorsi, perciò affronteremo la
questione partendo dal problema che abbiamo trovato in
classe: quello di determinare la d.d.p. fra l’asse e la regione
esterna di una ruota di Barlow (vedi figura1 – lo strumento
fuori dalla ruota è il voltmetro, che misura la d.d.p. fra i due
contatti: il centro della ruota ed il bordo).
Come ormai dovreste sapere, il campo elettrico della ruota (E)
non è costante ma aumenta linearmente con la distanza dal
centro secondo la legge:
E(r) = 0B0r
Figura 1
(2)
Supponiamo che 0=20rad/s, B0=0,2T , a=60cm  E(r) = 4r (per semplicità ho omesso le unità di
misura, tanto sappiamo tutti che alla fine E(r) è espresso in N/C o equivalentemente in V/m). E’ evidente che
il vettore E non è costante, in quanto è nullo al centro della ruota mentre al bordo (r=a=0,6m) E= 2,4 V/m.
Posso applicare l’eq. (1)? No! Non ho un valore costante di E da poter scegliere. E allora che si fa? Si usa una
tecnica che abbiamo già studiato al III anno riguardo al calcolo dello spostamento quando la velocità non era
costante ma uniformemente accelerata. Vi riattivo la memoria, se non vi ricordate l’argomento.
Riattivazione della memoria per il calcolo grafico
Se il moto è uniforme, per calcolare lo spostamento S uso l’eq. S = Vt ma nel
caso di moto accelerato abbiamo il solito problema: la velocità non è costante e
l’eq. S=Vt non è più usabile. Allora, cosa avevamo fatto? Avevamo disegnato il
Figura 2
grafico t-V, che nel nostro caso risultava essere una retta. Poi avevamo diviso il
grafico in tanti intervalli di tempo e per ogni intervallo di tempo avevamo disegnato
due rettangoli: quello giallo per indicare uno spazio minore di quello percorso
dall’oggetto e quello rosso per indicare uno spazio più grande di quello percorso
dall’oggetto (vedi figura2)1. Era perciò evidente che lo spazio realmente percorso doveva essere compreso fra i
rettangolini gialli e quelli rossi: l’unica area che è sempre compresa fra i rettangolini gialli e rossi è quella sotto
il grafico e perciò eravamo giunti alla conclusione che lo spazio percorso coincideva con l’area sottesa
dal grafico t-V.
1
Come già trattato negli appunti del III anno “EQUAZIONE ORARIA DI UN MOTO UNIF. ACCELERATO”, da me
linkati on-line giusto per farvi fare un po’ di ripasso.
La ruota di Barlow; calcolo grafico della d.d.p.
Stesso ragionamento per il campo elettrico E e la d.d.p. V!!!
So che V=-E//S  (nella ruota di Barlow: Sr perché
Figura 3
mi sposto lungo il raggio r , E//E perché E è parallelo al
raggio r)V=-Er. Non posso usare direttamente questa
formula perché E non è costante ma cambia con il raggio
secondo l’eq. (2): perciò costruisco il grafico r-E e, con una
dimostrazione del tutto identica a quella fatta per il grafico t-V,
si arriva alla conclusione che:
la d.d.p. V corrisponde all’area sottesa dal grafico
r-E
(in valore assoluto)
̂
Perciò, nell’esempio che abbiamo fatto: Area sottesa = Area del triangolo 𝑂𝑎
𝐸(𝑎) = V 
V = E(a)a/2 = 2,4V/m0,6m/2 = 0,72 Volt
(in valore assoluto)
Qual è la d.d.p. che si ha fra il punto P distante rP = 20cm dal centro e il bordo esterno?
Chi ha provato a risolvere nel compito un problema simile a questo… si è inventato una formula di sana
pianta! L’errore è stato quello di sostituire ad a=60cm il valore a’=60cm-20cm=40cm, cioè il tratto rP-bordo.
Questo non è corretto, perché il calcolo di V deve essere eseguito tenendo conto del grafico r-E !!
Vediamo come fare a risolvere il problema: se ci pensate un attimo la soluzione è immediata. Poiché
V=Area sottesa dal grafico, per calcolare V dobbiamo calcolare… l’Area sottesa dal grafico! Chi l’avrebbe
mai detto. E perciò… calcoliamo questa benedetta Area! Essa corrisponde a quella del trapezio rettangolo di
vertici rPaE(a)E(rP) (Area tratteggiata in verde) e perciò l’equazione per V è:
V = [E(rP) + E(a)](a-rP)/2  [E(rP) = E(20cm) = 0,8V/m ; E(a)=2,4V/m] 
V = [0,8+2,4][0,6-0,2]/2 = 0,64 Volt : la d.d.p. è minore di quella fra centro-bordo, come era da
aspettarsi.
CALCOLO DELL’AREA DEL GRAFICO – situazione generale
Il fatto che nella ruota di Barlow la d.d.p. fra due punti si trovi calcolando l’area sottesa dal grafico r-E è un
caso particolare di un caso del tutto più generale, che fonda il suo esistere sulle proprietà geometriche del
calcolo integrale che studierete alla fine del V anno. Vi riassumo il concetto essenziale, che ho già trattato in
classe (e perciò riguardatevi gli appunti presi a lezione sull’argomento, sfaticati!):
se Z, X, Y sono tre grandezze che, quando Y è costante, sono legate dalla relazione: Z=YX,
allora il valore Z è sempre uguale all’area sottesa dal grafico X-Y
Vi sembra una definizione un po’ troppo criptica? Con un paio di esempi dovrebbe chiarirsi subito.
Consideriamo la relazione che lega lo spostamento (S) alla velocità (V) ed all’intervallo di tempo (t).
Quando la velocità è costante si ha: S = Vt. Perciò posso porre S=Z , V=Y , t=X. E’ vero che S è
uguale all’Area sottesa dal grafico t-V? Certo che sì! Lo abbiamo dimostrato al III anno.
Pensiamo poi alla relazione che lega il Lavoro (L), F// e lo spostamento lungo x (x). Se F// è costante si ha:
L=F//x. Ma allora Lavoro=Z , F//=Y , x=X. E’ vero che il Lavoro corrisponde all’area sottesa dal grafico
x-F//? Certo! Lo abbiamo dimostrato al IV anno.
A questo punto rispondete voi a questa domanda: a cosa corrisponde l’area sottesa dal grafico tempoaccelerazione?