Ia prova di Istituzioni di Economia, 31-10-2001 (A-L)
1) Costruire, sia in forma analitica che grafica, una curva di domanda di mercato con
elasticità costante in ogni punto. E spiegare i motivi della soluzione adottata.
R1) Una curva con elasticità costante è l’iperbole equilatera. Essa ha la proprietà che le variazioni
della tangente (il rapporto dq/dp) è esattamente compensato in opposta direzione dalla variazione
del rapporto tra ordinata e ascissa (p/q). Pertanto l’elasticità è costante e anche unitaria (verificarlo).
2) Costruire graficamente una funzione di domanda individuale a partire da una
mappa standard di curve di indifferenza. Specificare quali informazioni sono
necessarie per risolvere il problema.
R2) Presa una mappa di curve di indifferenza standard, si risolve il problema del consumatore
individuando la curva e paniere in essa che massimizza la sua soddisfazione, dato il reddito e il
rapporto tra i prezzi delle due merci in ordinata e in ascissa. Ora si fa scendere progressivamente
uno dei due prezzi e si ricalcolano le nuove posizioni di equilibrio (di tangenza). Su un secondo
grafico si pongono in ordinata la successione decrescente dei prezzi ipotizzati e in ascissa le
quantità richieste della merce il cui prezzo scende, nelle successive nuove posizioni (o panieri) di
equilibrio. Per curve di indifferenza regolari (normalmente convesse) la relazione che si traccia è
decrescente. A tale relazione si attribuisce il termine di curva di domanda dell’individuo di una
certa merce.
3) Data la seguente funzione di produzione Y=bL-a, ove L indica quantità di lavoro e
"a" e "b" sono parametri positivi, dato il prezzo w>0 del lavoro, ricavare la
funzione di costo. Come varia il costo medio al variare della produzione?
R3) Dalla funzione data esplicitiamo rispetto a L e otteniamo:
L=Y/b+a/b
Il costo di produzione è il prodotto tra la quantità di lavoro e il suo prezzo w, C=L w= wY/b+wa/b.
Pertanto c(y)= wY/b+wa/b. Il costo medio è c(y)/y= w/b+wa/bY, decrescente al crescere di Y.
4) Data la funzione di costo di lungo periodo c=q+q2 di un'impresa in concorrenza
perfetta calcolare il livello di produzione che massimizza il profitto e il livello
massimo di profitto.
R4) Nel lungo periodo il prezzo si assesta al livello del minimo del costo medio, ove si verifica
l’uguaglianza con il costo marginale. Pertanto basta uguagliare costo medio e marginale per
ricavare il livello di produzione che soddisfa l’equazione e che rende minimo il costo medio
unitario, il quale coincide con il prezzo di mercato. A quel livello di produzione il profitto è nullo
perche’ p=Cme. Calcoliamo il livello di produzione che soddisfa le condizioni poste:
c’=1+2q è la funzione di costo marginale; c/q=1+q e la funzione di costo medio. Le due funzioni si
uguagliano per q=0. Non c’è pertanto un livello positivo di prodotto che rende possibile un
equilibrio di lungo periodo per una impresa con la funzione di costo sopra indicata.
5) Dimostrare che il monopolista produce sempre una quantità a cui sulla curva di
domanda corrisponde una elasticità superiore ad uno (in modulo).
R5) Il massimo profitto il monopolista lo ottiene calcolando il livello di produzione che uguaglia
costo marginale e ricavo marginale. Il costo marginale è, per definizione maggiore/uguale a zero. Il
ricavo marginale è pertanto positivo o, al limite, nullo. Sulla curva di domanda i punti che
corrispondono a ricavi marginali positivi presentano una elasticità superiore ad uno. Pertanto la
quantità che massimizza il profitto del monopolista implica che la curva di domanda, nel punto
corrispondente, abbia elasticità (in modulo) superiore ad uno.
6) Spiegare cosa è il monopolio naturale e in quali condizioni una impresa
monopolista non guadagnerebbe nulla senza un sussidio pubblico.
R6) Questo caso si incontra quando la funzione di costo ammette costi medi decrescenti e il mercato
è troppo piccolo per esprimere una domanda di merce o servizio sufficiente per consentire un
profitto positivo. Curva di costo medio e curva di domanda sono entrambe decrescenti. Se il
mercato è piccolo la curva di domanda sta tutta sotto la curva di costo medio e nessuna produzione
è realizzabile con profitto. E’ chiaro che al più una sola impresa può stare sul mercato e se la merce
o servizio che realizza è socialmente importante (energia elettrica ad esempio) le autorità politiche
possono fissare il livello di produzione, far pagare agli utenti il prezzo corrispondente sulla curva di
domanda e integrare la differnza tra prezzo e costo medio con un sussidio. Se il mercato cresce e la
curva di domanda si sposta bastevolmente verso destra a intersecare la curva di costo medio, il
prezzo di mercato può scendere e nel contempo l’impresa consegue un profitto positivo senza più
bisogno di sussidi.
Ib prova di Istituzioni di Economia, 31-10-2001 (A-L)
1) Data una curva di domanda con elasticità uguale a 2 in un suo punto, dire se il
ricavo aumenta se il prezzo sale o scende del 10%. Provare il risultato.
R1) La curva di domanda nel punto indicato è elastica. Pertanto un aumento del prezzo del 10%
provoca una riduzione della quantità domandata maggiore del 10%. Il ricavo diminuisce. Per
provarlo basta ricordare la definizione di elasticità della domanda (in modulo):
ε=(∆q/q)/(∆p/p); che si può scrivere (∆p/p)ε= ∆q/q; poiché per assunto 1<ε<infinito, si ha che
∆p/p</∆q/q; pertanto il ricavo diminuisce.
2) Discutere il problema di ottimo del consumatore con una mappa di curve di
indifferenza tra beni perfetti sostituti.
R2) In questo caso le curve di indifferenza sono semirette con inclinazione negativa. La soluzione
del problema del consumatore esiste solo nei punti d’angolo (intercette in ordinata o in ascissa).
3) Mostrare a quale risultato porta la soluzione del problema del consumatore se le
curve di indifferenza sono concave rispetto all'origine.
R3) Il risultato non è di massimizzare la soddisfazione, dato il vincolo di bilancio, bensi’ di
minimizzarla. Infatti la condizione di primo ordine (di tangenza) individua una curva di indifferenza
più bassa di quelle che la semiretta di bilancio interseca. E le curve più alte, verso destra, sono
sempre preferite.
4) Spiegare il concetto di "moral hazard".
R4) Un’assicurazione libera contro il rischio di malattia verrà richiesta da chi prevede di ammalarsi
ma non da chi si considera in buona salute. Le compagnie di assicurazione non potranno sapere chi
è sano o chi ha elevata probabilità di ammalarsi. Ma chi si assicura lo sa. E se nasconde apposta il
suo stato di salute per strappare un premio di asscicurazione basso (o più basso) commette azzardo
morale. Per questo motivo le compagnie di assicurazione sottopongono gli assicurandi ad una
accurata visita medica per capire se vi siano o meno malattatie in atto.
5) Provare perché la curva della produttività marginale interseca la curva della
produttività media nel suo punto di massimo e che quando la produttività
marginale si azzera la produzione smette di crescere al crescere dell'input variabile
(funzione di produzione di breve periodo).
R5) Sia Q=F(K0,L). Allora Q/L= F(K0,L)/L e d(Q/L)/dL=((dF/dL)L- F(K0,L))/L2=
=1/L((dF/dL)- F(K0,L)/L)=0. Pertanto nel punto di massimo della produttività media la produttività
marginale assume lo stesso valore; altrimenti la derivata prima non si annullerebbe. Quando la
derivata prima della funzione di produzione si annulla (produttività marginale nulla) si individua un
punto di ottimo, un massimo sela derivata seconda è negativa. Aumentando l’impiego dell’input
variabile la produzione non cresce più, può ridursi in certe circostanze.
6) Per un'impresa in concorrenza perfetta, nel breve periodo, può essere razionale
produrre una quantità positiva di merce anche incorrendo in perdite. Provare.
R6) Quanto nella domanda accade se il prezzo di mercato si situa sotto il costo medio totale ma
sopra il costo medio variabile. Incorre in perdite ma le perdite sarebbero maggiori, pari all’intero
costo fisso, se nulla si produce. Un prezzo compreso tra i livelli sopra indicati copre i costi variabili
e una parte del costo fisso (per unità di prodotto).
IIa prova di Istituzioni di Economia, 31-10-2001 (M-Z)
1) Una curva di domanda lineare presenta elasticità diverse da punto a punto.
Discutere perche' e mostrare come il valore in modulo dell'elasticità assume un
valore minimo e un valore massimo.
R1) L’elasticità in un punto si misura con (dq/dp)(p/q). Con la curva di domanda lineare il rapporto
dq/dp è costante. Poiché p/q varia da punto a punto l’elasticità è variabile. All’intercetta in ascissa
p/q assume valore nullo. L’elasticità pertanto diventa nulla. All’intercetta in ordinata p/q assume
valore infinito, cosi’ l’elasticità.
2) Mostrare come si costruisce un vincolo di bilancio intertemporale.
R2) Si assumano due periodi in cui si ricevono due redditi M1 e M2. Sia r il tasso di interesse tra i
due periodi. Quale valore di panieri del secondo periodo posso acquistare? Dipende dal reddito del
secondo periodo e dal reddito non consumato nel primo periodo che si spende nel secondo:
C2= M2+ (M1-C1)+r(M1-C1)
C2= M2+ M1(1+r)-(1+r)C1. Questa formula rappresenta il vincolo di bilancio intertemporale. La sua
inclinazione d C2/d C1=-(1+r) dipende dal valore del tasso di interesse.
3) Fornire una definizione formale di rendimenti di scala e spiegare poi in ciascun
caso l'andamento dei costi al variare del livello della produzione.
R3) Con F(cK, cL) = cF(K,L) i rendimenti sono costanti e i costi medi pure.
Con F(cK, cL) < cF(K,L) i rendimenti sono decrescenti e i costi medi crescenti.
Con F(cK, cL) > cF(K,L) i rendimenti sono crescenti e i costi medi decrescenti.
4) Data la funzione di costo di breve periodo c= 12 - q2 di un'impresa in concorrenza
perfetta calcolare il prezzo minimo che consente un profitto positivo. Stabilire
anche il livello minimo di produzione per ottenere un profitto maggiore di zero.
R4) Si calcola la funzione di costo medio e di costo marginale e si uguagliano a cercare il livello di
produzione che indica il minimo del costo medio (costo marginale e medio sono uguali solo nel
munto di minimo dei costi medi). Il prezzo corrispondente in ordinata è il prezzo che aggiunto di
epsilon infinitamente piccolo consente un profitto positivo. Con la funzione di costo data non esiste
tuttavia un livello di produzione con costo medio minimo positivo e uguale al costo marginale. La
regola di massimizzazione usuale non funziona.
Se la funzione di costo fosse c= 12+ q2 allora Cme=(12/q)+q e Cma=2q. Pertanto il livello di
produzione che uguaglia Cme e Cma sarebbe q=√12. Sostituendo nella funzione di costo medio si
ottiene il valore minimo del costo medio e il prezzo di mercato appena sufficiente a un profitto
maggiore/uguale a zero.
5) Ricavare analiticamente la quantità di produzione che rende max il ricavo di un
monopolista data la curva di domanda p=20-q.
R5) Dalla funzione di domanda, moltiplicando ambo i membri per q si ottiene la funzione di ricavo
R=20q-q2. Di essa si calcola la derivata prima e si cerca il valore che la annulla: R’=20-2q=0, da cui
q=10. La derivata seconda è R’’=-2<0. Pertanto per q=10 si ottiene il massimo ricavo pari a 100.
6) Spiegare la condizione di massimizzazione del profitto di un monopolista che
discrimina su due mercati separati.
R6) Il monopolista uguaglia la medesima funzione di costo marginale e due diverse funzioni di
ricavo marginale, una per ciascuna diversa funzione di domanda. Il ricavo marginale risulta uguale
nei due mercati. Risulteranno due quantità offerte e due prezzi. Il prezzo più elevato si avra’ nel
segmento di mercato ove la curva è meno elastica.
IIb prova di Istituzioni di Economia, 31-10-2001 (M-Z)
1) Data una curva di domanda con elasticità uguale a 1/2 in un suo punto, dire se il
ricavo aumenta se il prezzo sale o scende del 10%. Provare il risultato.
R1) La curva di domanda nel punto indicato è rigida. Pertanto un aumento del prezzo del 10%
provoca una riduzione della quantità domandata minore del 10%. Il ricavo aumenta. Per provarlo
basta ricordare la definizione di elasticità della domanda (in modulo):
ε=(∆q/q)/(∆p/p); che si può scrivere (∆p/p)ε= ∆q/q; poiché per assunto 0<ε<1 si ha che ∆p/p>/∆q/q;
pertanto il ricavo cresce.
2) Vigendo i postulati di razionalità individuale, due curve di indifferenza non
possono intersecarsi. Provarlo.
R2) Si costruisce il grafico di due curve di indifferenza che si intersecano. Si parta dal paniere
individuato dal punto di intersezione. Quel paniere è comune a due curve di indifferenza.
Muovendo verso il basso su quella più bassa i panieri cosi’ individuati sono indifferenti al paniere
intersezione. Ma ugualmente sono indifferenti rispetto al paniere intersezione i panieri sulla seconda
curva di indifferenza soprastante a quella più bassa. Per transitività i panieri sul ramo della curva di
indifferenza soprastante sono ugualmente preferiti a quelli sul ramo della curva sottostante. Il che
contraddice l’assunto di non sazietà in quanto i panieri sul ramo soprastante contengono sempre una
quantità maggiore di uno o di entrambi i beni. Pertanto le curve di indifferenza non possono
intersecarsi.
3) Spiegare come si costruisce un vincolo di bilancio intertemporale.
R3) Si assumano due periodi in cui si ricevono due redditi M1 e M2. Sia r il tasso di interesse tra i
due periodi. Quale valore di panieri del secondo periodo posso acquistare? Dipende dal reddito del
secondo periodo e dal reddito non consumato nel primo periodo che si spende nel secondo:
C2= M2+ (M1-C1)+r(M1-C1)
C2= M2+ M1(1+r)-(1+r)C1. Questa formula rappresenta il vincolo di bilancio intertemporale. La sua
inclinazione d C2/d C1=-(1+r) dipende dal valore del tasso di interesse.
4) Spiegare il concetto di "selezione avversa".
R4) Selezione avversa si ha quando accedono a un certo servizio solo o in maggioranza soggetti che
chi offre il servizio non desidererebbe servire. Questo è il caso degli automobilisti poco disciplinati
in un mercato assicurativo per i danni a terzi causati dall’uso dell’auto in regime di assicurazione
non obbligatoria.
5) Nel lungo periodo i costi di produzione sono minimizzati, dato un livello
produttivo, se il rapporto tra i prezzi degli input e il rapporto tra le produttività
marginali sono uguali. Provare.
R5) Il punto di tangenza tra isocosto e isoquanto è la soluzione del problema del produttore che
minimizza i suoi costi, dato un certo livello di produzione. In quel punto rapporto tra i prezzi (la
pendenza della semiretta di isocosto) e la tangente alla curva di isoquanto che è uguale al rapporto
tra le produttività marginali sono uguali. Cosi’ la tesi è dimostrata.
6) A partire dalla definizione di grado di monopolio, mostrare in quale caso estremo
vale il risultato del modello di concorrenza perfetta di uguaglianza tra prezzo e
costo marginale.
R6) La definizione formale di grado di monopolio è:
(p(q)-c’(q))/p(q);
che si può riscrivere, per trasformazioni note (ricavo marginale=costo marginale), assumendo ε in
modulo.
((p(q) – p(q)(1-1/ε))/p(q))=1/ε
Se il valore dell’elasticità diventa infinito allora il prezzo diventa uguale al costo marginale e il
grado di monopolio si azzera.
