DIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA A.A. 2011/12 DOCENTE

DIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA
A.A. 2011/12
DOCENTE: ANDREA CARANTI
Lezione 1. mercoledı́ 14 settembre 2011 (2 ore)
Presentazione del corso.
Esercizio: cosa succede a moltiplicare per 2, 3, 4, . . . il numero
052631578947368421,
e perché?
Divisibilità fra interi. Proprietà riflessiva e transitiva. Non vale la proprietà
simmetrica. Determinazione delle coppie (a, b) tali che a divide b e b divide a.
Determinazione delle coppie (x, y) di interi tali che xy = 1.
Divisione con resto non negativo. Il caso del dividendo negativo. Unicità di
quoziente e resto.
Lezione 2. giovedı́ 15 settembre 2011 (2 ore)
Divisione con divisore negativo.
Criterio di divisibilità in base all’annullarsi del resto.
Massimo comun divisore: definizione elementare. Problema: non esiste il MCD
di 0 e 0.
Modalità di calcolo: l’approccio mediante la fattorizzazione fallisce con numeri
“grandi”: provare con numeri dell’ordine di grandezza di 10200 , tenendo presente
che l’Universo ha 13.7 · 109 anni.
Definizione ufficiale. Esistenza e costruzione mediante l’algoritmo di Euclide
(inizio).
Lezione 3. lunedı́ 19 settembre 2011 (2 ore)
Algoritmo di Euclide. L’algoritmo di Euclide su due numeri grandi all’incirca
N termina in al più 2 · log2 (N ) passi. Il grafico di y = 2x .
Unicità del massimo comun divisore.
Algoritmo di Euclide esteso per esprimere il massimo comun divisore di due
numeri come loro combinazione lineare: un esempio.
Lezione 4. martedı́ 20 settembre 2011 (2 ore)
Algoritmo di Euclide esteso per esprimere il massimo comun divisore di due
numeri come loro combinazione lineare: i due metodi.
Lemmi aritmetici.
Date: Trento, A. A. 2011/12.
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Applicazione dei lemmi aritmetici: il minimo comune multiplo (formula (a, b) ·
[a, b] = a · b, e interpretazione in termini di fattori comuni e non comuni ).
Altra applicazione: tutte le combinazioni per esprimere il massimo comun divisore come combinazione lineare.
Lezione 5. giovedı́ 22 settembre 2011 (2 ore)
Congruenze. Basta considerare le congruenze modulo numeri non negativi. Le
congruenze modulo 0, 1. Essere congrui vuol dire avere lo stesso resto, dunque la
congruenza è una relazione di equivalenza.
Classi rispetto a una relazione di equivalenza, e loro proprietà.
Relazioni di equivalenza e partizioni. Le classi formano una partizione.
Lezione 6. lunedı́ 26 settembre 2011 (2 ore)
Classi di congruenza (o resto) modulo un intero n. Le classi modulo 2 e 3.
Modulo n ci sono esattamente n classi resto, che sono [0], [1], . . . , [n−1]. Notazione
Z/nZ. Si può calcolare con le classi resto. La prova del nove: inizio.
Lezione 7. martedı́ 27 settembre 2011 (2 ore)
La prova del nove.
Criteri di divisibilità per 9, 11, 2, 4, 7.
Un’applicazione: trovare i numeri interi positivi il cui prodotto delle cifre faccia
un numero della forma 111 . . . 1.
Lezione 8. mercoledı́ 28 settembre 2011 (2 ore)
Criterio di divisibilità per 13.
Il problema della buona definizione. Buona definizione della somma fra le classi
resto.
Inversi in un anello. Inversi in Z/nZ. Calcolo degli inversi in Z/nZ mediante
l’algoritmo di Euclide esteso.
Lezione 9. giovedı́ 29 settembre 2011 (2 ore)
Buona definizione del prodotto fra le classi resto.
L’unico anello con unità in cui 0 = 1 è l’anello { 0 }. Esempio: Z/1Z.
Divisori dello zero. Divisori dello zero in Z/nZ.
Dunque [a] ∈ Z/nZ è invertibile se e solo se (a, n) = 1, e l’inverso si trova
mediante l’algoritmo di Euclide esteso. Se invece (a, n) > 1, allora [a] è un divisore
dello zero.
Lemma dei cassetti. (Inizio)
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Lezione 10. lunedı́ 3 ottobre 2011 (2 ore)
Lemma dei cassetti.
In un anello finito (commutativo, con unità) gli elementi sono o invertibili o
divisori dello zero.
Domini: un dominio è un anello in cui l’unico divisore dello zero è 0.
Gruppi: notazione neutra, additiva e moltiplicativa.
Monoidi, lemma sugli inversi, gli elementi invertibili di un monoide formano un
gruppo. (Inizio) Esempi.
Lezione 11. mercoledı́ 5 ottobre 2011 (2 ore)
Il gruppo U (Z/nZ) delle classi invertibili modulo n. Funzione di Eulero. Valore
della funzione di Eulero per la potenze di un primo.
Potenze, regole delle potenze. Il caso in cui tutte le potenze sono distinte.
Lezione 12. giovedı́ 6 ottobre 2011 (3 ore)
Principio del minimo intero. Periodo (o ordine) di un elemento in un gruppo.
Eguaglianza di due potenze. Periodi dello sviluppo di frazioni come numeri decimali. Il periodo di un elemento divide l’ordine del gruppo. (Dimostrazione solo
nel caso commutativo.)
Lezione 13. lunedı́ 10 ottobre 2011 (2 ore)
Il gioco del tris.
Il primo teorema di isomorfismo fra insiemi.
Un’applicazione: potenze in un gruppo.
Il logaritmo come esempio di isomorfismo.
Sistemi di due congruenze (inizio).
Lezione 14. martedı́ 11 ottobre 2011 (2 ore)
Sistemi di due congruenze. Come trovare una soluzione. Come trovare tutte
le soluzioni. Se un sistema di due congruenze ha soluzione, allora esso equivale a
una singola congruenza. Sistemi di più congruenze.
La funzione ϕ : Z → Z/mZ × Z/nZ data da ϕ(x) = ([x]m , [x]n ). La sua
immagine è la diagonale, che se (m, n) = 1 occupa tutto il codominio.
Primo teorema di isomorfismo per insiemi, anelli e gruppi
Lezione 15. mercoledı́ 12 ottobre 2011 (2 ore)
Primo teorema di isomorfismo per insiemi, anelli e gruppi
Un prodotto cartesiano di anelli come anello. Teorema cinese dei resti. La
funzione di Eulero è moltiplicativa nel senso della teoria dei numeri.
Lezione 16. giovedı́ 13 ottobre 2011 (3 ore)
Prima provetta intermedia.
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Lezione 17. lunedı́ 17 ottobre 2011 (2 ore)
Ancora sul teorema cinese: versione elementare della moltiplicatività della funzione di Eulero.
Formula per la funzione di Eulero. Sviluppi decimali periodici di 1/n, con
(10, n) = 1.
Il calcolo della funzione di Eulero richiede la fattorizzazione: il caso n = pq, con
p, q primi distinti.
Teorema di Eulero Fermat, numeri di Carmichael, e criteri probabilistici di
primalità.
Lezione 18. mercoledı́ 19 ottobre 2011 (2 ore)
Crittografia simmetrica, cifrario di Cesare.
RSA.
Calcolo delle potenze (inizio).
Rappresentazione dei numeri interi non negativi rispetto a una base B > 1
arbitraria. (inizio)
Lezione 19. giovedı́ 20 ottobre 2011 (3 ore)
Rappresentazione dei numeri interi non negativi rispetto a una base B > 1
arbitraria.
Calcolo delle potenze.
Rappresentazione in base 2 e albergo di Hilbert.
Esempi di RSA. La necessità di cifrare blocchi di testo grandi.
Lezione 20. lunedı́ 24 ottobre 2011 (2 ore)
Esempi di RSA con GAP.
Polinomi a coefficienti in un campo o in un anello.
Grado: grado della somma e del prodotto.
Divisibilità fra polinomi. Polinomi invertibili.
Divisione fra polinomi. (Inizio)
Lezione 21. martedı́ 25 ottobre 2011 (2 ore)
Divisione fra polinomi.
Criterio di divisibilità fra polinomi.
Radici di un polinomio. Regola di Ruffini.
Massimo comun divisore fra polinomi, e razionalizzazione.
Un polinomio di grado n a coefficienti in un dominio A ha al più n radici in A.
Lezione 22. mercoledı́ 26 ottobre 2011 (2 ore)
Quadrati in F = Z/pZ. Se p è dispari, ci sono (p − 1)/2 quadrati non nulli in
F.
I quadrati non nulli in F = Z/pZ, con p dispari, sono le radici del polinomio
x(p−1)/2 − 1.
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Come calcolare le radici quadrate modulo p, se p ≡ 3 (mod 4).
−1 è un quadrato modulo il numero primo dispari p se e solo se p ≡ 1 (mod p).
Lezione 23. giovedı́ 27 ottobre 2011 (2 ore)
Testa o croce per telefono: radici quadrate modulo il prodotto di due numeri
primi dispari distinti.
Un altro modo di giocare, prendendo il prodotto di due numeri primi, uno
congruo a 1 e l’altro a 3 modulo 4.
Lezione 24. mercoledı́ 2 novembre 2011 (2 ore)
Costruzione formale dei polinomi come funzioni sui naturali quasi ovunque nulle,
con la somma per componenti, e il prodotto di convoluzione.
La valutazione è un morfismo di anelli.
Lezione 25. giovedı́ 3 novembre 2011 (3 ore)
Seconda provetta intermedia.
Lezione 26. lunedı́ 7 novembre 2011 (2 ore)
Sottoanelli, estensioni. Il più piccolo sottoanello F [α] che contiene F e α:
esistenza e forma. Descrizione generale come immagine della valutazione.
Casi particolari di estensioni quadratiche di Z e Q.
Aritmetica in un dominio. Divisibilità. Elementi primi e irriducibili. Elementi
associati. Un primo è anche irriducibile.
Lezione 27. mercoledı́ 9 novembre 2011 (2 ore)
Caratterizzazione degli elementi irriducibili.
Norme su un dominio.
√
Esempi: Z, B[x] con B un dominio, Z[i], Z[i 5].
La norma di un invertibile è 1, mentre in generale non vale il viceversa: esempio
in Z[x]. √
In Z[i 5] si ha
√
√
6 = 2 · 3 = (1 + i 5) · (1 − i 5).
√
√
Gli elementi 2, 3, 1 + i 5 e 1 − i 5 sono irriducibili, ma non primi (inizio).
Lezione 28. giovedı́ 10 novembre 2011 (2 ore)
√
√
√
In Z[i 5] gli elementi 2, 3, 1 + i 5 e 1 − i 5 sono irriducibili, ma non primi.
Domini euclidei. In un dominio euclideo si può fare l’algoritmo di Euclide esteso,
e valgono i lemmi aritmetici. In un dominio euclideo vale che un elemento è
invertibile se e solo se ha norma 1, e gli irriducibili sono primi.
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Lezione 29. lunedı́ 14 ottobre 2011 (2 ore)
In un dominio con una norma speciale (cioè in cui N (a) = 1 impica a invertibile)
ogni elemento si scirve come prodotto di irriducibili.
In un dominio in cui gli irridicibili sono primi, la scrittura di un elemento come
prodotto di irriducibili, se c’è, è essenzialmente unica.
Dunque in un dominio euclideo ogni elemento si scrive in modo essenzialmente
unico come prodotto di irriducibili.
Primi come somma di due quadrati, e irriducibili in Z[i].
Il caso 2 = 12 + 12 = (1 + i)(1 − i) = i(1 − i)2 . Gli invertibili in Z[i] sono
1, −1, i, −i.
Se p è un primo dispari, ed è somma di due quadrati, allora p ≡ 1 (mod 4).
Lezione 30. martedı́ 15 novembre 2011 (2 ore)
I numeri primi p ≡ 3 (mod 4) restano irriducibili in Z[i]. I numeri primi p ≡ 1
(mod 4) si scrivono come prodotto di due irriducibili, ovvero p si scrive come
somma di due quadrati: algoritmo.
Lezione 31. mercoledı́ 16 novembre 2011 (2 ore)
Fattorizzazione dei primi p ≡ 1 (mod 4) in Z[i], ovvero, come scriverli come
somma di due quadrati.
Terne pitagoriche, terne pitagoriche primitive, formula.
Lezione 32. giovedı́ 17 novembre 2011 (2 ore)
Estensioni semplici di un campo. Elementi trascendenti e algebrici.
Primo teorema di isomorfismo fra anelli.
Polinomio minimo. Isomorfismo fra l’estensione semplice F [α] e l’anello F [x]/R,
ove R è la congruenza modulo il polinomio minimo di α su F .
Lezione 33. lunedı́ 21 novembre 2011 (2 ore)
Elementi invertibili, elementi fra loro associati, elementi irriducibili e riducibili
in F [x], con F campo.
Irriducibilità e radici: il caso di polinomi di grado 2, 3 e 4.
Congruenze nei polinomi, classi di congruenza come classi resto.
Un esempio: i complessi attraverso l’isomorfismo con l’anello R[x] modulo la
congruenza modulo x2 + 1.
Se un polinomio monico ha α per radice, ed è irriducibile, allora è il suo
polinomio minimo.
Lezione 34. mercoledı́ 23 novembre 2011 (2 ore)
Un esempio di polinomio minimo non irriducibile. Se siamo in un dominio, i
polinomi minimi sono irriducibili,
e F [α] è un campo.
√
√
3
Il polinomio minimo di 2 su Q è x2 − 2. Il polinomio
minimo
di
2 su Q è
√
√
3
4
2
x − 2. Il polinomio x − 10x + 1 ∈ Q[x] ha per radice 2 + 3.
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Struttura di F [α]. Estensioni come spazi vettoriali. La dimensione di F [α], con
α algebrico su F , è il grado del polinomio minimo di α su F .
Lezione 35. giovedı́ 24 novembre 2011 (3 ore)
Terza provetta intermedia.
Lezione 36. lunedı́ 28 novembre 2011 (2 ore)
√
√
Calcolo del polinomio minimo di 2 + 3 su Q. Formula dei gradi.
Cenni alle costruzioni mediante riga e compasso.
Lezione 37. martedı́ 29 novembre 2011 (2 ore)
Come trovare una estensione in cui esiste una radice di un polinomio dato.
Campo di spezzamento di un polinomio. Cenni all’esistenza.
Esempi di campi finiti di ordine 9 e 4.
Lezione 38. mercoledı́ 30 novembre 2011 (2 ore)
Un campo finito di ordine 8.
Caratteristica di un anello. La caratteristica di un dominio è zero, o un numero
primo. Un campo finito ha ordine una potenza di un numero primo.
Lezione 39. giovedı́ 1 dicembre 2011 (2 ore)
Un campo finito ha ordine una potenza q = pn di un numero primo p, e i suoi
elementi sono le radici del polinomio xq − x.
Esistenza di un campo finito di ogni ordine pn , come insieme della radici del
n
polinomio xp − x nel suo campo di spezzamento.
Lemmi: numeri primi e coefficienti binomiali, criterio della derivata per le radici
multiple.
Ogni campo finito è estensione semplice di un campo Z/pZ, con p primo.
Lezione 40. lunedı́ 5 dicembre 2011 (2 ore)
Costruzione di un campo finito di ordine pn come estensione Fp [α] del campo
Fp con p elementi mediante una radice α di un polinomio monico, di grado n,
irriducibile in Fp [x].
Esempi: campi di ordine 4, 8, 16. Radici del polinomio usato per la costruzione,
e radici degli altri polinomi irriducibili.
Lezione 41. mercoledı́ 7 dicembre 2011 (2 ore)
Se E/F è un’estensione di grado finito n, allora ogni elemento di E è algebrico
su F , con polinomio minimo di grado un divisore di n.
Un’applicazione: polinomi minimi su F2 = Z/2Z degli elementi del campo con
16 elementi.
Codici a rivelazione e correzione d’errore. Il codice fiscale. Il codice ISBN-10.
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Codici lineari binari. Distanza di Hamming: proprietà. Codici a ripetzione.
RIP-2 rivela un errore e RIP-3 ne corregge uno.
Lezione 42. lunedı́ 12 dicembre 2011 (2 ore)
Il codice a controllo di parità per n = 2. Matrice C di un codice C, e matrice
H di controllo di parità H. Legame C · H t = 0.
C e H per il codice RIP-3 a ripetizione tre volte.
Un codice rivela un errore se ha distanza minima > 1, ovvero se le colonne di
H sono tutte diverse da zero.
Lezione 43. martedı́ 13 dicembre 2011 (2 ore)
Notazione matriciale per i sistemi di equazioni lineari.
Un codice corregge un errore se ha distanza minima > 2, ovvero se le colonne
della matrice H di controllo di parità sono distinte, e diverse da zero.
Il codice di Hamming basato sul polinomio irriducibile x3 + x + 1.
Lezione 44. mercoledı́ 14 dicembre 2011 (2 ore)
I codici di Hamming basati sul polinomio irriducibile x3 + x + 1 e sul polinomio
irriducibile x3 + x2 + 1. Codifica e decodifica. I codici di Hamming sono ciclici.
Il codice di Hamming basato sul polinomio irriducibile x2 + x + 1 è il codice
RIP-3.
Codici di Hamming come generalizzazioni del codice a controllo di parità.
Lezione 45. giovedı́ 15 dicembre 2011 (2 ore)
Il codice di Hamming basato sul polinomio irriducibile x4 + x + 1.
Il codice di Hamming generale.
Cenni ai codici BCH: correzione di due errori.
Lezione 46. 19 dicembre 2011 (1 ora)
Teorema di Lagrange (inizio).
Sottogruppi.
Partizione in classi laterali di un sottogruppo.
Lezione 47. martedı́ 20 dicembre 2011 (2 ore)
Teorema di Lagrange (fine).
L’ordine di un elemento divide l’ordine del gruppo (finito).
Relazioni compatibili con le operazioni, ideali e primo teorema di isomorfismo
fra anelli.
Lezione 48. mercoledı́ 21 dicembre 2011 (2 ore)
Sottogruppi normali, e primo teorema di isomorfismo fra gruppi.
Sette domande, una menzogna.
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Lezione 49. mercoledı́ 21 dicembre 2011 (3 ore)
Quarta provetta intermedia.
Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Trento, via Sommarive
14, 38123 Trento
E-mail address: [email protected]
URL: http://science.unitn.it/~caranti/