Appello del 28-1-14

Compito del
28 - 1 - 2014
1. Data la reazione:
αM g(OH)2 + β(N H4 )2 SO4 → γH2 O + δM gSO4 + ²N H3
scrivere il corrispondente sistema lineare 5 × 5 (omogeneo) nelle
incognite α, β, γ, δ, ². Posto ² = 2, ed eliminata un’equazione, scrivere il sistema lineare 4 × 4 (non omogeneo) nelle rimanenti incognite. Risolvere quest’ultimo.
Devono valere le relazioni:
M g : α−δ = 0 O : 2α+4β−γ−4δ = 0 H : 2α+8β−2γ−3² = 0
N : 2β − ² = 0
S : β−δ =0
Questo conduce al sistema lineare omogeneo:








1
2
2
0
0

 
0 0 −1 0
α
0
β 
0
4 −1 −4 0 
 
 
 
 
8 −2 0 −3 
γ  = 0
 
 
2 0
0 −1   δ   0 
1 0 −1 0
²
0
Con ² = 2 le equazioni diventano:
Mg : α−δ = 0
O : 2α + 4β − γ − 4δ = 0
N : 2β = 2
H : 2α + 8β − 2γ = 6
S : β−δ =0
che, eliminata l’equazione relativa all’ossigeno, portano al sistema:





1
2
0
0


 
0 0 −1
α
0




8 −2 0   β   6 

  =  
2 0
0 γ  2
1 0 −1
δ
0
la cui soluzione è: (1, 1, 2, 1). Dunque:
M g(OH)2 + (N H4 )2 SO4 → 2H2 O + M gSO4 + 2N H3
2. Calcolare la lunghezza della curva γ composta dai seguenti due
pezzi:
γ1 (t) = (cos t, sin t, 2t) t ∈ [0, 4π]
γ2 (t) = (1, 0, 12π − t)
Calcolare successivamente:
R
γ
t ∈ [4π, 12π]
F~ dove F~ (x, y, z) = (x3 , y 3 , 0).
La curva è chiusa (ma non semplice). La sua lunghezza L è:
L(γ) = L(γ1 ) + L(γ2 ) =
+
Z 12π
4π
Z 4π q
0
(− sin t)2 + (cos t)2 + 4 dt +
√
√
dt = 4π 5 + 8π = 4π( 5 + 2)
Il campo è conservativo con potenziale:
R
curva è chiusa, si ricava: γ F~ = 0.
1
(x4
4
+ y 4 ). Siccome la
3. Sia data la funzione Ψ(x, t) = sin(x + ωt) + i cos(x + ωt), dove i
è l’unità immaginaria. Stabilire per quali autovalori λ si ha:
∂Ψ
∂ 2Ψ
−i
+
= λΨ
∂t
∂x2
cioè Ψ risulta essere un’autofunzione.
Tramite derivazione diretta si deve avere:
−iω cos(x + ωt) − ω sin(x + ωt) − sin(x + ωt) − i cos(x + ωt) =
= λ sin(x + ωt) + iλ cos(x + ωt)
che è realizzata solo quando λ = − (1 + ω).
4. Calcolare l’integrale I della funzione f (x, y) = y definita sul
pezzo di corona circolare C espresso in coordinate polari da:
n
C = 2 ≤ r ≤ 5,
π
πo
≤θ≤
4
2
Dato che y = r sin θ, si ha:
I =
Z θ2 Z r2
θ1
r1
r2 sin θ drdθ =
1 3
(r
3 2
− r13 )(cos θ1 − cos θ2 )
dove r1 = 2, r2 = 5, θ1 = π4 , θ2 = π2 . Per cui: I =
√
39 2
.
2