QUARTA GARA
12 Marzo 1998
Gara “di velocità”
Tempo concesso: 3 ore
Il concorrente non è tenuto a rispondere ad ogni quesito. Le risposte ai singoli quesiti,
corredate da giustificazioni concise ed esaurienti, vanno fornite su fogli separati, ciascuno
intestato con cognome, nome e numero del quesito a cui si riferisce. I fogli vanno raccolti
in un unico foglio doppio che va intestato con cognome e nome del concorrente, e deve
riportare l’elenco dei quesiti a cui è stata data risposta (anche solo parziale).
Per ogni quesito a cui venga data risposta corretta sono assegnati 3 punti. Il tempo di
consegna risulterà discriminante solo a parità di punteggio.
1. È vera la seguente affermazione? “Assegnato arbitrariamente un triangolo rettangolo,
l’area del decagono regolare costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei
decagoni regolari costruiti sui cateti.”
2. È vera la seguente affermazione? “Assegnati arbitrariamente un triangolo rettangolo T
e tre triangoli, questi ultimi simili tra loro e costruiti ciascuno su un lato di T , l’area del
triangolo costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei triangoli costruiti sui
cateti.”
3. Si consideri la seguente figura
dove compaiono un triangolo rettangolo (arbitrario) T , la semicirconferenza circoscritta a
T , la semicirconferenza di diametro BC e quella di diametro CA. Senza eseguire alcun
calcolo, mostrare che la somma delle aree delle due “lunule” tratteggiate è uguale all’area
di T .
1
4. Si parta da un triangolo equilatero di lato 2 e si generi un nuovo triangolo Ta con il
procedimento illustrato qui sotto.
Ta è equilatero per ogni a, 0 < a < 1 ?
5. È corretto il seguente ragionamento? “Ogni relazione “∼” simmetrica e transitiva è
riflessiva. Infatti, qualunque siano A e B, A ∼ B implica B ∼ A per la simmetria; ma
allora, qualunque sia A, da A ∼ B ∼ A segue A ∼ A per la transitività.”
6. Mostrare che non esiste alcuna progressione geometrica di cui facciano parte contemporaneamente i numeri 4, 7, 9.
7. Sia x un numero reale. Provare che x è razionale se e solo se esiste un numero reale q
tale che almeno tre termini della progressione aritmetica di ragione 1
x, x + 1, x + 2, . . . , x + n, . . .
siano tre termini consecutivi della progressione geometrica di ragione q.
8. Sia n ≥ 3 un intero. Mostrare che le radici del polinomio
P (x) = xn + an−3 xn−3 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 ,
dove non tutti i coefficienti ai sono nulli, non possono essere tutte reali.
9. Trovare l’errore nella dimostrazione del seguente teorema.
Teorema. Siano a e m due numeri reali tali che a > m. Allora si ha a = m.
Dimostrazione. Sia b = a+m
2 . Si ha a + m = 2b. Moltiplicando ambo i membri per (a − m)
2
2
si ottiene a − m = 2ab − 2bm, da cui a2 − 2ab = m2 − 2bm. Aggiungendo b2 ad entrambi
i membri si ha a2 − 2ab + b2 = m2 − 2bm + b2 , cioè (a − b)2 = (m − b)2 , che implica
a − b = m − b e quindi a = m.
2
10. Sia an l’intero la cui rappresentazione decimale è costituita da n cifre ed è la seguente
an = 111
. . . 11} .
| {z
n cifre
Provare che se an è primo, allora n è primo.
11. Quelli disegnati in figura sono tre quadrati accostati e tre angoli α, β, γ.
Provare che l’ampiezza di α è la somma delle ampiezze di β e di γ.
12. Piegando un foglio, dello spessore di 0.08 mm, a metà per 30 volte, che spessore
raggiunge?
13. Dividere la torta rappresentata in figura
in 8 parti geometricamente congruenti operando solo 3 tagli.
14. Sia p > 3 un intero primo: mostrare che esiste un intero k = k(p) tale che p2 = 12k +1.
15. Un tizio impiega 90 secondi a salire una scala mobile quando questa è ferma; se
invece la scala è in movimento, ma il tizio non si muove lasciandosi trasportare da essa,
gli occorrono 60 secondi per raggiungere la sommità. Quanti secondi impiega il tizio per
raggiungere la sommità se cammina mentre la scala è in movimento?
16. Sia n ≥ 3 un intero. Sia S l’insieme delle coppie (a, b) di numeri interi tali che
1 ≤ a < b ≤ n. Sia A l’insieme degli elementi (a, b) di S tali che b < 2a: sia B l’insieme
degli elementi (a, b) di S tali che b > 2a. Mostrare che A e B hanno lo stesso numero di
elementi.
3
17. Nello spazio dotato di riferimento cartesiano ortogonale, si consideri un cubo di lato
4 avente un vertice nell’origine e tre spigoli sugli assi. Quanti parallelepipedi (solidi nello
spazio) vi sono contenuti aventi i vertici a coordinate intere e le facce parallele a quelle del
cubo?
18. Supponiamo di avvolgere (una volta) attorno alla Terra un filo perfettamente adagiato sull’equatore. Allunghiamo il filo di un metro e solleviamolo uniformemente lungo
l’equatore. L’altezza raggiunta dal filo sulla superficie terrestre è maggiore o minore di un
centimetro? (si supponga la superficie terrestre perfettamente sferica).
19. Le 19 caselle rappresentate in figura possono ospitare ciascuna un diverso intero
compreso fra 1 e 19, in modo che la somma degli interi ospitati dalle caselle che risultano
allineate e collegate da segmenti sia la stessa per ogni allineamento di caselle. Quanto vale
tale somma?
4
