Campo elettrico e potenziale elettrico

Campo elettrico e potenziale elettrico
Problema(1)
Sui lati del quadrato ABCD, di lato l=10cm, è distribuita della carica elettrica uniformemente. Sui lati AB e
BC la carica è positiva, mentre sui lati AD, CD è negativa; l’intensità complessiva della carica su ciascun lato
è q=5,0·10-6C. La struttura elettrica è immersa nel vuoto.
Determinare il valore del campo elettrico e del potenziale elettrico generati dalla distribuzione lineare di
carica nel punto O, centro del quadrato , e nel punto E simmetrico di O rispetto al lato AD.
Elaborazioni
Prima Parte: campo elettrico generato nel centro O del quadrato
Facciamo riferimento alla Figura 1 nella quale compaiono gli elementi di seguito descritti.
1) A,B,C,D sono i vertici del quadrato.
2) AB, BC sono i lati del quadrato sui quali è
distribuita la carica positiva e CD, AD i due lati
caricati con carica negativa. In prossimità dei lati
AB, BC sono riportate le etichette (+), per
indicare la presenza di carica positiva,
analogamente, in prossimità dei lati CD, AD sono
riportate le etichette (-) per indicare la presenza
di carica negativa.
3) E’ stato fissato il sistema di riferimento
cartesiano ortogonale xOy con l’origine O nel
centro del quadrato ABCD.
4) E’ stato scelto un punto P del lato DC del
quadrato appartenente al primo quadrante nel
quale pensiamo centrato un elemento di carica di Figura 1
intensità dq e sono individuati i simmetrici di P
rispetto agli assi cartesiani (P’1, rispetto all’asse y, P’, rispetto all’origine, P’2, rispetto all’asse x).
5) Sono indicati il vettore campo elettrico dE1, generato dalla coppia di elementi di carica elementare
centrati nei punti P e P’ e il vettore campo elettrico dE2, generato dalla coppia di elementi di carica
elementare centrati nei punti P’1, P’2.
6) L’angolo di ampiezza  formato dal vettore dE1 con il semiasse positivo delle ascisse.
***

Campo elettrico generato in O dalle cariche presenti sui lati AB, CD
Osserviamo che:
1) la densità lineare di carica sui quattro lati del quadrato ha valore =q/l;
(1)
Testo assegnato nella prova d’esame del 23/01/2014 nel corso di Laurea in Ingegneria Meccanica, Politecnico di Bari
Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it
Pagina 1
2) il punto P ha coordinate cartesiane (x;l/2), con 0 x  l/2 e l’elemento di carica dq centrato in P
vale dq =dx. Questa carica, considerata puntiforme, determina in O il campo elettrico di intensità
k
dq
OP
2
, orientato da O verso P, essendo k la costante di Coulomb nel vuoto. Considerando
l’elemento di carica lineare centrato in P’, per la simmetria della posizione, anch’esso determina in
O un analogo campo elettrico a quello determinato dall’elemento di carica centrato in P. Il vettore
dE1 indicato in figura rappresenta la somme dei due detti campi ed ha quindi modulo
dE1  2k
dq
OP
2
.
3) Per i due elementi di carica centrati nei due punti P’1, P’2 si possono sviluppare considerazioni
analoghe a quelle svolte per i punti P e P’; detti elementi di carica genereranno in O un campo
dq
elettrico avente ancora intensità 2k
OP
2
e in figura è rappresentato dal vettore dE2 .
4) Somma dei due campi dE1 , dE2
Osserviamo che i due campi hanno opposte le componenti cartesiane lungo l’asse delle ascisse,
quindi si elidono, il campo risultante avrà solo componente lungo l’asse y, orientato nel verso
positivo di questo. Utilizzando l’angolo  rappresentato in figura il modulo del campo risultante è
dE12  2dE1  sen  4k


dq
OP
2
 sen
l
2
Con P  x; y   P  x;  ricaviamo
Si ha ancora x  OP  cos   
2
l2
l
 OP  sen  OP 
.
4sen 2
2
l
 cot g e per l’elemento di carica dq possiamo scrivere
2
l
l
1

d
dq   dx    
d   
2
2sen 2
2  sen 

L’espressione del modulo del campo elementare risultante dai contributi delle quattro cariche
elementari centrate nei punti P, P’, P’1, P’2 , diretto nel verso delle ordinate positive, è
dE12  4k
dq
OP
2
 sen  4k 
1
l2
4sen 2
l
8k 


d   sen  
sen d

2
l
 2sen 

L’intensità del campo totale generato dalle cariche presenti sui due lati AB, CD, che indichiamo con
E13 (per ricordare i pedici dei lati indicati con l1, l3), si ottiene con la somma integrale dei contributi
dati al campo totale dagli elementi di carica lineari quando il punto P descrive il segmento avente
come primo estremo (0;l/2) e come secondo estremo C(l/2; l/2). La posizione angolare di P è
individuata dall’angolo  i cui valori, mentre P descrive il segmento suddetto, descrivono l’intervallo
[/4; /2] nel verso dall’estremo superiore all’estremo inferiore (verso delle ascisse decrescenti) .
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Pagina 2
Per queste considerazioni il modulo del campo elettrico generato dalle cariche presenti sui due lati
AB, CD coincide con il valore del seguente integrale definito

E13   4  dE12 


2


4

 
2

8k 
8k 
4 2k 
sen d 
.
cos  4 
l
l
l
2
Campo elettrico generato in O dalle cariche presenti sui lati BC, AD
Lo studio va eseguito con un procedimento analogo a quello descritto per il campo elettrico
generato dalle cariche presenti sui due lati AB, CD. In Figura 2 è riportata la figura di riferimento. E’
stato scelto un punto N nel primo quadrante sul segmento di estremi F(l/2;0), C(l/2; l/2) e
individuati i punti N’, N’1, N’2, rispettivamente simmetrici di N rispetto all’asse x, all’origine O e
all’asse y. Nei punti P, N’, N’1, N’2 pensiamo concentrate le cariche elementari puntiformi che
generano il campo elementare in O; questo campo lo pensiamo ottenuto dalla somma dei due
campi elementari dE’1, generato dalle cariche in N e N’1, e dE’2, generato dalle cariche elementari
centrate nei punti N’, N’2. Posto N(l/2;y), con 0yl/2, osserviamo che i campi elettrici dE’1, dE’2
hanno modulo
dE '1  2k
dq
ON
2
 2k
 dy
ON
2
 dE '2
e direzioni tali che le loro componenti
cartesiane lungo l’asse y risultano opposte, quindi
si annullano; il campo elementare risultante in O,
indicato con dE’12, sarà un vettore parallelo all’asse
delle ascisse, orientato nel verso negativo dello
stesso asse e con modulo
dE '12  2  2k
 dy
ON
2
 cos     ,
essendo  l’angolo che il vettore elementare dE’2
Figura 2
forma con la direzione positiva dell’asse x. Si
osservi che mentre N descrive il segmento FC nel verso delle ordinate crescenti  passa dal valore 
a 3/4 ( il valore diminuisce).
Si verifica anche che :
l2
ON 
 ON 
;
2cos    
4 cos 2 
l
2
l
l
l
d
y  tg       tg    dy  
2
2
2cos 2 

 8k 

 4cos 2 
l
d

 cos      
 cos  d 
dE '12  2   2k   

2
2
l
l
 2cos 



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Pagina 3
Con un’operazione integrale possiamo ricavare il modulo del vettore campo elettrico
risultante dovuto alla carica presente sui lati BC, AD del quadrato. Indicando con E24 il
valore complessivo risulta
3
4
 
E24  

3
8k  34
8k 
4 2k 
  cos  d  
dE '12 
sen 4 




l
l
l
Campo elettrico globale in O
Notiamo che E24=E13, quindi le cariche contenute sulle due coppie di lati (AB; CD), (BC; AD)
generano due campi elettrici aventi lo stesso modulo, la prima coppia genera un campo diretto
nel verso delle ordinate positive, la seconda coppia un campo diretto nel verso delle ascisse
negative. Il vettore campo elettrico EO ha la seguente espressione cartesiana
EO 
4 2k 
i  j ,
l


è diretto secondo la bisettrice del secondo quadrante (con verso Nord-Ovest). Il modulo di EO
è
2 5, 0 10 6 C  10 1 m

  3, 60 107 N
4 2k 
8k 
9 Nm
 8  9, 0 10

EO 
 2
2
1
C
C
l
l
10 m
1
*** ***
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Pagina 4
Seconda Parte: campo elettrico generato nel punto esterno E

Campo elettrico in E generato dalle cariche presenti sui lati AB, CD
Poiché il punto E  l ;0  si trova in
posizione simmetrica rispetto alla
distribuzione della carica sui lati considerati,
il vettore campo elettrico cercato si
determina con procedimento simile a quello
seguito per il campo determinato in O dalle
stesse cariche. Vi è una sola differenza: in
questo caso il punto P mobile nel quale
pensiamo centrata la carica elementare dq
dovrà scorrere su tutto il lato DC, e non
semplicemente sulla metà dello stesso
giacente nel primo quadrante e ciò perché i
contributi alla creazione del campo in E
dovuti alla carica presente sula parte del
Figura 3
lato giacente nel secondo quadrante sono
diversi di quelli dovuti alla carica presente nel primo quadrante. Analoga considerazione vale per la
carica positiva presente sul lato AB. Considereremo dunque la coppia di punti P e P’2 ,
rispettivamente su DC e AB come indicato nella figura di riferimento Figura 3.


l
2


l
2
1) Le cariche elementari centrate nei punti P  x;  , P '2  x;   , con 
l
l
 x  , generano
2
2
rispettivamente i campi indicati in figura dai vettori EH, EH’ , i quali hanno lo stesso modulo,
con le componenti cartesiane lungo l’asse x opposte e la loro somma è il vettore dE’y ,parallelo
all’asse y, orientato concordemente con questo. Il modulo dei vettori EH, EH’ è
EH  k
dq
EP
2
k
 dx
EP
2
 EH '
Il modulo del vettore dE’y è
dE ' y  2k
EP 
tg 
 dx
EP
2
sen , e sussistono le seguenti relazioni
yP
l

;
sen 2sen
l
l
l
l
 x
 l  cot g  l e quindi
, da cui x  l 
2 x  l 
2
2tg
2tg
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dx  
l
d ;
2sen 2
dE ' y  2k

 4sen2
l
4k  sen
2
k


d

 sen  
d
sen




2
2
2
l
l
 2sen 

EP
 dx
Al variare della posizione di P tra D e C, quindi con 
l
l
 x  , l’angolo  assume valori
2
2
1
3
nell’intervallo di estremi  min  arctg   , corrispondente alla posizione PC, al valore massimo
 max  arctg 1 

4
, corrispondente alla posizione PD. Si noti che i valori di  nell’intervallo
indicato sono assunti per valori decrescenti, mentre quelli dell’ascissa x sono assunti per valori
crescenti quando P si sposta dal punto D al punto C.
2) Per ottenere il modulo del vettore campo elettrico in E  l ;0  , E ( y )13 , generato da tutta la
carica presente sui due lati AB, CD, si deve eseguire il seguente calcolo integrale:
E ( y)13  E ( y)13 
 min

max
dE ' y  
 min
 max
1
arctg  
 3
4k  sen
 4k  cos  

d  
 
l
l


4
4k   
 1 
  
cos  arctg     cos   
l  
 3 
 4 
Osserviamo ora che yR risulta
cos  arctg  y    cos  z  
1
1  tg 2 z

1
1  tg  arctg  y   
2

1
1 y2
e quindi anche



2
4k   
2  4k   3
 1 
    4k   1


cos
arctg

cos




 
 
 
l  
l  10 2 
l 
2 
1
 3 
 4 
 1  9

0, 241
4k 
l
Espressione vettoriale del campo generato in E
E13 
4k   3
2


j
l  10 2 
*** ***
Osservazione
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Pagina 6
Per il campo creato in E dalle cariche presenti sui lati BC e AD si devono eseguire calcoli separati per i
due lati perché il punto E si trova in posizione asimmetrica rispetto agli stessi.
*** ***

Campo elettrico in E generato dalla carica presente sul lato BC
Il disegno di riferimento è in Figura 4.
l
2


Consideriamo il punto N  ; y  che si muove sul
segmento FC ed il suo simmetrico N’ rispetto
all’asse x.
Le cariche elementari dq centrate nei due punti N,
N’ creano in E i campi elettrici rappresentati
rispettivamente dai vettori w e w’; i due vettori
hanno uguale modulo w  w '  k 
dq
EN
2
e
opposte le componenti cartesiane lungo l’asse y,
quindi la loro somma genera il campo elementare
Figura 4
dEx parallelo all’asse delle x e orientato nel verso
negativo. Il modulo di questo campo è
dEx  2k 

 1 
cos  , con l’angolo  che varia nell’intervallo chiuso 0; arctg    .
 3 

EN
dq
2
L’intensità della carica elementare dq è espressa da dq   dy . Notiamo che
3
3l
d ;
FN  EF  tg , da cui y  l  tg , quindi dy 
2
2cos 2 
EN 
3l
EF

.
cos  2 cos 
Otteniamo per il campo elementare la seguente espressione per il modulo
dEx  2k 
dq
EN
cos   2k   
2
4k 
3l
4cos 2 
cos  d
d


cos  
2
2
2cos 
9l
3l
Il calcolo integrale per il modulo del campo elettrico
Il modulo del campo elettrico complessivo generato in E dalla carica presente sul lato BC, che
indichiamo con E2, è il risultato del seguente integrale definito
1
arctg  
 3
 0
E2  
1
arctg  
4k 

4k 
4k 
 1 
 sen  arctg   
cos  d 
 sen 0  3  
3l
3l
3l
 3 

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A questo punto ricordiamo che risulta
sen  arctg  y    senz 
tgz
1  tg 2 z

y
1 y2
e quindi
E2 
4k 

3l
1
3
1
1
9

4k 
.
3 10l
L’espressione vettoriale del campo generato è E2  
4k 
i
3 10l
*** ***

Campo elettrico in E generato dalla carica presente sul lato AD
Considerazioni analoghe a quelle sviluppate nel
caso precedente permettono di ricavare
l’espressione del campo creato dalla carica
negativa distribuita sul lato AD. Il disegno di
riferimento è in Figura 5.
Scegliamo il punto M sulla metà del lato AD
giacente nel secondo quadrante e individuiamo il
suo simmetrico M’ rispetto all’asse delle ascisse.
Le cariche elementari dq centrate in M e M’
determinano in E i due campi elettrici indicati in
figura dai vettori u e u’. In figura è indicato
Figura 5
l’angolo  che il vettore u forma con la direzione
positiva dell’asse x. I due vettori u e u’ hanno le componenti cartesiane lungo l’asse y che sono
opposte e quindi la somma dei due vettori sarà il vettore dEx parallelo all’asse delle ascisse che
punta nel verso delle ascisse positive.
Moduli dei vettori u e u’
2y
l

 l 
 y  tg  , con 0    al variare di M;
M   ; y  ; E  l;0   tg  
l
2
4
 2 
u u' k
dq
EM
poiché si ha
2
;
dq   dy   
l
l
si ottiene
d  , EM 
2
2  cos 
2  cos 
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u  u'  k
dq
EM
 k  
2
l
4cos 2  2k 
d
d



l
2  cos 2 
l2
Modulo del vettore dEx=u+u’
dEx  2u cos  
4k 
cos  d 
l
Modulo del vettore campo elettrico generato in E da tutta la carica presente su AD
Sia E4 il campo elettrico generato dalla carica in oggetto in E. Risulta

E4   4 dEx 
 0


4
 0

4k 
2 2k 
4k 
sen

cos  d  

04 
l
l
l
Espressione vettoriale del campo E4 

2 2k 
i
l
Campo elettrico totale in E
Il campo elettrico generato in E da tutta la carica presente sul bordo del quadrato ABCD è dato
dalla somma dei campi elettrici E13 , E2 , E4 ; quindi
 4k  2 2k  
2 k  
2
4k   3
2
  6
 
 2 i  
 2  j
Etot   


 i 

 j 
 
l  3 10
l
l  10 2 
  10
 
 3 10l

il cui modulo è
6
1
2
2
Nm2 5, 0 10 C  10 m 
2

  6

 2 
 2 

 
Etot  2  9, 0 10
C2
101 m
 3 10
  10

N
1,17 107
C
1
9
*** ***
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Pagina 9
Terza Parte: Calcolo del potenziale nei punti O ed E
Premessa
Per lo studio del potenziale generato dalla distribuzione di carica si fa riferimento alla
funzione potenziale generato da una carica puntiforme e si applica il principio di sovrapposizione
dei campi elettrici, valido anche agli effetti della creazione della funzione potenziale elettrico.
Si ricordi che la funzione potenziale di un campo elettrostatico è definita a meno di una costante
additiva.
Una carica puntiforme Q genera nello spazio vuoto in un punto P a distanza r dalla carica Q un
potenziale elettrico la cui espressione è
V k
Q
r
(1)
Nell’espressione indicata del potenziale si è assunto che il valore del potenziale sia nullo nei punti
infinitamente lontani dalla carica (r=+) .
Ricordiamo che nell’espressione del potenziale il valore della carica Q va preso con il segno della
stessa.
Potenziale nel punto O
Vogliamo provare che la distribuzione di carica
genera nel centro O del quadrato un potenziale
che in virtù della scelta della forma (1), applicando
il principio di sovrapposizione, è nullo.

Cariche presenti sui lati AB, CD
Facendo riferimento alla Figura 6, osserviamo
che la carica elementare dq (negativa)
centrata nel punto P1 crea un potenziale
opposto alla carica elementare dq (positiva)
centrata in P’1, simmetrico di P1 rispetto al
centro O. Poiché al variare di P1 sul lato CD per
ogni sua posizione possiamo considerare la
Figura 6
carica localizzata nel punto simmetrico P’1
suddetto, si deduce che il potenziale
complessivo in O dovuto alle cariche presenti sui lati AB, CD è zero.

Cariche presenti sui lati BC, AD
Facendo riferimento sempre alla Figura 6, per le cariche presenti sui lati BC, AD possiamo
sviluppare considerazioni analoghe a quelle per i lati AB, CD; in questo caso si considerano le
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Pagina 10
cariche elementari centrate nei punti P2 e P’2 che descrivono con il loro moto sincronizzato i
due lati BC e DA.
Concludiamo che il potenziale complessivo in O vale zero.
Potenziale nel punto E

Potenziale creato dalle cariche presenti sui lati
AB, CD
Facciamo riferimento alla Figura 7.
Osserviamo che per ogni posizione del punto P
sul lato CD possiamo considerare il punto P’
suo simmetrico rispetto all’asse x e le cariche
elementari in essi centrate le quali
determinano in E potenziali opposti, quindi
che si annullano; pertanto, tutta la carica
presente su AB determinerà in E un potenziale
opposto a quello determinato in E da tutta la
carica presente su CD. Il contributo al
potenziale in E dovuto alle cariche sui lati AB,
Figura 7
CD è perciò nullo.

Potenziale in E creato dalla carica presente sul lato BC
Facciamo riferimento alla Figura 8
Prendiamo un punto P sul lato BC giacente nel
primo quadrante e consideriamo il suo
simmetrico P’ rispetto all’asse x. Al variare di P
sul segmento FC il punto P’ descrive il
segmento FB. Le cariche elementari centrate
in P e P’creano in E potenziali uguali la cui
somma è
dV  2k 
dq
r
Risulta
l
l 
P  ; y  , con 0  y  ;
2
2 
EP  r 
EF 
Figura 8
3l
1
, con 0    arctg   ;
2cos 
3
3l
3l
3l
d ;
; FP  EFtg  y  tg , da cui dy 
2
2cos 2 
2
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Pagina 11
dq   dy 
3l
d ;
2cos 2 
quindi
dV  2k 
dq
3l
2cos 
2k 
 2k 
d 

d .
2
r
2cos 
3l
cos 
Il valore del potenziale generato da tutta la carica presente sul BC è dato dal seguente integrale
definito
1
arctg  
 3
 0
V2  
1
arctg  
 3
 0
dV  
2k 
d 
cos 
Per il calcolo dell’integrale indefinito
1
 cos  d
si deve utilizzare l’espressione di cos in
 
1  tg 2  
 2  . Risulta
funzione di cos  
 
1  tg 2  
2
 
1  tg 2  
1
 2  d ; ponendo tg     t si ricava   2arctg t , quindi

 
 cos  d  
2
2  

1  tg  
2
2dt
e si ottiene la seguente forma per l’integrale
d 
1 t2
1  t 2 2dt
dt
 1  t 2  1  t 2  2 1  t 2 .
Si procede con la decomposizione della frazione integranda in due fratti semplici:
1
1
1


, quindi
2
2 1  t  2 1  t 
1 t
2
dt
1
1

dt  
dt   ln 1  t  ln 1  t  C , con C costante reale.
2
1 t
1 t
1 t
Ritornando alla variabile  si ha
1
arctg  
 3
 0
V2  2k  
1
arctg  
 3

1
 
  
d  2k  ln 1  tg    ln 1  tg   
cos 
2
 2  0

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
Pagina 12

1
1
 1 
 1  
2k  ln 1  tg  arctg     ln 1  tg  arctg    
 3 
 3  
2
2

sen
 

 2  1  cos 
Dall’uguaglianza tg 

 1 
sen  arctg   
1
 1 
 3 

;
tg  arctg    

 1 
 3 
2
1  cos  arctg   
 3 

segue
sussistono inoltre le seguenti uguaglianze
sen  arctgy  
tgy
1  tg 2 y

y
1 y2
; cos  arctgy  
1
1  tg 2 y

1
1 y2
quindi



 1 
1
sen  arctg   

1 
1
1
 1 
 3 

3


tg  arctg    
: 1


1 
1
10  3
 1 
 3 
2
1  cos  arctg   
1
1 

9 
9
 3 

Valore del potenziale
1
arctg  
 3
 0
V2  2k  
 10  4 


1
1
1
d  2k   ln 1 
 ln 1 

   2k  ln 
cos 
10  3
10  3  

 10  2 
Osserviamo che il valore del potenziale è positivo.

Potenziale in E creato dalla carica presente sul lato AD
Facciamo riferimento alla Figura 9
Il procedimento da seguire è identico a quello
seguito per la determinazione del potenziale
dovuto alla carica presente sul lato BC; in
questo caso il valore del potenziale sarà
negativo.
Riportiamo le elaborazioni senza alcun
commento.
dq 
dV  2k 
;
r
l
 l 
P   ; y  ;0  y  ;
2
 2 
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Figura 9
Pagina 13
l
l

l
EG  ; GP  EGtg ; y  tg , con 0    ; dy 
d ;
2
2
4
2cos 2 
dq     dy 
 l
2 cos 2 
d ;
EP  r 
l
;
2cos 
dV  2k 
dq 
 l
2cos  2k  
 2k 
d



d ;
r
2cos 2 
l
cos 
V4  

4
 0
dV  2k 



4
0
1
d ;
cos 



1
 
 
 
  4
4
d


ln
1

tg

ln
1

tg

 
    ln 1  tg    ln 1  tg   ;
 0 cos 
8
8
2
 2  0

 
sen  
2
 
4 
tg   

 8  1  cos    2  2
 
4
2
2
 
 
ln 1  tg    ln 1  tg    ln 1 
 ln 1 
 ln 1  2
2 2
2 2
8
8


Conclusione
V4 


4
 0
2k  
d  2k    ln 1  2
cos 


Potenziale totale in E
Il potenziale totale creato da tutta la distribuzione di carica sui lati del quadrato ABCD nel punto
E vale
 10  4 

V  E   V2  V4  2k   ln 
  2k   ln 1  2 
 10  2 
  10  4 

2k   ln 
  ln 1  2 

  10  2 


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

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