Note sugli Stadi Differenziali

Note sugli Stadi Differenziali
Biagio Provinzano
Maggio 2005
Gli stadi differenziali a BJT e a MOS risultano molto utili nella progettazione
di circuiti analogici in tecnologia monolitica, essenzialmente per due ragioni:
1. consentono l’accoppiamento diretto di stadi differenziali in cascata, senza
la necessità di condensatori di disaccoppiamento
2. consentono di reiettare efficacemente segnali di tensione comuni ad entrambi gli ingressi, essendo principalmente adatti a processare segnali di
modo differenziale
Figura 1: Stadio differenziale a BJT perfettamente simmetrico
Con riferimento alla Figura 1 ed assumendo ro → ∞, RT ail → ∞, rb → 0, si
ricava per l’analisi di ampio segnale in bassa-media frequenza (le ipotesi di lavoro
suddette non influenzano fortemente tale regime, mentre avranno un certo peso
1
nell’analisi di piccolo segnale):
Ic1 =
Ic2 =
αIT ail
−
(1)
Vid
1 + e VT
αIT ail
V
+ Vid
1+e
T
Vod = Vo1 − Vo2 = αIT ail RC tanh(−
Vid
)
2VT
(2)
dove Vid = Vi1 − Vi2 ed inoltre per i due transistor (la resistenza RC sia
piccola abbastanza da evitare la saturazione per Vi1 ≤ VCC e Vi2 ≤ VCC ) si
abbia IS1 = IS2 , Vbe1 À VT , Vbe2 À VT .
Osservazione 1 Guardando la (2) si può ritenere che per Vid ≥ 3VT ( ∼
= 78mV
alla temperatura di 300 ◦ K) le correnti dei due transistor sono indipendenti dalla Vid , poichè uno dei due risulta in interdizione mentre l’altro conduce
praticamente tutta la corrente disponibile.
Osservazione 2 Con buona approssimazione la tensione di uscita Vod esibisce
un andamento pressocchè lineare con l’ingresso se Vid . VT .
Osservazione 3 Quando Vid = 0V allora Vod = 0V se i due transistor sono
identici e se le resistenze sui collettori sono uguali. Questa proprietà permette
l’accoppiamento diretto di più stadi in cascata senza offset.
Osservazione 4 Utilizzando una coppia differenziale con degenerazione resistiva sugli emettitori è possibile estendere l’intervallo di linearità della caratteristica di uscita Vod (Vid ) di una quantità pari circa alla caduta IT ail RE (come
sappiamo il guadagno si riduce dello stesso fattore).
Esaminiamo ora con riferimanto alla Figura 2 lo stadio differenziale base che
impiega dispositivi MOS.
Nell’eseguire l’analisi di ampio segnale per la coppia MOS utilizziamo le
seguenti approssimazioni: ro → ∞, RT ail → ∞ (attenzione esse avranno un
notevole impatto sull’analisi di piccolo segnale!).
0
Id1
IT ail
k W
=
+
Vid
2
4 L
Id2
IT ail
k W
=
−
Vid
2
4 L
0
Vod = Vo1 − Vo2 = − (∆Id ) RD = −
2
s
s
Ã
0
4IT ail
− Vid2
k0 W
L
(3)
4IT ail
− Vid2
k0 W
L
k W
Vid
4 L
s
4IT ail
− Vid2
k0 W
L
!
RD
(4)
Figura 2: Stadio differenziale con transistori MOS perfettamente simmetrico
0
dove k = µn Cox , Vid = Vi1 −Vi2 , ed inoltre si considerino i due MOS identici
(anche qui la resistenza RC sia piccola abbastanza da evitare la zona di triodo
per Vi1 ≤ VCC e Vi2 ≤ VCC , per cui i due transistor possono solo spegnersi o
lavorare in saturazione).
Osservazione 5 Si può mostrare che il range di valori della tensione in ingresso Vid per mantenere la coppia in saturazione è data da
Ãs
!
√
√
2Id1
|Vid | ≤ 2
= 2 (Vov )V =0
0 W
id
k L
Vid =0
Qui rileviamo una interessante differenza tra la coppia a source comune e quella ad emettitore comune prima analizzata: è ora possibile agire sull’overdrive
(quindi sulla corrente di drain, sul fattore di forma, ecc) per estendere il campo di valori della Vid in ingresso conservando la linearità della coppia MOS. In
contrasto la massima dinamica in ingresso per la coppia di bipolari è circa ±3VT
e non dipende dalla corrente di bias nè dalle dimensioni del dispositivo.
Osservazione 6 Quando Vid = 0V allora Vod = 0V (poichè ∆Id = 0A) se
i due transistor sono identici e se le resistenze sui drain sono uguali. Anche
in questo caso è possibile l’accoppiamento diretto di più stadi in cascata senza
offset.
Passiamo ora all’analisi per piccolo segnale in media frequenza degli stadi
differenziali considerando separatamente i contributi di modo differenziale ed
3
i contributi di modo comune. Consideriamo il caso in cui VID = 0V 1 , punto
attorno al quale svolgeremo l’analisi lineare.
Osserviamo in via preliminare come nel caso degli amplificatori a singolo
stadio l’analisi di piccolo segnale portava alla seguente scrittura per ciascun
circuito
vo = AV vi
dove per semplicità si è considerato solo il guadagno di tensione dello stadio.
Nel caso degli stadi differenziali invece, non è possibile applicare la relazione
precedente valida per un semplice bipolo (la massa ac dei segnali è comune),
ma ci si avvale di una rete lineare a due porte (qui abbiamo due ingressi e due
uscite con massa comune)
vo1
vo2
= A11 vi1 + A12 vi2
= A21 vi1 + A22 vi2
Tale espressione non è ancora molto significativa, poichè sappiamo che uno
stadio differenziale è pensato per processare il segnale differenza degli ingressi
e reiettare la porzione di segnale comune agli stessi. Introducendo le seguenti
definizioni per gli ingressi e per le uscite:
vid
vic
vod
voc
= vi1 − vi2
vi1 + vi2
=
2
= vo1 − vo2
vo1 + vo2
=
2
da cui si ricavano facilmente le seguenti relazioni inverse:
vi1
vi2
vo1
vo2
vid
2
vid
= vic −
2
= vic +
vod
2
vod
= voc −
2
= voc +
deriviamo una interessante espressione che mette maggiormente in luce il
processamento dei segnali in uno stadio differenziale:
1 Utilizziamo in queste note la seguente convezione per indicare un generico segnale
scomposto in bias più piccolo segnale Vid = VID + vid
4
vod
voc
= Adm vid + Acm−dm vic
= Adm−cm vid + Acm vic
Osservazione 7 Per quanto detto prima risulta molto importante ottenere
|Adm | À |Acm−dm | , |Adm−cm | , |Acm |
Osservazione 8 Nel caso di uno stadio differenziale perfettamente bilanciato
si ottiene facilmente che se vic = 0 (ingresso differenziale puro) =⇒ Adm 6= 0
e Adm−cm = 0 =⇒ vod 6= 0 e voc = 0, mentre se vid = 0 (ingresso di modo
comune puro) =⇒ Acm 6= 0 (RT ail finita) e Acm−dm = 0 =⇒ vod = 0 e
voc 6= 0. Quindi è possibile avere un guadagno di modo comune diverso da zero
anche con uno stadio ideale perfettamente simmetrico. Pertanto si considera la
seguente figura di merito
¯
¯
¯ Adm ¯
¯
¯
CM RR , ¯
Acm ¯
che tende all’infinito al tendere a zero del guadagno di modo comune.
Osservazione 9 Nel caso reale si aggiungono le seguenti figure di merito
¯
¯ ¯
¯
¯ Adm ¯ ¯ Adm ¯
¯
¯ ; ¯
¯
¯ Acm−dm ¯ ¯ Adm−cm ¯
Tra di esse la più pericolosa è sicuramente la prima poichè ci dice quanto grande,
rispetto al guadagno differenziale effettivo, è l’effetto di un segnale di modo
comune (indesiderato) sull’uscita differenziale che verrà quindi erroneamente
processata dagli stadi differenziali successivi.
Ora consideriamo solo una coppia perfettamente simmetrica (in cui si ha
Acm−dm = 0 e Adm−cm = 0) e ci proponiamo di calcolare Adm e Acm , ipotizzando RT ail finita, ro → ∞, rb → 0, ed gmb = 0 nel caso dei MOS (si può utilizzare
formalmente lo stesso modello per piccoli segnali del BJT con rπ → ∞ poichè
β → ∞). In ipotesi di piccolo segnale (circuito lineare) è possibile eseguire la
sovrapposizione degli effetti e scomporre l’analisi proprio come intendiamo fare.
Analisi lineare di modo differenziale
E’ facile vedere che la tensione di segnale ai capi di RT ail non varia se si
entra con un segnale puramente differenziale; questo vuol dire che il nodo che
unisce rispettivamente i due source o i due emittori della coppia è a massa
per il segnale, in tal modo lo stadio risulta non solo simmetrico ma anche
disaccoppiato per il segnale. Di qui nasce l’idea del semicircuito differenziale
che si adotta per semplificare l’analisi anche in alta frequenza.
In Figura 3 è mostrato il semicircuito differenziale per l’analisi del guadagno
di modo differenziale dello stadio a BJT. Per la coppia MOS valgono formalmente gli stessi risultati (con il source a massa non si ha effetto body poichè
vsb = 0).
5
Figura 3: Semicircuito differenziale (ingresso puramente differenziale) utilizzato
per valutare Adm
Si ottiene per ispezione veloce
vid
vod
= −gm RC
2
2
Adm =
µ
vod
vid
¶
vic =0
= −gm RC
Osservazione 10 Se si considera anche ro si ottiene
µ
¶
vod
Adm =
= −gm (RC k ro )
vid vic =0
E’ importante valutare la resistenza di ingresso differenziale per piccolo
segnale in media frequenza della coppia, definita come
µ ¶
vid
Rid =
= 2rπ nel caso di coppia BJT
ib vic =0
µ ¶
vid
Rid =
= ∞ nel caso di coppia MOS
ig vic =0
Analisi lineare di modo comune
Anche in questo caso, nell’ipotesi di circuito completamente simmetrico, con
ingresso puramente di modo comune è possibile utilizzare il semicircuito di modo
comune. Ciò è possibile osservando che non vi è trasferimento di corrente di
segnale tra le due resistenze di valore 2RT ail poste in parallelo al posto della
singola RT ail per conferire simmetria alla coppia anche verso il basso. Questo
6
Figura 4: La parte destra o la parte sinistra del circuito costituisce il semicircuito
per l’analisi del guadagno di modo comune
permette di disaccoppiare ancora i due rami del circuito. Con riferimento alla
Figura 4 per ispezione diretta si deriva
Acm
gm RC
1 + 2gm RT ail
RC
, se 2gm RT ail À 1
2RT ail
' −
'
Osservazione 11 Nel caso particolare di un singolo stadio differenziale essendo
CM RR = 1 + 2gm RT ail
si ottiene una maggiore reiezione del modo comune se si aumenta la resistenza
di uscita del generatore di corrente che polarizza lo stadio stesso. Per cui
lim
RT ail →∞
Acm = 0
Valutiamo la resistenza di ingresso di piccolo segnale di modo comune in
media frequenza definita come
µ ¶
vic
Ric =
= rπ + (β + 1)2RT ail per la coppia BJT
ib vid =0
µ ¶
vic
Ric =
= ∞ per la coppia MOS
ig vid =0
7
Analisi lineare in presenza di mismatch
Ci chiediamo cosa cambia nei diversi guadagni illustrati prima, considerando
due tipi di mismatch dovuti rispettivamente al carico resistivo e alla transconduttanza2 . E’ ancora possibile pensare a due semicircuiti per il modo differenziale e per il modo comune, ma in questo contesto essi non sono più disaccoppiati,
complicando così l’analisi.
Con riferimento alla Figura 5 definiamo
id
= i1 − i2
i1 + i2
ic =
2
∆R = R1 − R2
R1 + R2
R =
2
da cui si ricava facilmente
vd
vc
= v1 − v2 = i1 R1 − i2 R2 = id R + ic (∆R)
v1 + v2
id (∆R)
i1 R1 + i2 R2
=
=
= ic R +
2
2
4
Figura 5: Semicircuito differenziale e di modo comune ricavati per modellizzare
il mismatch dovuto al carico resistivo
2 E’ possibile considerare anche il mismatch tra le resistenze di uscita dei transistor, ciò
comporterebbe dei risultati diversi nel calcolo dei guadagni di piccolo segnale che intendiamo
calcolare
8
Con riferimento alla Figura 6 definiamo ulteriormente
∆gm
gm
= gm1 − gm2
gm1 + gm2
=
2
da cui otteniamo
id
ic
= i1 − i2 = gm1 v1 − gm2 v2 = gm vd + ∆gm vc
i1 + i2
∆gm vd
gm1 v1 + gm2 v2
=
=
= gm vc +
2
2
4
Figura 6: Semicircuito differenziale e di modo comune ricavati per modellizzare
il mismatch dovuto alla transcoduttanza dei transistor
Si osservi che i due semicircuiti sono ora accoppiati, ovvero se ci si
riferisce alla Figura 5 la tensione differenziale v2d dipende non solo dalla corrente
differenziale i2d ma anche dalla corrente di modo comune ic , viceversa la tensione
di modo comune vc dipende non solo dalla corrente di modo comune ic ma anche
dalla corrente di modo differenziale i2d . Una situazione duale si ha per i circuiti
derivati in Figura 6.
A questo punto è possibile calcolare esattamente i guadagni di piccolo segnale
ed in media frequenza Adm , Acm−dm , Adm−cm , Acm , per il singolo stadio in
presenza di mismatch, ovvero con ∆R 6= 0 e ∆gm 6= 0. Poichè molto spesso nella
pratica i termini di mismatch sono una frazione piccola dei corrispondenti valori
medi (∆R ¿ R, ∆gm ¿ gm ) possiamo pensare di approssimare i contributi
di corrente di modo differenziale e di modo comune, così come le tensioni di
modo differenziale e di modo comune, rifacendoci separatamente ai semicircuiti
di modo differenziale e di modo comune in cui si pone ∆R = 0 e ∆gm =
0. Questo vuol dire che ignoriamo gli effetti del secondo ordine per i quali i
generatori comandati (che modellizzano tutti gli effetti dei mismatch introdotti)
9
influenzano i valori dei segnali di controllo. Si derivano i seguenti risultati:
µ
¶
vod
Adm =
' −gm R
vid vic=0
µ
µ
¶
¶
vod
gm ∆R + ∆gm R
Acm−dm =
'−
vic vid=0
1 + 2gm RT ail
µ
¶
¶
µ
voc
1
∆gm R
Adm−cm =
'−
gm ∆R +
vid vic=0
4
1 + 2gm RT ail
µ
¶
voc
gm ∆R
Acm =
'−
vic vid=0
1 + 2gm RT ail
Osservazione 12 Da questa analisi si valuta bene il ruolo della RT ail al fine
di ridurre contemporaneamente sia i guadagni Acm−dm , Adm−cm , Acm e sia
l’effetto globale dei mismatch. Infatti si ottiene immediatamente che
lim
RT ail →∞
Adm
= −gm R
lim
Acm−dm
= 0
lim
Adm−cm
= −
RT ail →∞
RT ail →∞
lim
RT ail →∞
Acm
gm ∆R
, da cui |Adm | À |Adm−cm |
4
= 0
Osservazione 13 Si potrebbe far vedere che se si considera anche un mismatch tra le resistenze di uscita dei transistor (con ∆ro ¿ ro ), si ottiene che
limRT ail →∞ Acm−dm 6= 0. Anche in questo caso non cambia il ruolo della RT ail ,
ma si noti che un generatore di corrente ideale non risolverebbe tutti i problemi
introdotti dai mismatch.
Effetti dovuti ai mismatch in continua: tensione e corrente di offset
Diamo di seguito delle espressione approssimate (si suppone sempre che i
termini di mismatch siano piccoli rispetto al valore medio della grandezza considerata) per VOS e IOS nel caso di coppia a BJT e a MOS. Ricordiamo che
esiste sempre un drift in temperatura delle espressioni che deriviamo, il quale
può richiedere per certe applicazioni un attento design. Questo effetto costituisce
un limite di base alla risoluzione di un sistema impiegante tale circuito.
Coppia ad emettitore comune3
VOS
IOS
3 Assumiamo
µ
¶
∆IC
∆RC
−
−
RC
IC
µ
¶
IC ∆RC
∆β F
' −
+
βF
RC
βF
' VT
per semplicità la base dei transistor uniformemente drogata, rb = 0 ed inoltre
si consideri IC = IS e
VBE
VT
in zona attiva
10
Coppia a source comune4
VOS
Vov
' ∆Vth +
2
Ã
∆W
∆RD
− WL
−
RD
L
!
Osservazione 14 Il caso peggiore si ha quando tutti i contributi specificati si
sommano con lo stesso segno!
(MOS)
Osservazione 15 Tipicamente si ha che VOS
(MOS)
(BJT )
IOS
¿ IOS .
4 Nel
(BJT )
À VOS
mentre invece
caso dei MOS è evidente che in media frequenza IOS è praticamente uguale a zero.
11