Soluzioni Compito 3 marzo 2011:
1) Si può utilizzare il principio delle scelte multiple: i numeri naturali di 7 cifre, tutte diverse da 0,
sono in numero 97 (ognuna delle 7 cifre ha 9 possibili valori); fra questi numeri, quelli in cui la cifra
4 non è presente sono in numero di 87 (ognuna delle 7 cifre ha 8 possibili valori). La soluzione è
dunque la differenza 97-87 . Nel caso di cifre tutte distinte si tratta di disposizioni semplici, e
ragionando come sopra si ottiene la soluzione 9876543 - 8765432 .
2) Si può usare il principio di inclusione-esclusione in forma negativa. L’insieme A contiene 612
matrici. Si costruiscono i sottoinsiemi X,Y,Z di A contenenti le matrici tali che nella prima riga le
caselle dalla prima alla quarta (dalla seconda alla quinta, dalla terza alla sesta rispettivamente)
contengono numeri pari. La soluzione si ottiene sottraendo da A=612 la cardinalità dell’unione di
X,Y,Z data a sua volta da:
X+Y+Z-{XY+ XZ + YZ }+ XYZ =
6834+6834+6834-{6735+6636+6735}+6636.
3) Si può usare il principio di induzione; per n=1 l'affermazione è vera perchè f(1)=1/3=1(1+1)/6.
Supponiamola vera per un generico valore n, e dimostriamola vera per il valore (n+1).
Dunque per ipotesi è vero per ipotesi che la somma delle immagini dei numeri 1,2,…..,n è n(n+1)/6
e dobbiamo dimostrare che la somma delle immagini dei numeri 1,2,…..,n,n+1 è (n+1)(n+2)/6.
Ma tale somma si ottiene sommando n(n+1)/6 all’immagine di (n+1) ottenendo così:
n(n+1)/6 + f(n+1) = n(n+1)/6 + (n+1)/3 = (n+1)(n+2)/6
come richiedeva la tesi.
4) Si può utilizzare il principio delle scelte multiple: le possibili immagini per ciascuno dei 2 numeri
pari sono in numero di 66 (è il numero delle matrici 2x3 con 6 valori possibili in ogni casella); le
possibili immagini per ciascuno dei 3 numeri dispari sono in numero di 64 (è il numero delle matrici
con la prima colonna vuota). La risposta al primo quesito è allora il prodotto (66 )2(64)3=624.
5) I vertici che hanno 1 come elemento in prima riga e colonna sono adiacenti a quelli che hanno 3
come tale elemento, mentre i vertici che hanno 2 come tale elemento sono tutti adiacenti fra loro: si
formano dunque 2 componenti connesse, la prima contenente i vertici che hanno 1 o 3 come
elemento in prima riga e colonna, la seconda contenente i vertici che hanno 2 come tale elemento.
Nella prima componente connessa vi sono 33+33=54 vertici. Nella seconda componente vi sono
33=27 vertici. La prima componente ha numero cromatico 2 (basta colorare con un colore ogni
vertice che ha 1 come elemento in prima riga e colonna con un colore, e con un secondo colore gli
altri vertici); la seconda ha numero cromatico 27 (uguale al numero dei vertici), quindi il grafo ha
numero cromatico 27.
Nella prima componente connessa ogni vertice ha grado 33=27 (dispari): non esiste in essa un
cammino Euleriano ciclico. Nella seconda componente ogni vertice è adiacente a tutti gli altri,
quindi ogni vertice ha grado 27-1=26 (pari): esiste in essa un cammino Euleriano ciclico.
