Introduzione al corso di Algebra Lineare e Calcolo Numerico
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Introduzione al corso di Algebra Lineare e Calcolo Numerico Proff. Fabio Nobile & Marco Verani 6 Marzo 2007 Materiale del corso I Tutti gli avvisi, informazioni, esercitazioni/laboratori, materiale aggiuntivo, ..... sono disponibili all’indirizzo: http://www2.mate.polimi.it:8080/CN/ALCN Libri di testo I M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, MATEMATICA. Calcolo infinitesimale e algebra lineare, 2 ed., Zanichelli, Bologna, 2004 (Capitolo 2) I A. Quarteroni, F. Saleri, Introduzione al Calcolo Scientifico. Esercizi e problemi risolti con MATLAB , 3 ed., Springer-Italia, Milano, 2006 (Capitoli 1, 5, 6) Note integrative su SVD e sistemi ai minimi quadrati I I W. Keith Nicholson, Algebra lineare: dalle applicazioni alla teoria, pagg. 417-424, McGraw Hill, 2002 Quarteroni, Sacco, Saleri, Matematica numerica, pagg. 78-80, 100-103, Springer, 2004 Impostazione del corso Il corso è diviso in due parti: Prima metà: parte teorica di Algebra lineare I I esercitazioni in aula prima prova in itinere con esercizi teorici Seconda metà: parte teorico/pratica di Calcolo Numerico I I Laboratori in aula informatizzata seconda prova in itinere da svolgere con l’ausilio di Matlab. Gli appelli di Luglio, Settembre e Febbraio saranno svolti in aula informatizzata e prevederanno esercizi misti teorici (da volgere “carta e penna”) e pratici (da risolvere al calcolatore). Impostazione del corso Il corso è diviso in due parti: Prima metà: parte teorica di Algebra lineare I I esercitazioni in aula prima prova in itinere con esercizi teorici Seconda metà: parte teorico/pratica di Calcolo Numerico I I Laboratori in aula informatizzata seconda prova in itinere da svolgere con l’ausilio di Matlab. Gli appelli di Luglio, Settembre e Febbraio saranno svolti in aula informatizzata e prevederanno esercizi misti teorici (da volgere “carta e penna”) e pratici (da risolvere al calcolatore). Impostazione del corso Il corso è diviso in due parti: Prima metà: parte teorica di Algebra lineare I I esercitazioni in aula prima prova in itinere con esercizi teorici Seconda metà: parte teorico/pratica di Calcolo Numerico I I Laboratori in aula informatizzata seconda prova in itinere da svolgere con l’ausilio di Matlab. Gli appelli di Luglio, Settembre e Febbraio saranno svolti in aula informatizzata e prevederanno esercizi misti teorici (da volgere “carta e penna”) e pratici (da risolvere al calcolatore). Di cosa tratta questo corso Due argomenti centrali: I I Risoluzione di sistemi lineari Analisi agli autovalori Entrambi questi argomenti sono di estrema importanza in applicazioni ingegneristiche ..... Di cosa tratta questo corso Due argomenti centrali: I I Risoluzione di sistemi lineari Analisi agli autovalori Entrambi questi argomenti sono di estrema importanza in applicazioni ingegneristiche ..... Di cosa tratta questo corso Due argomenti centrali: I I Risoluzione di sistemi lineari Analisi agli autovalori Entrambi questi argomenti sono di estrema importanza in applicazioni ingegneristiche ..... Di cosa tratta questo corso Due argomenti centrali: I I Risoluzione di sistemi lineari Analisi agli autovalori Entrambi questi argomenti sono di estrema importanza in applicazioni ingegneristiche ..... Esempio di sistema lineare - I Sistema di 2 equazioni in 2 incognite ( 2x + y = 5 x −y =1 con semplici calcoli si trova la soluzione ( x =2 y =1 Esempio di sistema lineare - I Sistema di 2 equazioni in 2 incognite ( 2x + y = 5 x −y =1 con semplici calcoli si trova la soluzione ( x =2 y =1 Esempio di sistema lineare - II Sistema di 3 equazioni in 3 incognite x + y 2x − 4y + z 3y + z calcoli un po’ più laboriosi . . . x = 1 y =0 z =2 =1 =4 =2 Esempio di sistema lineare - II Sistema di 3 equazioni in 3 incognite x + y 2x − 4y + z 3y + z calcoli un po’ più laboriosi . . . x = 1 y =0 z =2 =1 =4 =2 Esempio di sistema lineare - caso generale Sistema di m equazioni in n incognite a x +a12 x2 +a13 x3 11 1 a21 x1 +a22 x2 +a23 x3 .. . am1 x1 +am2 x2 +am3 x3 +... +a1n xn =b1 +... +a2n xn =b2 + . . . +amn xn =bm Useremo una notazione compatta per indicare un sistema lineare: Ax = b Un’applicazione semplice Consideriamo il sistema di molle in figura soggetto a delle forze orizzontali x1 11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 k1 x2 k2 F1 x3 k3 F2 k4 F3 Bilancio nei nodi delle forze orizzontali: Sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite: Kx = F 11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 Un’applicazione semplice Consideriamo il sistema di molle in figura soggetto a delle forze orizzontali x1 11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 k1 x2 k2 F1 x3 k3 F2 k4 F3 Bilancio nei nodi delle forze orizzontali: k1 x1 + k2 (x1 − x2 ) = F1 k2 (x2 − x1 ) + k3 (x2 − x3 ) = F2 k3 (x3 − x2 ) + k4 x3 = F3 Sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite: Kx = F 11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 Un’applicazione semplice Consideriamo il sistema di molle in figura soggetto a delle forze orizzontali x1 k1 11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 x2 k2 x3 k3 F1 k4 F3 F2 11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 Bilancio nei nodi delle forze orizzontali: ⇒ (k1 + k2 )x1 −k2 x1 − k2 x2 + − (k2 + k3 )x2 k3 x2 =F1 − + k3 x3 (k3 + k4 )x3 Sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite: Kx = F =F2 =F3 Un’applicazione semplice Consideriamo il sistema di molle in figura soggetto a delle forze orizzontali x1 k1 11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 x2 k2 x3 k3 F1 k4 F3 F2 11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 Bilancio nei nodi delle forze orizzontali: ⇒ (k1 + k2 )x1 −k2 x1 − k2 x2 + − (k2 + k3 )x2 k3 x2 =F1 − + k3 x3 (k3 + k4 )x3 Sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite: Kx = F =F2 =F3 Un’applicazione un po’ più complesso I Aeroporto Malpensa 2000 Imponendo l’equilibrio delle forze su ogni giunto si ottiene un grosso sistema lineare da risolvere Un’applicazione ancora più complesso I Colosseo La struttura viene divisa in tanti “cubetti” (elementi finiti). Su ciascuno si impone un bilancio di forze. Alla fine si ha a che fare con un gigantesco sistema lineare di milioni di equazioni in milioni di incognite. Cosa impareremo in questo corso .... I Analizzare un sistema lineare Ax = b e sapere quando ammette soluzioni e quante ne ammette. I I per far questo dovremo introdurre i concetti di spazio vettoriale, indipendenza lineare, algebra delle matrici, trasformazioni lineari, ..... Calcolare la soluzione con l’ausilio di un calcolatore I Scopriremo che ci sono concetti importanti relativi alla stabilità, accuratezza, e costo computazionale della soluzione ottenuta al calcolatore Problema agli autovalori Cerchiamo λ e v tali che Av = λv Il problema agli autovalori compare nello studio delle vibrazioni di strutture meccaniche (cosı̀ come in moltissime altre applicazioni dell’ ingegneria) Problema agli autovalori Cerchiamo λ e v tali che Av = λv Il problema agli autovalori compare nello studio delle vibrazioni di strutture meccaniche (cosı̀ come in moltissime altre applicazioni dell’ ingegneria) Ancora sull’ esempio delle molle – caso dinamico Consideriamo i punti x1 , x2 , x3 aventi massa M: x 1 (t) 11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 k1 x 2 (t) k2 Legge di Newton (F=ma) k2 x2 (k1 + k2 )x1 − −k2 x1 + (k2 + k3 )x2 − k3 x2 x 3 (t) k3 k4 − k3 x3 =−M ẍ1 =−M ẍ2 + (k3 + k4 )x3 =−M ẍ3 Cerchiamo soluzioni oscillanti della forma xi = vi sin(ωt). 11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 Ancora sull’ esempio delle molle – caso dinamico Consideriamo i punti x1 , x2 , x3 aventi massa M: x 1 (t) 11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 k1 x 2 (t) k2 Legge di Newton (F=ma) k2 v2 (k1 + k2 )v1 − −k2 x1 + (k2 + k3 )x2 − k3 x2 =⇒ K v = λv, x 3 (t) k3 k4 =Mω 2 v1 − k3 x3 =Mω 2 v2 + (k3 + k4 )x3 =Mω 2 v3 λ = Mω 2 11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 Programma del corso Parte I – Algebra Lineare I Spazi vettoriali; indipendenza lineare I Algebra delle matrici; trasformazioni lineari I determinate, rango e inversa di una matrice I Studio di sistemi lineari; teorema di Rouché-Capelli I Autovalori e autovettori; diagonalizzazione di una matrice Decomposizione in valori singolari (SVD) I Parte II – Calcolo Numerico I Metodi diretti per la soluzione di sistemi lineari I Accuratezza della soluzione; numero di condizionamento I Sistemi sovradeterminati; soluzione ai minimi quadrati I Metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari Metodi numerici per il calcolo di autovalori e autovettori I Programma del corso Parte I – Algebra Lineare I Spazi vettoriali; indipendenza lineare I Algebra delle matrici; trasformazioni lineari I determinate, rango e inversa di una matrice I Studio di sistemi lineari; teorema di Rouché-Capelli I Autovalori e autovettori; diagonalizzazione di una matrice Decomposizione in valori singolari (SVD) I Parte II – Calcolo Numerico I Metodi diretti per la soluzione di sistemi lineari I Accuratezza della soluzione; numero di condizionamento I Sistemi sovradeterminati; soluzione ai minimi quadrati I Metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari Metodi numerici per il calcolo di autovalori e autovettori I Regole d’esame I Le prove in itinere NON sono obbligatorie. I Verrà ammesso alla seconda prova in itinere soltanto chi nella prima ha conseguito una votazione maggiore o uguale a 18. In tal caso, l’esame verrà considerato superato se la media delle due prove è maggiore o uguale a 18. Altrimenti si verrà rimandati agli appelli previsti per i mesi di luglio, settembre e febbraio. L’iscrizione alle prove in itinere e agli appelli è obbligatoria e non verranno ammesse deroghe per nessuna ragione. I I Gli studenti iscritti alle prove in itinere o agli appelli e risultanti poi assenti saranno penalizzati nelle successive valutazioni, a meno che non avvisino preventivamente il docente. I Chi decide di non fare le prove in itinere può direttamente accedere agli appelli (luglio, settembre, febbraio). Gli appelli verteranno sempre su tutto il contenuto del corso. Non sono previsti recuperi delle singole prove in itinere. Regole d’esame I Le prove in itinere NON sono obbligatorie. I Verrà ammesso alla seconda prova in itinere soltanto chi nella prima ha conseguito una votazione maggiore o uguale a 18. In tal caso, l’esame verrà considerato superato se la media delle due prove è maggiore o uguale a 18. Altrimenti si verrà rimandati agli appelli previsti per i mesi di luglio, settembre e febbraio. L’iscrizione alle prove in itinere e agli appelli è obbligatoria e non verranno ammesse deroghe per nessuna ragione. I I Gli studenti iscritti alle prove in itinere o agli appelli e risultanti poi assenti saranno penalizzati nelle successive valutazioni, a meno che non avvisino preventivamente il docente. I Chi decide di non fare le prove in itinere può direttamente accedere agli appelli (luglio, settembre, febbraio). Gli appelli verteranno sempre su tutto il contenuto del corso. Non sono previsti recuperi delle singole prove in itinere. Regole d’esame I Le prove in itinere NON sono obbligatorie. I Verrà ammesso alla seconda prova in itinere soltanto chi nella prima ha conseguito una votazione maggiore o uguale a 18. In tal caso, l’esame verrà considerato superato se la media delle due prove è maggiore o uguale a 18. Altrimenti si verrà rimandati agli appelli previsti per i mesi di luglio, settembre e febbraio. L’iscrizione alle prove in itinere e agli appelli è obbligatoria e non verranno ammesse deroghe per nessuna ragione. I I Gli studenti iscritti alle prove in itinere o agli appelli e risultanti poi assenti saranno penalizzati nelle successive valutazioni, a meno che non avvisino preventivamente il docente. I Chi decide di non fare le prove in itinere può direttamente accedere agli appelli (luglio, settembre, febbraio). Gli appelli verteranno sempre su tutto il contenuto del corso. Non sono previsti recuperi delle singole prove in itinere. Regole d’esame I Le prove in itinere NON sono obbligatorie. I Verrà ammesso alla seconda prova in itinere soltanto chi nella prima ha conseguito una votazione maggiore o uguale a 18. In tal caso, l’esame verrà considerato superato se la media delle due prove è maggiore o uguale a 18. Altrimenti si verrà rimandati agli appelli previsti per i mesi di luglio, settembre e febbraio. L’iscrizione alle prove in itinere e agli appelli è obbligatoria e non verranno ammesse deroghe per nessuna ragione. I I Gli studenti iscritti alle prove in itinere o agli appelli e risultanti poi assenti saranno penalizzati nelle successive valutazioni, a meno che non avvisino preventivamente il docente. I Chi decide di non fare le prove in itinere può direttamente accedere agli appelli (luglio, settembre, febbraio). Gli appelli verteranno sempre su tutto il contenuto del corso. Non sono previsti recuperi delle singole prove in itinere. Regole d’esame I Le prove in itinere NON sono obbligatorie. I Verrà ammesso alla seconda prova in itinere soltanto chi nella prima ha conseguito una votazione maggiore o uguale a 18. In tal caso, l’esame verrà considerato superato se la media delle due prove è maggiore o uguale a 18. Altrimenti si verrà rimandati agli appelli previsti per i mesi di luglio, settembre e febbraio. L’iscrizione alle prove in itinere e agli appelli è obbligatoria e non verranno ammesse deroghe per nessuna ragione. I I Gli studenti iscritti alle prove in itinere o agli appelli e risultanti poi assenti saranno penalizzati nelle successive valutazioni, a meno che non avvisino preventivamente il docente. I Chi decide di non fare le prove in itinere può direttamente accedere agli appelli (luglio, settembre, febbraio). Gli appelli verteranno sempre su tutto il contenuto del corso. Non sono previsti recuperi delle singole prove in itinere. Regole d’esame (continua) I Sia le prove in itinere che gli appelli consisteranno in una prova scritta comprendente domande teoriche ed esercizi da svolgere con l’ausilio di Matlab. La correzione del compito avverrà solo se i quesiti indicati come OBBLIGATORI saranno svolti correttamente. I La prova orale è FACOLTATIVA e verterà su tutto il programma del corso (dimostrazioni incluse). L’esito dell’orale può sia aumentare che diminuire il voto dello scritto. Regole d’esame (continua) I Sia le prove in itinere che gli appelli consisteranno in una prova scritta comprendente domande teoriche ed esercizi da svolgere con l’ausilio di Matlab. La correzione del compito avverrà solo se i quesiti indicati come OBBLIGATORI saranno svolti correttamente. I La prova orale è FACOLTATIVA e verterà su tutto il programma del corso (dimostrazioni incluse). L’esito dell’orale può sia aumentare che diminuire il voto dello scritto.
