Introduzione al corso di
Algebra Lineare e Calcolo Numerico
Proff. Fabio Nobile
&
Marco Verani
6 Marzo 2007
Materiale del corso
I
Tutti gli avvisi, informazioni, esercitazioni/laboratori, materiale
aggiuntivo, ..... sono disponibili all’indirizzo:
http://www2.mate.polimi.it:8080/CN/ALCN
Libri di testo
I
M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, MATEMATICA. Calcolo
infinitesimale e algebra lineare, 2 ed., Zanichelli, Bologna, 2004
(Capitolo 2)
I
A. Quarteroni, F. Saleri, Introduzione al Calcolo Scientifico. Esercizi
e problemi risolti con MATLAB , 3 ed., Springer-Italia, Milano, 2006
(Capitoli 1, 5, 6)
Note integrative su SVD e sistemi ai minimi quadrati
I
I
W. Keith Nicholson, Algebra lineare: dalle applicazioni alla teoria,
pagg. 417-424, McGraw Hill, 2002
Quarteroni, Sacco, Saleri, Matematica numerica, pagg. 78-80,
100-103, Springer, 2004
Impostazione del corso
Il corso è diviso in due parti:
Prima metà: parte teorica di Algebra lineare
I
I
esercitazioni in aula
prima prova in itinere con esercizi teorici
Seconda metà: parte teorico/pratica di Calcolo Numerico
I
I
Laboratori in aula informatizzata
seconda prova in itinere da svolgere con l’ausilio di Matlab.
Gli appelli di Luglio, Settembre e Febbraio saranno svolti in aula
informatizzata e prevederanno esercizi misti teorici (da volgere “carta e
penna”) e pratici (da risolvere al calcolatore).
Impostazione del corso
Il corso è diviso in due parti:
Prima metà: parte teorica di Algebra lineare
I
I
esercitazioni in aula
prima prova in itinere con esercizi teorici
Seconda metà: parte teorico/pratica di Calcolo Numerico
I
I
Laboratori in aula informatizzata
seconda prova in itinere da svolgere con l’ausilio di Matlab.
Gli appelli di Luglio, Settembre e Febbraio saranno svolti in aula
informatizzata e prevederanno esercizi misti teorici (da volgere “carta e
penna”) e pratici (da risolvere al calcolatore).
Impostazione del corso
Il corso è diviso in due parti:
Prima metà: parte teorica di Algebra lineare
I
I
esercitazioni in aula
prima prova in itinere con esercizi teorici
Seconda metà: parte teorico/pratica di Calcolo Numerico
I
I
Laboratori in aula informatizzata
seconda prova in itinere da svolgere con l’ausilio di Matlab.
Gli appelli di Luglio, Settembre e Febbraio saranno svolti in aula
informatizzata e prevederanno esercizi misti teorici (da volgere “carta e
penna”) e pratici (da risolvere al calcolatore).
Di cosa tratta questo corso
Due argomenti centrali:
I
I
Risoluzione di sistemi lineari
Analisi agli autovalori
Entrambi questi argomenti sono di estrema
importanza in applicazioni ingegneristiche .....
Di cosa tratta questo corso
Due argomenti centrali:
I
I
Risoluzione di sistemi lineari
Analisi agli autovalori
Entrambi questi argomenti sono di estrema
importanza in applicazioni ingegneristiche .....
Di cosa tratta questo corso
Due argomenti centrali:
I
I
Risoluzione di sistemi lineari
Analisi agli autovalori
Entrambi questi argomenti sono di estrema
importanza in applicazioni ingegneristiche .....
Di cosa tratta questo corso
Due argomenti centrali:
I
I
Risoluzione di sistemi lineari
Analisi agli autovalori
Entrambi questi argomenti sono di estrema
importanza in applicazioni ingegneristiche .....
Esempio di sistema lineare - I
Sistema di 2 equazioni in 2 incognite
(
2x + y = 5
x −y =1
con semplici calcoli si trova la soluzione
(
x =2
y =1
Esempio di sistema lineare - I
Sistema di 2 equazioni in 2 incognite
(
2x + y = 5
x −y =1
con semplici calcoli si trova la soluzione
(
x =2
y =1
Esempio di sistema lineare - II
Sistema di 3 equazioni in 3 incognite
x + y
2x − 4y + z
3y + z
calcoli un po’ più laboriosi . . .
x = 1
y =0
z =2
=1
=4
=2
Esempio di sistema lineare - II
Sistema di 3 equazioni in 3 incognite
x + y
2x − 4y + z
3y + z
calcoli un po’ più laboriosi . . .
x = 1
y =0
z =2
=1
=4
=2
Esempio di sistema lineare - caso generale
Sistema di m equazioni in n incognite
a x
+a12 x2 +a13 x3
11 1
a21 x1 +a22 x2 +a23 x3
..
.
am1 x1 +am2 x2 +am3 x3
+...
+a1n xn
=b1
+...
+a2n xn
=b2
+ . . . +amn xn
=bm
Useremo una notazione compatta per indicare un sistema lineare:
Ax = b
Un’applicazione semplice
Consideriamo il sistema di molle in figura soggetto a delle forze orizzontali
x1
11
00
00
11
00
11
00
11
00
11
k1
x2
k2
F1
x3
k3
F2
k4
F3
Bilancio nei nodi delle forze orizzontali:
Sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite:
Kx = F
11
00
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Un’applicazione semplice
Consideriamo il sistema di molle in figura soggetto a delle forze orizzontali
x1
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k1
x2
k2
F1
x3
k3
F2
k4
F3
Bilancio nei nodi delle forze orizzontali:
k1 x1 + k2 (x1 − x2 ) = F1
k2 (x2 − x1 ) + k3 (x2 − x3 ) = F2
k3 (x3 − x2 ) + k4 x3 = F3
Sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite:
Kx = F
11
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Un’applicazione semplice
Consideriamo il sistema di molle in figura soggetto a delle forze orizzontali
x1
k1
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x2
k2
x3
k3
F1
k4
F3
F2
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Bilancio nei nodi delle forze orizzontali:
⇒
(k1 + k2 )x1
−k2 x1
−
k2 x2
+
−
(k2 + k3 )x2
k3 x2
=F1
−
+
k3 x3
(k3 + k4 )x3
Sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite:
Kx = F
=F2
=F3
Un’applicazione semplice
Consideriamo il sistema di molle in figura soggetto a delle forze orizzontali
x1
k1
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x2
k2
x3
k3
F1
k4
F3
F2
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Bilancio nei nodi delle forze orizzontali:
⇒
(k1 + k2 )x1
−k2 x1
−
k2 x2
+
−
(k2 + k3 )x2
k3 x2
=F1
−
+
k3 x3
(k3 + k4 )x3
Sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite:
Kx = F
=F2
=F3
Un’applicazione un po’ più complesso
I
Aeroporto Malpensa 2000
Imponendo l’equilibrio delle forze su ogni giunto si ottiene un grosso
sistema lineare da risolvere
Un’applicazione ancora più complesso
I
Colosseo
La struttura viene divisa in tanti “cubetti” (elementi finiti). Su ciascuno
si impone un bilancio di forze. Alla fine si ha a che fare con un
gigantesco sistema lineare di milioni di equazioni in milioni di incognite.
Cosa impareremo in questo corso ....
I
Analizzare un sistema lineare Ax = b e sapere quando ammette
soluzioni e quante ne ammette.
I
I
per far questo dovremo introdurre i concetti di spazio vettoriale,
indipendenza lineare, algebra delle matrici, trasformazioni lineari, .....
Calcolare la soluzione con l’ausilio di un calcolatore
I
Scopriremo che ci sono concetti importanti relativi alla stabilità,
accuratezza, e costo computazionale della soluzione ottenuta al
calcolatore
Problema agli autovalori
Cerchiamo λ e v tali che
Av = λv
Il problema agli autovalori compare nello studio delle vibrazioni di
strutture meccaniche (cosı̀ come in moltissime altre applicazioni dell’
ingegneria)
Problema agli autovalori
Cerchiamo λ e v tali che
Av = λv
Il problema agli autovalori compare nello studio delle vibrazioni di
strutture meccaniche (cosı̀ come in moltissime altre applicazioni dell’
ingegneria)
Ancora sull’ esempio delle molle – caso dinamico
Consideriamo i punti x1 , x2 , x3 aventi massa M:
x 1 (t)
11
00
00
11
00
11
00
11
00
11
k1
x 2 (t)
k2
Legge di Newton (F=ma)
k2 x2
(k1 + k2 )x1 −
−k2 x1 + (k2 + k3 )x2
−
k3 x2
x 3 (t)
k3
k4
−
k3 x3
=−M ẍ1
=−M ẍ2
+
(k3 + k4 )x3
=−M ẍ3
Cerchiamo soluzioni oscillanti della forma
xi = vi sin(ωt).
11
00
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Ancora sull’ esempio delle molle – caso dinamico
Consideriamo i punti x1 , x2 , x3 aventi massa M:
x 1 (t)
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k1
x 2 (t)
k2
Legge di Newton (F=ma)
k2 v2
(k1 + k2 )v1 −
−k2 x1 + (k2 + k3 )x2
−
k3 x2
=⇒
K v = λv,
x 3 (t)
k3
k4
=Mω 2 v1
−
k3 x3
=Mω 2 v2
+
(k3 + k4 )x3
=Mω 2 v3
λ = Mω 2
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11
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Programma del corso
Parte I – Algebra Lineare
I
Spazi vettoriali; indipendenza lineare
I
Algebra delle matrici; trasformazioni lineari
I
determinate, rango e inversa di una matrice
I
Studio di sistemi lineari; teorema di Rouché-Capelli
I
Autovalori e autovettori; diagonalizzazione di una matrice
Decomposizione in valori singolari (SVD)
I
Parte II – Calcolo Numerico
I
Metodi diretti per la soluzione di sistemi lineari
I
Accuratezza della soluzione; numero di condizionamento
I
Sistemi sovradeterminati; soluzione ai minimi quadrati
I
Metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari
Metodi numerici per il calcolo di autovalori e autovettori
I
Programma del corso
Parte I – Algebra Lineare
I
Spazi vettoriali; indipendenza lineare
I
Algebra delle matrici; trasformazioni lineari
I
determinate, rango e inversa di una matrice
I
Studio di sistemi lineari; teorema di Rouché-Capelli
I
Autovalori e autovettori; diagonalizzazione di una matrice
Decomposizione in valori singolari (SVD)
I
Parte II – Calcolo Numerico
I
Metodi diretti per la soluzione di sistemi lineari
I
Accuratezza della soluzione; numero di condizionamento
I
Sistemi sovradeterminati; soluzione ai minimi quadrati
I
Metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari
Metodi numerici per il calcolo di autovalori e autovettori
I
Regole d’esame
I
Le prove in itinere NON sono obbligatorie.
I
Verrà ammesso alla seconda prova in itinere soltanto chi nella prima
ha conseguito una votazione maggiore o uguale a 18. In tal caso,
l’esame verrà considerato superato se la media delle due prove è
maggiore o uguale a 18. Altrimenti si verrà rimandati agli appelli
previsti per i mesi di luglio, settembre e febbraio.
L’iscrizione alle prove in itinere e agli appelli è obbligatoria e non
verranno ammesse deroghe per nessuna ragione.
I
I
Gli studenti iscritti alle prove in itinere o agli appelli e risultanti poi
assenti saranno penalizzati nelle successive valutazioni, a meno che
non avvisino preventivamente il docente.
I
Chi decide di non fare le prove in itinere può direttamente accedere
agli appelli (luglio, settembre, febbraio). Gli appelli verteranno
sempre su tutto il contenuto del corso. Non sono previsti recuperi
delle singole prove in itinere.
Regole d’esame
I
Le prove in itinere NON sono obbligatorie.
I
Verrà ammesso alla seconda prova in itinere soltanto chi nella prima
ha conseguito una votazione maggiore o uguale a 18. In tal caso,
l’esame verrà considerato superato se la media delle due prove è
maggiore o uguale a 18. Altrimenti si verrà rimandati agli appelli
previsti per i mesi di luglio, settembre e febbraio.
L’iscrizione alle prove in itinere e agli appelli è obbligatoria e non
verranno ammesse deroghe per nessuna ragione.
I
I
Gli studenti iscritti alle prove in itinere o agli appelli e risultanti poi
assenti saranno penalizzati nelle successive valutazioni, a meno che
non avvisino preventivamente il docente.
I
Chi decide di non fare le prove in itinere può direttamente accedere
agli appelli (luglio, settembre, febbraio). Gli appelli verteranno
sempre su tutto il contenuto del corso. Non sono previsti recuperi
delle singole prove in itinere.
Regole d’esame
I
Le prove in itinere NON sono obbligatorie.
I
Verrà ammesso alla seconda prova in itinere soltanto chi nella prima
ha conseguito una votazione maggiore o uguale a 18. In tal caso,
l’esame verrà considerato superato se la media delle due prove è
maggiore o uguale a 18. Altrimenti si verrà rimandati agli appelli
previsti per i mesi di luglio, settembre e febbraio.
L’iscrizione alle prove in itinere e agli appelli è obbligatoria e non
verranno ammesse deroghe per nessuna ragione.
I
I
Gli studenti iscritti alle prove in itinere o agli appelli e risultanti poi
assenti saranno penalizzati nelle successive valutazioni, a meno che
non avvisino preventivamente il docente.
I
Chi decide di non fare le prove in itinere può direttamente accedere
agli appelli (luglio, settembre, febbraio). Gli appelli verteranno
sempre su tutto il contenuto del corso. Non sono previsti recuperi
delle singole prove in itinere.
Regole d’esame
I
Le prove in itinere NON sono obbligatorie.
I
Verrà ammesso alla seconda prova in itinere soltanto chi nella prima
ha conseguito una votazione maggiore o uguale a 18. In tal caso,
l’esame verrà considerato superato se la media delle due prove è
maggiore o uguale a 18. Altrimenti si verrà rimandati agli appelli
previsti per i mesi di luglio, settembre e febbraio.
L’iscrizione alle prove in itinere e agli appelli è obbligatoria e non
verranno ammesse deroghe per nessuna ragione.
I
I
Gli studenti iscritti alle prove in itinere o agli appelli e risultanti poi
assenti saranno penalizzati nelle successive valutazioni, a meno che
non avvisino preventivamente il docente.
I
Chi decide di non fare le prove in itinere può direttamente accedere
agli appelli (luglio, settembre, febbraio). Gli appelli verteranno
sempre su tutto il contenuto del corso. Non sono previsti recuperi
delle singole prove in itinere.
Regole d’esame
I
Le prove in itinere NON sono obbligatorie.
I
Verrà ammesso alla seconda prova in itinere soltanto chi nella prima
ha conseguito una votazione maggiore o uguale a 18. In tal caso,
l’esame verrà considerato superato se la media delle due prove è
maggiore o uguale a 18. Altrimenti si verrà rimandati agli appelli
previsti per i mesi di luglio, settembre e febbraio.
L’iscrizione alle prove in itinere e agli appelli è obbligatoria e non
verranno ammesse deroghe per nessuna ragione.
I
I
Gli studenti iscritti alle prove in itinere o agli appelli e risultanti poi
assenti saranno penalizzati nelle successive valutazioni, a meno che
non avvisino preventivamente il docente.
I
Chi decide di non fare le prove in itinere può direttamente accedere
agli appelli (luglio, settembre, febbraio). Gli appelli verteranno
sempre su tutto il contenuto del corso. Non sono previsti recuperi
delle singole prove in itinere.
Regole d’esame (continua)
I
Sia le prove in itinere che gli appelli consisteranno in una prova
scritta comprendente domande teoriche ed esercizi da svolgere con
l’ausilio di Matlab. La correzione del compito avverrà solo se i
quesiti indicati come OBBLIGATORI saranno svolti correttamente.
I
La prova orale è FACOLTATIVA e verterà su tutto il programma del
corso (dimostrazioni incluse). L’esito dell’orale può sia aumentare
che diminuire il voto dello scritto.
Regole d’esame (continua)
I
Sia le prove in itinere che gli appelli consisteranno in una prova
scritta comprendente domande teoriche ed esercizi da svolgere con
l’ausilio di Matlab. La correzione del compito avverrà solo se i
quesiti indicati come OBBLIGATORI saranno svolti correttamente.
I
La prova orale è FACOLTATIVA e verterà su tutto il programma del
corso (dimostrazioni incluse). L’esito dell’orale può sia aumentare
che diminuire il voto dello scritto.
