Risoluzione (forse in maniera cristiana) delle equazioni di
Maxwell per le onde elettromagnetiche
Prima di incominciare...
A)Operatore divergenza
Si consideri un volume finito V di forma qualsiasi e si indichi con σ la sua superficie.
Si divida arbitrariamente il volume V in un gran numero di parti ∆V1, ∆V2, …, ∆Vn
Si divida analogamente la superficie σ nelle parti ∆σ1, ∆σ2, …, ∆σn; per la superficie i-esima si
consideri il rapporto:
F i ni d i V i
i
Con Fi vettore relativo all'area dσi ; ni vettore unitario all'area dσi .
Se esiste il limite di detto rapporto, esso rappresenta la divergenza di F, e si indica con divF:
lim
Vi
0
F i ni d
i
Vi
divF
i
divF rappresenta il flusso uscente da ∆Vi per unità di volume; essa può variare da punto a punto,
quindi divF è una funzione scalare delle coordinate e rappresenta una proprietà locale di un campo
vettoriale. Se F è espressa in funzione di coordinate ortogonali x, y, z, con F x, Fy, Fz derivabili,
presso un volume ∆Vi che tende a 0 di lati ∆x, ∆y, ∆z, il flusso per unità di volume uscente da ∆Vi
è:
Fx
Fy
Fz
divF
x
y
z
F n ds
div F dv (teorema della divergenza)
Proprietà:
s
v
B) Operatore rotore
Si consideri una linea C nello spazio che delimita una superficie σ, come in figura
Si suddivida arbitrariamente la superficie σ in un gran numero di aree ∆σ1, ∆σ2, …, ∆σn . Presa la
superficie ∆σi , si consideri il suo contorno C i e l'integrale
Ci
F ds ; preso nel punto arbitrario Pi
appartenente a ∆σi il vettore unitario n perpendicolare ∆σi , n si manterra costante
0 ; la
i
convenzione sui segni è che il verso di n e quello di percorrenza lungo C i nel calcolo dell'integrale
F ds
devono soddisfare la regola della mano destra. Si consideri il rapporto C
e il suo limite
i
i
0 ; il valore del limite, se esiste, è una grandezza scalare associata al punto Pi e alla
per
i
normale n. Moltiplicando il valore per n si ottiene un vettore che prende il nome di rotore e che si
F ds
C
indica con:
rot F
lim
n
i
i
Proprietà:
F ds
0
i
rot F n d
(teorema di Stokes)
Ci
Se F è espressa da una funzione di coordinate polari si ha che:
i
j
k
rot F =det
x
Fx
y
z
Fy
Fz
C)Operatore Hamiltoniano
i
x j
y k
z come un vettore simbolico, detto
Se si considera il simbolo
operatore hamiltoniano o operatore nabla, il gradiente, il rotore e la divergenza vengono descritte
cosi:
grad F
F ; rot F
F (prodotto vettoriale) ; div F
F (prodotto scalare)
Equazione di continuità
Una corrente passante per una superficie è pari al flusso del vettore densità di corrente attraverso
questa superficie:
I
J n dS
S
Supponiamo che la superfice sia chiusa e che racchiuda un volume e innoltre che in questo volume
sia localizzata una certa carica Q di densità
. Per il principio di conservazione della carica è
chiaro che la corrente che esce deve essere pari alla velocità negativa con cui varia la carica
all'interno del volume stesso.
d
J n dS
dV
dt V
S
Nel caso in cui la regione d'integrazione sia stazionaria(volume costante)si può scrivere
J n dS
S
V
d
dV
dt
L'integrale a primo membro può essere riscritto per mezzo del teorema della divergenza come
d
d
div J dV
dV
J dV
dV
dt
dt
v
V
v
V
Se le due funzioni integrande sono uguali si può scrivere in forma differenziale che:
J
t
Legge di Gauss per il campo elettrico
Per il teorema di Gauss il flusso totale che attraversa una superficie chiusa e pari al rapporto tra la
carica totale Q e la relativa costante dielettrica:
Q
E n dS
S
Tale formula può essere riscritta nel seguente modo dove
E n dS
S
Per il teorema della divergenza si ha:
rappresenta la densità di carica.
dV
V
div E dV
V
dV
V
Perciò il teorema di Gauss in forma differenziale diventa
div E
Legge di Gauss per il campo magnetico
La legge di Gauss per il campo magnetico afferma che il flusso totale passante per una superfice
chiusa è nullo in quanto le linee del campo magnetico formano dei percorsi chiusi
B n dS 0
S
Analogamente alla legge per il campo elettri co si ha in forma differenziale
div B 0
Teorema di Ampere e sua generalizzazione
Il teorema di Amper afferma che l'integrale di circuitazione del campo di induzione magnetica B
lungo un percorso l chiuso è proporzionale alla corrente che attraversa la superfice descritta da tale
percorso:
B dl
I
J dS
0
0
l
S
Il teorema risulta essere valido soltanto in presenza di correnti stazionarie e che le linee di corrente
formino percorsi chiusi.
In forma differenziale, utilizzando il teorema del rotore, si ha
rot B dS
J dS ; rot B
J
0
0
S
S
Se prendiamo come esempio un circuito per la scarica del condensatore troviamo che per una
superficie posta prima di arrivare alle armature abbiamo che:
B dl
0
I t
l
Invece per una superfice che si trova tra le due armature si ha
B dl 0
l
visto che nessuna corrente attraversa la superficie di integrazione considerata.
Per dimostrare la validità del teorema di Ampere ampplichiamo l'operatore divergenza a entrambi i
membri della forma differenziale:
div rot B
0
div J ;
B
Il primo membro dell'equazione è sempre nullo e perciò
continuità si ha
t
J
0
J = 0 e per il teorema della
0
0 . In questo modo si dimostra la validità del teorema soltanto in condizioni
stazionarie.
In base alle precedenti considerazioni si vuole trovare una forma del teorema di Ampere in
condizioni non stazionarie.
Dal teorema di Gauss in forma differenziale abbiamo che:
E
0
derivando adesso rispetto il tempo otteniamo:
d
d
dE
E
0
0
dt dt
dt
sostituendo a secondo membro dell'equazione di continuità si ottiene:
dE
J
0
dt
Dato che la divergenza è lineare possiamo unire i due argomenti in uno solo:
dE
J
0
0
dt
Sostituendo al secondo membro della legge di Ampere quest'ultima relazione troviamo proprio la
sua generalizzazione:
dE
B
J
0
0
dT
In forma integranda si ha:
B dl
l
J
0
S
0
dE
dt
dS
0
I
d
0
e
dt
Quindi il teorema di Ampere in forma generalizzata ci dice che l'integrale di circuitazione del
vettore di induzione magnetica B è proporzionale alla somma algebrica delle correnti concatenate al
percorso e del termine
d
0
dt
e
che è legata alla variaziene di flusso elettrico attraverso la
superfice delimitata dal percorso.
Legge di Faraday
La legge di Faraday afferma che l'integrale di circuitazione del vettore del campo elettrico E è
proporzionale alla variazione nel tempo del flusso del campo magnetico passante attraverso la
superfice delimitata dal percorso:
d m
d
E dl
B dS
dt
dt
l
S
Applicando come assolito il teorema del rotore otteniamo la forma differenziale dell'equazione:
d
dt
rot E dS
S
B dS
S
B
t
rot E
Risoluzione dell'equazioni di Maxwell per le onde elettromagnetiche
Prima di iniziare bisogna definire un'importante proprietà del rotore che la seguente:
rot rot F
2
grad div F
F
Bisogna innoltre precisare che le onde si muovono in un mezzo isotropo e omogeneo in assenza di
cariche elettriche, perciò le quattro equazioni di Maxwell diventano:
div E 0
div B 0
dB
rot E
dt
dE
rot B
0 0
dt
Sfruttando le ultime due equazioni calcoliamoci il rotore di entrambi i membri
d
E
B
dt
d
B
E
0 0
dt
E
B
possiamo affermare ciò proprio perchè
rot B
e
0
0
2
E
B
div E
E
2
B
0 e div B
dE
otteniamo le seguenti relazioni
dt
2
2
2
2
E
B
0 innoltre essendo rot E
dB
dt
d2 E
E
0
0
B
dt
2
d B
0
0
dt2
2
il prodotto
0 0 assume il valore dell'inverso del quadrato di una velocità ed indica proprio la
velocità con cui si propagano le pertubazioni elettromagnetiche nel vuoto cioè la velocità
c
1
0
della luce.
0
Autori Ares83 e DiscoStè
email:[email protected]
sito: www.viadifuga.cjb.net
