politecnico - Scacchimonza

POLITECNICO DI MILANO
I PROVA DI ALGEBRA LIN.E GEOM.
1.
1
2
3
V FACOLTÀ DI INGEGNERIA 1
12 NOVEMBRE 2007
Decidere se le seguenti affermazioni sono vere o false barrando le caselle opportune:
V F
In una matrice singolare almeno una colonna è combinazione lineare delle altre.
X
X
Un sistema lineare omogeneo di m equazioni in n incognite ha n-m autosoluzioni
indipendenti.
-1
-1
Se la matrice A = [ A1 A2 … An] è invertibile, si ha A = [ A1
-1
A2
X
-1
… An ].
X
5
Se la matrice A = [ A1 A2 … An] è invertibile, l’equazione
x 1A1 + x2A2 … xnAn = 0 ha solo la soluzione banale.
La matrice dei complementi algebrici di una matrice simmetrica è simmetrica
6
Tre piani appartenenti a un fascio sono paralleli a una stessa retta.
X
4
7
8
2.
X
X
x=y
x =- y
e
sono sghembe.
z = x+1
z = y+1
Se le rette r ed s sono parallele rispettivamente ai piani ρ e σ, l’angolo delle due rette
è uguale a quello dei due piani.
Le rette
X
x
a 1
1 b
Si considerino le matrici A = 1 0 , B = 0 1 , X = y . Rispondere ai seguenti
z
0 1
1 0
quesiti:
VF
X
X
X
1 La matrice ABT
ha sempre rango 2
è simmetrica ⇔ a = b
ha le righe lin. indipendenti
X
2 La matrice ATB
ha rango 2 ⇔ ab ≠ -2
ha sempre due colonne indipendenti
è simmetrica ⇔ ab = 1
è emisimmetrica
è simmetrica
è singolare ⇔ a = -b
X
di due equazioni in tre incognite
di quattro equazioni in tre incognite
X
3 La matrice ABT - BAT
4 L’equazione ATX = BTX rappresenta un
sistema lineare
omogeneo privo di autosoluzioni
MATRICOLA
FIRMA
NOME
COGNOME
X
X
X
X
X
X
3.
0 1 , K = 2 1 , I = 1 0 , L = 1 -1 , le
1 2
3 0
0 1
-1 1
e C = L I e i vettori X = [x y z u]T
0H
Si considerino le matrici H =
matrici a blocchi A =
e B = [b b
2
2
b b ]T.
HK
0L
Rispondere ai seguenti quesiti:
5 A e C sono
diagonali a blocchi
triangolari a blocchi
permutabili
VF
X
X
X
6 det (AC)
= detA⋅ detC
= det H2 ⋅ det L2
=0
X
X
X
7 L’equazione matriciale AX = B ha
soluzioni per
un solo valore di b
due valori di b
X
X
X
ogni b
1
con ∞ autosoluzioni
X
X
2
8 Per b = 0, l’equazione AX = B rappresenta
con ∞ autosoluzioni
un sistema lineare omogeneo
privo di autosoluzioni
4.
Si considerino le rette r:
quesiti:
9
x=k+t
ed s:
y = 1 + 2t
z = -1 +(k-2)t
r è perpendicolare ad s
10 r ed s sono complanari per
11 per k = 2, il piano contenente r ed s
12 Per k = 0, il piano contenente r ed s
X
3x - 2y = 0 . Rispondere ai seguenti
x + 2z = 4
per un solo valore di k
per due valori di k
per nessun valore di k
V F
X
X
X
k=2
k=0
k=1
X
X
è 2x-y+z = 2
non esiste
è perpendicolare al piano x + 2y = 0
X
è 4x - 3y - z + 2 = 0
non esiste
è perpendicolare al piano x = 4z
X
X
X
X
X
X
POLITECNICO DI MILANO
II PROVA DI ALGEBRA LIN.E GEOM.
V FACOLTÀ DI INGEGNERIA 1
29 GENNAIO 2008 23sett10
1.
Decidere se le seguenti affermazioni sono vere o false barrando le caselle opportune:
V F
1 Una matrice reale di ordine dispari ha un autovalore reale.
X
2 Una matrice reale e simmetrica ha solo autovettori reali.
X
3 Se A e B sono reali e simmetriche il prodotto AB è una matrice diagonalizzabile.
X
4 La somma di due matrici ortogonali è ortogonale.
X
5 Il polinomio caratteristico di una matrice triangolare a blocchi è il prodotto dei X
polinomi caratteristici dei blocchi principali.
6 L’equazione x2 + 3xy -2y2 = 1 rappresenta un’iperbole col centro nell’origine.
X
7 Un’applicazione lineare f di rango 2 trasforma un sottospazio S in un sottospazio
X
f(S) di dimensione 2.
8 Le coniche x2 - 2y2 = 1 e x2 + 2y2 = 1 hanno gli stessi assi.
X
2.
Si considerino le matrici :
Rispondere ai seguenti quesiti:
P = [1 2 h ]T (h reale) , A = PPT ,
1 Per ogni h, A ha
2 Per ogni h, B
3 B ha qualche autovalore nullo per
4 Gli autovalori di B sono tutti regolari
B = A + 6hI.
V F
rango 1
un solo autovalore nullo
due autovalori nulli
X
è diagonalizzabile
ha tre autovettori mutuamente
ortogonali
ha tre autovettori indipendenti
X
X
un solo valore di h
3 valori di h
2 valori di h
solo per h = 0
per ogni h
se e solo se B è diagonalizzabile
MATRICOLA
FIRMA
NOME
COGNOME
X
X
X
X
X
X
X
X
X
3.
Siano F la famiglia delle coniche di equazione XTBX = 0, dove B è la matrice dell’
esercizio precedente, ed X = [x y 1]T.
Rispondere ai seguenti quesiti:
V F
un’iperbole equilatera
X
5 F contiene
3 coniche degeneri
X
una parabola non degenere
6 La conica di F corrispondente ad h = -1
X
X
X
è degenere
è una parabola
è tangente in O alla retta x+ 2y = 0
8 Le coniche a centro di F
hanno il centro
X
X
è un’iperbole col centro P(1,2)
è un’ellisse
è degenere
7 La conica di F corrispondente ad h = - 6
X
nell’origine
sulla retta y = 2x
X
X
X
X
sulla retta x = 2y
4.
Sia C una matrice di ordine 4, con due soli autovalori distinti α e β. Sapendo che
k(α) > k(β)
rispondere ai seguenti quesiti:
9 C è diagonalizzabile
se α è regolare
se r(αI - C) = 1
se C + I è diagonalizzabile
V F
X
X
X
X
α e β sono reali
2
1 Se C è diagonalizzabile con matrice di C + C - I è diagonalizzabile con X
0 passaggio P
matrice di passaggio P
l’autospazio associato ad α ha
X
dimensione 3
1 C ha un autovalore nullo
1
se tr C = 3α
se tr C = β
X
X
se det C = 0
X
3
1 Se C è idempotente, la sua traccia può 4
2 essere
X
X
POLITECNICO DI MILANO
PROVA COMPLEMENTARE
DI ALGEBRA LIN.E GEOM.
V FACOLTÀ DI INGEGNERIA 1
5
FEBBRAIO
2008
Si considerino le coniche K di equazione
α(x2 + 2xy -3y2 - 2x + 1) +x2 + y2 - 2x + 6y + 1 = 0
( α reale)
1.
Trovare i valori di α per cui K è
2.
i)
una conica degenere
ii)
un’iperbole equilatera
iii)
una conica col centro sulla retta x = 1
Determinare i centri delle coniche non degeneri trovate e gli eventuali asintoti.
3.
Detta A la matrice dei coefficienti della conica K corrispondente ad α = 0,
2
costruire una matrice ortogonale che diagonalizzi (A - I) .
4.
Detta B la matrice dei coefficienti della conica K corrispondente ad α = -3,
decidere se la trasformazione lineare f(X) = BX trasforma i vettori
[1 2 3]T ,
3
[4 5 6]T , [1 1 1]T
in una base di R e calcolare dim ker f,
POLITECNICO DI MILANO
I A PPELLO DI A LGEBRA L IN.E GEOM.
V FACOLTÀ DI INGEGNERIA 1
2 2 F EBBRAIO
2008 va in
giugno 2010
1.
Decidere se le seguenti affermazioni sono vere o false barrando le caselle opportune:
V F
1 Sia A ≠ I. Se (A + I)(A - I) = 0, la matrice A ha un autovalore λ = -1.
X
2 Se P, Q, R sono vettori indipendenti, la matrice [P Q R S ] ha rango 3 per ogni
X
vettore S.
3 Se A e B sono reali e simmetriche la matrice A2 + B2 è diagonalizzabile.
X
4 Il numero degli autovettori indipendenti associati a un autovalore α coincide con la X
dimensione dell’autospazio associato ad α.
5 Sia A una matrice singolare. Se X è un autovettore di A, anche AX è un autovettore
X
di A.
6 Le circonferenze che passano per due punti fissi A e B hanno i centri su una retta. X
7 La dimensione del nucleo di un’applicazione lineare f è uguale alla dimensione
X
dell’immagine di f.
8 Una rotazione (nel piano o nello spazio) lascia fissa l’origine del riferimento X
cartesiano.
2.
2 a
Si considerino le matrici H = 1 0
0 1
e K= b 1 0.
0 0 1
Rispondere ai seguenti quesiti:
1 La matrice HK
2 La matrice HK è diagonalizzabile
3
3 La trasformazione di R con matrice HK
ha il nucleo di dimensione
4 La matrice HK è idempotente per
V F
ha sempre rango 2
ha rango 2 solo per a = 2, b = 1
è triangolare a blocchi
X
se ha tutti gli autovalori distinti
se è simmetrica
se 2b = -1
X
X
X
X
X
X
X
0
2
1
X
b=0
a=0
solo per a = b = 0
X
MATRICOLA
FIRMA
NOME
COGNOME
X
X
9
3.
Sia C la famiglia di circonferenze di equazione x2 + (y -1)2 + λ(y - x - 1) = 0.
Rispondere ai seguenti quesiti:
5 Le circonferenze di C hanno i Centri
7 L’equazione (x - l)2 + (y + λ -1)2 = 2 λ2
rappresenta
8 La circonferenza di C che passa per
l’origine
X
X
sull’asse y
sull’asse x
sulla retta x+y = 1
6 Le circonferenze di C sono tutte
V F
X
tangenti all’asse x
tangenti in P(0,1) alla retta di
equazione y = x + 1
tangenti all’asse y
X
X
tutte e sole le circonferenze di C
X
X
tutte le circonferenze di C meno una
X
tutte le circonferenze di C più una
X
è tangente alla retta x+y = 0
ha diametro uguale a √2
X
X
è tangente alla retta y = x-1
X
4.
Sia F il fascio di piani di equazione y - x - 1 + λ(y - z +1) = 0. Rispondere ai
seguenti quesiti:
V F
9 Il luogo delle proiezioni ortogonali di O sui
piani di F è
una circonferenza
1 La retta r sostegno di F ha equazioni
0
X
X
una sfera
un’iperbole equilatera
y-x -1=0
y - z +1 = 0
x=z-2
y=z-1
X
X
X
X
(y - x - 1)(y - z +1) = 0
un fascio di rette incidenti nel punto
X
un fascio di rette perpendicolari ad r
X
P(0,1/2)
1 L’intersezione di F col piano x+y+z = 3 è
1
1 I piani di F che passano per O sono
2
un fascio di rette parallele
X
nessuno
uno
X
X
POLITECNICO DI MILANO
PROVA COMPLEMENTARE
DI ALGEBRA LIN.E GEOM.
V FACOLTÀ DI INGEGNERIA
22
FEBBRAIO
2008
Si consideri la matrice
A=
a
2a-1
3
2a-1
3
-2
a 2 -a-2
a 2 -a-2
a 3 +a 2 +a+1
3
a 4 -1
(a-2)(2a+1)
3
1.
Trovare i valori del parametro a per cui A è la matrice dei coefficienti di una
conica K. (a = 2 ip. eq. ; a = -1 ellisse)
2.
Per ciascuno dei valori trovati riconoscere K e trovarne il centro e gli
eventuali asintoti.
Scrivere inoltre l’equazione canonica di una delle K coniche trovate.
3.
Per a = 0, stabilire se la trasformazione lineare f(X) = BX , dove B = A + AT + 4I,
3
trasforma i vettori [1 0 0]T , [0 1 0]T , [0 0 1]T in una base di R .
Trovare ker f e calcolare dim Im f.
POLITECNICO DI MILANO
II APPELLO DI ALGEBRA LIN.E GEOM.
1.
1
2
3
4
5
6
7
8
2.
V FACOLTÀ DI INGEGNERIA
11 LUGLIO 2008
Decidere se le seguenti affermazioni sono vere o false barrando le caselle opportune:
V F
Ad un autovalore regolare di molteplicità k sono associati k autovettori
×
indipendenti.
×
Un sistema lineare omogeneo di m equazioni in n incognite ha ∞ n-m autosoluzioni.
×
Siano X e Y due vettori. Se X ≠ 0, esiste uno scalare h per cui X è ortogonale ad ×
hX+Y.
Se A e B sono matrici quadrate di ordine n, con AB = 0, si ha r(A)+r(B) ≤ n.
Se f è un’applicazione lineare di Rn in Rm , ker f è l’insieme dei vettori X di Rm tali
che f(X) = 0.
Siano r ed r’ due rette parallele. Per ogni piano π passante per r, esiste un piano π’ ×
passante per r’ e perpendicolare a π.
La conica di equazione XTAX = 0 è degenere se e solo se la matrice A è invertibile.
Si consideri la matrice
1 h 0
A=
1 1
h
(h parametro)
V F
diagonale a blocchi
2
Esiste un valore di h per cui A è
La matrice A è diagonalizzabile
×
×
ortogonale
singolare
×
solo per h = 0
×
×
×
per h = 1
per ogni h
reali
3
Per h = 1, gli autovalori di A+AT sono
×
×
negativi
regolari
×
×
reali
4
×
La conica di equazione (3x-y)(x+3y) = 5 rappresenta un’iperbole equilatera con ×
asintoti 3x = y e x+3y = 0.
Rispondere ai seguenti quesiti.
1
×
Per h = -1, gli autovalori di A-AT sono
semplici
regolari
MATRICOLA
FIRMA
×
×
1 k
Si considerino la matrice B = 0 1 e l’equazione BBTX = 0 (X vettore).
1 0
Rispondere ai seguenti quesiti:
3.
V F
×
×
di 3 equazioni in 2 incognite
5
6
L’equazione BBTX = 0 rappresenta un
sistema lineare omogeneo S
Le equazioni di S rappresentano
di 2 equazioni in 2 incognite
di 3 equazioni in 3 incognite
×
3 piani passanti per l’origine
×
×
3 piani di un fascio
×
due rette nello spazio
per ogni k
7
S ha ∞ 1 autosoluzioni
×
×
×
solo per k= 0
solo per k ≠ 0
×
×
è invertibile
8
Per k = -1, la trasformazione lineare di R3 con trasforma il vettore [x y z]T nel
vettore [2x+y -z x+y z-x]T
matrice dei coefficienti BBT
ha il nucleo di dimensione 1
×
4h+1 2h-2 h+1
4.
Si consideri la conica K di equazione XTCX = 0, con C = 2h-2 h+4 0 (h reale) ed
h+1 0 h+4
X = [x y 1]T. Rispondere ai seguenti quesiti:
VF
per h = - 4
×
9
K è degenere
×
per due soli valori di h
per tre valori di h
×
×
un’iperbole equilatera
10 Per h = 0, K è
11 Per h = 1, K è
una parabola non degenere
×
una circonferenza
×
un’iperbole equilatera
×
una circonferenza col centro sull’asse
x
una circonferenza col centro sull’asse
y
×
×
×
è priva di punti reali
12 Per h = -1, K
è un’iperbole equilatera col centro
×
POLITECNICO DI MILANO
III APPELLO DI ALGEBRA LIN.E GEOM.
1.
V FACOLTÀ DI INGEGNERIA
17 SETTEMBRE 2008
1
Decidere se le seguenti affermazioni sono vere o false barrando le caselle opportune:
V F
Se X, Y, Z sono vettori, si ha r[X Y Z] = r[X+Y Y+Z X+Y+Z].
X
2
Il quadrato di una matrice simmetrica è una matrice simmetrica.
X
3
X
4
Se il nucleo di una trasformazione lineare f di Rn ha dimensione zero, si ha
f(Rn) = Rn.
In una matrice ortogonale, la somma degli elementi principali è 1.
5
I vettori [i -1]T e [-1 i]T sono ortogonali.
X
6
Due iperboli con gli stessi asintoti hanno gli stessi assi.
X
7
Due parabole con lo stesso vertice e lo stesso asse coincidono.
X
8
La retta x = y = z-1 = t è sghemba con l’asse z.
X
2.
1
1-a 2
Si consideri la matrice reale A = 1 1-a . Rispondere ai seguenti quesiti:
-1 a
sono simmetriche per ogni a
hanno lo stesso polinomio
caratteristico
sono simili
Le matrici AA ed A A
T
T
X
V F
X
X
X
= det (A A) per qualche valore di a
X
= det A detA
X
T
2
3
4
det (AA )
T
La matrice AA ha un autovalore nullo
T
Per ogni valore di a, la matrice AA ha
T
T
= 0 per ogni a
X
per ogni a
solo per a = 1
X
X
solo per a = 0
X
quattro autovettori indipendenti
tre autovettori indipendenti
X
X
tre autovettori mutuamente ortogonali X
MATRICOLA
FIRMA
NOME
COGNOME
3.
Si consideri il sistema lineare
x +cy+z =c
S: cx +(c2+1)y +(c +1)z = c2
x + (c +1)y + 2z = c+1-c2
(c parametro reale)
Rispondere ai seguenti quesiti:
5
6
7
8
4.
9
Il sistema S ha soluzioni
Le equazioni di S rappresentano 3 piani di
un fascio
Per c = 1, il sistema S ha
per ogni valore di c
per un solo valore di c
V F
X
X
per due valori di c
X
per due valori di c
X
∞1 soluzioni
∞2 soluzioni
una sola soluzione
X
è invertibile
Per c = -1, la trasformazione lineare di R3 che ha il nucleo di dimensione 1
ha come matrice dei coefficienti quella di S
ha il nucleo di dimensione 2
Si consideri la famiglia di coniche F di equazione XTAX = 0, con
4b-15 2b-10 b-3
A = 2b-10 b
(b reale)
0
b-3
0
b
ed X = [x y 1]T. Rispondere ai seguenti quesiti:
F contiene
10 La conica K corrispondente a b = 0, é
11 Per b = 5, la conica K è una circonferenza
12 Per b = 3, la conica K
X
X
per ogni valore di c
per un solo valore di c
una sola conica degenere
tre coniche degeneri
X
X
X
X
X
VF
X
X
più di tre coniche degeneri
X
un’iperbole equilatera
una parabola non degenere
una coppia di rette reali e distinte
X
X
priva di punti reali
col centro sull’asse x
col centro sull’asse y
taglia gli assi coordinati in punti reali
è un’iperbole equilatera col centro
X
X
X
X
X
X
POLITECNICO DI MILANO
ESAME DI GEOMETRIA
I FACOLTÀ DI INGEGNERIA
I APRILE 2010
1.
Decidere se le seguenti affermazioni sono vere o false barrando le caselle opportune:
V F
1 Se X e Y sono autovettori di A, associati ad un autovalore α, anche X+Y è un X
autovettore di A associato ad α.
2 Se P, Q, R sono vettori indipendenti, la matrice [P Q R + Q ] ha rango 3 .
X
3 Se A e B sono reali e simmetriche la matrice A2 + B2 è diagonalizzabile.
X
4 Il numero degli autovettori indipendenti associati a un autovalore α coincide sempre
X
con la molteplicità di α.
5 Una retta che sia perpendicolare a due piani è perpendicolare anche alla loro
X
intersezione
6 Le circonferenze che passano per due punti fissi A e B hanno i centri su una retta.
X
X
7 Due iperboli con gli stessi assi hanno gli stessi asintoti.
8 Una rotazione (nel piano o nello spazio) lascia fissa l’origine del riferimento X
cartesiano.
2.
2 a
Si considerino le matrici H = 1 0
0 1
e K= b 1 0.
0 0 1
Rispondere ai seguenti quesiti:
1 La matrice HK
2 La matrice HK è diagonalizzabile
3 Le matrici HK e KH hanno in comune
4 La matrice KH è diagonalizzabile per
V F
ha sempre rango 2
ha rango 2 solo per a = 2, b = 1
è triangolare a blocchi
X
se ha tutti gli autovalori distinti
se è simmetrica
se 2b = -1
X
X
il determinante
il rango
la traccia
ogni b
solo per b ≠ 0
solo per b = 0
MATRICOLA
FIRMA
NOME
COGNOME
X
X
X
X
X
X
X
X
X
3.
Sia C la famiglia di circonferenze di equazione x2 + (y -1)2 + λ(y - x - 1) = 0.
Rispondere ai seguenti quesiti:
5 Le circonferenze di C hanno i Centri
7 L’equazione (x - l)2 + (y + λ -1)2 = 2 λ2
rappresenta
8 La circonferenza di C che passa per
l’origine
X
X
sull’asse y
sull’asse x
sulla retta x+y = 1
6 Le circonferenze di C sono tutte tangenti
V F
X
all’asse x
in P(0,1) alla retta di equazione
y=x+1
all’asse y
X
X
tutte e sole le circonferenze di C
X
X
tutte le circonferenze di C meno una
X
tutte le circonferenze di C più una
X
è tangente alla retta x+y = 0
ha diametro uguale a √2
X
X
è tangente alla retta y = x-1
X
4.
Sia F il fascio di piani di equazione y - x - 1 + λ(y - z +1) = 0. Rispondere ai
seguenti quesiti:
V F
9
Il luogo delle proiezioni ortogonali di O sui
piani di F è
una circonferenza
1
0
La retta r sostegno di F ha equazioni
X
X
una sfera
un’iperbole equilatera
y-x -1=0
y - z +1 = 0
x=z-2
y=z-1
X
X
X
X
(y - x - 1)(y - z +1) = 0
un fascio di rette incidenti nel punto
X
un fascio di rette perpendicolari ad r
X
P(0,1/2)
1
1
1
2
L’intersezione di F col piano x+y+z = 3 è
I piani di F che passano per O sono
un fascio di rette parallele
X
nessuno
uno
X
X
POLITECNICO DI MILANO
VI APPELLO DI GEOMETRIA
I FACOLTÀ DI INGEGNERIA
23 SETTEMBRE 2010
1.
Decidere se le seguenti affermazioni sono vere o false barrando le caselle opportune:
V F
1 Una matrice reale di ordine dispari ha un autovalore reale.
X
2 Una matrice reale e simmetrica ha solo autovettori reali.
X
3 Se A e B sono reali e simmetriche il prodotto AB è una matrice diagonalizzabile.
X
4 La somma di due matrici ortogonali è ortogonale.
X
5 Il polinomio caratteristico di una matrice triangolare a blocchi è il prodotto dei X
polinomi caratteristici dei blocchi principali.
6 L’equazione x2 + 3xy -2y2 = 1 rappresenta un’iperbole col centro nell’origine.
X
7 Una rotazione (nel piano o nello spazio) lascia fissa l’origine del riferimento X
cartesiano.
8 Le coniche x2 - 2y2 = 1 e x2 + 2y2 = 1 hanno gli stessi assi.
X
2.
Si considerino le matrici :
Rispondere ai seguenti quesiti:
P = [1 2 h ]T (h reale) , A = PPT ,
1 Per ogni h, A ha
2 Per ogni h, B
3 B ha qualche autovalore nullo per
4 Gli autovalori di B sono tutti regolari
B = A + 6hI.
V F
rango 1
un solo autovalore nullo
due autovalori nulli
X
è diagonalizzabile
ha tre autovettori mutuamente
ortogonali
ha tre autovettori indipendenti
X
X
un solo valore di h
3 valori di h
2 valori di h
solo per h = 0
per ogni h
se e solo se B è diagonalizzabile
MATRICOLA
FIRMA
NOME
COGNOME
X
X
X
X
X
X
X
X
X
3.
Siano: F la famiglia delle coniche di equazione XTBX = 0, dove B è la matrice dell’
esercizio precedente, ed X = [x y 1]T.
Rispondere ai seguenti quesiti:
V F
un’iperbole equilatera
X
5 F contiene
3 coniche degeneri
X
una parabola non degenere
6 La conica di F corrispondente ad h = -1
X
X
X
è degenere
è una parabola
è tangente in O alla retta x+ 2y = 0
8 Le coniche a centro di F
hanno il centro
X
X
è un’iperbole col centro P(1,2)
è un’ellisse
è degenere
7 La conica di F corrispondente ad h = - 6
X
nell’origine
sulla retta y = 2x
X
X
X
X
sulla retta x = 2y
4.
Sia C una matrice di ordine 4, con due soli autovalori distinti α e β. Sapendo che
k(α) > k(β)
rispondere ai seguenti quesiti:
9 C è diagonalizzabile
se α è regolare
se r(αI - C) = 1
se C + I è diagonalizzabile
V F
X
X
X
X
α e β sono reali
2
1 Se C è diagonalizzabile con matrice di C + C - I è diagonalizzabile con X
0 passaggio P
matrice di passaggio P
l’autospazio associato ad α ha
X
dimensione 3
1 C ha un autovalore nullo
1
se tr C = 3α
se tr C = β
X
X
se det C = 0
X
3
1 Se C è idempotente, la sua traccia può 4
2 essere
X
X