COERENZA ED INTERFERENZA
Ulderico Wanderlingh
2 dicembre 2005
Dipartimento di Fisica, Università di Messina – [email protected]
Indice
0.1
0.2
0.3
0.4
Proprietà di coerenza della luce . . . . . . . . . . . .
Grado di coerenza spaziale e temporale al 1◦ ordine .
Coerenza spazio-temporale e contrasto di frangia . .
Interferometro di Michelson . . . . . . . . . . . . . .
0.4.1 Coerenza di una sorgente a incandescenza .
0.4.2 Misure differenziali di indice di rifrazione . .
1
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. 2
. 4
. 5
. 8
. 10
. 11
0.1. Proprietà di coerenza della luce
0.1 Proprietà di coerenza della luce
[L. Mandel - E. Wolf - Review of Modern Physics 37, 231 (1965)]
Una delle caratteristiche principali di una sorgente di radiazione EM e la
proprietà di coerenza della luce emessa. Si distingue usualmente tra coerenza spaziale e coerenza temporale del campo elettro magnetico
Coerenza spaziale dati due punti P1 , e P2 del fronte d’onda di un’onda e.m.
al tempo t0 , si chiamino E1 , e E1 i rispettivi campi elettrici. Al tempo
t0 , dalla definizione di fronte d’onda la differenza di fase tra E1 , e E1
sarà nulla. Se la differenza di fase rimane nulla, o comunque costante,
per qualsiasi t > t0 , i due punti del campo saranno fra loro coerenti. Se
i due punti P1 , e P2 sono due punti generici del fronte d’onda, allora
l’onda e.m. possiede coerenza spaziale.
Coerenza temporale in un generico punto P dello spazio si consideri il
campo elettrico del campo e.m. al tempo t e al tempo successivo t + τ .
Se la differenza di fase tra E(t) e E(t + τ ) rimane costante per qualunque t con 0 < τ < τ0 , l’onda si dirà coerente temporalmente, con un
tempo di coerenza pari a τ0 .
In realtà un onda totalmente coerente deve essere perfettamente monocromatica, ovvero avere un valore di k e di ω esattamente definiti. Una tale onda dovrebbe estendersi nello spazio e nel tempo indefinitivamente e
rappresenta quindi un concetto ideale alla stregua del punto materiale.1
Figura 1: Esempio di variazioni casuali nella fase
La figura ci mostra l’andamento di un’onda e.m. coerente, con tempo di
coerenza dato da τ0 . Il concetto di coerenza temporale è, come detto, intimamente legato a quello di monocromaticità. Un’onda monocromatica con
1
Difatti possiamo considerare un onda EM temporalmente finita come il prodotto tra
un onda infinita di frequenza ν e una funzione rettangolo. Lo spettro di tale prodotto,
essendo dato dalla convoluzione dei suoi fattori, conterrà la trasformata della funzione rettangolo centrata alla frequenza ν, introducendo così una distribuzione continua di
frequenze intorno a ν
2
0.1. Proprietà di coerenza della luce
3
una larghezza di banda ∆ν possiede un tempo di coerenza τ0 dell’ordine di
1/∆ν.
Riportiamo nello schema seguente le proprietà di tipiche sorgenti di radiazione:
Frequenza (1/sec)
Lungh. d’onda (mm)
Largh. di riga (Hz)
∆ν/ν
Tempo di coerenza (sec)
Lungh. di coerenza (cm)
lampada a scarica
6 ∗ 1014
500
109
1.6 ∗ 10−6
10−9
0.3
Laser
5 ∗ 1014
600
103
2 ∗ 10−12
10−3
3 ∗ 105
Trasmettitore RF
1010
3 ∗ 107
106
10−4
10−6
300
Per potere trattare matematicamente il concetto di coerenza conviene introdurre il concetto di segnale analitico. Consideriamo un’onda e.m. linearmente polarizzata; questa sarà individuabile da una sola grandezza scalare
e reale V re ($r, t), che può essere il modulo del campo elettrico, magnetico
oppure il modulo del potenziale vettore.
Sviluppiamo ora V re ($r, t) in serie di Fourier:
1 !∞
V ($r, ω)e−iωt dω
V ($r, t) =
2π −∞
re
che ammette ovviamente la relazione inversa:
1 ! ∞ re
V ($r, ω) =
V ($r, t)eiωt dt
2π −∞
(1)
(2)
Essendo V re ($r, t) reale, V ($r, −ω) = V ∗ ($r, ω), per cui possiamo considerare
soltanto il semipiano positivo delle componenti spettrali in ω. Quindi, accanto alla V re , possiamo considerare la quantità complessa V ($r, t), definita
dalla:
1 !∞
V ($r, ω)e−iωt dω
(3)
V ($r, t) =
2π 0
Si definisce quindi V ($r, t) come il segnale analitico complesso associato alla
V re ($r, t), con V re = 2#(V ).
Ad esempio, nel caso di un campo monocromatico, potremo scrivere V re =
A cos(ωt), allora si otterrà per il segnale analitico complesso: (A/2)eiωt
L’introduzione dei segnale analitico di Gabor è utile anche quando si
vuole fare una trattazione quantistica di campi elettro magnetici, infatti V
e V ∗ hanno una precisa corrispondenza con gli operatori di creazione e di
annichilazione introdotti nella seconda quantizzazione. Una volta definito
il segnale analitico, l’intensità I($r, t) viene semplicemente ottenuta dal suo
modulo quadro: I($r, t) = V ($r, t) · V ∗ ($r, t).
0.2. Grado di coerenza spaziale e temporale al 1◦ ordine
4
0.2 Grado di coerenza spaziale e temporale al 1◦ordine
Definiamo la f unzione di correlazione Γ1 al primo ordine, di un campo
elettro magnetico, la quantità:
1!T
Γ1 ($r1 , $r1 , τ ) = x→∞
lim
V ($r1 , t + τ )V ∗ ($r1 , t) dt
T −T
(4)
La grandezza Γ1 cosìdefinita, misura in pratica la correlazione tra il campo ad r1 al tempo t1 ed il suo complesso coniugato in r1 al tempo t2 , con
t2 − t1 = τ .
Se il processo è stazionario, la meccanica statistica ci dice che la media temporale precedentemente scritta equivale ad una media in ensamble, cioè una
media rispetto ad una certa distribuzione di configurazioni.
Si può allora scrivere:
Γ1 ($r1 , $r1 , τ ) = %V ($r1 , t + τ )V ∗ ($r1 , t)&
(5)
Definiamo ora una funzione di coerenza γ1 normalizzando la Γ1 alla
intensità media:
γ1 ($r1 , $r1 , τ ) =
Γ1
Γ1
=
∗
%V ($r1 , t)V ($r1 , t)&
%I($r1 , t)&
(6)
La funzione di correlazione γ1 così definita è tale che il suo modulo, detto
grado di coerenza temporale nel punto $r1 , sia sempre ≤ 1. In pratica, |γ1 | ci
dice quanto il segnale analitico al tempo t2 in r1 ricorda il segnale analitico
al tempo t1 sempre in r1 . L’andamento di γ1 è indicato nella figura 2; essa
sarà in genere una funzione di Gauss o di Lorentz, simmetrica in τ .
Si definisce allora tempo di coerenza temporale τ0 , quel tempo per cui
|γ1 | è pari a 1/2 . Analogamente si definisce lunghezza di coerenza l0 la
quantità l0 = cτ0 , con c velocità della luce. La lunghezza di coerenza così
definita rappresenta la lunghezza del treno d’onda nel quale non si hanno, in media, variazioni casuali della fase; ed è ben diversa dalla coerenza
spaziale, che è invece riferita a punti diversi sul fronte d’onda.
Analogamente definiamo una funzione di correlazione, al primo ordine,
tra i due punti $r1 ed $r2 , diversi ma considerati allo stesso istante:
1 !∞
V ($r1 , t)V ∗ ($r2 , t) dt = %V ($r1 , t)V ($r2 , t)&
x→∞ 2T −∞
Γ1 ($r1 , $r2 , 0) = lim
(7)
0.3. Coerenza spazio-temporale e contrasto di frangia
5
Inoltre, definiamo una funzione normalizzata:
γ1 =
Γ1 ($r1 , $r2 , 0)
[Γ1 ($r1 , $r1 , 0) · Γ1 ($r2 , $r2 , 0)]
1/2
=
Γ1 ($r1 , $r2 , 0)
%I($r1 , 0)&1/2 · %I($r2 , 0)&1/2
(8)
In modo analogo a quanto visto per la funzione di correlazione temporale,
dalla funzione di correlazione γ1 spaziale, passiamo al grado di coerenza
spaziale: |γ1 | ≤ 1.
I concetti espressi sopra si possono generalizzare definendo una funzione di correlazione mutua Γ1 ($r1 , $r2 , τ ) come:
Γ1 ($r1 , $r2 , τ ) = %V ($r1 , t + τ )V ∗ ($r2 , t)&
(9)
che, se normalizzata al valor medio fornisce:
γ1 ($r1 , $r2 , τ ) =
Γ1 ($r1 , $r2 , τ )
[Γ1 ($r1 , $r1 , 0) · Γ1 ($r2 , $r2 , 0)]
1/2
=
Γ1 ($r1 , $r2 , τ )
(10)
%I($r1 , 0)&1/2 · %I($r2 , 0)&1/2
Si definisce |γ1 ($r1 , $r2 , τ )| come grado di mutua coerenza, oppure grado
di coerenza spazio-temporale.
Molto spesso, per i segnali ottici a cui siamo interessati, lo spettro del
segnale analitico V ($r, ω) mostra valori apprezzabili solo in un intervallo ∆ω
molto piccolo rispetto alla frequenza media ω̄ dello spettro. Si può allora
scrivere:
V (t) = A(t)eı[α(τ )−ω̄τ ]
(11)
con A(τ ) e α(τ ) funzioni lentamente variabili. In particolare α(τ ) = ω̄τ +
arg γ1 (τ ),2 rappresenta la parte fluttuante del campo rispetto ad un suo valor
medio. Si dimostra che, con questa assunzione, la funzione di coerenza
spazio-temporale diventa:
γ1 = |γ1 | · eı[α(τ )−ω̄τ ]
(12)
0.3 Coerenza spazio-temporale e contrasto di frangia
Mediante un interferometro di Young, è possibile misurare il grado di coerenza spaziale tra i due punti x1 e x2 di un’onda elettro-magnetica nella
regione del visibile. L’interferometro di Young è costituito semplicemente
da uno schermo S1 in cui sono praticati due piccoli fori in corrispondenza
2
In genere il termine α(τ ) è del tipo α(τ ) = k n (r1 − r2 ) , dove n è l’indice di rifrazione
del mezzo, o anche α(τ ) = ω τ dove τ è il tempo impiegato dalla luce a coprire lo spazio
(r1 − r2 ).
0.3. Coerenza spazio-temporale e contrasto di frangia
6
Figura 2: Andamento della funzione γ1
dei punti x1 e x2 , ed uno schermo S2 su cui si forma la figura di interferenza
dovuta alla luce che passa attraverso i due fori.
Se l’onda è supposta essere perfettamente coerente dal punto di vista temporale, sullo schermo S2 si vedranno delle frange di interferenza che saranno tanto più nitide quanto più i due segnali definiti da V (x1 , t) e V (x2 , t) si
sono mantenuti in fase durante il tempo di misura frange (ad es. il tempo
di esposizione di una lastra fotografica). Quindi il grado di visibilità delle frange è una misura del grado di coerenza spaziale tra i punti x1 e x2 .
Definiamo infatti visibilità delle frange VP , nel punto P, la quantità
VP =
Imax − Imin
Imax + Imin
(13)
Ovviamente, se Imin = 0, si ha il massimo contrasto di frangia VP = 1,
mentre se Imin = Imax allora VP = 0, e l’onda è completamente incoerente.
Analizzando il fenomeno in maniera quantitativa, sia VP (t& ) il segnale
analitico al punto P , all’istante t& . Esso è ovviamente dovuto alla sovrapposizione dei segnali provenienti dai due fori, per cui:
VP (t& ) = K1 V1 (x1 , t& − t1 )) + K2 V2 (x2 , t& − t2 )
(14)
dove t1 = l1 /c e t2 = l2 /c.
Dalla teoria della diffrazione, risulta che le onde elementari diffratti sono
sfasate di 1/4 di periodo rispetto a quelle incidenti, allora:
π
K1 = |K1 | · e−i 2
π
K2 = |K2 | · e−i 2
(15)
Se definiamo adesso t = t& − t2 ed τ = t2 − t1 si ottiene
t& − t1 = t + t2 +τ − t2 = t + τ
t& − t2 = t
(16)
e così
VP = K1 V1 (x1 , t + τ ) + K2 V2 (x2 , t)
(17)
0.3. Coerenza spazio-temporale e contrasto di frangia
7
Figura 3: Interferenza alla Young
L’intensità in P sarà allora:
IP = VP VP∗ = I1 (t + τ ) + I2 (t) + 2#[K1 K2∗ V (x1 , t + τ )V ∗ (x2 , t)]
(18)
dove I1 e I2 sono le intensità in P dovute singolarmente alle emissioni dei
punti x1 e x2 e sono date da:
I1 = |K1 V1 (x1 , t + τ )|2 = |K1 |2 I(x1 , t + τ )
I2 = |K2 V2 (x2 , t)|2 = |K2 |2 I(x2 , t)
(19)
dove I(x1 , t + τ ) e I(x2 , t) sono le intensità nei punti x1 ed x2 .
Eseguendo adesso la media temporale su IP , si ottiene:
IP = %I1 & + %I2 & + 2|K1 | · |K2 | · #[Γ1 (x1 , x2 , τ )]
(20)
Ricordando ora che:
γ1 =
Γ1
[%I(x1 , t + τ )&%I(x2 , t)&]1/2
(21)
si ottiene nel caso in cui ∆ω << ω̄:
%IP & = %I1 & + %I2 & + 2[%I1 &%I2 &]1/2 · #[γ1 (x1 , x2 , τ )]
= %I1 & + %I2 & + 2%I1 &1/2 %I2 &1/2 · |γ1 | cos(α(τ ) − ω̄τ )
(22)
E’ questa l’espressione fondamentale dell’interferenza ottica. Essendo, come detto prima, |γ1 | e α(τ ) lentarnente variabili, ne segue che le variazioni di intensità di %IP & al variare di P , sono dovute alla rapida variazione
0.4. Interferometro di Michelson
8
del termine coseno, dovuta all’argomento ω̄τ . Pertanto, nell’intorno di P ,
avremo:
Imax = %I1 & + %I2 & + 2%I1 &1/2 %I2 &1/2 · |γ1 |
Imin = %I1 & + %I2 & − 2%I1 &1/2 %I2 &1/2 · |γ1 |
(23)
Ritornando alla definizione di contrasto di frangia VP , si ottiene
VP =
Imax − Imin
2%I1 &1/2 %I2 &1/2
=
· |γ1 (x1 , x2 , τ )|
Imax + Imin
%I1 & + %I2 &
(24)
Se le due aperture sono ugualmente illuminate, allora %I1 & = %I2 & e quindi:
VP = |γ1 (x1 , x2 , τ )|
(25)
Mettendoci poi in un punto P0 dello schermo, equidistante da x1 e x2 ovvero
(l1 = l2 ) si ottiene:
VP = |γ1 (x1 , x2 , 0)|
(26)
Quindi è stato dimostrato il legame diretto tra il contrasto di frangia ed il
grado di coerenza sia spazio-temporale, sia solo spaziale.
0.4 Interferometro di Michelson
Una maniera molto semplice per la misura della coerenza temporale è costituita dall’uso dell’interferometro di Michelson, con il quale è possibile far
sovrapporre il campo EM presente ad un certo istante t con quello presente
all’istante t ± τ , e quindi osservarne la figura di interferenza. Uno schema
dell’interferometro è mostrato nella figura.
Figura 4: Interferometro di Michelson
0.4. Interferometro di Michelson
Con tale geometria ottica, un fascio di luce viene diviso in due fasci da
uno specchio semiriflettente S1 che vengono fatti interferire tra loro sullo
schermo P , dopo essere stati individualmete riflessi da due specchi S2 (fisso) e S3 (mobile), tra loro paralleli e posti rispettivamente a distanza d2 e
d3 dallo specchio semiriflettente. In conseguenza di ciò, in un determinato
punto sullo schermo si ha luce o buio a seconda che 2(d3 − d2) sia pari ad un
numero intero o semintero di lunghezze d’onda. Ovviamente si otterranno
fenomeni di interferenza quando (d3 − d2) è piccola rispetto alla lunghezza di coerenza della sorgente. Se infatti aumentiamo eccessivamente tale
distanza (ad esempio spostando lo specchio S3), avremo una diminuzione
del contrasto di frangia. Cioè, il contrasto di frangia VP (τ ) sarà una funzione del valore τ = 2(d3−d2)
. Come per l’interferometro di Young si può
c
dimostrare che
VP (τ ) = γ1 (P, P, τ )
(27)
In questo caso allora il tempo di coerenza τ0 è quello per cui VP (τ ) si dimezza, VP (τ0 ) = VP (0)/2.
Se il fascio incidente è un onda sferica le frange saranno circolari e concentriche ed al variare della posizione di S3 si sposteranno in maniera radiale, verso il centro o verso la periferia a secondo che 2(d3 − d2) aumenti o
diminuisca. Se invece il fascio incidente è un onda piana le frange saranno
rettilinee e parallele agli specchi ed al variare di 2(d3 − d2) le si vedranno
traslare nella direzione perpendicolare.3
A volte può risultare coveniente piuttosto che variare la distanza dello specchio mobile ruotare lo stesso di un angolo θ. In queste condizioni
l’osservatore vedrà una serie di frange (paralele all’asse della rotazione) la
cui spaziatura a risulta essere inversamente proporzionale a sin θ4 , ovvero
λ
. Si realizzano così sullo schemo, nella direzione perpendicolare
a = 2 sin(θ)
all’asse della rotazione, diverse differenze di cammino e quindi diversi valori di τ e sarà possibile osservare e misurare la variazione del contrasto di
frangia γ1 (τ ).
3
Se si usa una sorgente laser si ha un onda piana ma di sezione troppo piccola che
dovrà essere opportunamente ingrandita tramite un ottica telescopica formata da due lenti
convergenti: una di focale corta (pochi mm) e una di focale lunga (diversi cm), allineate
sullo stesso asse con i fuochi sovrapposti.
Se si usa una lampada a filamento si ha un onda sferica, almeno distanze grandi rispetto alla dimensione del filamento, che potrà essere trasformata in onda piana ponendo la
sorgente nel fuoco della lente convergente a focale lunga.
4
Nota che se θ = 0 allora ci troviamo in condizione di macrofrangia, solo luce o solo
buio, che però prevede un allineamento esasperato di tutte le superfici ottiche.
9
0.4. Interferometro di Michelson
Figura 5: Contrasto di frangia vs. (d3 − d2)
0.4.1
Coerenza di una sorgente a incandescenza
La radiazione emessa da una semplice lampadina a filamento mostra un
tempo di coerenza molto breve, dell’ordine di 10−14 secondi, ed un altrettanto breve lunghezza di coerenza, di circa qualche micron. In queste condizioni è possibile osservare visivamente la variazione del contrasto di frangia e
osservare come questa sia dovuta alla sovrapposizione delle figura di diffrazione generate dalle diverse componenti in frequenza presenti nel fascio
bianco, che all’occhio appariranno diversamente colorate.
Data la breve lunghezza di coerenza di questa sorgente è fondamentale
che i due bracci dell’interferometro abbiano la stessa lunghezza (la tolleranza è dell’ordine del micron). Un allineamento grossolano viene eseguito
dapprima a mano usando la tacca di riferimento sull’iterferometro. L’allineamento fine viene fatto muovendosi lentamente nell’intorno di questa
posizione fino a vedere apparire le frange colorate di interferenza. Questa
procedura può risultare molto lunga e noiosa, piuttosto conviene osservare il segnale di interferenza con un fototubo collegato ad un oscilloscopio
con memoria di traccia, in modo da potere rilevare la rapida variazione del
segnale del fototubo prima che questa sparisca dallo schermo.
Una volta che le frange sono visibili è possibile registrarle collegando
il fototubo ad una opportuna scheda di acquisizione interfacciata con un
computer. Si procede quindi a muovere il fototubo perpendicolarmente alla
direzione delle frange per seguirne la variazione dell’intensità. La posizione
del fototubo è anchessa registrata tramite la scheda di acquisizione.
Volendo analizzare nel dettaglio la forma del segnale è necessario registrare anche il contributo proveniente dai singoli specchi, procedendo come
sopra dopo averli alternativamente oscurati. Inoltre, al fine di valutare l’angolo di cui è ruotato lo specchio mobile bisogna registrare nelle stesse condizioni la figura di diffrazione di una sorgente altamente coerente (laser) di
λ nota.
10
0.4. Interferometro di Michelson
0.4.2
11
Misure differenziali di indice di rifrazione
Data l’elevata sensibilità dell’interferometro di Michelson alle differenze di
cammino ottico questo può essere usato per fare misure relative estremamente precise di indice di rifrazione di un gas o di un liquido al variare di
un parametro esterno (ad esempio la pressione o la temperatura). A tale
scopo è necessario inserire, in uno dei due bracci dell’interferometro, una
camera a finestre trasparenti di lunghezza L, che può essere riempita con il
campione del gas o del liquido in esame.
In questo caso alla differenza di cammino otticoδ contribuirà, oltre ad
una eventuale differenza nella lunghezza dei bracci, anche, nel tratto percorso all’interno della camera, la differenza tra l’indice di rifrazione del
campione n1 e quella del mezzo esterno n0 .
δ = 2 (n0 (d1 − d2 ) + L(n1 − n0 ))
(28)
A parità delle altre condizioni se l’indice di rifrazione del campione n1 (x)
viene fatto variare in funzione di un parametro esterno x, si osserverà uno
spostamento laterale nella posizione delle frange, analogalmente a quanto
avviene spostando lo specchio mobile. Ovvero osservando l’intensità delle
frange in un determinato punto dello schermo questa verrà descritta da:
%IP &(x) = %I1 &+%I2 &+2%I1 &1/2 %I2 &1/2 ·|γ1 | cos
"
Le variazioni dell’intensità con il parametro esterno possono semplificarsi
nella forma:
#
"
4π
Ln1 (x) + φ + C
(29)
IP (x) = A cos
λ
√
dove C = %I1 & + %I2 &rappresenta il valore medio, A = I1 I2 e φ = 4π
(n0 (d1 −
λ
d2 ) + Ln0 rappresenta uno sfasamento costante che può essere posto uguale
a multipli di 2π aggiustando la posizione dello specchio mobile, la funzione
di autocorrelazione è considerata costante ed uguale ad uno5 .
Ad esempio volendo misurare l’indice di rifrazione dell’aria in funzione
della pressione n(p) occorrerà ottenere il vuoto nella camera ottica (o almeno una pressione tale da potere considerare l’indice di rifrazione uguale a
1). Si procederà poi a portare un massimo delle frange di interferenza in
corrispondenza dell’ingresso del fototubo, agendo sullo specchio mobile, in
modo da annullare l’effetto del fattore φ.
Quindi si procede ad un lento rientro dell’aria nella camera e contemporaneamente si registra sia l’intensità luminosa che la pressione, mentre le
frange scorrono davanti all’ingresso del fototubo. Un grafico dell’intensita
5
#
4π
(n0 (d1 − d2 ) + L(n1 (x) − n0 ))
λ
Questo prevede l’utilizzo di una sorgente fortemente coerente come il laser.
0.4. Interferometro di Michelson
12
luminosa verso la pressione mostrerà l’andamento descritto dall’eq:29 con
x = p. Questa funzione potrà infine essere fittata scegliendo una espressione per n(p), ad es. lineare n(p) = a · p + 1.
Altrimenti osservando che il passaggio da una frangia all’altra, davati al fototubo, comporta una variazione del termine 4π
Ln1 (p) pari a 2π possiamo
λ
contare il numero di frange α, che separano due valori di pressione p1 e p2 , e
valutare la variazione dell’incide di rifrazione:
n1 (p2 ) − n1 (p1 ) = α
λ
2L
nel caso si cominci a contare dal primo massimo n1 (0) = 1 si ottiene
λ
n1 (p) = α(p) 2L
+1
Allo stesso modo, nel caso di un liquido posto nella camera ottica e
del quale viene fatta variare la temperatura, si potrà conoscerne la dipendenza dell’indice di rifrazione dalla temperatura n(T ), a patto di conoscere il valore assoluto di n(T0 ) ad una certa temperatura di riferimento T0 :
λ
n(T ) = α(T ) 2L
+ n(T0 ).
