Corso di Fisica Generale 1
a.a. 2016/2017
corso di laurea in Ingegneria dell'Automazione
ed Ingegneria Informatica (A-B)
2° lezione (23 / 09 / 2016)
Dr. Laura VALORE
Email : [email protected] / [email protected]
Pagina web : www.docenti.unina.it/laura.valore
Ricevimento : appuntamento per email – studio presso il Dipartimento di Fisica
(Complesso Universitario di Monte Sant'Angelo, Edificio 6) – stanza 2Ma13
Oppure Laboratorio (Hangar) 1H11c0
Posizione e spostamento
Lo spostamento è il cambiamento di posizione da un punto x1 ad
un punto x2 → Δx = x2 - x1
Il simbolo delta Δ indica sempre la variazione di una grandezza
verso positivo
-3
x1
-2
-1
0
1
2
x2
x [m]
3
verso negativo
Se la particella si sposta da x1 = -2 m ad x2 = +3 m , lo spostamento sarà
Δx = x2 – x1 = +3 - (-2) m = + 5 m
Il segno positivo indica un moto nel verso positivo
La velocità vettoriale media
La velocità vettoriale media è il rapporto tra lo spostamento Δx che
si verifica in un certo intervallo di tempo Δt e l'intervallo stesso
v = Δx/Δt = (x2 – x1) / (t2 – t1)
All'istante t1 la particella occupa la posizione x1,
all'istante t2 occupa la posizione x2.
L'unità di misura della velocità è il metro al secondo (m/s)
Nel grafico di prima, cos'è la velocità?
E' la pendenza della retta che unisce due punti sulla curva x(t)
Calcolo della velocità vettoriale media tra t = 1 s e t = 4 s come pendenza
della retta che unisce i punti sulla curva che rappresentano i due istanti
Punto di arrivo x2
Spostamento realizzato dalla
partenza all'arrivo
Δx = x2 – x1 = 2 m – (-4) m
=6m
v = 2 m/s
Punto di partenza x1
Tempo impiegato dalla
partenza all'arrivo
Δt = t2 – t1 = 4 s – 1 s = 3 s
La velocità scalare media
La velocità scalare media è il rapporto tra la distanza totale
percorsa in un certo intervallo di tempo Δt e l'intervallo stesso
u = (distanza totale)/Δt
A differenza della velocità vettoriale media, quella scalare non dipende solamente
dalle posizioni iniziale e finale.
ESEMPIO : un oggetto che torna indietro!
Da x1 = 5 m ad x2 = 10 m per tornare in x3 = 5m in un Δt = 5 s; L = 10 m
v = (x3 – x1) / Δt = 0
u = L / Δt = 10 m / 5 s = 2 m/s
La velocità istantanea
Non basta definire la velocità “media” su un intervallo di tempo Δt ...
la domanda “a che velocità” si muove un oggetto si riferisce alla sua velocità in
un preciso istante!
La velocità vettoriale istantanea si ottiene dalla velocità vettoriale media restringendo
l'intervallo di tempo Δt a zero
v = lim Δx/Δt = dx/dt
Δt→0
derivata di x rispetto a t
Derivata di una funzione f(x)
La derivata di una funzione f(x) è il
limite del rapporto incrementale Δf(x)/Δx per Δx che tende a zero
Per rapporto incrementale si intende il rapporto tra la variazione della funzione f(x) e la
variazione della x corrispondente (incremento h) : f(x0 + h) – f(x0) / (x0+h) – x0 = Δf(x) / h
v = lim
Δx/Δt = dx/dt
Δt→0
La velocità istantanea
GRAFICAMENTE :
La velocità vettoriale istantanea è la pendenza della retta tangente alla
curva x(t) nel punto di ascissa t
velocità vettoriale media
s(t) [m]
velocità vettoriale istantanea
t [s]
Restringendo sempre piu' l'intervallo di tempo Δt, si
ottiene nell'istante T la retta tangente alla curva. La
pendenza della tangente è la velocità vettoriale istantanea
La tangente alla curva in un punto si ottiene a partire dalla retta che
unisce due punti x1,t1 ed x2,t2 sul grafico x(t) e restringendo sempre
di piu' la distanza tra t1 e t2 finché I due punti coincidono
Velocità scalare
●
●
La velocità vettoriale istantanea è ancora una volta
una grandezza vettoriale, definita quindi da modulo,
direzione e verso
La velocità scalare è il modulo o valore assoluto della
velocità vettoriale istantanea
v = +5 m/s e v = -5 m/s
sono entrambe associate ad una velocità scalare di 5 m/s
La definizione di velocità scalare media ed istantanea sono molto diverse ...
Verifica
●
Diamo la posizione x(t) di una particella :
a) x(t) = 3t - 2
b) x(t) = -4t2 -2
c) x(t) = 2/t2
d) x(t) = -2
➔
In quale caso la velocità vettoriale è costante?
➔
In quale caso è diretta nel verso negativo delle x?
f(x) = xn → f’(x) = df(x)/dx = nxn-1
Soluzione
●
Diamo la posizione x(t) di una particella :
a) x(t) = 3t - 2 → v = dx(t)/dt = d (3t – 2)/dt = 3
b) x(t) = -4t2 -2 → v = dx(t)/dt = -8t
c) x(t) = 2/t2
→ v = d (2t-2)/dt = -4t-3
d) x(t) = -2
→v=0
➔
In quale caso la velocità vettoriale è costante? (a, d)
➔
In quale caso è diretta nel verso negativo delle x? (b,c)
Esercizio (1)
Moto della cabina di un ascensore inizialmente fermo. L'ascensore si muove verso l'alto
(verso che consideriamo positivo) ed infine si ferma.
Tracciare la curva v(t)
Esercizio (2)
Tracciare la curva v(t) significa conoscere la velocità v in ogni instante di tempo t.
La riacaviamo a partire dalla pendenza della curva x(t) per ciascuna t.
In “a” e “d” la pendenza è nulla → la velocità v(t) = 0
Esercizio (3)
Tra “b” e “c” la pendenza è costante → la velocità v(t) è costante e diversa da zero.
v(t) = Δx/Δt = 20 m / 5 s = 4 m/s
Esercizio (4)
Cosa succede tra 1 e 3 s e tra 8 e 9 s ?
La cabina sta aumentando la sua velocità tra 1 e 3 secondi e la sta diminuendo tra 8 e 9 secondi
Esercizio (5)
Grafico della velocità in funzione del tempo v(t)
Moto rettilineo uniforme
Moto su traiettoria rettilinea con velocità costante
se v è costante anche il rapporto Δs / Δt è costante. Questo vuol dire che lo spazio
percorso Δs e l'intervallo di tempo impiegato a percorrerlo Δt sono direttamente
proporzionali
v = Δs / Δt = α → Δs = α • Δt
Se la velocità è costante, la velocità media e la velocità istantanea coincidono
v = Δs / Δt = ( x(t) – x0 ) / (t – t0)
x(t) = x0 + v • (t – t0) → posto t0 = 0 → x(t) = x0 + v • t
Legge oraria del moto
rettilineo uniforme
x(t) = x0 + v • t
Tale relazione ci dice che, per conoscere la posizione del corpo x(t) ad ogni istante di tempo t,
dobbiamo conoscere la posizione iniziale del corpo x0 e la sua velocità v
Esempio : se all'istante iniziale il corpo si trova a s0 = 20 m dall'origine del sistema di riferimento e
mantiene una velocità costante di v = 10 m / s, avremo che dopo un tempo t = 30 s il corpo si troverà a s
= 20 m + 10 m / s · 30 s = 320 m dall'origine del sistema di riferimento.
x
maggiore è la pendenza della retta, maggiore è la
velocità del corpo
In corrispondenza dello stesso istante di tempo t,
lo spazio percorso è sempre crescente
all'aumentare della pendenza della retta
t=3 s
t
Legge oraria del moto
rettilineo uniforme
x(t) = x0 + v • t
Nel moto rettilineo uniforme la velocità è costante
L'area del rettangolo è uguale allo spazio percorso
dal corpo in un intervallo di tempo uguale alla
lunghezza della base del rettangolo.
v
A = 2 m/s x 20 s = 40 m
2 m/s
20 s
t
Ad esempio, se un corpo si muove a una velocità
costante di v = 2 m / s, in un intervallo di tempo
pari a 20 s percorrerà uno spazio pari a s = 2 m / s
· 20 s = 40 m numericamente uguale all'area del
rettangolo che ha per base l'intervallo di tempo e
per altezza la velocità costante
Esercizio
x(t) = 4 – 12t +3t2
1. qual è la sua velocità per t = 1
2. per t=1, si sta spostando nel verso delle x crescenti o
decrescenti?
3. per t=1, qual è la sua velocità scalare istantanea?
4. in quale istante di tempo v=0?
5. dopo t=3 s, puo' accadere che la particella si muova verso
sinistra sull'asse x?
Accelerazione
Quando la velocità di un corpo varia, diciamo che sta accelerando (o decelerando),
ovvero che il corpo è sottoposto ad un accelerazione
Accelerazione vettoriale media
a = Δv / Δt = (v2 – v1) / (t2 - t1)
Il corpo ha velocità v1 all'istante t1 e velocità v2 all'istante t2
Accelerazione istantanea
a = dv / dt
L'accelerazione di una particella in un certo istante è la rapidità di
variazione della sua velocità in quell'istante
accelerazione
Possiamo combinare le equazioni che definiscono la velocità e
l'accelerazione per scrivere l'accelerazione in funzione dello spostamento
a = dv / dt
v = dx / dt
a = d dx = d2x
dt dt
dt2
derivata seconda
L'unità di misura di a è il metro al secondo quadrato : m / s2
E' una grandezza vettoriale : modulo, direzione, verso.
Torniamo all'esercizio dell'ascensore
Grafico dell' accelerazione in funzione del tempo
Ogni punto del grafico di a(t) è la
derivata (ovvero la pendenza) del
corrispondente punto nel grafico di v(t)
v(t) = costante → a = 0
v(t) ha una pendenza positiva (derivata
positiva) → a(t) > 0
v(t) ha una pendenza negativa
(derivata negativa) → a(t) < 0
Torniamo all'esercizio dell'ascensore
Grafico dell' accelerazione in funzione del tempo
La velocità passa da 0 a 4 m/s in 2 s
La velocità passa da 4 a 0 m/s in 1 s
È maggiore il modulo dell'accelerazione o
della decelerazione?
Torniamo all'esercizio dell'ascensore
Grafico dell' accelerazione in funzione del tempo
La velocità passa da 0 a 4 m/s in 2 s
La velocità passa da 4 a 0 m/s in 1 s
È maggiore il modulo dell'accelerazione o
della decelerazione?
DECELERAZIONE → a = 4 m/s2
ACCELERAZIONE → a = 2 m/s2
Verso (o segno) dell'accelerazione
Una velocità è positiva o negativa concordemente al vettore
spostamento associato
vi = -25 m/s
vf = 0 m/s
Δt = 5 s
●
a = 0 - (-25) m/s = +5 m/s2
5s
a è positiva anche se il corpo
sta rallentando la sua velocità
se velocità ed accelerazione hanno lo stesso segno, il corpo sta
aumentando la sua velocità in caso contrario, sta rallentando
Problema 2.3
x(t) = 4 – 27t + t3
a) trovare le funzioni v(t) ed a(t) della particella
b) esiste un valore di t per cui v = 0 ?
c) descrivere gli spostamenti della particella per t≥0
Problema 2.3
x(t) = 4 – 27t + t3
a) trovare le funzioni v(t) ed a(t) della particella
v(t) = dx(t)/dt = -27 + 3t2
a(t) = dv(t)/dt = 6t
Problema 2.3
x(t) = 4 – 27t + t3
a) trovare le funzioni v(t) ed a(t) della particella
b) esiste un valore di t per cui v = 0 ?
v(t) = -27 + 3t2 = 0 → t = ±3 s
Problema 2.3
x(t) = 4 – 27t + t3
a) trovare le funzioni v(t) ed a(t) della particella
b) esiste un valore di t per cui v = 0 ?
c) descrivere gli spostamenti della particella per t≥0
Moto rettilineo uniformemente
accelerato
moto lungo una retta in cui l'accelerazione è costante
PRIMA EQUAZIONE DI BASE DEL MOTO RETTILINEO
UNIFORMEMENTE ACCELERATO
v = v0 + at
da dove la ricaviamo ?
se a è costante, la distinzione tra a istantanea ed a media perde significato
a = a = v(t) – v0 / t – t0
se t0 = 0 → a = v(t) – v0 / t → v(t) = v0 + at
Moto rettilineo uniformemente
accelerato
moto lungo una retta in cui l'accelerazione è costante
PRIMA EQUAZIONE DI BASE DEL MOTO RETTILINEO
UNIFORMEMENTE ACCELERATO
v = v0 + at
y = b + kx
equazione generica di una retta con intercetta b e pendenza k
v(t)
intercetta
v0
a
nza
e
d
n
= pe
t
Moto rettilineo uniformemente
accelerato
SECONDA EQUAZIONE DI BASE DEL MOTO RETTILINEO
UNIFORMEMENTE ACCELERATO
x(t) = x0 + v0t + ½ at2
PRIMA EQUAZIONE : v(t) = v0 + at
v è una funzione lineare di t → la velocità media è la media
aritmetica delle velocità tra due istanti
vmedia = [v0 + v(t)] / 2 = v0 + ½ at
vmedia = Δx / Δt → se t0 = 0 → (x(t) – x0) / t
invertendo :
→ x(t) = x0 + vmedia • t = x0 + (v0 + ½ at )• t = x0 + v0t + ½ at2
Moto rettilineo uniformemente
accelerato
moto lungo una retta in cui l'accelerazione è costante
SECONDA EQUAZIONE DI BASE DEL MOTO RETTILINEO
UNIFORMEMENTE ACCELERATO
x(t) = x0 + v0t + ½ at2
y = ax2 + bx + c
equazione quadratica (o di secondo grado) → parabola
x(t)
intercetta
x0
a>0 concavità verso
l'alto
za
n
e
d
pen bile
a
vari
a<0 concavità verso il
basso
t
x(t) = x0 + v0t + ½ at2
v = v0 + at
a = costante
Il moto di caduta libera
Se si trascura l'effetto dell'aria (attrito),
l'accelerazione verso il basso di qualsiasi oggetto,
indipendentemente dalla massa, densità, forma è
l'accelerazione di gravità a = -g ≈ 9.8 m/s2
y
2
a = -g = -9.8 m/s
nel vuoto, oggetti di peso
diverso percorrono la stessa
distanza nello stesso tempo,
perché sono sottoposti alla
stessa g
