Università degli Studi di Milano Forze elettriche, campi e potenziale

Università degli Studi di Milano
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Corsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le Telecomunicazioni
Anno accademico 2011/12, Laurea Triennale, Edizione diurna
FISICA
Lezione n. 10 (4 ore)
Forze elettriche, campi e potenziale elettrostatico
Carlo Pagani (A-G) & Flavia Maria Groppi (H-Z)
Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA
Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)
web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani
e-mail: [email protected] & [email protected]
La carica elettrica
E’ esperienza comune che la materia può contenere della
carica elettrica e molti dei fenomeni associati ad essa sono già noti:
fulmini, scariche, attrazione elettrostatica ecc.
La materia ordinaria contiene enormi quantità di carica elettrica anche
se risulta normalmente nascosta: infatti contiene un numero identico di
cariche positive e negative, risultando così elettricamente neutra.
E’ pero possibile, ad esempio per sfregamento, generare in un corpo un
eccesso di carica di un dato segno, tale corpo avrà allora una carica
netta.
Esiste in natura una forza sensibile allo stato di carica di un corpo:
cariche elettriche dello stesso segno si respingono, cariche di
segno opposto si attraggono.
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica - Lez. 10 - 2011-12
Materia, conduttori ed isolanti
La struttura stessa degli atomi è responsabile della natura elettrica della
materia:
– Protoni con carica positiva e neutroni, privi di carica,
formano un nucleo centrale
– Elettroni carichi negativamente orbitano intorno al nucleo
– L’atomo ha una struttura complessivamente neutra, ma
può perdere o acquisire carica per ionizzazione
E’ possibile classificare le sostanze in funzione della facilità che hanno
le cariche elettriche a muoversi attraverso di esse:
– Conduttori: le cariche si muovono abbastanza liberamente, come nel rame
o nei metalli in genere
– Non conduttori o isolanti: le cariche non si muovono affatto, come la
gomma, la plastica o il vetro.
– Semiconduttori: sostanze dal comportamento intermedio, come il silicio o il
germanio utilizzati nei circuiti integrati.
– Superconduttori: sostanze perfettamente conduttrici in cui le cariche si
spostano senza ostacolo alcuno, come il niobio al di sotto della temperatura
di 9 K che viene utilizzato negli acceleratori di particelle.
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica - Lez. 10 - 2011-12
La legge di Coulomb
Due particelle con cariche elettriche di modulo q1 e q2, poste ad una
distanza r, subiscono una forza elettrostatica data dalla
legge di Coulomb:

q1 q2
F k 2
r
C.A. Coulomb,
1785
Ciascuna delle cariche esercita una forza F sull’altra, si tratta di una
coppia di azione-reazione.
La forza è sempre diretta lungo la direttrice tra le due particelle, nel verso
di allontanamento se si respingono e nel verso di avvicinamento se si
attraggono.
E’ evidente l’analogia con la forza di gravitazione universale di Newton, k
è detta costante elettrostatica.
L’unità di misura SI per la carica è il coulomb (C) e la costante k è pari a:
N  m2
k
 8.99 10
4  0
C2
1
Carlo Pagani & Flavia Groppi
9
con
4
N   kg  m  s 2 
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Concetti e formule fondamentali
Alcune concetti fondamentali:
La quantità di carica elettrica Q in transito nell’intervallo di tempo  t è
detta corrente elettrica. L’unità SI della corrente è l’ampere [A].
i
dQ
Q
 lim
dt t 0 t
[ A] 
[C ]
[ s]
1 C  1 A  1 s 
La costante elettrostatica è determinata dall’espressione:
k
1
4 0
 0  8.85 10
12
C2
 costante dielettrica del vuoto
2
N m
Diversamente da Coulomb o Franklin oggi sappiamo che la carica
elettrica è quantizzata, ovvero che essa è sempre e solo multiplo di
una carica elementare detta e. Per qualsiasi q vale che:
q  ne ; n  1,  2, ... ; e  1.602 10 19 C
Ad ogni livello dell’indagine fisica, da quello atomico a quello
macroscopico, è sempre verificato il principio di conservazione della
carica elettrica formulato da B. Franklin.
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Fisica x Informatica - Lez. 10 - 2011-12
Tavola Periodica degli elementi
Nella Tavola periodica gli elementi sono ordinati secondo il numero di cariche
elementari positive (protoni) che sono contenute nei rispettivi nuclei. Intorno ai
nuclei “ruotano” altrettante cariche elementari negative (elettroni) in modo che
l’atomo sia elettricamente neutro.
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Fisica x Informatica - Lez. 10 - 2011-12
Campo elettrico e linee di forza
L’azione a distanza caratteristica della forza elettrostatica viene spiegata in fisica
grazie al concetto di campo elettrico:
– Il campo elettrico è vettoriale, consiste in una distribuzione di vettori nello spazio intorno
ad una particella carica.
– Supponiamo di esplorare tale spazio tramite una particella con carica positiva di prova
q0. Se F è la forza a cui la particella è soggetta in un dato punto P(x,y,z), il campo
elettrico in P vale:
Analogia con il campo gravitazionale

 Fel
E
con q0  1  C
q0

ag 

Fg
m0
con m0  1  kg
E = forza per unità di carica ag = forza per unità di massa
Il campo elettrico in un certo spazio può essere visualizzato attraverso le sue
linee di forza:
– In ogni punto la tangente alla linea indica la direzione del campo elettrico
– La densità di linee per unità di superficie normale è proporzionale alla intensità del
campo elettrico: le linee si addensano dove il campo è più intenso
– Si consideri che la particella di prova è sempre positiva: le linee escono dalle cariche
positive ed entrano in quelle negative
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Fisica x Informatica - Lez. 10 - 2011-12
Campo elettrico e linee di forza - 2
Le linee di forza tracciano sempre traiettorie chiuse; nel caso di cariche
di un solo segno si suppongono chiuse su cariche lontane (all’infinito).
Ecco qualche esempio di linee di forza e di vettore campo elettrico
corrispondente per semplici distribuzioni di carica:
Singola carica
negativa.
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Coppia di cariche
positive
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Coppia di cariche di
segno opposto:
dipolo elettrico
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Campo di una carica puntiforme
Utilizziamo la carica di prova positiva q0 per descrivere il campo elettrico
di una singola carica puntiforme q in funzione della distanza r:
– L’intensità della forza è data dalla legge di Coulomb:

1 q q0
F 
4 0 r 2
– L’intensità del vettore campo elettrico è allora data da:

 F
1 q

E 
q0 4 0 r 2
– Vale il principio di sovrapposizione, dunque è possibile calcolare allo
stesso modo il campo generato da più cariche puntiformi qi come:



  

1 qi  q0 
F1 F2
 r
r e r 
E  E1  E2  ...    ... con Fi 
2
4 0 r
q0 q0
r
– Ciascun contributo Ei corrisponde al campo elettrico che sarebbe generato se
la carica q i fosse l’unica presente!
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Esempio: Campo di un dipolo elettrico
Utilizziamo il principio di sovrapposizione per esprimere il campo elettrico
generato da un dipolo elettrico lungo il suo asse (asse z):
E  E   E  
1
q
4 0 r 2

1
q
4 0 r 2

1
q
2
4 0 
d
z 
2


1
q
2
4 0 
d
z 
2

Che può essere riscritta come:
2
2

d 
d  

E
1    1   
2 
4 0 z  2 z 
 2 z  
q
Quando ci troviamo a grandi distanze dal dipolo
possiamo approssimare il risultato considerando
che z >> d. L’espressione risultante è:
E
q
2d
1 qd
1 p


4 0 z 2 z
2 0 z 3 2 0 z 3
;
p  qd
p = qd è il momento di dipolo elettrico, contiene
le due grandezze intrinseche del dipolo.
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Moto di una carica in campo elettrico
Per descrivere il moto di una particella carica q in un campo
elettrico E(x,y,z) è sufficiente considerare che in ogni punto
P la forza sulla particella è data da:


F qE
Considerazioni importanti:
– Il campo è un campo esterno: esso non è quello generato dalla
particella che in esso si muove. Corollario: un corpo carico non
risente del proprio campo elettrico !
– Il campo elettrico ha lo stesso verso della forza se la particella ha
carica positiva, ha il verso opposto se ha carica negativa.
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Flusso del campo elettrico
Se in una data porzione di spazio è presente un campo vettoriale, ogni
superficie arbitraria dà luogo ad un flusso di campo determinato dalle
linee di campo che la superficie intercetta.
Introduciamo il vettore areale, il cui
modulo è pari all’area della superficie A
e la cui direzione è normale al piano
dell’area. In un campo elettrico costante
Il flusso è definito come:
 
 E  E  A
Se consideriamo una superficie chiusa, possiamo
sommare il contributo di tutti i piccoli piani di area
 A che la compongono:
– Il campo E può essere ritenuto costante su aree
così piccole
– Facendo tendere a zero l’area dei piani  A:
 
 E   E  dA
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Fisica x Informatica - Lez. 10 - 2011-12
Legge di Gauss
La legge di Gauss mette in relazione il flusso netto di campo elettrico
attraverso una superficie chiusa (detta anche superficie gaussiana) con la
carica netta qint che è racchiusa all’interno della superficie. Vale che:
 
qint   0  E   0  E  dA
Legge di Gauss
– Se la carica netta è positiva il flusso è uscente,
se è negativa il flusso è entrante.
– Forma e posizione delle cariche non hanno
importanza!
– Cariche esterne alla superficie danno un flusso
netto pari a zero: tutte le linee di forza entrano
ed escono.
Ad esempio si considerino le superfici in figura:
– S1: carica netta positiva, flusso positivo
– S2: carica netta negativa, flusso negativo
– S3: niente carica, flusso netto nullo
– S4: carica netta nulla, flusso nullo
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Fisica x Informatica - Lez. 10 - 2011-12
Applicazione della legge di Gauss ai conduttori
Campo elettrico all’interno dei conduttori:
– In un conduttore le cariche in eccesso sono libere di muoversi e la repulsione
elettrostatica le spinge tutte a disporsi sulla superficie esterna
– Applicando la legge di Gauss ad una superficie chiusa
tutta interna al conduttore osserviamo che essa
non racchiude alcuna carica:
• il campo elettrico è nullo all’interno dei conduttori!
Campo elettrico sulla superficie dei conduttori:
– Consideriamo una piccola superficie cilindrica “a cavallo”
dello strato più esterno
– Sia  [C/m2] la densità superficiale di carica:
– Non c’è flusso nella superficie interna poiché E = 0
– Non c’è flusso in quella laterale perché il campo è
ortogonale al vettore areale
– Il solo contributo al flusso è dato dalla faccia esterna

qint   0 E A   A  E 
0
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Fisica x Informatica - Lez. 10 - 2011-12
Ancora sui conduttori …
Alcune considerazioni ulteriori sui conduttori:
– Su oggetti asimmetrici la carica elettrica in eccesso non si distribuisce
necessariamente in modo omogeneo, la densità superficiale tende ad essere
maggiore laddove il raggio di curvatura è minore (punte, spigoli etc.).
• Il campo sulla superficie è sensibile alla sola densità superficiale di carica, ne
segue quindi che il campo elettrico ha valori più alti in prossimità di spigoli vivi: è
l’effetto punta.
– Le cariche sui conduttori si dispongono sempre in modo da determinare
campo elettrico nullo all’interno, anche se il conduttore non presenta cariche
in eccesso.
• Le linee di forza si arrestano alla superficie e sono ad essa perpendicolari
– Si consideri il caso di un conduttore con una
cavità che racchiuda una carica - q:
• Sulle superfici interna ed esterna del conduttore
cavo si formano delle cariche –q e +q tali che
il campo all’interno del conduttore (in azzuzzo nella
figura) sia nullo e il conduttore rimanga neutro.
• Tali cariche sono dette cariche immagine.
• La configurazione interna della carica è insondabile
dall’esterno, così come la carica interna non risente
in alcun modo di quelle esterne.
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Energia potenziale elettrica
La forza elettrostatica è conservativa, possiamo allora definire per essa
un’energia potenziale elettrica  U tale che:
 U  U f  U i  Lapp   L
Dove L è il lavoro compiuto dal campo elettrico nel passare da i a f, mentre
Lapp= - L è il lavoro compiuto da una forza esterna per passare dalla
configurazione iniziale a quella finale
La configurazione di riferimento per un sistema di particelle cariche è
quella in cui esse siano infinitamente distanti, a tale configurazione
assegniamo una energia potenziale nulla.
Se indichiamo con L∞ il lavoro compiuto dal campo elettrico per portare una
carica dall’infinito alla configurazione finale, l’energia Uf = U sarà pari a:
U   L
In perfetta analogia con la gravitazione, il lavoro compiuto non dipende
dal percorso effettuato ma solo dalla scelta delle configurazioni iniziale e
finale.

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Il potenziale elettrico
L’energia potenziale di una carica dipende dal valore della carica stessa,
invece l’energia potenziale per unità di carica ne è indipendente. Essa
viene chiamata potenziale elettrico ed è dunque data da:
U
V
q
e
Uf
U i U
L
 V  V f  Vi 



q
q
q
q
– Il potenziale V(x,y,z) è un campo scalare, la sua unità di misura
SI è il volt [V] = [J]/[C] = [J]/[A·s], ricordando che 1C=1A·1s
– Il campo elettrico E può dunque essere anche
misurato in V/m:
1 V  
1 J 
1 C 
E   N   J / m  V 
C  C  m
Il luogo dei punti nello spazio aventi il medesimo potenziale è chiamato
superficie equipotenziale:
– Le linee di forza sono sempre ortogonali
alle superfici equipotenziali
– Un percorso i cui punti iniziale e finale
giacciano su una superficie equipotenziale
compie lavoro nullo.
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Calcolo del potenziale elettrico
Ricaviamo un espressione per il calcolo del potenziale elettrico
– dalla definizione stessa di lavoro
e di campo elettrico:
 
 
dL  F  ds  q0 E  ds
– integrando lungo la traiettoria scelta:
f
 
L  q0  E  ds
i
– e dalla definizione di potenziale:
f
 
V  V f  Vi    E  ds
i
Il risultato è l’integrale di linea della grandezza E·ds lungo la traiettoria
Se come punto iniziale assumiamo il punto di riferimento a cui associamo
potenziale nullo, Vi = 0, si ha:
f
 
V    E  ds
i
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Potenziale di carica puntiforme
Utilizziamo l’espressione appena ricavata per calcolare il potenziale elettrico nello
spazio intorno ad una carica puntiforme, rispetto al potenziale nullo.
Dato che la traiettoria scelta non influenza il risultato, scegliamo quella più semplice,
lungo la direzione radiale.
Per la traiettoria scelta, con q>0, si ha :
 
E  ds  E ds cos   E ds
inoltre ds diventa dr e i limiti di integrazione sono ri = ∞
ed rf = R. Dunque:
R

1 q
V  V f  Vi  VR  V    E dr  
dr 
2
4 0 r
R


1
q  1


dr
 
2

4 0 R r
4 0  r 
q
Quindi, in generale:


R
1
q
4 0 R
1
q
V (r ) 
4 0 r
E, per un insieme di n cariche puntiformi:
n
V (r )   Vi 
i 1
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n
qi

4 0 i 1 ri
1
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Calcolo del campo elettrico dato il potenziale
Percorrere il cammino inverso, ovvero determinare il campo elettrico E noto il
potenziale V(x,y,z) nello spazio, richiede una derivazione.
Vale sempre che il campo elettrico è perpendicolare alla superficie equipotenziale
passante per P(x0,y0,z0).
Dalle definizioni stesse di lavoro e potenziale:
dL  dU   q0 dV  q0 Eds cos   q0 E cos  ds
E cos   Es  
dV
ds
Es è proprio la componente di E lungo la direzione di ds.
Dunque, in generale la componente di E in qualsiasi direzione è la derivata
del potenziale elettrico, cambiata di segno, lungo quella direzione.
Rispetto agli assi x, y e z:
V ( x, y, z )
V ( x, y, z )
V ( x, y, z )
Ex  
; Ey  
; Ez  
x
y
z
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

 E  V
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Appendice: analogia con la forza gravitazionale
Elettrostatica
Grandezza
Espressione Unità
Forza
Costante
Gravitazione
F k
q1 q2
N
r2
k  8.99 10


F qE
9
Grandezza
kg m
s2
Espressione Unità
F G
Forza
N m2
C2
m1m2
r2
G  6.67 10
Costante
11


F ma
N m 2 kg m 3 s 2
2
3 4


[k ] 
kg
m
s
A
( A s) 2
C2
k
1
4  0
N
kg m
s2
N m2
kg 2
 0  8.854 10 12
( A s) 2
C2
1
3
4
2


[ 0 ] 
kg
m
s
A
N m 2 kg m 3 s  2
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica - Lez. 10 - 2011-12
Esescizi Lezione 10
Esercizi da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Raymond A. Serway, John W.
Jewett Jr. Esercizi di Fisica. Guida ragionata alla soluzione (EdiSES).
19.1: Verificare l’esattezza della seguente affermazione di R. Feynman: due persone di
70 kg distanti un metro che avessero un numero di elettroni maggiore dell’1% rispetto al
numero di protoni, si respingerebbero con una forza pari alla forza peso associabile alla
massa della terra. Si ricordi che l’unità di massa atomica u=1.66·10-27 kg. [70 kg ≈ 4·1028 u ⇒ Q ≈ 2
·1026 e ≈ 3·107 C ⇒ F ≈ 1026 N ≈ Mt ·g = 6·1024 ·9.8]
19.2: Tre cariche puntiformi sono poste ai vertici di un triangolo equilatero di lato L = 0.500
m, e valgono rispettivamente: QA = 2  C, QB = -4  C, QC = 7  C. Determinare la forza
agente sulla carica QC generata dai campi prodotti dalle cariche QA e QB.
[ F1 = (0.252i + 0.436j) N ; F2 = (0.503 i - 0.872j) N ; F=F1+F2=(0.755i - 0.436j) N ; |F |=0.872 N, =-30°]
19.10: Due piccole sfere di massa M sono sospese a delle funicelle di lunghezza L
collegate in un punto. Una sfera ha carica Q e l’altra 2 Q, mentre la loro distanza è r<<L.
Assumendo che gli angoli siano piccoli in modo che si possa scrivere sin = tan =  (in
radianti) si dimostri: a) che 1 = 2 = r/(2L), b) che r = [(4kQ2L)/(Mg)]1/3
19.11: Una sfera isolante di raggio a ha una densità di carica uniforme  e una carica
totale Q. La sfera è concentrica ad una sfera cava conduttrice che la contiene e ha raggi
interno e esterno rispettivamente b e c. Sapendo che la sfera esterna conduttrice non è
carica, si determini: a) l’intensità del campo elettrico nelle regioni: r<a, a<r<b, b<r<c, r>c;
b) la densità di carica indotta sulla superfici interna ed esterna della sfera cava. [ a) Er<a=
(r)/(30), Ea<r<b= Q/(40 r2), Eb<r<c= 0, Er>c= Q/(40 r2), b) int=-Q/(4b2), ext=Q/(4c2) ]
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Fisica x Informatica - Lez. 10 - 2011-12
Esescizi Lezione 10 - continua
20.4: Dimostrare che la quantità di lavoro L necessario per mettere insieme quattro
cariche puntiformi identiche di grandezza Q ai vertici di un quadrato di lato a è dato da:
L = 5.41·k·Q2 / a. Calcolare il lavoro necessario nel caso in cui sia Q=1C e a=1m
[ 4.9 · 10-2 J ]
Date 2 cariche puntiformi Q1=1C e Q2 =-1C giacciono su un piano nelle posizioni P1
(1,2) e P2 (-1,-2). Sapendo che tutte le coordinate sono espresse in metri, calcolare: a) il
vettore campo elettrico, b) il potenziale, prodotti dalle 2 cariche nel punto P(1,0).
[E (1,0) = - (0.80 i + 3.05 j ) V/m ; V (1,0) = 1.30 ·103 V ]
In una certa regione di spazio il potenziale elettrico è dato da V = 5x – 3x2y + 2yz2.
Determinare: a) le espressioni delle componenti del campo elettrico E, in funzione di x, y,
z, b) il modulo di E nel punto P(1, 0, -2). [ a) E = -V, Ex = -5 + 6xy, Ey = 3x2 – 2z2, Ez = -4yz ; b)
E(1,0,-2) = 7.07 N/C ]
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Corsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le Telecomunicazioni
Anno accademico 2011/12, Laurea Triennale, Edizione diurna
FISICA
Lezione n. 11 (4 ore)
Capacità, resistenza, legge di Ohm e circuiti RC
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La capacità elettrica
Una coppia di conduttori di forma arbitraria ed affacciati formano un
condensatore:
– La forma più usuale è però quella del condensatore piano: due piastre
conduttrici parallele di area A (dette armature) e separate da una distanza d.
(anche il simbolo del condensatore ricorda un condensatore piano)
– Il condensatore è detto “carico” di una carica q se i suoi piatti posseggono
una carica uguale ma di segno opposto, +q e –q. Attenzione: anche “carico”
un condensatore è complessivamente neutro!
– La carica q e la differenza di potenziale tra i piatti V (attenzione: non
useremo più  V ! ) sono tra loro proporzionali. Vale dunque la relazione:
coulomb
q
q  CV
C
capacità V
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C
C   F  farad
capacità V
volt
2
La costante di proporzionalità C
è detta Capacità Elettrica e si
misura in farad
Fisica x Informatica - Lez. 11 - 2011-12
Il condensatore piano
Il valore di capacità di ogni condensatore è funzione della sola geometria
e del materiale racchiuso tra le armature. Nel caso del condensatore
piano:
– Scegliamo di trascurare l’effetto bordo: ipotizziamo
che il campo E sia costante e normale all’area per
tutta la superficie del condensatore.
– Grazie alla legge di Gauss possiamo calcolare il
campo elettrico E data la carica q secondo lo
schema indicato in figura:
  q
q




E
d
A
E

0
0 A
– La differenza di potenziale (che qui chiameremo
solo “potenziale”) è ottenuta integrando
dall’armatura negativa (“-”) a quella positiva (“+”).
Ottengo:
def .

V  V  V   E ds  E d
 q

Carlo Pagani & Flavia Groppi
3
0 A
d
V
 C
0 A
d
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Altri condensatori: cilindrico, sferico
E’ possibile procedere allo stesso modo per condensatori di forma
arbitraria. Il risultato si semplifica nel caso di condensatori dalla
geometria definita.
Condensatore cilindrico:
– Cilindro di lunghezza L costituito da due
cilindri coassiali di raggio a e b:
C  2 0
L
ln b a 
Condensatore sferico:
– Due gusci sferici concentrici di raggio a e b, uno
dentro l’altro:
ab
C  4 0
ba
Sfera isolata:
– Di raggio R, si assume che il piatto mancante sia all’infinito:
Carlo Pagani & Flavia Groppi
4
C  4 0 R
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Condensatori in serie ed in parallelo
E’ utile poter sostituire una data combinazione di condensatori con un
unico condensatore equivalente Ceq:
Condensatori in parallelo:
– Ciascun condensatore ha la stessa differenza di potenziale V
– La carica totale q è la somma delle cariche di ciascuno
q  q1  q2  q3  C1  C2  C3 V
n
 Ceq   C j
j 1
Condensatori in serie:
– Ciascun condensatore ha la stessa carica q
– La differenza di potenziale totale V è la somma
 1
1
1 
V  V1  V2  V3  q 
  
 C1 C2 C3 
n
1
1


Ceq j 1 C j
Carlo Pagani & Flavia Groppi
5
Fisica x Informatica - Lez. 11 - 2011-12
Esempio: carica, scarica, energia
La carica di un condensatore richiede del lavoro:
Un condensatore C scarico una volta connesso ad
una batteria vede il suo potenziale crescere fino
al valore della batteria V. Allora il trasferimento
della carica q sulle armature sarà completo.
In queste condizioni il condensatore possiede
un’energia accumulata, ovvero un’energia potenziale, pari a:
q
dq
C
q
q2
L   dL   dq 
2C
C
dL  Vdq 
2
q
1
U
 CV 2
2C 2
Si assume che il condensatore mantenga invariata indefinitamente nel
tempo sia la sua energia che il suo potenziale fino a che non venga
connesso ad un circuito di scarica.
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Fisica x Informatica - Lez. 11 - 2011-12
La corrente elettrica
Passiamo dall’elettrostatica, in cui le cariche sono considerate in quiete,
allo studio delle cariche in moto, cioè della corrente elettrica.
Attenzione:
– In un conduttore equipotenziale le cariche sono libere (sono gli elettroni di
conduzione) e si spostano ad altissima velocità ed in modo casuale, in maniera che il
loro numero per unità di volume sia approssimativamente costante (1022-1023 cm-3)
– Un immaginario piano che divida il conduttore vedrebbe passare le cariche
ugualmente in entrambi i sensi: il trasporto netto di carica è nullo !
– Quando però applichiamo una differenza di potenziale (es. batteria) questo moto
casuale è leggermente influenzato e si genera un debole sbilanciamento della
corrente netta.
– Se in un lasso di tempo dt una carica dq netta varca il piano immaginario, si ha una
corrente elettrica pari a:
dq
i
dt
C
; i   A  ampere
s
La corrente è una quantità scalare anche se ad essa si assegna un verso di
scorrimento: si tratta della direzione nella quale si muoverebbero delle cariche
positive sottoposte alla stessa differenza di potenziale:
– Fisicamente nei conduttori le cariche mobili sono negative e dunque esse si muovono
in effetti in verso contrario alla corrente !
Carlo Pagani & Flavia Groppi
7
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Densità di corrente, velocità di deriva
Dato un conduttore
di sezione trasversale S, definiamo il modulo della densità

di corrente j come:
i
A
j
S
 j 
m2
Microscopicamente possiamo immaginare che all’interno di un tratto di
conduttore, di lunghezza L ed area S, n cariche (convenzionalmente positive)
per unità di volume scorrano con una velocità vd .
– vd è molto minore della reale velocità con cui si spostano le cariche nel loro moto
casuale (10-4 contro 106 m/s!).
– vd è detta velocità di deriva o di migrazione.
Possiamo quindi ricavare:
q  n S L  e
tL
– Tempo di transito:
vd
– Corrente:
i  q  n S e vd
t
– Carica totale:
S
– Quindi il vettore densità di carica ha la
direzione della velocità vd ed è dato da:
 i vd

j
 n e  vd
S vd
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8
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Resistenza e resistività
Applicando la medesima differenza di potenziale V a campioni geometricamente
simili di materiale differente, otteniamo correnti i diverse
Un semplice modello di questo comportamento è dato in funzione della resistenza
def .
elettrica. Essa è definita come:
V
V
R
i
; [ R] 
A
   ohm
Un elemento conduttore la cui funzione sia quella di fornire un dato valore di
resistenza elettrica è detto resistore ed è rappresentato con un simbolo circuitale:
Le dimensioni del conduttore, sezione S e lunghezza L come in figura, sono
spesso scorporate dal calcolo della resistenza. Vale infatti che:
R
L
S
la costante di proporzionalità  è detta resistività: non dipende dalle
dimensioni del resistore ma solo dal materiale di cui è composto.
– La resistività di ogni materiale varie al variare della temperatura. Per quasi tutti i metalli si
assume una dipendenza lineare del tipo:
    T  T 
0
0
  coeff . termico di resistività
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Fisica x Informatica - Lez. 11 - 2011-12
Legge di Ohm
Un resistore ideale è realizzato in un materiale che appartiene alla categoria dei
conduttori ohmici. Tale categoria, che include tutti i metalli più comuni, è
costituita dai materiali che soddisfano una legge, detta legge di Ohm:
– La legge di Ohm asserisce che: “la corrente che scorre attraverso un dispositivo è
sempre direttamente proporzionale alla differenza di potenziale applicata”.
– Essa implica anche che “la sua resistenza è indipendente dal valore e dalla polarità
della differenza di potenziale applicata”
Attenzione: non tutti i dispositivi elettronici ed i materiali soddisfano tale legge:
– Si confrontino a titolo di esempio le relazioni V- i per un tipico conduttore ohmico
(sinistra) ed per una generica giunzione p-n realizzata attraverso due tipi di materiale
semiconduttore (destra).
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10
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Potenza
Finora abbiamo sempre fatto riferimento ad una ipotetica batteria
capace di mantenere costante una differenza di potenziale V nel tempo
e simultaneamente sostenere una corrente i (ad esempio per lo studio
dei resistori …) : questo avviene al costo di una potenza elettrica!
Il modo più generale di dedurne l’espressione è:
– Dalla definizione stessa di energia potenziale:
U  qV
 dU  dq V  i dt V

dU
 P  iV
dt
[ P ]  V  A  volt  ampere  W  watt
– Il prodotto i V è detto potenza trasferita.
Nel caso specifico di un resistore caratterizzato da una resistenza R,
Legge di Ohm
vale che:
2
V  Ri 
V
Pi R
R
2
– Quest’ultima relazione definisce invece la potenza resistiva
Carlo Pagani & Flavia Groppi
11
Fisica x Informatica - Lez. 11 - 2011-12
I circuiti elettrici
Combinazioni arbitrarie degli elementi visti finora (batterie, resistori, capacitori)
vengono danno luogo a circuiti elettrici:
– Considereremo solo i circuiti detti DC (“Direct Current”) o in continua, sono quelli in cui
la corrente elettrica è costante in intensità e verso.
La più generale “pompa di cariche” di un circuito è il generatore di forza elettromotrice o f.e.m.. La f.e.m. corrisponde ad una differenza di potenziale e si
misura in V (volt).
Rientrano in questa categoria molti familiari dispositivi:
–
–
–
–
–
Batterie
Generatore di corrente
Cella fotovoltaica
Cella a combustibile
Termopile
f .e.m. E  V V 
La risoluzione di un circuito implica la determinazione della corrente i che vi
circola, una volta assegnata la f.e.m. ed i dispositivi connessi (R,C etc.).
– La corrente scorre da un potenziale alto ad uno basso, i portatori di carica negativi
fanno il contrario.
– Spesso si impone il potenziale pari a zero in un dato punto di un circuito tramite la
“messa a terra” e l’utilizzo del simbolo:
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12
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Composizione di resistori
Come per i condensatori, è utile poter sostituire una data combinazione di
resistori con un resistore equivalente dalla resistenza pari a Req:
Resistori in serie:
– Ciascun resistore vede la medesima corrente i
– La differenza di potenziale è la somma delle differenze
V  V1  V2  V3  R1  R2  R3  i
n
 Req   R j
j 1
Resistori in parallelo:
– Ciascun resistore vede la medesima differenza di potenziale E
– La corrente è data dalla somma delle correnti
1
1
1 

i  i1  i2  i3  E  
 
 R1 R2 R3 
n
1
1


Req j 1 R j
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13
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Circuiti a più maglie
Due semplici leggi, dette leggi di Kirchhoff, semplificano la risoluzione
di ogni circuito elettrico sia esso composto da una o più maglie:
I - Legge dei nodi: la somma delle correnti che entrano in un nodo deve
essere pari alla somma delle correnti che escono dal nodo stesso.
– è fondamentale mantenere sempre la stessa convenzione di segno
tra correnti entranti ed uscenti dal nodo
– Ad esempio, il circuito in figura:
• è costituito da 3 maglie (badb,bcdb,badcb), 3 rami (bad,bcd,bd)
e 2 nodi (b,d)
• Vale che:

nodo
ij  0
;
i1  i 3  i 2
b(d )
II - Legge delle maglie: la somma algebrica delle differenze di potenziale
rilevate su di un circuito chiuso in un giro completo è nulla.
– I fili rappresentano elementi equipotenziali:  Vfili = 0
– In tutti gli elementi “passivi” (R,C) la differenza di
potenziale è si segno opposto al verso della corrente.
– Già conosciamo i valori di differenza di potenziale per
gli elementi principali:
Vbatteria  E
Carlo Pagani & Flavia Groppi
; Vresistore   i R ; Vcapacitore  
14
Q
C
;
 V  0
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Appendice
Valori di resistività e del relativo coefficiente di temperatura per alcuni
materiali comuni:
Carlo Pagani & Flavia Groppi
15
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Esercizi Lezione 11
Due lampadine, che consumano 10 W ciascuna quando sono collegate in seria ad una
pila da 20 V, vengono collegate in parallelo ad una pila da 5 V. Quanto vale la resistenza
di ciascuna lampadina? Quanto consuma ciascuna lampadina nel secondo caso?
[R = 10 , P = 2.5 W].
Un filo conduttore ha un diametro di 2.0 mm , una lunghezza di 3.0 m e una resistenza di
50 m. Qual’è la resistività del materiale? [ = 5.2·10-8 ]
Dato il circuito in figura con: R1 = 4 , R2 = 2 
R3 = 4 I = 3 A, determinare le correnti I2 e I3 e
la differenza di potenziale VAB . [I2 = 2 A, I3 = 1 A, VAB = 16 V ]
Dato il circuito in figura con: R1 = R2 = R6 = 4 
R3 = 8 , R4 = R5 = 2 V = 24 V, determinare
la resistenza equivalente dell’intero circuito e la
corrente che la percorre [ Req = 12 I = 2 A ]
Carlo Pagani & Flavia Groppi
16
Fisica x Informatica - Lez. 11 - 2011-12
Esercizi Lezione 11 - continua
Dato il circuito in figura determinare la
corrente I fornita dalla batteria [ 4.5 A ]
Due resistenze R1 e R2, rispettivamente di 6  e 12 , vengono collegate in parallelo ad
una batteria da 18 V, avente una resistenza interna di 2 . Calcolare il valore della
corrente che fluisce in ciascuna delle due resistenze e la potenza in esse dissipata
[ I1 = 2 A, I2 = 1 A, P1 = 24 W, P2 = 12 W]
Un filo con resistenza pari a 5  viene stirato uniformemente fino a raggiungere una
lungezza doppia di quella iniziale. Determinare la nuova resistenza del filo ipotizzando
che la resistività e la densità del materiale restino inalterate [ R = 20 ]
Dato il circuito in figura con: C1 = 1 F, C2 = 2 F
C3 = 3 F e V = 12 V, determinare:
a) il valore delle capacità equivalenti C12 e C123
b) il valore della tensione ai capi di C3
[ C12 = 3 FC123 = 1.5 F, VAB = 6 V ]
Carlo Pagani & Flavia Groppi
17
Fisica x Informatica - Lez. 11 - 2011-12
Università degli Studi di Milano
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Corsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le Telecomunicazioni
Anno accademico 2011/12, Laurea Triennale, Edizione diurna
FISICA
Lezione n. 12 (4 ore)
Campo magnetico e forza di Lorentz
Induzione elettromagnetica
Carlo Pagani (A-G) & Flavia Maria Groppi (H-Z)
Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA
Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)
web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani
e-mail: [email protected] & [email protected]
Forza magnetica
Come la forza gravitazionale, che fa attrarre le masse, e quella
elettrostatica, che fa attrarre o respingere tra loro le cariche elettriche,
osserviamo che vi è un’altra forza che fa sì che alcune sostanze come
la magnetite si attraggano o respingano tra loro. Questa è la forza
magnetica
Può essere attrattiva…
Un metallo (la magnetite) attira a sé la limatura
di ferro, acciaio e di altri (particolari) metalli
… ma anche repulsiva
Gli estremi di due pezzi di
magnetite si attraggono o si
respingono
Può indurre una rotazione
Un elemento di magnetite fa cambiare
orientamento ad una sottile lamina di magnetite in
equilibrio su una punta o sospesa con un filo
Carlo Pagani & Flavia Groppi
2
Fisica x Informatica – Lez. 12 - 2011-12
Un magnete si presenta come dipolo
Per ottenere due magneti da un pezzo di
magnete è sufficiente spezzarlo in due pezzi
Frantumando, non importa quanto finemente,
un magnete ottengo tanti piccoli magneti
Non è possibile costruire un magnete che sia solo attratto o solo respinto da un
altro magnete: nonostante lo si ricerchi tuttora, il monopolo magnetico non
esiste
L’elemento più semplice che genera un campo magnetico è quindi una sbarretta
di dimensioni infinitesime (o in prima approssimazione un ago magnetizzato)
Dipolo Magnetico
Si definisce dipolo magnetico la sorgente più semplice di campo magnetico. Il
dipolo magnetico è l’equivalente del dipolo elettrico
+
Dipolo
Elettrico
Carlo Pagani & Flavia Groppi
Dipolo
Magnetico
3
Fisica x Informatica – Lez. 12 - 2011-12
Campo Magnetico, B
In analogia a quello che si è fatto nel caso gravitazionale ed elettrostatico, si
ipotizza quindi la presenza di un campo magnetico generato dalla terra o da
una calamita responsabile delle forze e/o rotazioni osservate sperimentalmente
Nota: diversamente che nel caso elettrico o gravitazionale, non partiamo
neanche più dalla forza, ma direttamente dal campo. A partire dal campo verrà
trovata la forza
– Per misurare la presenza di un campo magnetico si utilizza un ago magnetizzato (una
piccola bussola) con attrito trascurabile
– La direzione del campo magnetico sarà quella in cui si orienta la bussola sonda.
Ponendo la bussola in punti differenti sono in grado di disegnare le linee di campo
magnetico
Carlo Pagani & Flavia Groppi
4
Fisica x Informatica – Lez. 12 - 2011-12
Campo magnetico generato da corrente
• Un filo percorso da corrente fa cambiare
orientamento ad una sottile lamina di
magnetite in equilibrio su una punta o
sospesa con un filo
• Un pezzo di magnetite fa cambiare
orientamento ad un circuito percorso di
corrente
• Due fili percorsi da corrente subiscono
una forza attrattiva o repulsiva in
dipendenza dalla direzione della corrente
che vi circola
Campo di un filo rettilineo
percorso da corrente
Campo di un filo circolare
percorso da corrente
Dipolo Magnetico
Carlo Pagani & Flavia Groppi
5
Fisica x Informatica – Lez. 12 - 2011-12
Il campo B è prodotto da cariche in moto
Il campo creato da una sbarretta infinitesima o da un circuito di dimensioni
infinitesime si dice campo di dipolo magnetico
dipolo magnetico
e
dipolo elettrico
campo elettrico e curve equipotenziali
 Il campo magnetico B è sempre generato da cariche in movimento
 Le cariche in movimento sono soggette alle forze generate dal campo B
Nei magneti permanenti la somma di tutte
le correnti elettriche dovute al moto
degli elettroni non risulta nulla (come
invece capita negli altri materiali). Queste
correnti generano un campo magnetico
Carlo Pagani & Flavia Groppi
6
Fisica x Informatica – Lez. 12 - 2011-12
Forza magnetica e campo B
Il campo del vettore B, detto vettore di induzione magnetica, si
definisce attraverso la forza F che genera su una carica q in movimento,
con velocità v. Questa forza è detta Forza

 
F  q vB
di Lorentz e si ha:

 
 F  q v B sin  ovvero F  q v B sin   B 
F
q v sin 
Note importanti:
– la forza magnetica F è sempre ortogonale al piano formato dai vettori v e B
– l’angolo  è l’angolo formato, nell’ordine, dai vettori v e B
– la direzione di F è conforme alla regola della mano destra propria del prodotto vettore:
ponendo il pollice nella direzione di v e l’indice in quella di B, il medio sarà diretto nella
direzione di F
Dalle regole del calcolo vettoriale abbiamo le seguenti ovvie relazioni:



i

 
F  q v  B  q vx

j
vy
k





v z  q v y Bz  v z B y  i  v z Bx  v x Bz  j  v x B y  v y Bx  k 
Bx
B y Bz




F  Fx i  Fy j  Fz k con Fx  q v y Bz  v z B y  Fy  q v z Bx  v x Bz  Fz  q v x B y  v y Bx 
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7
Fisica x Informatica – Lez. 12 - 2011-12
Unità di misura del vettore B
L’unità di misura di B, nel sistema SI, è detta “tesla” e si indica con [T]





F N   q C   v m s 1  B T   sin
1 T  


B T  

F N 



q C   v m s 1  sin
1 N 
1 N 

 T   N m 1 A1 
1
1
1 C  1 m s
1  A s  1 m s






T   N m 1 A1   kg m s 2  m 1  A1   kg s 2 A1 
Considerazioni importanti:
• La forza è ortogonale sia al filo (che determina la direzione della velocità di deriva,
vd, delle cariche) che al campo B
• Il verso della forza segue la regola della mano destra, essendo il risultato di
un prodotto vettore
• Il campo B non compie lavoro sulle particelle cariche che portano la corrente
in quanto la forza da esso prodotta è sempre perpendicolare alla loro velocità
Carlo Pagani & Flavia Groppi
8
Fisica x Informatica – Lez. 12 - 2011-12
Esempi di campi magnetici in natura
• Sulla superficie di un nucleo
1012 T
• Sulla superficie di una Pulsar
108 T
• In un Laboratorio Scientifico (per tempi brevi)
103 T
• In un Laboratorio Scientifico (costante in piccoli volumi)
30 T
• In LHC (acceleratore di particelle al CERN)
7T
• In una macchia solare
2T
• In prossimità di un magnete
10-2 T
• In prossimità dell’impianto elettrico di casa
10-4 T
• Sulla Terra (campo magnetico terrestre)
10-5 T
• Nello spazio intergalattico
10-10 T
• In una camera antimagnetica schermata
10-14 T
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9
Fisica x Informatica – Lez. 12 - 2011-12
Carica in moto circolare uniforme - 1
Dalla meccanica (moto circolare uniforme) sappiamo che: se una
particella si muove su un’orbita circolare a velocità costante (in
modulo), vuol dire che è soggetta ad una accelerazione centripeta
costante (in modulo), diretta verso il centro dell’orbita. Velocità e
accelerazione sono sempre ortogonali tra loro, lungo tutta l’orbita
y
v(t)
r
 = t = t
P(t)
r = r(t) = cost
ac(t)
t
x
x = x(t) = r cos( t)
y = y(t) = r sin( t)
v(t) =  r = cost
ac(t) =   r = cost
Definizioni importanti
 = pulsazione
f = / 2 = frequenza
T = 1/ f = periodo
L’accelerazione è prodotta da una forza, secondo la legge di
Newton: F = m a . I vettori F e a hanno la stessa direzione e verso
• La forza di Lorentz prodotta da un campo costante B ha tutte le caratteristiche
necessarie per generare, su una particella carica in moto (v≠ 0)e dotata di
massa, l’accelerazione centripeta che determina un moto circolare uniforme
• La forza di Lorentz prodotta dal campo B sulla particella sarà
perpendicolare al piano formato da v e B,
• Il piano formato da F e v sarà il piano dell’orbita circolare
Carlo Pagani & Flavia Groppi
10
Fisica x Informatica – Lez. 12 - 2011-12
Carica in moto circolare uniforme - 2
La legge del moto si ottiene imponendo che l’accelerazione prodotta dalla
forza di Lorentz sia uguale all’accelerazione centripeta che determina il
moto circolare della particella che ha velocità v
Gli acceleratori di particelle usano la forza di Lorentz per mantenere le
particelle su un orbita circolare
Poiché, data un particella e una velocità, il valore della accelerazione centripeta
dipende solo dalla componente del campo magnetico perpendicolare al piano
dell’orbita (B sin), il campo magnetico utilizzato è fatto ortogonale all’orbita
della particella. Il verso dell’accelerazione dipende dal segno della carica q
Valgono le seguenti ovvie relazioni:

F

F
Lorentz
 
se B  v  sin θ  1 
mv
r
qB
1 2 2  r 2  m v 2  m
Tc 




fc 
qBv
qB
v
 q v B sin 
 m r  m
2
centripeta
v2
r
FLorentz  Fcentripeta 
 
v2
q v B sin   m
r
Carlo Pagani & Flavia Groppi
11
fc 
qB
1

 frequenza di ciclotrone
Tc 2  m
ωc 
qB
m
Fisica x Informatica – Lez. 12 - 2011-12
Ciclotrone e sincrotrone
Finché le particelle accelerate non sono molto relativistiche (velocità << della
velocità della lice), all’aumentare della loro energia la massa rimane costante
ed aumenta la loro velocità. Si ha quindi il ciclotrone, retto dalle relazioni:
e
s
qB
 cost
c 
m
mv v
r

v
q B c
B  cost
Ciclotrone
Quando la velocità delle particelle si approssima alla velocità della luce, che
non può essere superata, l’aumento della loro energia avviene attraverso
l’aumento della loro massa. Poiché l’energia è molto grande, e di conseguenza
r deve essere molto grande, si utilizza il sincrotrone in cui le particelle sono
mantenute a raggio costante e, all’aumentare della loro energia, si aumenta il
valore del campo di guida B in modo che sia sempre proporzionale alla quantità
di moto. Le relazioni di riferimento sono:
mv
r
 cost  B  m v
qB
Carlo Pagani & Flavia Groppi
12
Sincrotrone
Fisica x Informatica – Lez. 12 - 2011-12
Forza su un filo percorso da corrente
Se un filo percorso da corrente è immerso in un campo B ortogonale al filo, il
filo è soggetto ad una forza di Lorentz che è diretta ortogonalmente al filo e al
campo B. Il passaggio di corrente è schematizzato da n cariche elementari per
unità di volume (positive e di carica e) che si muovono con velocità di deriva vd ,
nella direzione del filo. Le relazioni per un filo lungo L sono:

 i vd


vd 
 n e  vd  i
 J A  A n e  vd
J
vd
A vd


q  n e A L  q vd  J  ( A L)

 
 
F  ( A L) J  B  i  L  B  F  i B sin   L
Considerazioni:
• L’angolo  è, come sempre, l’angolo tra la velocità e il campo
magnetico.
• La direzione di vd è data dal filo, il suo verso è conforme con la
corrente, supposta come sempre prodotta da cariche positive.
Gli elettroni si muovono nel verso opposto.
• La forza è proporzionale alla lunghezza del filo. Se un filo
rettilineo (infinito) è percorso da una corrente di 1 ampere ed è
posto in un campo di induzione magnetica B di 1 tesla, ad esso
perpendicolare, ogni metro di filo è soggetto ad una forza di 1
newton.
• La figura indica l’effetto al variare della direzione della corrente i.
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B ortogonale al foglio e uscente
Fisica x Informatica – Lez. 12 - 2011-12
Forza su una spira rettangolare
Si verifica facilmente che ogni lato di una spira rettangolare rigida
percorsa da corrente, quando la spira è immersa in un campo
magnetico costante è soggetta a delle forze. Consideriamo due casi:
Piano della spira parallelo alle linee di forza
del campo B: due lati non sono soggetti a
forze ed gli altri due sono soggetti a forze
uguali e contrarie che formano una coppia.
Il modulo delle due forze in figura vale:
F=iBL
Piano della spira perpendicolare alle linee
di forza del campo B: tutti e 4 i lati sono
soggetti a forze dirette verso l’esterno della
spira. Se la spira può ruotare si orienterà in
modo da essere perpendicolare a B
Nota: il verso di tutte le forze è conforme alla regola della mano destra
Tutte le forze sono date dalla relazione F = i L x B
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Induzione elettromagnetica
Finora abbiamo visto come una corrente produca un campo magnetico
Una nuova legge, quella di Faraday, mostra come un campo magnetico
sotto date condizioni possa creare (o meglio, indurre) una corrente
Un campo magnetico produce una corrente in un filo se sono verificate
due condizioni:
– Il filo forma una spira (o molte spire sovrapposte a formare un solenoide)
– Il campo magnetico varia nel tempo
La variazione del flusso del campo magnetico attraverso la spira genera
una forza elettromotrice (misurata in volt) che fa girare una corrente,
proporzionale alla forza elettromotrice. Poiché il flusso deve essere
variabile, anche la corrente sarà in generale variabile. Questo è
espresso attraverso la legge di Faraday-Neumann-Lenz, che si
scrive:
d
f .e.m.  
dt
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 
con    B  dA  
spira
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spira
 
( B  n ) dA
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Esempi di flusso del campo magnetico
Nelle figure mostriamo casi semplici:
n

 

 (B )  (B n) A   A B
B

 
 (B )  (B n ) A  0
n
B
n

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B

 
 (B )  (B n ) A


 ( B )  A B cos 
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
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Unità di misura di  e B
Induzione magnetica, B, unità di misura “tesla”, [T]





1
F N   q C   v m s  B T   sin
1 T  


F N 

B T  

q C   v m s 1  sin


1 N 
1 N 
1 1




T

N
m
A 
1 C  1 m s 1 1 A 1 m




T   N m 1 A1   kg m s 2  m 1  A1   kg s 2 A1 
Flusso magnetico, , unità di misura “weber”, [Wb]
 
 
 N   2
 N 
2


1
1
1





Wb   B 
m
d
A
m
Wb



 A m
 A m
spira

 N m
Wb     kg m 2 s 2 A1
 A 
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
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Esempi di flusso attraverso una spira
Tirando la spira in figura con velocità costante v,
il flusso di B varia in modo lineare. Trascurando
il segno meno che sistemiamo poi, si ha:
  BA  BLx  f .e.m. 
d d
 ( BLx)  BLv
dt dt
Se R è la resistenza del filo, la forza F1, la
corrente che circola nella spira e la potenza
dissipata saranno date rispettivamente da:
BLv
B 2 L2 v 2
2
i
 Pel  i R 
R
R
 
B 2 L2 v
B 2 L2 v 2
F1  i L  B  i L B 
 Pmec  F1 v 
 Pel
R
R
La potenza meccanica utilizzata per muovere la spira è pari alla potenza elettrica
dissipata, come potenza termica, nel circuito elettrico formato dalla spira
La variazione del flusso genera una corrente che dissipa potenza. La potenza che
viene dissipata dalla spira è uguale alla potenza necessaria per muovere la spira
Se muoviamo la spira avanti e indietro alternativamente, nella spira scorrerà una
corrente che cambia alternativamente il verso: corrente alternata
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Generatori e motori
Il verso della corrente è determinato dalla legge di Faraday-Neumann. In
particolare abbiamo i casi indicati in figura
Ci sono molti modi per variare il flusso di B e generare una corrente:
– Variare l’intensità del campo B, per esempio ciclicamente
– Ruotare una spira in un campo costante
– Variare ciclicamente l’area della bobina che vede il flusso
Nell’esempio visto per generare una corrente abbiamo dovuto fornire una potenza
meccanica. Questo è il caso dei generatori che sono tipicamente alternati
Possiamo in modo analogo far variare la corrente in una bobina e trasferire della
potenza meccanica ad un magnete (o a un’altra bobina). Questa considerazione è
alla base del funzionamento dei motori elettrici
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Fisica x Informatica – Lez. 12 - 2011-12
Esempio
( B) 
 B  n da  A B cos   A B cos
0
 t 
Sup
f .e.m.  
d
d
 ( B)   A B cos 0  t 
dt
dt
f .e.m.  A B  sin  0  t 
Nella figura di sinistra si mostra una possibile generazione di corrente
alternata, ottenuta facendo ruotare una spira in un campo magnetico
costante. La corrente ha il grafico mostrato nella figura di destra
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Esercizi Lezione 12
Esercizi da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Raymond A. Serway, John W. Jewett Jr. Esercizi di
Fisica. Guida ragionata alla soluzione (EdiSES).
22-11 - Una carica positiva q = 3.2 x 10-19 C si muove con velocità v = (2 i + 3 j – k) m/s attraverso una
regione dove esistono sia un campo magnetico uniforme B = (2 i + 4 j + k) T, che un campo elettrico
uniforme E = (4 i – j – 2 k) V/m. Determinare: a) la forza totale che agisce sulla carica in moto; b)
l’angolo che forma il vettore forza con l’asse x positivo. [ a): F = (3.52 i – 1.6 j) x 10-18 N , b): F • i = F cos =
Fx ⇒  = 24.4° ].
In un certo istante di tempo una particella con carica Q = 10-10 C e massa M = 1 g, si muove con
velocità v sotto l’azione di un campo magnetico B. Sapendo che v = (4 i + 3 j) m/s e B = (2 i + 1.5 j +
2.5 k ) T, determinate in forma vettoriale:
[ 10-10 ( 7.5 i – 10 j ) N ]
– a)
la forza che agisce sulla particella;
– b)
l’accelerazione alla quale è soggetta la particella.
– c)
dalle proprietà del prodotto vettore ricavare l’angolo tra i due vettori
[ 10-7 ( 7.5 i – 10 j ) m s-2 ]
[ 45°]
Scrivere, in forma vettoriale, l’equazione che definisce la forza magnetica in funzione della carica e
della velocità di una particella, oltre che del campo magnetico B in cui essa è immersa. Se ne deduca
una definizione delle unità di misura di B (Tesla) in funzione delle altre unità del sistema internazionale
[T = kg s-2 A-1] . Se Weber (Wb) è l’unità del flusso del campo magnetico, qual è la relazione fra Tesla
e Weber [Wb = T m2 = kg m2 s-2 A-1] ? E qual è l’equazione dimensionale che lega Tesla e Volt
[T = m-2 s V ; V = m2 s-1 T] ?
23-2 – Dati due cavi paralleli, distanti 1.20 m, collegati perpendicolarmente da una resistenza R=6.00
 e immersi in un campo magnetico B = 2.50 T perpendicolare alla spira, calcolare la forza da
applicare ad una barretta conduttrice che li collega perché si muova ad una velocità costante v = 2.00
m/s. Calcolare inoltre la potenza dissipata dalla resistenza [ F = 3 N, P = 6 W]
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Fisica x Informatica – Lez. 12 - 2011-12
23-4 - Un avvolgimento (bobina) di area 0.100 m2 ruota a 60 giri/s con l’asse di rotazione
perpendicolare a un campo magnetico uniforme di 0.200 T. Sapendo che la bobina ha 1000 spire si
determini: a) la tensione (f.e.m.) massima che viene indotta nell’avvolgimento, b) l’orientammento
dell’avvolgimento rispetto al campo magnetico nel momento in cui la f.e.m. indotta ha il valore
massimo. [a) f.e.m. = 7540 V, b) il piano della bobina è parallelo a B ]
Una bobina quadrata di lato l = 10 cm ruota a 50 giri/s con l’asse di rotazione centrato su due lati
opposti e perpendicolare a un campo magnetico uniforme di 0.200 T. Sapendo che la bobina ha 1000
spire e che la sua resistenza è R = 100 , si determini: a) la forza elettromotrice (f.e.m.) che viene
indotta nell’avvolgimento, b) la potenza meccanica di picco (cioè il valore massimo) necessaria per far
ruotare la bobila, trascurando gli attriti. [a) f.e.m. = 628 sin t V,  = 314 s-1 , b) Pmec = Pel = 3.94 kW ]
Un filo percorso dalla corrente i = 10 A, è immerso in un campo magnetico uniforme B = (1.2 j) T per la
lunghezza l = 1.5 m. Sapendo che la corrente è diretta come l’asse x determinare, in forma vettoriale
la forza che agisce sul filo percorso da corrente.
[ F = (18 k) N] .
Un filo percorso dalla corrente i = 10 A, è immerso in un campo magnetico uniforme B = (-0.5 i + 1.2 j)
T per la lunghezza L = 1.5 m. Sapendo che la corrente è diretta come l’asse x determinare, in forma
vettoriale la forza che agisce sul filo percorso da corrente.
[ F = (18 k) N] .
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