Alberi binari di ricerca
Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati
Ingegneria e Scienze Informatiche - Cesena
A.A. 2013-2014
Pietro Di Lena
[email protected], [email protected]
Pietro Di Lena
Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati
Operazioni basilari su alberi binari di ricerca
Operazioni basilari su alberi binari di ricerca: pseudocodice
Predecessore e successore di un nodo
Predecessore e successore di un nodo: pseudocodice
Cancellazione di un nodo
Cancellazione di un nodo: pseudocodice
Alberi binari di ricerca
Operazioni basilari su alberi binari di ricerca
Ricerca: cerca un nodo con una certa chiave
Minimo: cerca il nodo con la chiave più piccola in un sottoalbero
Massimo: cerca il nodo con la chiave più grande in un sottoalbero
8
5
18
7
15
9
17
16
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Operazioni basilari su alberi binari di ricerca
Operazioni basilari su alberi binari di ricerca: pseudocodice
Predecessore e successore di un nodo
Predecessore e successore di un nodo: pseudocodice
Cancellazione di un nodo
Cancellazione di un nodo: pseudocodice
Alberi binari di ricerca
Operazioni basilari su alberi binari di ricerca
Ricerca: cerca un nodo con una certa chiave
Minimo: cerca il nodo con la chiave più piccola in un sottoalbero
Massimo: cerca il nodo con la chiave più grande in un sottoalbero
8
5
Nodo con chiave 18
18
Nodo con chiave 6
NULL
7
15
9
17
16
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Operazioni basilari su alberi binari di ricerca
Operazioni basilari su alberi binari di ricerca: pseudocodice
Predecessore e successore di un nodo
Predecessore e successore di un nodo: pseudocodice
Cancellazione di un nodo
Cancellazione di un nodo: pseudocodice
Alberi binari di ricerca
Operazioni basilari su alberi binari di ricerca
Ricerca: cerca un nodo con una certa chiave
Minimo: cerca il nodo con la chiave più piccola in un sottoalbero
Massimo: cerca il nodo con la chiave più grande in un sottoalbero
Minimo assoluto
8
5
18
Minimo nel sottoalbero con chiave 18
7
15
9
17
16
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Operazioni basilari su alberi binari di ricerca
Operazioni basilari su alberi binari di ricerca: pseudocodice
Predecessore e successore di un nodo
Predecessore e successore di un nodo: pseudocodice
Cancellazione di un nodo
Cancellazione di un nodo: pseudocodice
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Operazioni basilari su alberi binari di ricerca
Ricerca: cerca un nodo con una certa chiave
Minimo: cerca il nodo con la chiave più piccola in un sottoalbero
Massimo: cerca il nodo con la chiave più grande in un sottoalbero
Massimo assoluto
8
5
Massimo nel sottoalbero con chiave 18
7
18
15
9
17
16
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Alberi binari di ricerca
Operazioni basilari su alberi binari di ricerca
Operazioni basilari su alberi binari di ricerca: pseudocodice
Predecessore e successore di un nodo
Predecessore e successore di un nodo: pseudocodice
Cancellazione di un nodo
Cancellazione di un nodo: pseudocodice
Operazioni basilari su alberi binari di ricerca: pseudocodice
1: function Search(T , key )
2:
if T=NULL then
3:
return NULL
4:
else if Key(T )=key then
5:
return T
6:
else if key < Key(T) then
7:
return Search(Left(T ), key )
8:
else
9:
return Search(Right(T ), key )
10:
end if
11: end function
1: function SearchMin(T )
2:
if T=NULL then
3:
return NULL
4:
else if Left(T )=NULL then
5:
return T
6:
else
7:
return SearchMin(Left(T ))
8:
end if
9: end function
1: function SearchMax(T )
2:
if T=NULL then
3:
return NULL
4:
else if Right(T )=NULL then
5:
return T
6:
else
7:
return SearchMax(Right(T ))
8:
end if
9: end function
Quanto costano queste operazioni?
Pietro Di Lena
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Alberi binari di ricerca
Operazioni basilari su alberi binari di ricerca
Operazioni basilari su alberi binari di ricerca: pseudocodice
Predecessore e successore di un nodo
Predecessore e successore di un nodo: pseudocodice
Cancellazione di un nodo
Cancellazione di un nodo: pseudocodice
Operazioni basilari su alberi binari di ricerca: pseudocodice
1: function Search(T , key )
2:
if T=NULL then
3:
return NULL
4:
else if Key(T )=key then
5:
return T
6:
else if key < Key(T) then
7:
return Search(Left(T ), key )
8:
else
9:
return Search(Right(T ), key )
10:
end if
11: end function
1: function SearchMin(T )
2:
if T=NULL then
3:
return NULL
4:
else if Left(T )=NULL then
5:
return T
6:
else
7:
return SearchMin(Left(T ))
8:
end if
9: end function
1: function SearchMax(T )
2:
if T=NULL then
3:
return NULL
4:
else if Right(T )=NULL then
5:
return T
6:
else
7:
return SearchMax(Right(T ))
8:
end if
9: end function
Quanto costano queste operazioni? Risposta O(height(T ))
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Predecessore e successore di un nodo
Predecessore e successore di un nodo: pseudocodice
Cancellazione di un nodo
Cancellazione di un nodo: pseudocodice
Alberi binari di ricerca
Predecessore e successore di un nodo
Predecessore: cerca il predecessore di un dato nodo
Successore: cerca il successore di un dato nodo
8
5
18
7
15
9
17
16
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Predecessore e successore di un nodo
Predecessore e successore di un nodo: pseudocodice
Cancellazione di un nodo
Cancellazione di un nodo: pseudocodice
Alberi binari di ricerca
Predecessore e successore di un nodo
Predecessore: cerca il predecessore di un dato nodo. Due casi possibili:
1
2
Il nodo ha un figlio sinistro ⇒ il predecessore è il massimo nel sottoalbero sinistro. Il
massimo non ha un figlio destro.
Il nodo non ha un figlio sinistro ⇒ il predecessore è l’antenato più vicino che contiene
il nodo in questione nel suo sottoalbero destro (non esiste se e solo se il nodo è il
minimo assoluto).
Successore: cerca il successore di un dato nodo
8
5
18
7
15
Predecessore di 18
9
17
16
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Predecessore e successore di un nodo
Predecessore e successore di un nodo: pseudocodice
Cancellazione di un nodo
Cancellazione di un nodo: pseudocodice
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Predecessore e successore di un nodo
Predecessore: cerca il predecessore di un dato nodo. Due casi possibili:
1
2
Il nodo ha un figlio sinistro ⇒ il predecessore è il massimo nel sottoalbero sinistro. Il
massimo non ha un figlio destro.
Il nodo non ha un figlio sinistro ⇒ il predecessore è l’antenato più vicino che contiene
il nodo in questione nel suo sottoalbero destro (non esiste se e solo se il nodo è il
minimo assoluto).
Successore: cerca il successore di un dato nodo
8
5
Predecessore di 5
Predecessore di 9
NULL
7
18
15
9
17
16
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Operazioni basilari su alberi binari di ricerca: pseudocodice
Predecessore e successore di un nodo
Predecessore e successore di un nodo: pseudocodice
Cancellazione di un nodo
Cancellazione di un nodo: pseudocodice
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Predecessore e successore di un nodo
Predecessore: cerca il predecessore di un dato nodo. Due casi possibili:
1 Il nodo ha un figlio sinistro ⇒ il predecessore è il massimo nel sottoalbero sinistro.
2 Il nodo non ha un figlio sinistro ⇒ il predecessore è l’antenato più vicino che contiene
il nodo in questione nel suo sottoalbero destro (non esiste se e solo se il nodo è il
minimo assoluto).
Successore: cerca il successore di un dato nodo. Due casi possibili:
1 Il nodo ha un figlio destro ⇒ il successore è il minimo nel sottoalbero destro. Il
minimo non ha un figlio sinistro.
2 Il nodo non ha un figlio destro ⇒ il successore è l’antenato più vicino che contiene il
nodo in questione nel suo sottoalbero sinistro (non esiste se e solo se il nodo è il
massimo assoluto).
8
5
18
Successore di 8
7
15
9
17
16
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Operazioni basilari su alberi binari di ricerca: pseudocodice
Predecessore e successore di un nodo
Predecessore e successore di un nodo: pseudocodice
Cancellazione di un nodo
Cancellazione di un nodo: pseudocodice
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Predecessore e successore di un nodo
Predecessore: cerca il predecessore di un dato nodo. Due casi possibili:
1 Il nodo ha un figlio sinistro ⇒ il predecessore è il massimo nel sottoalbero sinistro.
2 Il nodo non ha un figlio sinistro ⇒ il predecessore è l’antenato più vicino che contiene
il nodo in questione nel suo sottoalbero destro (non esiste se e solo se il nodo è il
minimo assoluto).
Successore: cerca il successore di un dato nodo. Due casi possibili:
1 Il nodo ha un figlio destro ⇒ il successore è il minimo nel sottoalbero destro. Il
minimo non ha un figlio sinistro.
2 Il nodo non ha un figlio destro ⇒ il successore è l’antenato più vicino che contiene il
nodo in questione nel suo sottoalbero sinistro (non esiste se e solo se il nodo è il
massimo assoluto).
8
5
Successore di 18
Successore di 7
NULL
7
18
15
9
17
16
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Operazioni basilari su alberi binari di ricerca: pseudocodice
Predecessore e successore di un nodo
Predecessore e successore di un nodo: pseudocodice
Cancellazione di un nodo
Cancellazione di un nodo: pseudocodice
Predecessore e successore di un nodo
Per semplificare l’implementazione delle funzioni predecessore e successore
abbiamo la necessità di modificare la struttura dati nodo.
E’ necessario introdurre un nuovo puntatore che permetta di accedere
velocemente al padre di un nodo.
Le procedure InsKey(T , key ) deve essere modificate in modo da tener
conto di questo nuovo puntatoreLe funzioni DeleteTree(T ),Search(T , key ), SearchMin(T ),
SearchMax(T ) non necessitano di modifiche.
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Operazioni basilari su alberi binari di ricerca: pseudocodice
Predecessore e successore di un nodo
Predecessore e successore di un nodo: pseudocodice
Cancellazione di un nodo
Cancellazione di un nodo: pseudocodice
Nota: definizione della struttura dati nodo in c con puntatore al padre
# include < stdlib .c >
typedef struct NODE {
int key ;
struct NODE * left ;
struct NODE * right ;
struct NODE * up ;
} NODE ;
NODE * NodeAlloc ( int key ) {
NODE * node = ( NODE *) malloc ( sizeof ( NODE ) ) ;
node - > key
node - > left
node - > right
node - > up
=
=
=
=
key ;
NULL ;
NULL ;
NULL ;
return node ;
}
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Operazioni basilari su alberi binari di ricerca: pseudocodice
Predecessore e successore di un nodo
Predecessore e successore di un nodo: pseudocodice
Cancellazione di un nodo
Cancellazione di un nodo: pseudocodice
Predecessore e successore di un nodo: pseudocodice
Pseudocodice della funzione che cerca il successore di un nodo. Implementare la funzione
(simmetrica) per cercare il predecessore.
1: function SearchSuccessor(T )
2:
if T = NULL then
3:
return NULL
4:
else
5:
if Right(T ) 6= NULL then
6:
return SearchMin(Right(T ))
7:
else
8:
x ←T
9:
y ← UP(x)
10:
while y 6= NULL and x = Right(y ) do
11:
x ←y
12:
y ← UP(x)
13:
end while
14:
return y
15:
end if
16:
end if
17: end function
Quanto costa cercare il successore o predecessore di un nodo?
Quanto costa cercare il successore o predecessore di un nodo senza puntatore al padre?
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Predecessore e successore di un nodo
Predecessore e successore di un nodo: pseudocodice
Cancellazione di un nodo
Cancellazione di un nodo: pseudocodice
Procedura di inserimento aggiornata
1: procedure InsKey(T , key )
2:
if key < Key(T) then
3:
if Left(T ) = NULL then
4:
Left(T )←NodeAlloc(key )
5:
Up(Left(T ))← T
6:
else
7:
InsKey(Left(T ), key )
8:
end if
9:
else if key > Key(T) then
10:
if Right(T ) = NULL then
11:
Right(T )←NodeAlloc(key )
12:
Up(Right(T ))← T
13:
else
14:
InsKey(Right(T ), key )
15:
end if
16:
end if
17: end procedure
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Operazioni basilari su alberi binari di ricerca: pseudocodice
Predecessore e successore di un nodo
Predecessore e successore di un nodo: pseudocodice
Cancellazione di un nodo
Cancellazione di un nodo: pseudocodice
Alberi binari di ricerca
Cancellazione di un nodo: esempio
Vogliamo rimuovere un nodo dall’albero, mantenendo le proprietà di un albero binario di ricerca.
Tre casi possibili:
1
Il nodo da rimuovere è una foglia
2
Il nodo da rimuovere ha un solo figlio
3
Il nodo da rimuovere ha due figli
8
5
18
7
15
9
17
16
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Predecessore e successore di un nodo
Predecessore e successore di un nodo: pseudocodice
Cancellazione di un nodo
Cancellazione di un nodo: pseudocodice
Cancellazione di un nodo: esempio
Vogliamo rimuovere un nodo dall’albero, mantenendo le proprietà di un albero binario di ricerca.
Tre casi possibili:
1
Il nodo da rimuovere è una foglia ⇒ rimuoviamo il nodo.
2
Il nodo da rimuovere ha un solo figlio
3
Il nodo da rimuovere ha due figli
8
8
5
18
7
5
15
18
7
15
Foglia
9
17
17
16
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16
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Predecessore e successore di un nodo
Predecessore e successore di un nodo: pseudocodice
Cancellazione di un nodo
Cancellazione di un nodo: pseudocodice
Cancellazione di un nodo: esempio
Vogliamo rimuovere un nodo dall’albero, mantenendo le proprietà di un albero binario di ricerca.
Tre casi possibili:
1
Il nodo da rimuovere è una foglia ⇒ rimuoviamo il nodo.
2
Il nodo da rimuovere ha un solo figlio ⇒ rimuoviamo il nodo e lo sostituiamo col figlio.
3
Il nodo da rimuovere ha due figli
8
8
5
18
5
18
Ha un solo figlio
7
15
7
17
17
16
16
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Predecessore e successore di un nodo
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Cancellazione di un nodo
Cancellazione di un nodo: pseudocodice
Cancellazione di un nodo: esempio
Vogliamo rimuovere un nodo dall’albero, mantenendo le proprietà di un albero binario di ricerca.
Tre casi possibili:
1
Il nodo da rimuovere è una foglia ⇒ rimuoviamo il nodo.
2
Il nodo da rimuovere ha un solo figlio ⇒ rimuoviamo il nodo e lo sostituiamo col figlio.
3
Il nodo da rimuovere ha due figli ⇒ sostituiamo la chiave del nodo con la chiave del suo
successore e rimuoviamo il successore. Per ipotesi, il successore esiste nel sottoalbero a
destra. La rimozione del successore ricade sempre nel caso 1 o 2.
Ha due figli
8
16
5
18
7
Successore di 8
17
5
18
7
17
16
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Predecessore e successore di un nodo
Predecessore e successore di un nodo: pseudocodice
Cancellazione di un nodo
Cancellazione di un nodo: pseudocodice
Cancellazione di un nodo: pseudocodice
1: procedure DelNode(T )
2:
if IsLeaf(T ) then
3:
if IsLeftChild(T ) then
4:
Left(Up(T ))← NULL
5:
else if IsRightChild(T ) then
6:
Right(Up(T ))← NULL
7:
end if
8:
Delete(T )
9:
else if HasOneChild(T ) then
10:
x ← Child(T )
11:
if IsLeftChild(T ) then
12:
Left(Up(T ))← x
13:
else if IsRightChild(T ) then
14:
Right(Up(T ))← x
15:
end if
16:
Up(x) ← Up(T )
17:
Delete(T )
18:
else if HasTwoChildren(T ) then
19:
x ← SearchSuccessor(T )
20:
Key(T ) ← Key(x)
21:
DelNode(x)
22:
end if
23: end procedure
1: procedure DelKey(T , key )
2:
x ← Search(T , key )
3:
if x 6= NULL then
4:
DelNode(x)
5:
end if
6: end procedure
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Predecessore e successore di un nodo
Predecessore e successore di un nodo: pseudocodice
Cancellazione di un nodo
Cancellazione di un nodo: pseudocodice
Nota: definizione di macro
# define
# define
# define
# define
Up ( n )
Left ( n )
Right ( n )
Key ( n )
(( n ) -> up )
(( n ) -> left )
(( n ) -> right )
(( n ) -> key )
# define IsLeftChild ( n )
((( n ) != NULL && Up ( n ) != NULL \\
&& Left ( Up ( n ) ) == n ) ?1:0)
# define IsRightChild ( n )
((( n ) != NULL && Up ( n ) != NULL \\
&& Right ( Up ( n ) ) == n ) ?1:0)
# define IsLeaf ( n )
((( n ) != NULL && Left ( n ) == NULL \\
&& Right ( n ) == NULL ) ?1:0)
# define HasTwoChild ren ( n ) ((( n ) != NULL && Left ( n ) != NULL \\
&& Right ( n ) != NULL ) ?1:0)
# define HasOneChild ( n )
(( n ) != NULL && ! IsLeaf ( n ) \\
&& ! HasTwoCh ildren ( n ) )
# define Child ( n )
(( n ) == NULL ? NULL : \\
( Left ( n ) != NULL ? Left ( n ) : Right ( n ) ) )
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