Esercitazione 17 gennaio 2012

Esercitazione di Matematica Discreta
(17 gennaio 2012)
Avvertenza: il punteggio massimo alle risposte viene attribuito solo in caso di
giustificazioni dettagliate del ragionamento
1) Calcolare quante diverse matrici 6x6 a valori nell’insieme {0,1,2,3} si possono
costruire con la condizione che ognuna contenga esattamente 8 valori =0 ed
esattamente 4 valori uguali a 2.
Soluzione: Principio delle scelte multiple: si devono scegliere 8 caselle in cui inserire
 36 
il valore 0 fra 36 caselle possibili (   possibili scelte); fissata tale scelta si devono
8 
 28 
scegliere 4 caselle in cui inserire il valore 2 fra 28 caselle possibili (   possibili
4 
scelte); fissata tale scelta, le restanti 24 caselle si devono riempire con valori 1 o 3
(224 possibili scelte). La soluzione è il prodotto di questi 3 numeri.
2) Dato A={1,2,3,4,5,6,7}, contare il numero delle funzioni f: A → A tali che f(5) è
pari, e fra queste contare quelle surgettive.
Soluzione: Principio delle scelte multiple: la scelta di f(5) si può effettuare in 3 modi
possibili, la scelta di f(1),f(2),f(3),f(4),f(6),f(7) in 7 modi (per ciascuna immagine),
dunque la prima risposta è il prodotto 3⋅76. Nel caso in questione una funzione è
surgettiva se e solo se è iniettiva: per contare le iniettive si usa come sopra il
proncipio delle scelte multiple, ottenendo il prodotto 3⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 (ad ogni passo il
numero delle scelte per le immagini diminuisce).
3) Si consideri il grafo semplice non orientato in cui i vertici sono i numeri naturali di
6 cifre (in base 10) con cifre scelte fra 2,4,7, e in cui due vertici distinti x,y sono
adiacenti (cioè collegati da un arco) se differiscono per un multiplo di 10. Quante
componenti connesse ha il grafo ? Qual è il suo numero cromatico ? Esiste in qualche
componente (considerata come grafo a sé stante) un cammino Euleriano ?
Soluzione: Due vertici distinti x,y sono adiacenti se hanno la stessa ultima cifra,
quindi vi sono 3 componenti connesse, una per ogni possibilità dell’ultima cifra. In
ogni componente tutti i vertici sono adiacenti fra loro quindi il numero cromatico di
ogni componente coincide con il numero dei vertici (che è 35) e questo è anche il
numero cromatico del grafo. In ogni componente ogni vertice è adiacente a tutti gli
altri, quindi ha grado 35-1 (pari) cioè esiste in ogni componente un cammino
Euleriano (ciclico).
4) Svolgere l’Esercizio 3 ma con la regola di adiacenza espressa da: due vertici
distinti x,y sono adiacenti (cioè collegati da un arco) se hanno l’ultima cifra
differente.
Soluzione: Dati 2 vertici distinti x,y essi sono collegati da un arco (se hanno l’ultima
cifra differente) o da un cammino di lunghezza 2 (se hanno l’ultima cifra uguale)
quindi il grafo è connesso ed ha 1 componente connessa. Il numero cromatico è 3:
basta colorare con lo stesso colore i vertici che hanno la stessa ultima cifra. Ogni
vertice è adiacente a quelli che hanno l’ultima cifra differente dalla sua, quindi ha
grado 2⋅35 (pari): nel grafo (unica componente connessa) esiste un cammino
Euleriano (ciclico).
5) Dimostrare che, per ogni naturale n, la somma di tutti i numeri naturali consecutivi
da 3 ad n+3 (inclusi) coincide con il numero il numero (n2+7n+6)/2.
Soluzione: Si può usare il principio di induzione. Per n=1 si deve verificare che è
vera l’affermazione “la somma di tutti i numeri naturali consecutivi da 3 ad 1+3
(inclusi) coincide con il numero il numero (12+7+6)/2”: in effetti 3+4=7=(12+7+6)/2.
Supponendo vera l’affermazione per n=k, dimostriamola vera per n=k+1, cioè
dimostriamo che “la somma di tutti i numeri naturali consecutivi da 3 ad (k+1)+3
(inclusi) coincide con il numero il numero ((k+1)2+7(k+1)+6)/2”. In effetti la somma
di tutti i numeri naturali consecutivi da 3 ad (k+1)+3 si ottiene sommando la somma
di tutti i numeri naturali consecutivi da 3 ad k+3 (che per ipotesi è (k2+7k+6)/2) con
l’ulteriore numero k+4: con facili calcoli algebrici si ottiene appunto
((k+1)2+7(k+1)+6)/2, come si voleva.
6) Dato l’insieme A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} e i sottoinsiemi B={1,2,3,4}, C={3,4,5,6,7},
D={1,3,4,6,7,8}, calcolare il numero di funzioni f: A → A tali che almeno 2 fra
B,C,D abbiano gli elementi della loro intersezione che hanno immagini tutte pari.
Soluzione: Si può usare il principio di inclusione-esclusione in forma positiva.
Essendo B∩C={3,4}, B∩D={1,3,4}, C∩D={3,4,6,7}, basta costruire i 3 insiemi
X,Y,Z seguenti:
X={funzioni f tali che f(3),f(4) sono pari}
Y={funzioni f tali che f(1),f(3),f(4) sono pari}
Z={funzioni f tali che f(3),f(4),f(6),f(7) sono pari}
e calcolare la cardinalità dell’unione X∪Y∪Z con la formula:
X∪Y∪Z=X+Y+Z-{X∩Y+X∩Z+Y∩Z}+X∩Y∩Z=
=4297+4396+4495-{4396+4495+4594}+4594=4297
(dove i valori numerici si ottengono dal principio delle scelte multiple).
7) Calcolare il numero delle matrici booleane con 3 righe e 4 colonne tali che nella
prima colonna non vi sono due caselle adiacenti contenenti entrambe il valore 0.
Soluzione: Si può usare il principio inclusione-esclusione in forma negativa. Se A è
l’insieme delle matrici booleane 3x4, e se X,Y sono rispettivamente i sottoinsiemi di
A formati dalle matrici in cui la 1a e la 2a casella, la 2a e la 3a casella della prima
colonna contengono entrambe il valore 0, si calcola
A-X∪Y, con A=212,X∪Y=X+Y-X∩Y=210+210-29
(dove i valori numerici si ottengono dal principio delle scelte multiple).
8) Si consideri il grafo semplice non orientato, in cui i vertici sono tutti i numeri
naturali di 8 cifre (in base 10) con cifre scelte fra 1,2,4,5,7 e in cui due vertici distinti
x,y sono collegati da un arco se la seconda cifra di x e la seconda cifra di y
differiscono di 3 unità. Calcolare il numero di componenti connesse del grafo, e il
numero di vertici di ogni componente. Calcolare il numero cromatico del grafo. In
ogni componente connessa (considerata come grafo a sé stante) dire se esiste un
cammino Euleriano ciclico o non ciclico.
Soluzione: Ogni vertice con la seconda cifra 1 è adiacente ad ogni vertice con la
seconda cifra 4 che a sua volta è adiacente ad ogni vertice con la seconda cifra 7; ogni
vertice con la seconda cifra 2 è adiacente ad ogni vertice con la seconda cifra 5. Vi
sono dunque 2 componenti connesse, la prima componente contenente i vertici con la
seconda cifra 1 o 4 o 7 (57+57+57 vertici), la seconda componente contenente i vertici
con la seconda cifra 2 o 5 (57+57 vertici).
La seconda componente ha numero cromatico 2 (un colore per i vertici con la
seconda cifra 2 e un altro per quelli con la seconda cifra 5). Anche la prima
componente ha numero cromatico 2 (un colore per i vertici con la seconda cifra 1 o 7
e un altro per quelli con la seconda cifra 4). Dunque il numero cromatico del grafo è
2.
Nella prima componente ogni vertice con la seconda cifra 4 ha grado 57+57 (pari), ma
ogni vertice con la seconda cifra 1 o 7 ha grado 57 (dispari). Nelle seconda
componente ogni vertice ha grado 57 (dispari). Dunque in nessuna componente esiste
un cammino Euleriano (né ciclico né non ciclico), perché vi sono più di 2 vertici di
grado dispari.
9) Sia dato un grafo non orientato con un numero 10 di vertici, e in cui ogni vertice
ha grado 5. Se fissiamo un vertice v, quanti cammini diversi di lunghezza 6 e con
vertice iniziale v esistono nel grafo ? Quanti cammini diversi di lunghezza 6 esistono
in tutto nel grafo ?
Soluzione: Partendo dal vertice v, la scelta del primo arco da percorrere nel cammino
si può effettuare in 5 modi diversi (perché v ha grado 5); fissata tale scelta e percorso
il primo arco, si arriva su un secondo vertice w, e la scelta del secondo arco da
percorrere nel cammino si può effettuare di nuovo in 5 modi diversi (perché w ha
grado 5). Così procedendo, essendo 6 gli archi da percorrere, per il principio delle
scelte multiple si ottengono in tutto 56 cammini diversi di lunghezza 6 e con vertice
iniziale v. Se consideriamo tutti i cammini di lunghezza 6 nel grafo, la scelta del
vertice iniziale si può effettuare in 10 modi diversi, e, fissata tale scelta per il vertice
inziale, abbiamo già dimostrato che il numero di cammini è 56: per il principio delle
scelte multiple il numero di cammini diversi di lunghezza 6 nel grafo è il prodotto
10⋅56.