appunti di “Teoria dei Gruppi”

Marco Barlotti
Appunti di
Teoria dei Gruppi
per il corso di laurea triennale in
Matematica
Vers. 2.0
Anno Accademico 2008-2009
In copertina una vignetta (© Disney) di Giuseppe Dalla Santa tratta da I TL 1800-A “Il cubo di Paperubik”.
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina I
PERCHE’ QUESTI APPUNTI, E COME USARLI
(Prefazione alla vers. 2.0)
Questi appunti nascono come supporto alle lezioni che tengo per l’insegnamento di
“Teoria dei Grafi e Applicazioni” per il Corso di Laurea Triennale in Matematica presso la
Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali all’Università di Firenze, con riferimento a
quella parte dell'insegnamento che riguarda le nozioni fondamentali di Teoria dei Gruppi.
Si tratta di una revisione della prima stesura, mirata a rendere il programma del tutto
indipendente da quello di Algebra 1 (in particolare, è stata aggiunta una sezione sulla
definizione di anello e sugli anelli delle classi di resto). Restano ancora lacune significative
(ad esempio, sono quasi del tutto assenti gli esercizi e manca la parte relativa ai gruppi di
permutazioni). L’esposizione comunque rispecchia abbastanza fedelmente l’itinerario che mi
propongo di percorrere a lezione, e il contenuto di queste pagine dovrebbe essere quasi
sufficiente per una buona preparazione relativamente alla prima metà dell'insegnamento.
È certamente inevitabile la presenza di errori materiali; sarò come sempre grato a tutti
coloro, e specialmente agli studenti, che vorranno segnalarmi qualunque problema, dai più
banali errori di stompa alle oscurità nell’esposizione.
Firenze, 3.11.2008
Marco Barlotti
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina II
BIBLIOGRAFIA
[1]
P. R. Halmos
Naive set theory
Van Nostrand, Princeton NJ (1966)
[2]
P. R. Halmos
Teoria elementare degli insiemi
Feltrinelli, Milano (1970)
AVVERTENZA
Tutti i diritti di questa pubblicazione sono dell’autore.
È consentita la riproduzione integrale di questa pubblicazione a titolo gratuito.
È altresì consentita a titolo gratuito l’utilizzazione di parti di questa pubblicazione in altra
opera all’inderogabile condizione che ne venga citata la provenienza e che della nuova opera
nella sua interezza vengano consentite la riproduzione integrale a titolo gratuito e
l’utilizzazione di parti a queste stesse condizioni.
L’uso di questa pubblicazione in quasiasi forma comporta l’accettazione integrale e senza
riserve di quanto sopra.
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina III
SOMMARIO
0. - Prerequisiti
0.1 - Che cosa c’è in questo capitolo.
0.2 - Il linguaggio degli insiemi. . .
0.3 - 8-ple ordinate. Matrici . . . .
0.4 - Relazioni. Funzioni . . . . .
0.5 - Composizione di funzioni. . .
0.6 - Cardinalità . . . . . . . .
0.7 - Relazioni di equivalenza. . . .
0.8 - Le classi di resto . . . . . .
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pag. 1
pag. 1
pag. 3
pag. 5
pag. 7
pag. 7
pag. 8
pag. 10
1. - Operazioni in un insieme
1.1 - Operazioni in un insieme . . . . . . . . .
1.2 - Chiusura rispetto a un’operazione. . . . . .
1.3 - Associatività e commutatività
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1.4 - Elemento neutro . . . . . . . . . . . .
1.5 - Il simmetrico di un elemento. . . . . . . .
1.6 - La rappresentazione tabulare di un’operazione.
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2. - Semigruppi, monoidi, gruppi, anelli
2.1 - Semigruppi . . . . . . . . . . . . .
2.2 - Sottosemigruppi . . . . . . . . . . .
2.3 - Omomorfismi e isomorfismi tra semigruppi.
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2.4 - Monoidi
. . . . . . . . . . . . .
2.5 - Sottomonoidi . . . . . . . . . . . .
2.6 - Omomorfismi e isomorfismi tra monoidi
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2.7 - Gruppi
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2.8 - Sottogruppi . . . . . . . . . . . . .
2.9 - Omomorfismi e isomorfismi tra gruppi. . .
2.10 - Anelli
. . . . . . . . . . . . .
2.11 - Omomorfismi e isomorfismi tra anelli . .
2.12 - L'anello ™8 . . . . . . . . . . . . .
2.13 - I criteri di divisibilità per i numeri interi.
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M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina IV
3. - Prime proprietà dei gruppi
3.1 - Notazioni . . . . . . .
3.2 - Le “leggi di cancellazione” .
3.3 - Potenze di un elemento . . .
3.4 - Ancora sui sottogruppi . . .
3.5 - Gruppi ciclici e loro proprietà
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4. - Normalità
4.1 - Classi laterali. . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 - Applicazione ai gruppi finiti . . . . . . . . . . .
4.3 - Sottogruppi normali . . . . . . . . . . . . . .
4.4 - Gruppo quoziente . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 - Normalizzante . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 - Centralizzante di un sottogruppo. Centro di un gruppo.
4.7 - Il coniugio. Automorfismi interni.
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5. - I teoremi di omomorfismo
5.1 - Nucleo di un omomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 - Il primo teorema di omomorfismo fra gruppi . . . . . . . . . . . .
5.3 - Il teorema di corrispondenza. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 - Prodotto di sottogruppi . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
5.5 - Il secondo teorema di omomorfismo fra gruppi . . . . . . . . . . .
5.6 - Il gruppo degli automorfismi di un gruppo. Il sg degli automorfismi interni
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6. - Prodotto diretto di gruppi
6.1 - Definizione e prime proprietà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 69
6.2 - Prodotto diretto di sottogruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 71
7. - Azioni di un gruppo su un insieme
7.1 - Definizione e prime proprietà. . . . . . .
7.2 - Orbite. Transitività. . . . . . . . . . .
7.3 - Stabilizzatore. . . . . . . . . . . . .
7.4 - Il caso finito: l’equazione delle orbite
. . . .
7.5 - Applicazione allo studio dei :-gruppi finiti
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8. - I teoremi di Sylow
8.1 - Due lemmi numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 81
8.2 - Il teorema principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 83
8.3 - Sottogruppi di Sylow. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 85
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 1
0.- PREREQUISITI
0.1 - Che cosa c’è in questo capitolo.
Questo capitolo raccoglie brevemente alcune nozioni che supponiamo note dagli studi
precedenti, con lo scopo essenziale di fissare con chiarezza le notazioni adottate.
0.2 - Il linguaggio degli insiemi.
Usiamo la parola “insieme” per indicare un ente completamente caratterizzato dagli
elementi che ad esso appartengono, senza però definire i termini “insieme”, “elemento” e
“appartenere”. Il lettore interessato a una formalizzazione assiomatica della teoria degli
insiemi può consultare utilmente [1], se necessario nella traduzione italiana [2]. Per sgombrare
il campo da possibili fraintendimenti, chiariamo subito che
 si usa il termine “elemento” per indicare ciò che “appartiene” ad un “insieme”, senza che
ciò prefiguri due mondi distinti, quello degli “elementi” e quello degli “insiemi”: anzi, gli
elementi di un insieme possono benissimo essere essi stessi insiemi;
 poiché un insieme resta completamente caratterizzato dai propri elementi, si conviene in
particolare che: due insiemi sono lo stesso insieme (si dice anche che coincidono) se e solo se
hanno gli stessi elementi.
Indichiamo con g l’insieme vuoto, cioè l’unico insieme che non ha elementi.
Siano A, B insiemi.
Se a è un elemento di A (ciò si esprime anche dicendo che a appartiene ad A),
scriveremo
a − A.
Se ogni elemento di A è anche elemento di B, diremo che A è un sottoinsieme di B
(oppure che è incluso, o contenuto in B) e scriveremo
A § B.
Se A § B e B § A, cioè se A e B hanno gli stessi elementi, A e B sono lo stesso
insieme e scriveremo
AœB
(osserviamo qui esplicitamente che intenderemo sempre l’uguaglianza nel senso “leibniziano”
di identità).
In generale, se si deve provare che A œ B, il procedimento migliore è appunto quello
di mostrare che A § B e B § A.
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 2
Le scritture
a  A, A §
y B, A Á B
indicano la negazione rispettivamente di a − A, A § B e A œ B (cioè significano
rispettivamente: a non è un elemento di A, A non è un sottoinsieme di B, A e B non sono lo
stesso insieme; quest’ultimo fatto si esprime anche dicendo che A e B sono diversi o distinti).
Se A § B e A Á B (ciò si esprime dicendo che A è incluso propriamente in B, oppure
che A è un sottoinsieme proprio di B), scriveremo anche
A§
Á B.
Se pÐBÑ è una proposizione aperta con variabile libera B su A, scriviamo
A" œ ÖB − A / pÐBÑ×
(e leggiamo: A" è l’insieme degli B appartenenti a A tali che pÐBÑ) per indicare il sottoinsieme
di A formato da tutti e soli gli elementi a − A per i quali pÐaÑ è vera.
L’insieme i cui elementi sono tutti (e soli) i sottoinsiemi di A si indica con c (A) e si
dice insieme delle parti di A.
Si dice unione di A e B, e si indica con A  B, l’insieme i cui elementi sono tutti e soli
gli elementi di A e gli elementi di B.
Si dice intersezione di A e B, e si indica con A  B, l’insieme degli elementi di A che
appartengono anche a B, cioè: A  B œ ÖB − A / B − B×.
Se A  B œ g, A e B si dicono disgiunti.
Si dice differenza di A e B, e si indica con AÏB, l’insieme degli elementi di A che non
appartengono a B, cioè: AÏB œ ÖB − A / B  B×.
Se B § A, l’insieme AÏB viene detto anche complementare di B in A, ed è indicato
(purché tale notazione non dia luogo ad equivoci) con Bc .
Un insieme di insiemi si dice anche una famiglia di insiemi. Le nozioni di “unione” e
“intersezione” si estendono alle famiglie di insiemi: se Y è una famiglia di insiemi, si dice
unione di Y e si indica con
- X
X−Y
l’insieme di tutti e soli gli elementi che appartengono ad almeno un elemento di Y ; si dice
intersezione di Y e si indica con
+ X
X−Y
l’insieme di tutti e soli gli elementi che appartengono a tutti gli elementi di Y .
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 3
Si dice partizione di A una famiglia di sottoinsiemi non vuoti di A a due a due
disgiunti la cui unione è A.
Sia Y una famiglia di sottoinsiemi non vuoti di A a due a due disgiunti. Un insieme di
rappresentanti per Y è un sottoinsieme Aæ di A tale che ogni elemento di Aæ appartiene a un
(e, ovviamente, un solo) elemento di Y e per ogni A+ − Y esiste uno e un solo ++ − Aæ tale
che ++ − A+ .
Supporremo noti, e utilizzeremo, i seguenti insiemi numerici: l’insieme  dei numeri
naturali (con le usuali nozioni di somma, differenza, prodotto, divisione, minore, maggiore);
l’insieme ™ dei numeri interi (con le usuali nozioni di somma, differenza, prodotto, divisione,
minore, maggiore) nel quale distinguiamo il sottoinsieme ™ dei numeri interi positivi e il
sottoinsieme ™ dei numeri interi negativi; l’insieme  dei numeri razionali (con le usuali
nozioni di somma, differenza, prodotto, divisione, minore, maggiore) nel quale distinguiamo il
sottoinsieme  dei numeri razionali positivi e il sottoinsieme  dei numeri razionali
negativi; l’insieme ‘ dei numeri reali (con le usuali nozioni di somma, differenza, prodotto,
divisione, minore, maggiore) nel quale distinguiamo il sottoinsieme ‘ dei numeri reali
positivi e il sottoinsieme ‘ dei numeri reali negativi; l’insieme ‚ dei numeri complessi (con
le usuali nozioni di somma, differenza, prodotto, divisione).
Come è usuale, identificheremo ™  Ö!× con . Analogamente, identificheremo ™
con un oportuno sottoinsieme di ,  con un opportuno sottoinsieme di ‘ e ‘ con un
opportuno sottoinsieme di ‚. Ci sentiremo pertanto liberi di scrivere
§™§§‘§‚.
Osservazione 0.2.1
Comunque presi + − ™, , − ™ , restano univocamente determinati due numeri interi ; , < tali
che
+ œ ,;  <
e
!Ÿ<,.
Essi si dicono rispettivamente quoziente e resto della divisione euclidea di + per ,.
Osservazione 0.2.2
Siano +, . − ™ ; se il resto della divisione euclidea di + per . è ! (zero), si dice che . è un
divisore di + (oppure che . divide +, o anche che + è multiplo di . ).
Siano +, , − ™ ; si dice massimo comun divisore di + e , un numero intero positivo .! tale
che
- .! divide + e ,;
- ogni numero intero positivo che divide sia + che , divide anche .! Þ
Il massimo comun divisore di + e , si indica con MCDÐ+, ,Ñ o anche, quando non vi sia rischio
di equivoci, semplicemente con Ð+, ,Ñ.
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 4
Si dimostra senza difficoltà che, detto < il resto della divisione euclidea di + per . , ogni
numero che divida sia + che , divide anche < e, viceversa, ogni numero che divida sia , che <
divide anche +; pertanto MCDÐ+, ,Ñ œ MCDÐ, , <Ñ. È poi chiaro che MCDÐ+, ,Ñ œ , se e
soltanto se , divide +. Da queste considerazioni segue subito l’algoritmo detto “delle divisioni
successive”, che non solo dimostra l’esistenza del massimo comun divisore fra due qualsiasi
numeri interi positivi + e , ma costituisce anche il metodo più efficiente per calcolarlo:
ripeti
sia < il resto della divisione euclidea di + per ,;
indica con + il numero che era indicato con ,;
indica con , il numero che era indicato con <
finché , œ ! ;
il numero che a questo punto è indicato con + è il massimo comun divisore cercato.
Poiché il resto è sempre strettamente minore del divisore, il numero indicato con ,
nell’algoritmo delle divisioni successive diminuisce ad ogni divisione, quindi in un numero
finito di passi deve raggiungere zero: questo prova la convergenza dell’algoritmo e l’esistenza
del massimo comun divisore di due qualsiasi numeri interi positivi.
0.3 - 8-ple ordinate. Matrici.
Siano A, B insiemi.
Se + − A e , − B, l’insieme Ö+, Ö+, ,×× si dice coppia ordinata con prima componente
+ e seconda componente ,, e si indica con Ð+, ,Ñ. Nel seguito per lo più non ci servirà la
definizione rigorosa di “coppia ordinata” ma sarà sufficiente tener presente che essa è
caratterizzata non solo dai suoi elementi ma anche dall’ordine in cui si considerano: dunque
 se +, +’ − A e ,, ,’ − B, si ha Ð+, , Ñ œ Ð+’, , ’Ñ se e solo se + œ +’ e , œ , ’;
in particolare:
 se + Á ,, si ha sempre Ð+, ,Ñ Á Ð,, +Ñ.
L’insieme di tutte le coppie ordinate Ð+, ,Ñ con + − A e , − B si dice prodotto
cartesiano di A per B e si indica con A ‚ B.
Analogamente, si può considerare un ente caratterizzato da $, %, á , 8 elementi (detti
componenti), e dall’ordine in cui questi vengono considerati: si parla rispettivamente di terna
ordinata, quaterna ordinata, á , 8-pla ordinata. Ad esempio, siano dati tre insiemi A" , A# ,
A$ e siano +" − A" , +# − A# , +$ − A$ : la terna ordinata individuata da +" , +# , +$ (in questo
ordine) si indica con (+" , +# , +$ Ñ e non è altro che l’elemento Ð(+" , +# Ñ, +$ Ñ dell’insieme
(A" ‚ A# Ñ ‚ A$ (che, per semplicità, si indica a sua volta con A" ‚ A# ‚ A$ Ñ.
Particolare importanza rivestirà per noi il caso delle 8-ple ordinate di elementi di uno
stesso insieme A (l’insieme di tali 8-ple si indica con A8 ).
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 5
Sia A un insieme, e siano 7, 8 numeri interi positivi. Si dice matrice 7 ‚ 8 a
elementi in A una 7-pla ordinata di 8-ple ordinate di elementi di A, ossia un elemento di
ÐA8 Ñ7 . Una matrice 7 ‚ 8 potrebbe essere identificata con una 78-pla ordinata; in pratica,
quando si parla di matrice gli elementi vengono scritti in una “tabella”
Î +"ß"
Ð +#ß"
Ð
á
Ï +7ß"
+"ß#
+#ß#
á
+7ß#
á
á
á
á
+"ß8 Ñ
+#ß8 Ó
Ó
á
+7ß8 Ò
nella quale si evidenziano le 8-ple ordinate Ð+"ß" , +"ß# , á , +"ß8 Ñ, á , Ð+#ß" , +#ß# , á , +#ß8 Ñ, á ,
Ð+7ß" , +7ß# , á , +7ß8 Ñ, dette righe della matrice, e le 7-ple ordinate Ð+"ß" , +#ß" , á , +7ß" Ñ, á ,
Ð+"ß# , +#ß# , á , +7ß# Ñ, á , Ð+"ß8 , +#ß8 , á , +7ß8 Ñ, dette colonne della matrice. Sinteticamente, la
matrice di termine generico +3ß4 si indica con Ð+3ß4 Ñ; le sue righe si indicano con +"߇ , +#߇ , á ,
+7߇ e le sue colonne con +‡ß" , +‡ß# , á , +‡ß8 .
Se 7 œ 8 (cioè se il numero delle righe è uguale al numero delle colonne) una
matrice 8 ‚ 8 si dice quadrata (di ordine 8). Una matrice quadrata di ordine 8 Ð+3ß4 Ñ si
dice simmetrica se +3ß4 œ +4ß3 per ogni 3,4 in Ö", ..., 8× .
L’insieme di tutte le matrici 7 ‚ 8 a elementi in A si indica con A7ß8 .
0.4 - Relazioni. Funzioni.
Siano A, B insiemi.
Si dice relazione tra A e B un sottoinsieme del prodotto cartesiano A ‚ B.
Intuitivamente, una relazione tra A e B è una “legge” che a ogni elemento di A associa
qualche elemento di B (eventualmente nessuno).
Sia 4 una relazione tra A e B, cioè sia 4 § A ‚ B; se Ð+, ,Ñ − 4 , si dice che gli
elementi + (di A) e , (di B) sono in relazione (secondo 4 ), e si scrive +4 ,. In pratica si usa
sempre la notazione +4 , anziché Ð+, ,Ñ − 4 .
Se 4 è una relazione tra A e B, si dice relazione inversa di 4 e si indica con 4 " la
relazione tra B e A definita dalla condizione
,4 " + se e soltanto se +4 , .
Si dice funzione (o applicazione) da A in B una relazione f tra A e B tale che per ogni
+ − A esiste esattamente un , − B tale che + f ,, cioè tale che ogni elemento di A è in
relazione (secondo f) con esattamente un elemento di B. Ciò si esprime scrivendo
f : A Ä B.
Intuitivamente, una funzione da A in B è una “legge” che ad ogni elemento di A
associa uno e un solo elemento di B.
L’insieme A si dice dominio di f.
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 6
Per ogni + − A, l’(unico) elemento , di B tale che + f , si indica spesso con fÐ+Ñ; si
dice che , proviene da + (o anche che , è l’immagine di +) mediante f. In pratica non si usa
mai la notazione + f , ma piuttosto si scrive fÐ+Ñ œ , come noi faremo in tutto il resto di questi
appunti.
Se A" § A, si dice immagine di A" (mediante f) il sottoinsieme fÐA" Ñ di B formato
dalle immagini (mediante f) degli elementi di A" , cioè
f ÐA" Ñ œ Ö, − B / , œ f Ð+Ñ per qualche + − A" ×.
L’immagine f ÐAÑ di A si dice anche semplicemente immagine di f.
Se B" § B, si dice immagine inversa di B" (mediante f) il sottoinsieme f " ÐB" Ñ di A
formato dagli elementi le cui immagini (mediante f) appartengono a B" , cioè
f " ÐB" Ñ œ Ö+ − A / fÐ+Ñ − B" ×.
Osservazione 0.4.1
Sia A un insieme, e sia f una funzione con dominio A . Per ogni sottoinsieme B" di fÐAÑ , si ha
fÐf " ÐB" ÑÑ œ B" .
Se fÐAÑ œ B (ossia se per ogni b − B esiste almeno un a − A tale che fÐaÑ œ b ; cioè
se ogni elemento di B proviene mediante f da almeno un elemento di A), f si dice suriettiva. In
tal caso, si dice che f è una funzione da A su B.
Se comunque presi a, a’ − W(f) con a Á a’ è fÐaÑ Á fÐa’Ñ (ossia se comunque presi
a, a’ − W(f) da fÐaÑ œ fÐa’Ñ segue a œ a’; cioè se ogni elemento di B proviene da al più un
elemento di A), f si dice iniettiva.
Se f è iniettiva e suriettiva si dice che f è biiettiva (o anche che f è una biiezione, o una
corrispondenza biunivoca tra A e B). Una funzione iniettiva è sempre una corrispondenza
biunivoca tra il proprio dominio e la propria immagine. Una corrispondenza biunivoca tra A e
A si dice permutazione su A.
Se f : A Ä B è iniettiva, la relazione inversa f " di f è una funzione (necessariamente
biiettiva) di fÐAÑ su A, che si dice funzione inversa di f. Si noti che, se B" § fÐAÑ, l’immagine
di B" mediante f " coincide con l’immagine inversa di B" mediante f, e quindi non c’è
ambiguità nella notazione f " ÐB" Ñ. Se f è una corrispondenza biunivoca tra A e B, la sua
inversa f " è una corrispondenza biunivoca tra B e A. In particolare, l’inversa di una
permutazione su A è anch’essa una permutazione su A.
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Per ogni insieme A, la funzione idA : A Ä A che ad ogni elemento associa se stesso è
una corrispondenza biunivoca detta funzione identica o anche identità di A.
Sia f una funzione da A in A. Un elemento + di A si dice un punto fisso per f se
fÐ+Ñ œ +. Ogni elemento di A è un punto fisso per idA .
Siano A, B insiemi, sia f:A Ä B e sia A" § A. Si dice restrizione di f ad A" la
funzione fkA" : A" Ä B così definita: fkA" ³ f  (A" ‚ B)
(si ricordi che f è un sottoinsieme di A ‚ B). Questa definizione è molto “tecnica”, perché
nella sostanza fkA" “opera” esattamente come f (l’unica differenza è che “opera” solo su A" );
certe proprietà possono però essere verificate da fkA" e non da f, e viceversa.
0.5 - Composizione di funzioni.
Siano A, B, C insiemi, e siano f : A Ä B, g : B Ä C funzioni.
Si dice composizione di f con g e si indica con
scrivono f e g!) la funzione A Ä C definita ponendo
g‰f
Ðg ‰ fÑÐ+Ñ ³ gÐfÐ+ÑÑ
(attenzione all’ordine in cui si
a+ − A.
Osservazione 0.5.1
Siano A, B insiemi, sia f : A Ä B iniettiva e sia f " : B Ä A la funzione inversa di f . Si ha
f " ‰ f œ idA
e
f ‰ f " œ id f(AÑ .
Osservazione 0.5.2
Siano A, B, C, D insiemi, e siano f : A Ä B, g:B Ä C, h:C Ä D funzioni. Si ha
(h ‰ g) ‰ f œ h ‰ (g ‰ f).
0.6 - Cardinalità.
Siano A, B insiemi. Si dice che A e B sono equipotenti se esiste una corrispondenza
biunivoca tra A e B .
Per ogni 8 −  , sia
I8 ³ ÖB −  Î " Ÿ B Ÿ 8× Þ
Si dimostra che gli insiemi I8 (al variare di 8 − ),  e ‘ a due a due non sono equipotenti.
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Sia A un insieme.
Se esiste 8 −  tale che A è equipotente a I8 , si dice che la cardinalità di A è 8 e si
kAk œ 8 .
In questo caso si dice anche che il numero degli elementi di A è 8 .
scrive
Se A è equipotente a , si dice che la cardinalità di A è i! (si legge: “aleph con zero”)
e si scrive
kAk œ i! .
In questo caso si dice anche che A è numerabile.
Se A è equipotente a ‘, si dice che la cardinalità di A è - e si scrive
kAk œ - .
In questo caso si dice anche che A ha la potenza del continuo.
Notiamo esplicitamente che possono verificarsi infiniti altri casi, anche se quelli sopra
considerati saranno sufficienti per i nostri scopi.
Sia A un insieme.
Se esiste 8 −  tale che kAk œ 8 , si dice che A è un insieme finito; in caso contrario,
si dice che A è un insieme infinito (e la sua cardinalità può essere i! , - oppure una delle
infinite altre che non abbiamo considerato!).
0.7 - Relazioni di equivalenza.
Sia A un insieme.
Si dice relazione in A una relazione tra A e A (cioè un sottoinsieme del prodotto
cartesiano A ‚ A).
Sia µ una relazione in A. Essa si dice di equivalenza se è
 riflessiva, cioè
 simmetrica, cioè
 transitiva, cioè
+µ+
a+ − A;
+µ, Ê ,µ+
a+, , − A;
Ð+ µ , • , µ -Ñ Ê Ð+ µ -Ñ
a+, , , - − A.
Sia µ una relazione di equivalenza in A. Se + − A, si dice classe di
µ  equivalenza di + (o anche, quando ciò non dia luogo ad equivoci, semplicemente classe
di equivalenza di +) il sottoinsieme [+] di A definito come segue:
[+] œ ÖB − A / B µ +×.
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Osservazione 0.7.1
Per ogni + − A, si ha + − [+].
Dimostrazione  Infatti + µ +, perché µ è riflessiva.
Osservazione !Þ7.2
Comunque presi +, , − A, si ha [+] œ [, ] se e solo se + µ , .
Dimostrazione  Se [+] œ [,], poiché + − [+] (per l’osservazione 0.7.1) si ha + − [,] e
dunque + µ , (per definizione di [,]).
Viceversa, sia + µ ,; dobbiamo provare che [+] § [,] e che [, ] § [+].
Sia B − [+]; allora B µ + . Ma + µ , per ipotesi e dunque B µ , (perché µ è transitiva), cioè
B − [,]. Per l’arbitrarietà di B in [+], si è provato che [+] § [,].
Sia ora B − [,]; allora B µ ,. Poiché , µ + (essendo + µ , per ipotesi, ed essendo µ
simmetrica) e poiché µ è transitiva, si ha B µ +, cioè B − [+]. Per l’arbitrarietà di B in [,], si
è così anche provato che [,] § [+] e dunque che [+] œ [, ] .
Osservazione 0.7.3
Sia + − A. Per ogni B − [+], è [B] œ [+].
Dimostrazione  Per definizione di [+], se B − [+] è B µ + ; dunque [B] œ [+] per
l’osservazione 0.7.2.
Sia + − A. Per ogni B − [+], si dice che B rappresenta [+], o anche che B è un
rappresentante di [+]. Ciò è giustificato da quanto si è visto nell’osservazione 0.7.3.
Osservazione 0.7.4
Comunque presi +, , − A, se [+] Á [,] è [+]  [, ] œ g.
Dimostrazione  Sia [+] Á [,]. Procediamo per assurdo, supponendo che esista
B − [+]  [,]. In tal caso B µ + (perché B − [+]) e B µ , (perché B − [, ]); per l’osservazione
0.7.2 si ha allora [+] œ [B] œ [,], contro l’ipotesi.
Osservazione 0.7.5
L’insieme delle classi di equivalenza di A è una partizione di A.
Dimostrazione  Le classi di equivalenza sono a due a due disgiunte per
l’osservazione 0.7.4; per l’osservazione 0.7.1 esse sono non vuote e la loro unione è A.
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L’insieme delle classi di µ  equivalenza di A si dice insieme quoziente di A rispetto
A
A
a µ , e si indica con µ
. La funzione (suriettiva) 1:A Ä µ
che ad ogni elemento di A associa
A
la sua classe di equivalenza si dice proiezione canonica di A su µ
.
0.8 - Le classi di resto.
In tutta la sezione 0.8 supporremo fissato un numero intero positivo 8.
Siano +, , − ™; si dice che + è congruo , modulo 8 e si scrive
+ ´ , Ðmod 8Ñ
sse Ðb5 − ™ÑÐ+  , œ 58Ñ, ossia sse +  , è multiplo di 8.
Si è così definita una relazione in ™, detta “congruenza modulo 8”. Tale relazione è
stata studiata fin dall’antichità: sono celebri le opere in proposito del matematico ellenista
Diofanto, vissuto nel terzo secolo d. C..
Teorema 0.8.1
La congruenza modulo 8 è una relazione di equivalenza in ™.
Dimostrazione  In primo luogo, la congruenza modulo 8 è riflessiva, ossia
+ ´ + Ðmod 8)
per ogni + − ™.
Infatti, +  + œ ! † 8 con ! − ™.
Inoltre, la congruenza modulo 8 è simmetrica: siano +, , − ™ tali che + ´ , Ðmod 8)
e proviamo che , ´ + Ðmod 8). In effetti, se + ´ , Ðmod 8) esiste 5 − ™ tale che
+  , œ 58; ma allora ,  + œ Ð  5 )8 con  5 − ™, e dunque , ´ + Ðmod 8).
Infine, la congruenza modulo 8 è transitiva: siano +, , , - − ™ tali che + ´ , Ðmod 8)
e , ´ - Ðmod 8), e proviamo che + ´ - Ðmod 8). In effetti, se + ´ , Ðmod 8) esiste
5" − ™ tale che +  , œ 5" 8; se , ´ - Ðmod 8) esiste 5# − ™ tale che ,  - œ 5# 8; ma allora
+  - œ (+  , )  (,  - ) œ 5"8  5#8 œ (5"  5#Ñ † 8
con 5"  5# − ™, e dunque + ´ - Ðmod 8).
Per quanto provato nel teorema 0.8.1, se + ´ , Ðmod 8) si può dire che +, , sono
congrui modulo 8 senza porre attenzione all’ordine in cui si citano + e ,.
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Esercizio 0.8.2
Trovare due numeri interi che sono congrui modulo & ma non sono congrui modulo "!.
Esistono due numeri interi che siano congrui modulo "! ma non siano congrui modulo &?
Teorema 0.8.3
Sia + − ™, e sia < il resto della divisione euclidea di + per 8. Allora + ´ < Ðmod 8).
Dimostrazione  Per definizione di divisione euclidea (cfr. osservazione 0.2.1), esiste
; − ™ tale che
+ œ ;8  <
e dunque +  < œ ;8 con ; − ™, da cui l’asserto.
Le classi di equivalenza rispetto alla relazione di congruenza modulo 8 si dicono classi
di resto modulo 8. L’insieme delle classi di resto modulo 8 (cioè l’insieme quoziente di ™
rispetto alla relazione di congruenza modulo 8) si indica con ™8 .
Esercizio 0.8.4
Si deduca dal teorema 0.8.3 che due numeri interi +, , sono congrui modulo 8 se e solo se la
divisione euclidea di + per 8 e la divisione euclidea di , per 8 danno lo stesso resto.
Teorema 0.8.5
L’insieme ™8 ha 8 elementi, precisamente: [!], ["], á , [8  "].
Dimostrazione  Per il teorema 0.8.3, ogni numero intero appartiene a una delle classi
[!], ["], á , [8  "]. Resta da provare che tali classi sono tutte distinte.
Se fosse [3] œ [4] con ! Ÿ 3  4  8, per l’osservazione 0.7.2 sarebbe 3 ´ 4 Ðmod 8) ossia
esisterebbe 5 − ™ tale che 4  3 œ 58.
Ma 4  3  ! (perché 4  3) e 4  3  8 (perché 4  8 e 3 !), dunque 4  3 non può
essere multiplo di 8. Abbiamo così ottenuto una contraddizione; ne segue che le classi
[!], ["], á , [8  "] sono tutte distinte, come si voleva.
Esercizio 0.8.6
Si studi la congruenza modulo ", la congruenza modulo #, la congruenza modulo $, la
congruenza modulo "!, la congruenza modulo "# e la congruenza modulo #%; in particolare,
per ciascuna di tali relazioni si scrivano esplicitamente le classi di resto e si precisi come
opera la proiezione canonica.
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 12
1.- OPERAZIONI IN UN INSIEME
1.1 - Operazioni in un insieme.
Sia A un insieme non vuoto.
Si dice operazione (binaria, interna) in A una funzione da A ‚ A in A (cioè,
intuitivamente, una “legge” che ad ogni coppia ordinata di elementi di A associa un elemento
di A).
Se æ è un’operazione in A e +, , − A, scriviamo +æ, anziché æ(+, , ): così
+æ, œ significa che - è l’immagine di (+, ,) mediante æ, ossia che æ associa alla coppia ordinata
(+, ,) di elementi di A l’elemento - di A .
Esempi
1.1.1 La somma e il prodotto sono operazioni in , ™, .
1.1.2 Per ogni insieme A, la composizione definita in 0.5 è un’operazione nell’insieme di
tutte le funzioni A Ä A .
1.1.3 Nell’insieme ™, la sottrazione è un’operazione, la divisione non lo è.
1.1.4 Nell’insieme  è un’operazione la æ definita come segue:
+æ, œ +(,  ")
a+, , − .
1.1.5 Nell’insieme Ö+, ,, -× è un’operazione la æ definita come segue:
+æ+ œ +, +æ, œ , , +æ- œ - , ,æ+ œ , , ,æ, œ +, ,æ- œ +, -æ+ œ - , -æ, œ + , -æ- œ , .
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 13
1.1.6 Sia A un insieme. La funzione che a due sottoinsiemi di A associa la loro unione è
un’operazione in c (A) che si indica con  .
1.1.7 Sia A un insieme. La funzione che a due sottoinsiemi di A associa la loro intersezione
è un’operazione in c (A) che si indica con  .
1.1.8 Sia 8 un numero intero positivo. Nell’insieme ™8,8 delle matrici quadrate 8 ‚ 8 a
elementi in ™ si definisce un’operazione † (detta prodotto righe per colonne) come segue:
Ð+3ß4 Ñ † Ð,3ß4 Ñ ³ Œ ! +3ß5 ,5ß4 Þ
8
5œ"
Allo stesso modo si definisce il prodotto righe per colonne fra due elementi di 8,8 , fra due
elementi di ‘8,8 o fra due elementi di ‚8,8 . Di fatto, allo stesso modo si definisce il prodotto
righe per colonne fra due elementi di A8,8 per qualsiasi anello A (cfr. sez. 2.10) .
Siano A un insieme non vuoto e æ un’operazione in A .
Se + − A e B § A , si pone:
+æB ³ ÖB − A Î B œ +æ, con , − B× ;
Bæ+ ³ ÖB − A Î B œ ,æ+ con , − B× .
Se B, C § A , si pone
BæC ³ ÖB − A Î B œ ,æ- con , − B e - − C× .
Esempio 1.1.9
Sia A ³  , e sia † l’usuale prodotto fra numeri naturali. Se 8! − , per quanto sopra
convenuto la scrittura 8! †  indica l’insieme
ÖB − ÎB œ 8! † 8 con 8 − ×
cioè l’insieme dei numeri naturali multipli di 8! . Poiché, quando ciò non dia luogo ad
equivoci, il prodotto si usa indicare con la semplice giustapposizione dei fattori, nel seguito
scriveremo 8!  anziché 8! † .
Analogamente, se 5 − ™ indicheremo con la scrittura
multipli di 5 .
5™
l’insieme dei numeri interi
Siano A un insieme non vuoto e æ un’operazione in A . Un elemento + − A si dice
idempotente se
+æ+ œ + .
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 14
Esempio 1.1.10
Sia A ³ ™#,# , e sia † il prodotto “righe per colonne” definito in 1.1.8 . Gli elementi
"
Œ!
!
,
!
"
Œ!
!
"
e
!
Œ!
!
"
sono idempotenti.
1.2 - Chiusura rispetto a un’operazione.
Sia A un insieme nel quale è definita un’operazione æ, e sia B § A Þ
Si dice che B è chiuso rispetto a æ se comunque presi ,, ,’ − B è anche ,æ,’ − B. Se
B è chiuso rispetto a æ, la restrizione di æ a B ‚ B è un’operazione in B che si dice indotta
da æ e (di solito, poiché ciò non dà luogo ad equivoci) si indica ancora con æ.
Esempi
1.2.1  è chiuso rispetto alla somma e al prodotto.
1.2.2 Il sottoinsieme di  formato dai numeri dispari è chiuso rispetto al prodotto ma non
rispetto alla somma.
1.2.3 Siano I un insieme e A l’insieme di tutte le funzioni da I in I. Il sottoinsieme di A
costituito dalle corrispondenze biunivoche (cioè l’insieme delle permutazioni su I, cfr. sezione
0.4) è chiuso rispetto alla composizione.
Teorema 1.2.4
Sia A un insieme nel quale è definita un’operazione æ. Se Y è una famiglia di sottoinsiemi di
A chiusi rispetto a æ, anche + X è chiuso rispetto a æ.
X−Y
Dimostrazione  Siano
B, C − + X . Allora, per ogni X − Y si ha B, C − X e
X−Y
dunque (poiché per ipotesi X è chiuso rispetto a æ) BæC − X . Ma allora
l’asserto è così provato per l’arbitrarietà di B e C in + X .
X−Y
BæC − + X ;
X−Y
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 15
Osservazione 1.2.5
La proprietà espressa per l’intersezione dal teorema 1.2.4 non si può in generale estendere
all’unione, nemmeno nel caso di due soli insiemi. Si consideri infatti, per esempio, l’insieme
™ dei numeri interi con l’usuale operazione  di somma, e siano #™ e $™ i sottoinsiemi
formati rispettivamente dai multipli di # e dai multipli di $ (cfr. esempio 1.1.9) . È facile
verificare che sia #™ che $™ è chiuso rispetto alla somma; tuttavia #™  $™ non è chiuso
rispetto alla somma: #, $ − #™  $™ ma #  $ œ &  #™  $™ .
1.3 - Associatività e commutatività.
Sia A un insieme.
Un’operazione æ in A si dice associativa se
+æ(,æc) œ (+æ,)æ- a+, , , - − A.
Un’operazione æ in A si dice commutativa se
+æ, œ ,æ+ a+, , − A.
Esempi
Le operazioni considerate in 1.1.1, 1.1.6 e 1.1.7 sono associative e commutative; quella
considerata in 1.1.2 è associativa ma in generale non commutativa; quella considerata in 1.1.5
è commutativa ma non associativa (infatti Ð,æ,Ñæ- Á ,æÐ,æ-Ñ); quella considerata in ".1.4
non è né associativa né commutativa.
Il “prodotto righe per colonne” in A8,8 considerato in 1.1.8 è associativo, ma in generale non
commutativo, per ogni scelta di A e di 8 .
Sia A un insieme, e sia æ un’operazione associativa in A . Per ogni scelta di elementi
+, ,, - − A la scrittura
+æ,æc
non dà luogo ad ambiguità, perché le sue due possibili interpretazioni ( +æ(,æc) e
(+æ,)æ- ) hanno lo stesso valore. Con un po’ di attenzione si riesce anche a dimostrare che
(purché æ sia associativa!) comunque preso un numero arbitrario di elementi +" , +# , ...,
+8 − A tutte le possibili interpretazioni della scrittura
+" æ+# æ...æ+8
hanno lo stesso valore, e quindi una tale scrittura può essere usata senza dar luogo ad
equivoci.
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 16
1.4 - Elemento neutro.
Siano A un insieme e æ un’operazione definita in A.
Un elemento 8 di A si dice elemento neutro per æ se +æ8 œ 8æ+ œ + a+ − A.
Se l’operazione æ è detta somma, l’elemento neutro si indica con “!” e si chiama “zero”; se è
detta prodotto, si indica con “"” e si chiama “uno” oppure “unità”.
Teorema 1.4.1
Siano A un insieme e æ un’operazione definita in A. Se esiste un elemento neutro per æ,
questo è unico.
Dimostrazione  Siano 8, 8’ elementi neutri per æ. Allora 8 œ 8æ8’ œ 8’, come si
voleva dimostrare.
Esempi
1.4.2 L’operazione æ considerata in 1.1.4 non ha elemento neutro. Si noti che +æ! œ + per
ogni + − , ma in generale !æ+ Á +.
1.4.3 Le operazioni di somma considerate in 1.1.1 hanno come elemento neutro il numero !.
1.4.4 Le operazioni di prodotto considerate in 1.1.1 hanno come elemento neutro il numero
".
1.4.5 L’operazione æ considerata in 1.1.5 ha come elemento neutro l’elemento a.
1.4.6 Le operazioni di unione e intersezione considerate in 1.1.6 e 1.1.7 hanno come
elemento neutro rispettivamente g e A.
1.4.7 L’operazione di composizione considerata in 1.1.2 ha come elemento neutro la
funzione idA (“identità su A”) già ricordata nella sezione 0.4 .
1.4.8 Il “prodotto righe per colonne” in A8,8 considerato in 1.1.8 ha elemento neutro se e
soltanto se in A c’è l’elemento neutro " rispetto al prodotto (quindi certamente se A è ™, , ‘
o ‚) e tale elemento neutro è la matrice Ð$3ß4 Ñ dove $3ß4 è il cosiddetto “simbolo di
Kröneker”, ossia
$3ß4 ³ œ
"
!
se 3 œ 4
se 3 Á 4 .
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 17
1.5 - Il simmetrico di un elemento.
Siano A un insieme e æ un’operazione definita in A per la quale esiste l’elemento
neutro 8.
Per ogni + − A, si dice simmetrico di + (rispetto a æ) un elemento + − A tale che sia
+æ+ œ +æ+ œ 8.
Se l’operazione æ è detta somma, il simmetrico di + si dice opposto di +, e si indica
con  +; se è detta prodotto, si dice inverso di +, e si indica con +" .
Teorema 1.5.1
Siano A un insieme, æ un’operazione definita in A per la quale esiste l’elemento neutro 8, e
+ − A.
Se + ha simmetrico + , anche + ha simmetrico, e il simmetrico di + è +.
Dimostrazione  Le stesse uguaglianze (+æ+ œ +æ+ œ 8) che esprimono il fatto che
+ è simmetrico di + ci dicono anche che + è simmetrico di + .
Teorema 1.5.2
Siano A un insieme e æ un’operazione associativa definita in A per la quale esiste l’elemento
neutro 8.
Per ogni + − A, se esiste un simmetrico questo è unico.
Dimostrazione  Siano +, œ
+ simmetrici di a. Allora
œ Ñ œ Ð+æ+Ñæ+
œ œ 8æ+
œ œ œ
+ œ +æ8 œ +æÐ+æ+
+ .
Teorema 1.5.3
Siano A un insieme e æ un’operazione associativa definita in A per la quale esiste l’elemento
neutro 8, e + − A .
Se + è idempotente e ha simmetrico +, allora+ œ 8 .
Dimostrazione  Si ha infatti
8 œ +æ+ œ Ð+æ+Ñæ+ œ +æÐ+æ+Ñ œ +æ8 œ + .
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Esempi
1.5.4 Rispetto all’operazione æ definita in 1.1.5 (che non è associativa), l’elemento , ha due
distinti simmetrici: se stesso e l’elemento , .
1.5.5 In ™, per ogni elemento esiste l’opposto (cioè, il simmetrico rispetto alla somma) ma
solo per +" e  " esiste l’inverso (cioè, il simmetrico rispetto al prodotto).
1.5.6 Rispetto alle operazioni di “unione” e “intersezione” considerate in 1.1.6 e 1.1.7, non
esiste in generale il simmetrico di un elemento di c (A).
1.5.7 Rispetto all’operazione di “composizione” considerata in 1.1.2 non esiste in generale il
simmetrico di una funzione. Tuttavia, se f è una corrispondenza biunivoca di A in sé la
funzione f " ricordata nella sezione 0.4 è il simmetrico di f rispetto alla composizione (cfr.
osservazione 0.5.1) .
1.6 - La rappresentazione tabulare di un’operazione.
Nel caso, certamente particolare ma assolutamente non irrilevante, in cui si considera
un’operazione in un insieme finito, questa può essere descritta mediante una tabella.
Sia
A=Ö+" , +# , ..., +8 ×
un insieme di cardinalità 8 ( − ), e sia æ un’operazione in A. Si dice tabella (“tavola
pitagorica”?Ñ di æ la matrice Ð8  "Ñ ‚ Ð8  "Ñ a elementi in A  Öæ× così definita:
 l’elemento di posto (", ") è æ ;
 per ogni 3 ³ ", ÞÞÞ, 8 , l’elemento di posto (", 3  ") e l’elemento di posto (3  ", ")
coincidono con +3 ;
 per ogni 3, 4 ³ ", ÞÞÞ, 8 , l’elemento di posto (3  ", 4  ") coincide con +3 æ+4 .
La (3  ")  sima riga [colonna] si dice riga [colonna] corrispondente all’elemento +3 ;
si usa anche dire che il risultato dell’operazione æ fra due elementi dati si legge all’incrocio
fra la riga e la colonna corrispondenti a tali elementi.
Alcune proprietà di æ si traducono immediatamente in proprietà della sua tabella. Ad
esempio, æ è commutativa se e soltanto se la sua tabella è una matrice simmetrica. È anche
facile stabilire con la tabella di æ se un dato elemento è elemento neutro per æ ; se poi æ ha
l’elemento neutro, basta scorrere la riga e la colonna corrispondenti a un elemento +3 per
decidere (si stabilisca per esercizio con che criterio!) se +3 possiede o non possiede
simmetrico rispetto a æ. Non c’è invece un modo “veloce” per decidere mediante la tabella se
æ è associativa.
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 19
Di solito nella rappresentazione grafica della tabella di un’operazione si evidenziano
la prima riga e la prima colonna. Ecco ad esempio come si potrebbe presentare la tabella
dell’operazione æ descritta in 1.1.5:
æ
+
,
-
+
+
,
-
,
,
+
+
+
,
Nella descrizione di un’operazione mediante una tabella è implicito l’insieme in cui
essa è definito: lo si può infatti leggere nella prima riga (o nella prima colonna).
Un esame dell’operazione può suggerire di rinominare gli elementi dell’insieme in
modo da rendere più espressiva la tabella; ad esempio, nell’operazione æ appena considerata
si può rinominare + in 8 (perché + risulta essere l’elemento neutro) e , in - # (avendosi
-æ- œ ,). La tabella diventa allora
æ
8
-#
8
8
-#
-#
8
-#
-#
8
8
Le due tabelle che abbiamo scritto rappresentano operazioni definite in insiemi diversi
(Ö+, ,, -× e Ö8, - , - # ×), ma per come abbiamo ottenuto la seconda a partire dalla prima è lecito
affermare che rappresentano la stessa operazione. Uno dei primi problemi che dovremo
affrontare sarà proprio quello di chiarire quando insiemi diversi, magari con operazioni dal
nome diverso (what’s in a name?) debbano essere “identificati” dal nostro punto di vista.
Esempio 1.6.1
†
"
+
+#
,
+,
+# ,
"
"
+
+#
,
+,
+# ,
+
+
+#
"
+# ,
,
+,
+#
+#
"
+
+,
+# ,
,
,
,
+,
+# ,
"
+
+#
+,
+,
+# ,
,
+#
"
+
+# ,
+# ,
,
+,
+
+#
"
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 20
2.- SEMIGRUPPI, MONOIDI, GRUPPI, ANELLI
2.1 - Semigruppi.
Siano S un insieme e æ un’operazione in S.
Si dice che la coppia ÐS, æÑ è un semigruppo (o anche, più confidenzialmente, che S è
un semigruppo rispetto a æ) se:
G.1 l’operazione æ è associativa.
Se inoltre
G.4 l’operazione æ è commutativa
il semigruppo si dice commutativo.
Esempi
2.1.1 L’insieme ™ dei numeri interi è un semigruppo commutativo rispetto alla somma.
Anche Ð,  Ñ, Б,  Ñ e Ђ,  Ñ, tanto per citare gli insiemi numerici più conosciuti, sono
semigruppi (commutativi) rispetto alla somma: tutti questi esempi però sono molto “ricchi”
(col linguaggio che introdurremo nella sez. 2.7, si tratta di gruppi commutativi). Negli esempi
2.1.2 e 2.1.3 presentiamo semigruppi “poveri” (che cioè non sono gruppi e nemmeno sono
monoidi, cfr. sez. 2.4).
2.1.2 Sia #™ l’insieme dei numeri interi pari (cfr. esempio 1.1.9). L’insieme (#™)#,# delle
matrici 2 ‚ 2 a coefficienti in #™ è un semigruppo rispetto all’operazione di “prodotto righe
per colonne” definita in 1.1.8.
Si noti che (#™)#,# non è commutativo, perché
2
Œ!
!
! 2
! 4
!
†Œ
œŒ
ÁŒ



!
! !
! !
!
!
! 2
2
œŒ
†Œ


!
! !
!
!
.
!
2.1.3 L’insieme #™ è un semigruppo commutativo rispetto all’usuale operazione di prodotto.
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 21
2.2 - Sottosemigruppi.
Sia S un semigruppo rispetto a una data operazione æ .
Si dice sottosemigruppo di S un sottoinsieme non vuoto di S che sia chiuso rispetto a
æ. Si noti che: se S" è un sottosemigruppo di S, allora S" è un semigruppo rispetto
all’operazione indottavi da æ ; infatti la restrizione a un sottoinsieme di un’operazione
associativa non può che essere associativa.
Esempi
2.2.1 Gli insiemi ™ (dei numeri interi positivi) e ™ (dei numeri interi negativi) sono
sottosemigruppi di (™,  ).
2.2.2 Il sottoinsieme di (#™)#,# (cfr. esempio 2.1.2) formato dalle matrici in cui è nullo
l’elemento di posto (2, 1) (cioè l’elemento individuato dalla seconda riga e dalla prima
colonna) è un sottosemigruppo di (#™)#,# . Quanto già osservato in 2.1.2 mostra che questo
sottosemigruppo non è commutativo.
2.2.3 L’insieme %™ (dei multipli di 4) è un sottosemigruppo del semigruppo commutativo
considerato in 2.1.3.
Teorema 2.2.4
Sia S un semigruppo. Per ogni famiglia Y di sottosemigruppi di S,
+ T se non è g è un sottosemigruppo di S .
T−Y
Dimostrazione  Per definizione di sottosemigruppo, questo teorema è immediata
conseguenza del teorema 1.2.4 .
Osservazione 2.2.5
Come si è osservato nell’esempio 2.2.1, ™ e ™ sono sottosemigruppi di (™,  ). La loro
intersezione è però g e quindi non è un sottosemigruppo di (™,  ).
Osservazione 2.2.6
Lo stesso esempio considerato nell’osservazione 1.2.5 mostra che, in generale, l’unione di due
sottosemigruppi può non essere un sottosemigruppo.
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 22
Sia S un semigruppo, e sia X § S . Si dice sottosemigruppo di S generato da X
l’intersezione di tutti i sottosemigruppi di S contenenti X .
Osservazione 2.2.7
Sia S un semigruppo, e sia X § S . Il sottosemigruppo di S generato da X contiene X ed è
contenuto in ogni sottosemigruppo di S contenente X (si dice anche che è il minimo
sottosemigruppo di S contenente X). Infatti la famiglia dei sottosemigruppi di S contenenti X
non è vuota, perché vi appartiene certamente S .
Teorema 2.2.8
Sia S un semigruppo rispetto all’operazione æ , e sia X § S . Il sottosemigruppo di S generato
da X è l’insieme degli elementi di S che si possono scrivere nella forma
B" æB# æ...æB5
con 5 − ™ (eventualmente 5 œ "Ñ e gli B3 appartenenti a X non necessariamente distinti fra
loro.
Dimostrazione  Sia S" l’insieme degli elementi di S che si possono scrivere nella
forma descritta dall’enunciato del teorema (che, ricordiamo, non è ambigua per l’associatività
di æ!), e sia S# il sottosemigruppo di S generato da X .
Per definizione di S" , X § S" ; inoltre, S" è chiuso rispetto a æ e dunque è un
sottosemigruppo di S contenente X : per definizione di S# , ne segue che S# § S" .
Viceversa, sia S! un sottosemigruppo di S contenente X ; allora ogni elemento di S
della forma descritta dall’enunciato del teorema deve appartenere S! (perché S! deve essere
chiuso rispetto a æ), cosicché deve essere S" § S! . Per l’arbitrarietà di S! , deve essere
S" § S# cosicché l’asserto è completamente provato.
2.3 - Omomorfismi e isomorfismi tra semigruppi.
Siano ÐS, æÑ e ÐT, ‰ Ñ semigruppi.
Si dice omomorfismo tra ÐS, æÑ e ÐT, ‰ Ñ (o anche, più semplicemente, tra S e T) una
funzione f : S Ä T tale che
f(BæC) œ f(B) ‰ f(C )
Si dice isomorfismo un omomorfismo biiettivo.
aB, C − S.
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 23
2.4 - Monoidi.
Siano M un insieme e æ un’operazione in M.
Si dice che la coppia ÐM, æÑ è un monoide (o anche, più confidenzialmente, che M è
un monoide rispetto a æ) se valgono le seguenti proprietà:
G.1 l’operazione æ è associativa;
G.2 esiste in M l’elemento neutro per æ .
Se inoltre
G.4 l’operazione æ è commutativa
il monoide si dice commutativo.
Esempi
2.4.1 L’insieme ‘#,# delle matrici 2 ‚ 2 a coefficienti reali è un monoide rispetto
all’operazione di “prodotto righe per colonne” definita in 1.1.8. L’elemento neutro è
"
Œ!
Si noti che ‘#,# non è commutativo, perché
1
Œ!
!
Þ
"
!
! 1
! 1
!
†Œ
œŒ
ÁŒ



!
! !
! !
!
!
! 1
1
œŒ
†Œ


!
! !
!
!
.
!
2.4.2 Più in generale: per ogni numero naturale 8, l’insieme ‘8,8 delle matrici 8 ‚ 8 a
coefficienti reali è un monoide (non commutativo) rispetto all’operazione di “prodotto righe
per colonne” definita in 1.1.8. L’elemento neutro è la matrice Ð$3ß4 Ñ dove $3ß4 è il già citato
“simbolo di Kröneker” (cfr. 1.4.8).
2.4.3 Sia A un insieme. L’insieme c (A) è un monoide commutativo rispetto all’operazione
di unione definita in 1.1.6 (cfr. 1.4.6) .
2.4.4 Sia A un insieme. L’insieme c (A) è un monoide commutativo rispetto all’operazione
di intersezione definita in 1.1.7 (cfr. 1.4.6) .
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 24
2.5 - Sottomonoidi.
Sia ÐM, æÑ un monoide.
Si dice sottomonoide di M un sottoinsieme di M che sia chiuso rispetto a æ e a cui
appartenga l’elemento neutro di M. Si noti che: se M" è un sottomonoide di M, allora M" (è
un sottoinsieme di M e) è un monoide rispetto all’operazione indottavi da æ , ma non vale il
viceversa (cfr. esempio 2.5.3 ed esercizio 2.5.4).
Esempi
2.5.1 Il sottoinsieme di ‘#,# formato dalle matrici in cui è nullo l’elemento di posto (2, 1)
(cioè l’elemento individuato dalla seconda riga e dalla prima colonna) è un sottomonoide di
‘#,# . L’esempio già visto in 2.4.1 mostra che questo sottomonoide non è commutativo.
2.5.2 Sia A un insieme. Se A" § A, (c (A" ),  ) è un sottomonoide di (c (A),  ).
2.5.3 Sia A un insieme. Se A" §
Á A, (c (A" ),  ) è un sottosemigruppo di (c (A),  ) ed è un
monoide, ma non è un sottomonoide di (c (A),  ) ; infatti l’elemento neutro di c (A" ) è A" ,
che non è elemento neutro per c (A), mentre l’elemento neutro di c (A) è A, che non
appartiene a c (A" ) .
Esercizio 2.5.4
Si dimostri che il sottoinsieme M" del monoide ‘#,# formato dalle matrici della forma
+
Œ!
!
!
(cioè quelle in cui è nullo ogni elemento tranne eventualmente quello di posto (1, 1)) è un
sottosemigruppo di ‘#,# ed è un monoide, ma non è un sottomonoide di ‘#,# .
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 25
Teorema 2.5.5
Sia M un monoide. Per ogni famiglia non vuota Y di sottomonoidi di M,
+ N è un sottomonoide di M .
N−Y
Dimostrazione  Per definizione di sottomonoide, l’elemento neutro di M appartiene a
ogni elemento di Y e quindi anche a + N . A questo punto il teorema è immediata
N−Y
conseguenza del teorema 1.2.4 .
Osservazione 2.5.6
Lo stesso esempio considerato nell’osservazione 1.2.5 mostra che, in generale, l’unione di due
sottomonoidi può non essere un sottomonoide.
Sia M un monoide, e sia X § M . Si dice sottomonoide di M generato da X
l’intersezione di tutti i sottomonoidi di M contenenti X .
Osservazione 2.5.7
Sia M un monoide, e sia X § M . Il sottomonoide di M generato da X contiene X ed è
contenuto in ogni sottomonoide di M contenente X (si dice anche che è il minimo
sottomonoide di M contenente X). Infatti la famiglia dei sottomonoidi di M contenenti X non
è vuota, perché vi appartiene certamente M .
Teorema 2.5.8
Sia M un monoide rispetto all’operazione æ con elemento neutro 8, e sia X § M . Il
sottomonoide di M generato da X è l’insieme degli elementi di M che si possono scrivere
nella forma
B" æB# æ...æB5
con 5 − ™ (eventualmente 5 œ "Ñ e gli B3 appartenenti a X  Ö8× non necessariamente
distinti fra loro.
Dimostrazione  Sia M" l’insieme degli elementi di M che si possono scrivere nella
forma descritta dall’enunciato del teorema (che, ricordiamo, non è ambigua per l’associatività
di æ!), e sia M# il sottomonoide di M generato da X .
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 26
Per definizione di M" , X § M" ; inoltre, 8 − M" e M" è chiuso rispetto a æ ; dunque
M" è un sottomonoide di M contenente X : per definizione di M# , ne segue che M# § M" .
Viceversa, sia M! un sottomonoide di M contenente X ; allora ogni elemento di M
della forma descritta dall’enunciato del teorema deve appartenere a M! (perché deve essere
8 − M! e M! deve essere chiuso rispetto a æ), cosicché deve essere M" § M! . Per
l’arbitrarietà di M! , deve essere M" § M# cosicché l’asserto è completamente provato.
Teorema 2.5.9
Sia ÐM, æÑ un monoide. Se +, , sono elementi di M dotati di simmetrico (rispettivamente + e
,) anche +æ, ha simmetrico +æ, , e si ha
+æ, œ ,æ+.
Dimostrazione  Detto 8 l’elemento neutro, si ha
Ð+æ,ÑæÐ,æ+Ñ œ +æÐ,æ,Ñæ+ œ +æ8æ+ œ +æ+ œ 8
e allo stesso modo
Ð,æ+ÑæÐ+æ,Ñ œ ,æÐ+æ+Ñæ, œ ,æ8æ, œ ,æ, œ 8
cosicché l’asserto è completamente provato.
Teorema 2.5.10
Sia ÐM, æÑ un monoide. L’insieme degli elementi di M dotati di simmetrico è un
sottomonoide di M.
Dimostrazione  L’elemento neutro è il simmetrico di se stesso, dunque appartiene
all’insieme considerato; l’asserto segue allora immediatamente dal teorema 2.5.9 .
2.6 - Omomorfismi e isomorfismi tra monoidi.
Siano ÐM, æÑ e ÐN, ‰ Ñ monoidi.
Si dice omomorfismo tra ÐM, æÑ e ÐN, ‰ Ñ (o anche, più semplicemente, tra M e N)
una funzione f : M Ä N tale che

e

f(BæC ) œ f(B) ‰ f(C )
aB, C − M
se 8 è l’elemento neutro di M, f(8) è l’elemento neutro di N .
Si dice isomorfismo un omomorfismo biiettivo.
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 27
Esempio 2.6.1
Sia M un monoide con elemento neutro 8 e sia M" un sottosemigruppo di M che è anch’esso
un monoide ma con elemento neutro 8" Á 8 (quindi in particolare 8 Â M" ); si vedano
l’esempio 2.5.3 e l’esercizio 2.5.4 . Sia f la restrizione a M" dell’identità di M (cfr. sez. 0.4).
Indicando con ‰ l’operazione definita in M e con æ quella da essa indotta in M" , è
immediato verificare che f è un omomorfismo fra i semigruppi ÐM" , æÑ e ÐM, ‰ Ñ ma non è
un omomorfismo fra i monoidi ÐM" , æÑ e ÐM, ‰ Ñ perché f(8" ) œ 8" non è l’elemento
neutro di M .
2.7 - Gruppi.
Siano G un insieme e æ un’operazione in G.
Si dice che G è un gruppo rispetto a æ, oppure (più correttamente!) che la coppia
ÐG, æÑ è un gruppo, se valgono le seguenti proprietà:
G.1 l’operazione æ è associativa;
G.2 esiste in G l’elemento neutro per æ;
G.3 per ogni 1 − G esiste il simmetrico di 1 rispetto a æ.
Se inoltre
G.4 l’operazione æ è commutativa
il gruppo si dice commutativo. Per i gruppi si usa spesso come sinonimo di “commutativo”
l’aggettivo abeliano in onore del matematico Niels Henrik Abel (1802-1829).
Esempi
2.7.1 ™, , ‘ e ‚ sono gruppi abeliani rispetto alla somma.
2.7.2  non è un gruppo rispetto alla somma (non esiste in generale l’opposto di un
elemento).
2.7.3 ™, , ‘ e ‚ non sono gruppi rispetto al prodotto (non esiste l’inverso di !).
2.7.4 ÏÖ!× ,  , ‘ÏÖ!× , ‘ e ‚ÏÖ!× sono gruppi abeliani rispetto al prodotto.
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 28
2.7.5 Per ogni insieme A, l’insieme Sym(A) delle permutazioni su A (sezione 0.4) è un
gruppo (in generale non abeliano) rispetto alla composizione di funzioni. Infatti è chiuso
rispetto a tale operazione (come si è visto nell’esempio 1.2.3), la quale è associativa
(osservazione 0.5.2) e ha come elemento neutro la funzione idA : A Ä A che ad ogni elemento
associa se stesso; infine, l’esistenza del simmetrico per ogni permutazione su A è già stata
segnalata in 1.5.7 .
2.7.6 Sia A un insieme. c (A) (cfr. 3.5) non è un gruppo né rispetto all’unione né rispetto
all’intersezione; è però un gruppo abeliano rispetto all’operazione æ (detta differenza
simmetrica) definita come segue:
XæY œ (X  Y)Ï(X  Y)
aX, Y − c (A).
2.7.7 Per ogni monoide M , il sottomonoide degli elementi di M dotati di simmetrico (cfr.
teorema 2.5.10) è un gruppo.
Osservazione 2.7.8
Un gruppo è un monoide in cui ogni elemento ha simmetrico.
Teorema 2.7.9
Sia ÐG, æÑ un gruppo. L’unico elemento idempotente di G è l’elemento neutro.
Dimostrazione  Per definizione di “gruppo”, l’operazione æ è associativa e ogni
elemento di G ha simmetrico rispetto a æ. L’asserto segue perciò immediatamente dal
teorema 1.5.3 .
Teorema 2.7.10
Sia ÐG, æÑ un gruppo. Se ogni elemento di G coincide col proprio simmetrico, G è abeliano.
Dimostrazione  Siano B, C − G ; dobbiamo provare che BæC œ CæB .
Per ipotesi, BæC œ BæC ; per il teorema 2.5.9, BæC œ CæB . Dunque
BæC œ BæC œ CæB œ CæB
tenendo ancora conto dell’ipotesi.
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 29
2.8 - Sottogruppi.
Sia ÐG, æÑ un gruppo.
Si dice sottogruppo di G un sottoinsieme di G chiuso rispetto a æ che sia un gruppo
rispetto all’operazione indottavi da æ .
Esempi
2.8.1 ™ non è un sottogruppo di Й,  Ñ, pur essendo chiuso rispetto alla somma.
2.8.2  è un sottogruppo di ÐÏÖ!×, † Ñ.
Teorema 2.8.3
Sia ÐG, æÑ un gruppo, e sia H un sottogruppo di G. L’elemento neutro per æ in H coincide
con l’elemento neutro per æ in G (e quindi, per ogni 2 − H il simmetrico di 2 in H coincide
col simmetrico di 2 in G).
Dimostrazione  L’elemento neutro per æ in H è idempotente; dunque (per il
teorema 2.7.9) esso coincide con l’elemento neutro per æ in G . Possiamo ora applicare il
teorema 1.5.2 e concludere che per ogni 2 − H il simmetrico di 2 in H coincide con il
simmetrico di 2 in G .
2.9 - Omomorfismi e isomorfismi tra gruppi.
Siano ÐG, æÑ e ÐH, ‰ Ñ gruppi.
Una funzione f : G Ä H si dice un omomorfismo tra ÐG, æÑ e ÐH, ‰ Ñ (o anche, più
semplicemente, tra G e H) se
f(BæC) œ f(B) ‰ f(C )
aB, C − G.
Un omomorfismo iniettivo si dice monomorfismo; un omomorfismo suriettivo si dice
epimorfismo; un omomorfismo biiettivo si dice isomorfismo.
Sia ÐG, æÑ un gruppo. Un omomorfismo tra ÐG, æÑ e ÐG, æÑ si dice un
endomorfismo di ÐG, æÑ ; un isomorfismo tra ÐG, æÑ e ÐG, æÑ (cioè un endomorfismo
biiettivo di ÐG, æÑ ) si dice un automorfismo di ÐG, æÑ .
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 30
Teorema 2.9.1
Siano ÐG, æÑ e ÐH, ‰ Ñ gruppi, e sia f un omomorfismo tra G e H. Se 8 è l’elemento neutro
per æ in G, f(8) è l’elemento neutro per ‰ in H ; inoltre, per ogni 1 − G : se 1 è il simmetrico
di 1 rispetto a æ in G, f( 1 ) è il simmetrico di f(1) rispetto a ‰ in H .
Dimostrazione  Sia 8 l’elemento neutro per æ in G .Si ha
f(8) ‰ f(8) œ f(8æ8) œ f(8)
cioè f(8) è un elemento idempotente di H ; dunque, per il teorema 2.7.9, f(8) è l’elemento
neutro 8’ per ‰ in H .
Sia ora 1 − G , e sia 1 il simmetrico di 1 rispetto a æ in G . Si ha
f( 1 ) ‰ f(1) œ f( 1 æ 1) œ f(8) œ 8’
e analogamente
f(1) ‰ f( 1 ) œ f(1 æ 1 ) œ f(8) œ 8’
come si voleva dimostrare.
Esempio 2.9.2
Sia Б , † Ñ il gruppo dei numeri reali positivi (rispetto all’operazione di prodotto) e sia
Б,  Ñ il gruppo di tutti i numeri reali (rispetto all’operazione di somma). Per ogni , − ‘ ,
il logaritmo in base , è un isomorfismo tra Б , † Ñ e Б,  Ñ .
Teorema 2.9.3
Siano ÐG, æÑ e ÐH, ‰ Ñ gruppi, e sia f un isomorfismo tra ÐG, æÑ e ÐH, ‰ Ñ. La funzione inversa
f " (cfr. sez. 0.4) è un isomorfismo tra ÐH, ‰ Ñ e ÐG, æÑ, detto isomorfismo inverso di f .
Dimostrazione  Si è già osservato nella sez. 0.4 che f " è una corrispondenza
biunivoca tra H e G, quindi resta soltanto da verificare che è un omomorfismo.
Se 2" , 2# − H, esistono 1" , 1# − G tali che f(1" ) œ 2" e f(1# ) œ 2# ; inoltre, poiché f è
un omomorfismo, si ha f(1" æ1# ) œ f(1" ) ‰ f(1# ) œ 2" ‰ 2# . Ne segue, per definizione di funzione
inversa, che f " (2" ) œ 1" , f " (2# ) œ 1" e f " (2" ‰ 2# ) œ 1" æ1# .
Dunque, comunque presi 2" , 2# − H , si ha
f " (2" ‰ 2# ) œ f " (2" )æf " (2# )
come si voleva dimostrare.
Esercizio 2.9.4
Sia Б,  Ñ il gruppo di tutti i numeri reali (rispetto all’operazione di somma) e sia
Б , † Ñ il gruppo dei numeri reali positivi (rispetto all’operazione di prodotto). Per ogni
, − ‘ , si descriva l’isomorfismo tra Б,  Ñ e Б , † Ñ inverso di quello considerato
nell’esempio 2.9.2 .
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 31
2.10 - Anelli.
Sia A un insieme con almeno due elementi, e siano  , † due operazioni in A (che
chiameremo rispettivamente somma e prodotto).
Si dice che A è un anello rispetto a  e † , oppure (più correttamente!) che la terna
ÐA,  , † Ñ è un anello, se
A.1 ÐA,  Ñ è un gruppo commutativo;
A.2 il prodotto è associativo;
A.3 il prodotto è distributivo rispetto alla somma.
Se inoltre
A.4 esiste in A un elemento neutro per il prodotto
oppure
A.5 il prodotto è commutativo
si dice (rispettivamente) che A è un anello con unità (e l’elemento neutro per il prodotto si
dice l’unità di A) oppure che A è un anello commutativo. Naturalmente, se valgono sia la A.4
che la A.5 si dice che A è un anello commutativo con unità.
Convenzionalmente, gli elementi neutri per la somma e il prodotto si indicano
rispettivamente con “!” e “"”; qualora possa esservi confusione con i numeri naturali ! e ", si
usano le notazioni “!A ” e “"A ”. Inoltre, l’opposto di un elemento B si indica con  B,
l’inverso di un elemento B (se esiste) si indica con B" .
Esempi
2.10.1 ™ e  sono anelli commutativi con unità rispetto alle ordinarie operazioni di somma e
prodotto.
2.10.2 L’insieme dei polinomi a coefficienti in ™ (oppure in ) nell’indeterminata x è un
anello commutativo con unità rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto.
2.10.3 L’insieme dei numeri interi pari (cioè della forma #5 con 5 − ™) è un anello
commutativo senza unità rispetto alle ordinarie operazioni di somma e prodotto.
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 32
Osservazione 2.10.4
Sia ÐA,  , † Ñ un anello. Per ogni + − A, si ha + † ! œ ! † + œ !.
Dimostrazione  Ricordiamo che abbiamo convenuto di indicare con ! l’elemento
neutro di A rispetto alla somma. Si ha
+ † ! œ + † (!  !) œ + † !  + † !
da cui (sommando ad ambo i membri l’opposto di + † !) si ricava che ! œ + † !. Allo stesso
modo si trova che ! † + œ !.
Osservazione 2.10.5
Sia ÐA,  , † Ñ un anello con unità. Si ha
"Á!
ossia, l’elemento neutro per il prodotto è necessariamente distinto dall’elemento neutro per la
somma.
Dimostrazione  Se fosse " œ !, per ogni + − A sarebbe (in base all’osservazione
2.10.4)
+œ+†"œ+†!œ!
e dunque in A esisterebbe solo l’elemento !, contro l’ipotesi che A sia un anello (e che dunque
appartengano ad A almeno due elementi).
Osservazione 2.10.6
Sia ÐA,  , † Ñ un anello con unità. Non esiste in A l’inverso di !.
Dimostrazione  Se + − A, è a † ! œ ! per l’osservazione 2.10.4, e dunque (per
l’osservazione 2.10.5) non può essere a † ! œ ".
Osservazione 2.10.7
Sia ÐA,  , † Ñ un anello con unità. Si ha
Ð  ") † Ð  " ) œ " ;
inoltre, per ogni + − A, si ha
Ð  ") † + œ  + .
Dimostrazione  Per l’osservazione 2.10.4 si ha (applicando la proprietà distributiva)
! œ ! † Ð  ") œ Ð"  Ð  "ÑÑ † Ð  "Ñ œ " † Ð  "Ñ  Ð  "Ñ † Ð  "Ñ œ  "  Ð  ") † Ð  ")
e dunque, sommando " ad ambo i membri, la prima parte dell’asserto. Inoltre, sempre
applicando l’osservazione 2.10.4 e la proprietà distributiva,
Ð  ") † +  + œ Ð  " ) † +  " † + œ Ð  "  " ) † + œ ! † + œ !
e, analogamente, +  Ð  ") † + œ ! , cosicché Ð  ") † + è l’opposto di +.
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 33
2.11 - Omomorfismi e isomorfismi tra anelli.
Siano ÐA,  , † Ñ e ÐB, Š ,  Ñ anelli.
Una funzione f : A Ä B tale che W(f) œ A si dice un omomorfismo tra ÐA,  , † Ñ e
ÐB, Š ,  Ñ (o anche, più semplicemente, tra A e B) se
f(x  y) œ f(x) Š f(y)
e
f(x † y) œ f(x)  f(y)
ax, y − A.
Un omomorfismo che sia anche una corrispondenza biunivoca si dice isomorfismo.
Esempio 2.11.1
Un esempio significativo di omomorfismo tra anelli sarà dato in 2.12 (teorema 2.12.11).
Esercizio [*] 2.11.2
Siano ÐA,  , † Ñ e ÐB, Š ,  Ñ anelli, e sia f : A Ä B un isomorfismo tra A e B. Si dimostri
che la funzione inversa f " : B Ä A è un isomorfismo tra ÐB, Š ,  Ñ e ÐA,  , † Ñ.
2.12 - L’anello ™8 .
In tutta la sezione 2.12 supporremo fissato un numero intero positivo 8.
Definiamo nell’insieme ™8 delle classi di resto modulo 8 (cfr. sez. 0.8) due operazioni:
le indicheremo con “  ” e “ † ”, e le chiameremo rispettivamente somma e prodotto.
Se [+], [,] − ™8 , poniamo
[+]  [,] ³ [+  ,]
e
[+] † [,] ³ [+ † ,].
Si noti che con lo stesso simbolo “  ” abbiamo indicato a sinistra l’operazione che
stiamo definendo in ™8 e a destra la ben nota operazione di somma in ™; analogamente per il
´ spesso si omette, proprio come in ™). Ciò usualmente non dà
simbolo “ † ” (che, per di piu,
luogo ad ambiguità né a confusione.
Si noti inoltre che abbiamo definito la “somma” (e il “prodotto”) di due classi di resto
mediante la somma (o, rispettivamente, il prodotto) dei loro rappresentanti: poiché tali
rappresentanti non sono univocamente determinati, è importante assicurarsi che la definizione
sia “ben posta”, ossia dipenda solo dalle classi considerate e non dai rappresentanti scelti in
esse (cfr., più avanti, l’esempio 2.12.2). Ciò avviene mediante il
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 34
Teorema 2.12.1
Siano +, ,, +’, ,’ − ™. Se [+] œ [+’] e [, ] œ [, ’], allora [+  , ] œ [+’  , ’] e [+, ] œ [+’, ’].
Dimostrazione  Per l’osservazione 0.7.2, se [+] œ [+’] e [,] œ [,’] deve essere
+ ´ +’ Ðmod 8)
e
, ´ , ’ Ðmod 8),
ossia devono esistere 2, 5 − ™ tali che
+  +’ œ 28
e
,  , ’ œ 58.
Allora
Ð+  ,Ñ  Ð+’  , ’Ñ œ Ð+  +’Ñ  Ð,  , ’Ñ œ 28  58 œ Ð2  5Ñ8
e dunque
+  , ´ +’  , ’ Ðmod 8)
ossia, ancora per l’osservazione 0.7.2, [+  ,] œ [+’  , ’] come si voleva dimostrare.
Inoltre,
+,  +’,’ œ +,  +, ’  +, ’  +’, ’ œ +Ð,  , ’Ñ  , ’Ð+  + ’Ñ œ +58  , ’28 œ Ð+5  , ’5Ñ8
e dunque
+, ´ +’,’ Ðmod 8)
ossia, ancora per l’osservazione 0.7.2, [+,] œ [+’,’] come si voleva dimostrare.
Esempio 2.12.2
Sia 8 œ $.
Si ha [#] œ [&], tuttavia [## ] œ ["] Á [#] œ [#& ]. Non sarebbe dunque possibile definire,
analogamente a come si è fatto per somma e prodotto, un “elevamento a potenza” in ™8
ponendo [+][,] ³ [+, ].
Analogamente, per 8 œ &, si ha [$] œ [)], tuttavia [#$ ] œ [)] œ [$] Á ["] œ [#&'] œ [#) ].
Teorema 2.12.3
Й8 ,  Ñ è un gruppo abeliano.
Dimostrazione  Proviamo in primo luogo che la somma in ™8 è associativa. Se [+],
[,], [- ] appartengono a ™8 (con +, ,, - − ™), si ha
Ð[+]  [,]Ñ  [- ] œ [+  , ]  [- ] œ [Ð+  ,Ñ  - ] œ
œ [+  Ð,  -Ñ] œ [+]  [,  -Ó œ [+]  Ð[, ]  [- ]Ñ
perché la somma in ™ è associativa.
Si ha poi
[+]  [!] œ [+  !] œ [+] œ [!  +] œ [!]  [+]
per ogni [+] − ™8 , e dunque [!] è l’elemento neutro per la somma in ™8 .
Se [+] − ™8 (con + − ™), si ha
l’opposto di [+].
[+]  [+] œ [  +]  [+] œ [!]
e dunque [  +] è
Proviamo infine che la somma in ™8 è commutativa. Se [+] e [,] appartengono a ™8
(con +, , − ™), si ha
[+]  [,] œ [+  ,] œ [,  +] œ [, ]  [+]
perché la somma in ™ è commutativa. L’asserto è così completamente provato.
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Esercizio [*] 2.12.4
Si dimostri che Й8 ,  , † Ñ è un anello commutativo con unità.
Esempio 2.12.5
Sia 8 œ '.
Si ha [#] † [$] œ [# † $] œ ['] œ [!]; dunque in ™' non vale la legge di annullamento del
prodotto.
Esempio 2.12.6
Sia 8 œ %.
Si ha [#] † [#] œ [# † #] œ [%] œ [!]; dunque in ™% l’elemento [#] Á ! ha per quadrato !.
Esempio 2.12.7
Sia 8 œ $.
Il polinomio B$  [#]B si annulla per ogni elemento di ™$ , ma non è il polinomio nullo.
Esempio 2.12.8
Sia 8 œ '.
Si ha [%] œ [%] † [%] œ [%] † [%] † [%] œ [%] † [%] † á [%].
Esercizio 2.12.9
Sia 8 œ '.
Risolvere, se è possibile, le seguenti equazioni in ™' nell’incognita B:
[$] † B œ [#];
[%] † B œ [#];
[&] † B œ ["];
B# œ [#];
B#  ["] œ [!];
[$] † B œ [$];
[%] † B œ [$];
[&] † B œ [#];
B# œ [$];
B#  [#] œ [!];
B&  [$] † B%  B$  [$] † B#  [%] † B œ [!].
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Esercizio 2.12.10
Sia 8 œ (.
Risolvere, se è possibile, le seguenti equazioni in ™( nell’incognita B:
[$] † B œ [#];
[$] † B œ [$];
[%] † B œ [#];
[%] † B œ [$];
[&] † B œ ["];
[&] † B œ [#];
B# œ [#];
B# œ [$];
B#  ["] œ [!].
Teorema 2.12.11
La proiezione canonica ™ Ä ™8 è un omomorfismo fra anelli.
Dimostrazione  Siano +, , − ™. Si ha [+  ,] œ [+]  [, ] e [+,] œ [+][, ] per
definizione di somma e prodotto in ™8 , e ciò prova l’asserto.
2.13 - I criteri di divisibilità per i numeri interi.
Come applicazione della teoria sviluppata nella sez. 2.12, dimostriamo i classici criteri
di divisibilità per i numeri interi.
In tutta questa sezione, indichiamo con 7 un numero intero e con 8 un numero intero
positivo. Ci proponiamo di stabilire condizioni necessarie e sufficienti affinché 7 sia
divisibile per 8, ossia (cfr. teorema 0.8.3 ed esercizio 0.8.4) affinché si abbia
7 ´ ! Ðmod 8).
Poiché numeri opposti hanno gli stessi divisori, possiamo supporre che sia 7  !.
I nostri criteri faranno riferimento alle cifre della rappresentazione posizionale di 7 in
base "!; sia dunque
7 œ -5 † "!5  -5" † "!5"  á  -$ † "!$  -# † "!#  -" † "!  -! .
Per ogni numero intero +, indicheremo con [+] la classe di resto modulo 8 a cui
appartiene +; per il teorema 2.12.11, possiamo scrivere
Ð æÑ
[7] œ [-5 ] † ["!]5  [-5" ] † ["!]5"  á  [-$ ] † ["!]$  [-# ] † ["!]#  [-" ] † ["!]  [-! ].
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Teorema 2.13.1
Sia -! l’ultima cifra di 7. Si ha
7 ´ -! Ðmod #)
7 ´ -! Ðmod &)
e
7 ´ -! Ðmod "!).
Pertanto: 7 è divisibile per # sse l’ultima cifra di 7 è !, #, %, ' oppure ); 7 è divisibile per &
sse l’ultima cifra di 7 è ! oppure &; 7 è divisibile per "! sse l’ultima cifra di 7 è !.
Dimostrazione  Se 8 œ # oppure 8 œ & oppure 8 œ "!, è ["!] œ [!] e quindi
dalla ÐæÑ, ricordando l’osservazione 2.10.4, si ricava che
[7] œ [-! ]
ossia (cfr. osservazione 0.7.2)
7 ´ -! Ðmod 8).
Le uniche cifre divisibili per # sono !, #, %, ' e ); le uniche cifre divisibili per & sono !
e &; e l’unica cifra divisibile per "! è !. L’asserto è così completamente provato.
Teorema 2.13.2
Siano -# , -" e -! le ultime tre cifre di 7. Si ha
7 ´ -" † ["!]  -! Ðmod %)
e
7 ´ -# † ["!]#  -" † ["!]  -! Ðmod )).
Pertanto: 7 è divisibile per % sse è divisibile per % il numero formato dalle ultime due cifre di
7; 7 è divisibile per ) sse è divisibile per ) il numero formato dalle ultime tre cifre di 7.
Dimostrazione  Dalla ÐæÑ si ricava che
[7] œ [2! ] † ["!!!]  [-# ] † ["!]#  [-" ] † ["!]  [-! ] œ
œ [2" ] † ["!!]  [-" ] † ["!]  [-! ].
Se 8 œ ), è ["!!!] œ [!] e quindi (ricordando l’osservazione 2.10.4)
[7] œ [-# ] † ["!]#  [-" ] † ["!]  [-! ];
Se 8 œ %, è ["!!] œ [!] e quindi (ricordando ancora l’osservazione 2.10.4)
[7] œ [-" ] † ["!]  [-! ]
come si voleva.
Teorema 2.13.3
Sia 7 un numero intero, e siano -5 , -5" á , -# , -" e -! le cifre di 7. Si ha
7 ´ (-5  -5"  á  -#  -"  -! Ñ Ðmod $)
e
7 ´ (-5  -5"  á  -#  -"  -! Ñ Ðmod *)
Pertanto: 7 è divisibile per $ [risp.: per *Ó sse è divisibile per $ [risp.: per *] la somma delle
sue cifre.
Dimostrazione  Se 8 œ $ oppure 8 œ *, è ["!] œ ["] e quindi dalla ÐæÑ si ricava
che
[7] œ [-5 ] † ["]5  [-5" ] † ["]5"  á  [-# ] † ["]#  [-" ] † ["]  [-! ] œ
œ [-5 ]  [-5" ]  á  [-# ]  [-" ]  [-! ] œ [-5  -5"  á  -#  -"  -! ].
Dall’osservazione 0.7.2 segue l’asserto.
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Osservazione 2.13.4
Sia 8 œ *.
Per il teorema 2.12.11, se + œ ,  - allora è anche [+] œ [,]  [- ]; se + œ ,  - allora è
anche [+] œ [,]  [- ]; se + œ , † - allora è anche [+] œ [,] † [- ]; se + œ ,;  < allora è
anche [+] œ [,][; ]  [<]. Attenzione: non vale il viceversa!
Il teorema 2.13.3 giustifica la cosiddetta “prova del *” per la somma, la sottrazione, la
moltiplicazione e la divisione euclidea.
Esercizio 2.13.5
Sia 8 œ *.
Si trovino dei numeri interi +, , e - tali che + Á ,;  < ma [+] œ [, ][; ]  [<], mostrando
così che la “prova del *” fornisce una condizione necessaria ma non sufficiente per l’esattezza
del calcolo.
Esercizio [*] 2.13.6
Si enunci una “prova del $” analoga a quella “del *”. Si può enunciare analogamente una
“prova del #” ? E una “prova dell’ )” ? E una “prova del "!” ? E una “prova del '” ?
Perché la più diffusa è la “prova del *” ?
Teorema 2.13.7
Siano -5 , -5" , á , -# , -" e -! le cifre di 7, e supponiamo 5 pari (ponendo -5 ³ ! qualora 7
abbia un numero pari di cifre). Si ha
7 ´ Ð-5  -5"  á  -#  -"  -! Ñ Ðmod "")
ossia
7 ´ Ð-5  -5#  á  -#  -! Ñ  Ð-5"  -5$  á  -" Ñ Ðmod ""Ñ.
Pertanto: 7 è divisibile per "" sse è divisibile per "" la differenza tra la somma delle sue cifre
“di posto dispari” e la somma delle sue cifre “di posto pari”.
Dimostrazione  Se 8 œ "" si ha ["!] œ  ["], da cui (per il teorema 2.12.11)
["!]2 œ  ["]
se 2 è dispari
e
["!]2 œ ["]
se 2 è pari.
Ancora per il teorema 2.12.11, e ricordando che abbiamo scelto -5 in modo che 5 sia
pari, dalla ÐæÑ si ricava che
[7] œ [-5 ] † ["]5  [-5" ] † Ð  ["]Ñ  á  [-# ] † ["]  [-" ] † Ð  ["]Ñ  [-! ] œ
œ [-5 ]  [-5" ]  á  [-# ]  [-" ]  [-! ] œ [-5  -5"  á  -#  -"  -! ].
Dall’osservazione 0.7.2 segue l’asserto.
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 39
3.- PRIME PROPRIETÀ DEI GRUPPI
3.1 - Notazioni.
Nei gruppi che considereremo da qui in avanti chiameremo di regola “prodotto”
l’operazione, e la indicheremo senza un simbolo esplicito ma con la semplice giustapposizione
degli elementi: questo anche quando considereremo contemporaneamente gruppi distinti,
cosicché, ad esempio, il fatto che f sia un omomorfismo tra i gruppi G e H sarà espresso
scrivendo
f Ð1" 1# Ñ œ f Ð1" Ñ f Ð1# Ñ
a1" , 1# − G .
Coerentemente con questa convenzione, indicheremo con 1 (eventualmente: 1G nel
caso in cui possano sorgere equivoci) l’elemento neutro di G ; se 1 − G , il simmetrico di 1
sarà detto inverso di 1 e sarà indicato con 1" .
Continueremo ad usare una notazione diversa per l’operazione del gruppo in tutti i casi
in cui possano sorgere equivoci; va inoltre tenuto presente che per i gruppi abeliani
l’operazione di solito si chiama somma e si indica col simbolo “  ”: si dice in questo caso
che si usa la notazione additiva; l’elemento neutro di G si indica allora con ! (eventualmente:
!G nel caso in cui possano sorgere equivoci) e il simmetrico di un elemento 1 − G si dice
opposto di 1 e si indica con  1 . L’uso della notazione additiva comporta anche qualche
diversa convenzione nelle notazioni che introdurremo più avanti: lo faremo presente caso per
caso. Noi utilizzeremo la notazione additiva essenzialmente per i gruppi Й,  Ñ e Ð,  Ñ e
per quelli ottenuti a partire da essi.
Introduciamo anche una notazione standard sulla cardinalità di un gruppo G : se G ha
infiniti elementi, diremo che G è un gruppo infinito (nei casi che studiamo in questi appunti,
non ci interesserà distinguere fra le varie possibili cardinalità di G); se invece kGk œ 8 con
8 − ™ , diremo che G è un gruppo finito (di ordine 8) .
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 40
3.2 - Le “leggi di cancellazione”.
Teorema 3.2.1
Sia G un gruppo, e siano B, C, D − G .
 Se
 se
BD œ CD ,
BœC
allora
DB œ DC , allora
BœC
(legge di “cancellazione a destra”) ;
(legge di “cancellazione a sinistra”).
Dimostrazione  Sia
BD œ CD . Moltiplicando a destra ambo i membri
"
dell’uguaglianza per D , si trova che BDD " œ CDD " , cioè B" œ C" e infine B œ C
come si voleva.
Allo stesso modo si dimostra la legge di “cancellazione a sinistra”.
Osservazione 3.2.2
Se in un monoide ogni elemento ha simmetrico (e quindi il monoide è un gruppo!), valgono le
leggi di cancellazione, come si è visto col teorema 3.2.1; ma non vale il viceversa: cioè, se in
un monoide valgono le leggi di cancellazione non è detto che ogni elemento abbia il
simmetrico (e che quindi il monoide sia un gruppo). Si pensi a Й, † Ñ .
3.3 - Potenze di un elemento.
Sia G un gruppo, e sia 1 − G . Si pone 1! ³ " e, induttivamente, per 8 − ™ :
18 ³ 118" Þ
Teorema 3.3.1
Sia G un gruppo, e sia 1 − G . Per ogni scelta di 7, 8 −  si ha
(+ )
178 œ 17 18 ;
(, )
Ð17 Ñ8 œ 178 .
Dimostrazione  Proviamo entrambe le affermazioni procedendo per induzione.
1
!8
Consideriamo la (+), e procediamo per induzione su 7. Per 7 ³ !, si ha in effetti
œ 18 œ "18 œ 1! 18 . Supponiamo ora che, per l’ipotesi di induzione, sia 1(7-1)8 œ 17-1 18 .
Allora
178 œ 11Ð78Ñ-1 œ 11Ð7-1Ñ8 œ 117-1 18 œ 17 18 Þ
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 41
Ora consideriamo la (,), e questa volta procediamo per induzione su 8. Per 8 ³ !, si
ha in effetti Ð17 Ñ! œ " œ 1! œ 17†! . Supponiamo ora che, per l’ipotesi di induzione, sia
Ð17 Ñ(8-1) œ 17(8-1) . Allora
Ð17 Ñ8 œ 17 Ð17 Ñ(8-1) œ 17 17(8-1)
e quindi, tenendo conto della (+) (già dimostrata)
Ð17 Ñ8 œ 17 17(8-1) œ 17+7(8-1) œ 17+78-7 œ 178 .
Che cosa possiamo dire delle potenze di 1 con esponente negativo? Ovviamente, per
un minimo di coerenza notazionale, 1" deve indicare l’inverso di 1 . Per esponenti interi
minori di  " ci soccorre il seguente risultato:
Teorema 3.3.2
Sia G un gruppo, e sia 1 − G . Per ogni 8 −  si ha
a1" b8 œ a18 b" .
Dimostrazione  L’uguaglianza è banalmente vera se 8 œ ! , dunque possiamo
dimostrarla per induzione su 8 . Supponiamo che sia a1" b8" œ a18" b" . Allora
a1" b8 œ 1" a1" b8" œ 1" a18" b"
(2.5.9)
œ
a18" 1b"
(3.3.1)
œ
a18 b"
come si voleva.
Confortati dal teorema 3.3.2, porremo per D − ™
D
1D ³ a1" b ˆ œ a1D b" ‰ .
È facile adesso verificare che il teorema 3.3.2 vale per ogni 8 − ™ . Se 8 œ  D con
D − ™ , si ha infatti
a1" b
D
œ Ša1" b ‹ œ 1D œ ˆa1D b" ‰
" D
"
œ a1D b" .
Lasciamo per esercizio la verifica che anche il teorema 3.3.1 si estende agli esponenti
(tutti o in parte) negativi, cosicché vale il
Teorema 3.3.3
Sia G un gruppo, e sia 1 − G . Per ogni scelta di 7, 8 − ™ si ha
(+ )
178 œ 17 18 ;
(, )
Ð17 Ñ8 œ 178 .
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 42
Nel caso della notazione additiva (che, ricordiamo, si usa esclusivamente per i gruppi
abeliani, e nemmeno sempre!) la nozione di multiplo di un elemento sostituisce quella di
“potenza”.
Si pone !1 ³ ! e, induttivamente, per 8 − ™ :
81 ³ 1  Ð8  "Ñ1 .
Naturalmente, Ð  "Ñ1 è  1 , cioè l’opposto di 1 . Il teorema 3.3.3 diventa
Teorema 3.3.3 in notazione additiva
Sia ÐG,  Ñ un gruppo, e sia 1 − G . Per ogni scelta di 7, 8 − ™ si ha
(+ )
Ð7  8Ñ1 œ 71  81 ;
(, )
8Ð71Ñ œ Ð87Ñ1 Þ
3.4 - Ancora sui sottogruppi.
Sia ÐG, † Ñ un gruppo. Ricordiamo dalla sez. 2.8 che si dice sottogruppo di G un
sottoinsieme di G chiuso rispetto a † che sia un gruppo rispetto all’operazione indottavi da † .
Se S è un sottogruppo di G, si scrive
S Ÿ G.
Teorema 3.4.1
Siano G un gruppo e H un sottoinsieme non vuoto di G. Sono fatti equivalenti:
( 3)
H Ÿ G;
(33) comunque presi B, C − H, BC " − H ;
(333) comunque presi B, C − H, BC − H ; e comunque preso B − H, B" − H .
Dimostrazione  Proveremo il teorema mostrando che
(333) Ê (3) .
(3) Ê (33) ,
(33) Ê (333)
e
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 43
Mostriamo che (3) Ê (33) . Supponiamo che H sia un sottogruppo di G, e siano B,
C − H . Poiché H è un gruppo, esiste in H l’inverso di C ; e per il teorema 2.8.3 esso coincide
con l’inverso di C in G, cioè con C" . Dunque appartengono a H sia B che C " ; poiché H è
chiuso rispetto al prodotto, deve essere BC" − H, come si voleva.
Mostriamo che (33) Ê (333) . Supponiamo che valga la (33), e siano B, C − H ; in primo
luogo si osservi che deve essere " œ BB" − H ; di conseguenza, B" œ "B" − H e
"
C" œ "C" − H . Ma allora deve esser anche BC œ BaC " b − H .
Mostriamo infine che (333) Ê (3) . Per la (333), H è chiuso rispetto al prodotto, e
certamente la restrizione del prodotto a H è associativa. Poiché H Á g, esiste in H un
elemento B; ma allora per la (333) si ha B" − H e dunque anche " œ BB" − H : l’unità di G è
dunque anche unità per H . Per ogni B − H la (333) ci assicura poi che B" − H , e B" è
inverso di B anche in H (perché, come abbiamo provato, H ha la stessa unità di G).
Teorema 3.4.2
Sia G un gruppo. Per ogni famiglia non vuota Y di sottogruppi di G,
+ S è un sottogruppo di G .
Dimostrazione  Poniamo S! ³ + S , e dimostriamo che S! verifica la condizione (33)
S−Y
S−Y
del teorema 3.4.1 . Siano B, C − S! ; allora B, C − S per ogni S − Y . Poiché S Ÿ G , deve
essere BC" − S per la (33) del teorema 3.4.1 ; poiché ciò deve avvenire per ogni S in Y ,
possiamo concludere che BC" − S! come si voleva.
Osservazione 3.4.3
Lo stesso esempio considerato nell’osservazione 1.2.5 mostra che, in generale, l’unione di due
sottogruppi può non essere un sottogruppo.
Sia G un gruppo, e sia X § G . La famiglia dei sottogruppi di G contenenti X non è
vuota, perché vi appartiene certamente G . L’intersezione di tutti i sottogruppi di G contenenti
X (che, per il teorema 3.4.2, è un sottogruppo di G) si dice sottogruppo di G generato da X e
si indica, quando non ci sia rischio di ambiguità, con <X> .
Osservazione 3.4.4
Sia G un gruppo, e sia X § G . Il sottogruppo di G generato da X contiene X ed è contenuto
in ogni sottogruppo di G contenente X ; si dice anche che <X> è il minimo sottogruppo di G
contenente X .
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Teorema 3.4.5
Sia G un gruppo, e sia g Á X § G . Il sottogruppo di G generato da X è l’insieme degli
elementi di G che si possono scrivere nella forma
B&" " B&# # ...B&55
con 5 − ™ (eventualmente 5 œ "Ñ, &3 − ™ e gli B3 appartenenti a X (non necessariamente
distinti fra loro).
Dimostrazione  Sia S! l’insieme degli elementi di G che si possono scrivere nella
forma descritta dall’enunciato del teorema . Per definizione di S! , g Á X § S! ; inoltre,
tenendo conto dei teoremi 2.5.9 e 3.3.3, è immediato verificare che S! verifica la condizione
(333) del teorema 3.4.1 . Pertanto, S! è un sottogruppo di G contenente X e dunque <X> § S! .
Viceversa, sia S un sottogruppo di G contenente X ; allora ogni elemento di G della
forma descritta dall’enunciato del teorema deve appartenere a S (per la (333) del teorema
3.4.1), cosicché deve essere S! § S . Per l’arbitrarietà di S, deve essere S! § <X> cosicché
<X> œ S! e l’asserto è completamente provato.
Riveste particolare interesse il caso in cui X ³ Ö1× con 1 − G ; si scrive di solito <1>
anziché <Ö1×>.
Teorema 3.4.6
Sia G un gruppo, e sia 1 − G . Allora
<1> œ ÖB − GÎB œ 18 con 8 − ™× .
Dimostrazione  Segue immediatamente dal teorema 3.4.5 tenendo conto del teorema
3.3.3 .
3.5 - Gruppi ciclici e loro proprietà.
Sia G un gruppo. Si dice che G è ciclico se esiste 1 − G tale che G œ <1> .
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Osservazione 3.5.1
Ogni gruppo ciclico è un gruppo commutativo.
Dimostrazione  Sia G œ <1> un gruppo ciclico; siano B, C − G e dimostriamo che
BC œ CB . Per il teorema 3.4.6, esistono 8" , 8# − ™ tali che B œ 18" e C œ 18# ; allora,
ricordando la (+) del teorema 3.3.3,
BC œ 18" 18# œ 18" 8# œ 18# 18" œ CB .
Teorema 3.5.2
Sia G œ <1> un gruppo ciclico. Se per ogni 8 − ™ si ha 18 Á " , gli elementi 18 con 8 − ™
sono tutti distinti fra loro e G è un gruppo infinito; in caso contrario, detto 8! il minimo intero
positivo tale che 18 œ ", si ha
<1> œ Ö", 1, 1# , ..., 18 " ×
e dunque kGk œ 8! .
!
!
Dimostrazione  Supponiamo in primo luogo che per ogni 8 − ™ sia 18 Á ". Se ci
fossero due numeri interi distinti 8" e 8# (con, per fissare le idee, 8"  8# ) tali che 18 œ 18 ,
sarebbe (ricordando il teorema 3.3.3)
1
" œ Ð18 ÑÐ18 Ñ" œ Ð18 ÑÐ18 Ñ" œ Ð18 ÑÐ18 Ñ œ 18 8
1
1
1
#
#
1
1
2
#
con 8"  8# − ™ (perché 8"  8# ) contro quanto supposto. Dunque gli elementi 18 con
8 − ™ sono tutti distinti fra loro e G ha infiniti elementi, come si voleva dimostrare.
Supponiamo ora che esista 8 − ™ tale che 18 œ " , e sia 8! il minimo numero intero
positivo tale che 18 œ " . Allora certamente gli elementi 1" , 1# , ..., 18 sono tutti a du/ a due
distinti fra loro: se fosse 18 œ 18 con 8! 8"  8# " si otterrebbe, come si è fatto
sopra, che " œ 18 8 con !  8"  8#  8! , assurdo per come si è scelto 8! . Resta da
verificare che 1" , 1# , ..., 18 " e "( œ 18 ) esauriscono gli elementi di G . Ogni elemento di G
è della forma 18 con 8 − ™ ; detti ; e < rispettivamente il quoziente e il resto della divisione
euclidea di 8 per 8! , si ha che
!
!
1
1
2
#
!
!
18 œ 1;8 < œ Ð18 Ñ; 1< œ "; 1< œ 1<
!
!
e quindi 18 − Ö", 1, 1# , ..., 18 " × come si voleva.
!
Questo risultato sarà precisato col teorema 5.2.3.
con
! Ÿ <  8!
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Sia G un gruppo, e sia 1 − G .
Se <1> ha per ordine un numero intero positivo 8, si dice che 1 ha periodo 8 (oppure
anche che 1 ha ordine 8), e si scrive oÐ1Ñ œ 8 . Per il teorema 3.5.2, 8 è il minimo intero
positivo tale che 18 œ " .
Se <1> è un gruppo infinito, si dice che 1 ha periodo infinito (oppure anche che 1 ha
ordine infinito), e si scrive oÐ1Ñ œ _ .
Teorema 3.5.3
Sia G un gruppo, e sia 1 − G . Se 12 œ " con 2 − ™ , oÐ1Ñ divide 2 .
Dimostrazione  Siano rispettivamente ; e < il quoziente e il resto della divisione
euclidea di 2 per oÐ1Ñ . Allora si ha, ricordando il teorema 3.3.3,
" œ 12 œ 1oÐ1ц;< œ a1oÐ1Ñ b † 1< œ "; † 1< œ 1< .
;
Poiché ! Ÿ <  oÐ1Ñ , e poiché oÐ1Ñ è il minimo intero positivo tale che 1oÐ1Ñ œ " ,
deve essere < œ ! Þ
Teorema 3.5.4
Sia G un gruppo, sia 1 − G e sia oÐ1Ñ œ 8 con 8 − ™ . Per ogni 5 − ™ ,
oÐ15 Ñ œ
8
Ð5 , 8Ñ
.
Dimostrazione  Si ha, ricordando la (,) del teorema 3.3.3,
ˆ15 ‰
8
Ð5 , 8Ñ
œ1
5† 8
Ð5 , 8Ñ
cosicché (per il teorema 3.5.3) oÐ15 Ñ divide
Si ha
œ a18 b
8
Ð5 , 8Ñ
" œ ˆ15 ‰
oÐ15 Ñ
5
Ð5 , 8Ñ
œ"
8
Ð5 , 8Ñ
œ"
. Resta da provare che
œ1
8
Ð5 , 8Ñ
divide oÐ15 Ñ .
5†oÐ15 Ñ
cosicché (sempre per il teorema 3.5.3) 8 ( œ oÐ1Ñ) divide 5 † oÐ15 Ñ ossia esiste 8" − ™ tale
che
8" † 8 œ 5 † oÐ15 Ñ .
Possiamo dividere ambo i membri di questa uguaglianza per Ð5 , 8Ñ ; ricordando che sia
che Ð55, 8Ñ sono numeri interi, si trova che
8" † Ð58, 8Ñ œ Ð55, 8Ñ † oÐ15 Ñ Þ
Dunque Ð58, 8Ñ divide il prodotto Ð55, 8Ñ † oÐ15 Ñ ; poiché
dividere oÐ15 Ñ come si voleva dimostrare.
8
Ð5 , 8Ñ
è primo con
5
Ð5 , 8Ñ
8
Ð5 , 8Ñ
, esso deve
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 47
Teorema 3.5.5
Sia G œ <1> un gruppo ciclico. Allora
(1) ogni sottogruppo di G è ciclico.
(2) Se G è ciclico infinito, ogni sottogruppo di G è ciclico infinito; se kGk œ 8 con
8 − ™ , per ogni divisore . di 8 esiste esattamente un sottogruppo di G di ordine . ,
precisamente
8
<1 . > .
(3) Se G è ciclico infinito, 15 è generatore di G se e soltanto se 5 œ „ " ; se kGk œ 8 con
8 − ™ , 15 è generatore di G se e soltanto se Ð5 , 8Ñ œ " .
Dimostrazione  Proviamo la (1).
Sia H un sottogruppo di G . Ogni elemento di H è anche elemento di G, e quindi è
della forma 15 con 5 − ™ ; per la (333) del teorema 3.4.1 e per il teorema 3.3.2, esiste in H un
elemento della forma 15 con 5 − ™ . Sia 5! il minimo intero positivo tale che 15! − H , e
proviamo che H œ <15! > .
Per definizione di <15! > è immediato che <15! > § H , cosicché resta da provare che
H § <15! > . Sia 15 (con 5 − ™) un elemento di H, e siano rispettivamente ; e < il quoziente e
il resto della divisione euclidea di 5 per 5! . È
15 œ 15! ;< œ ˆ15! ‰ † 1<
;
; "
1< œ ˆˆ15! ‰ ‰ † 15 − H
da cui
con ! Ÿ <  5! . Poiché 5! è il minimo intero positivo tale che 15! − H , ne segue che < œ ! e
;
quindi che 15 œ 15! ; œ ˆ15! ‰ − <15! > . Per l’arbitrarietà di 15 in H si è così provato che
H § <15! > come si voleva.
Proviamo la (2).
Supponiamo in primo luogo che 1 abbia periodo infinito, e sia <15 > (cfr. la (1), già
8
dimostrata) un sottogruppo di <1> . Se esistesse 8! − ™ tale che " œ ˆ15 ‰ ! œ 158! , 1
avrebbe periodo finito contro l’ipotesi; dunque anche 15 ha periodo infinito.
di 1
8
.
Se invece 1 ha periodo 8 − ™ , sia . un divisore di 8: per il teorema 3.5.4, il periodo
è Ð 88, 8Ñ , cioè . (infatti se . è un divisore di 8 anche 8. lo è, quindi Ð 8. , 8Ñ œ 8. ) e
.
8
.
dunque <1 > è un sottogruppo di <1> di ordine . ; resta da provare che è l’unico. Sia <15! >
(cfr. la (1), già dimostrata) un sottogruppo di <1> di ordine . . Allora
" œ ˆ15! ‰ œ 15! .
.
cosicché (per il teorema 3.5.3) 5! . œ 8" 8 con 8" − ™ . Ne segue che 5! œ 8" 8. e quindi
15! œ 18" . œ Š1 . ‹ − <1 . > .
8
8
8"
8
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8
8
Ma allora <15! > è (per definizione) contenuto in <1 . > . Poiché <15! > e <1 . > hanno lo stesso
ordine . , essi necessariamente coincidono, come si voleva dimostrare.
Proviamo infine la (3).
Supponiamo in primo luogo che 1 abbia periodo infinito. Se 15 genera <1> , deve
B
esistere in particolare B − ™ tale che ˆ15 ‰ œ 1 , ossia 15B œ 1" , cioè (poiché gli elementi
18 con 8 − ™ sono tutti distinti fra loro, cfr. teorema 3.5.2)
5B œ "
e questa equazione nella B ha soluzione intera se e soltanto se 5 œ „ " ; d’altro lato è
immediato che ciascuno degli elementi 1" e 1" (cioè 1 e il suo inverso) genera <1> .
Se invece 1 ha periodo finito 8 − ™ , 15 (con 5 − ™) è un generatore di <1> se e
soltanto se ha anch’esso periodo 8 ; ma sappiamo dal teorema 3.5.4 che oÐ15 Ñ œ Ð58, 8Ñ .
Dunque 15 (con 5 − ™) è un generatore di <1> se e soltanto se Ð5 , 8Ñ œ " , come si voleva
dimostrare.
Esempio 3.5.6
Sia 8 − ™ . L’insieme delle radici 8-sime di " in ‚ è un gruppo ciclico finito di ordine 8 ; i
suoi generatori si dicono radici 8-sime primitive di " .
Esempio 3.5.7
Sia 8 − ™ , e sia c un fissato 8-gono regolare nel piano. L’insieme delle rotazioni che
mutano c in sé è un gruppo ciclico finito di ordine 8 .
Esempio 3.5.8
Sia 8 − ™ , e sia c un fissato 8-gono regolare nel piano. L’insieme delle isometrie del piano
che mutano c in sé è un gruppo ma non è un gruppo ciclico.
Teorema 3.5.9
Se un gruppo non ha sottogruppi propri, esso è ciclico e il suo ordine è " oppure è un numero
primo.
Dimostrazione  Sia G un gruppo con più di un elemento che non ha sottogruppi
propri. Scelto in G un elemento 1 Á "G , poiché <1> è un sottogruppo di G e <1> Á Ö"G × deve
essere <1> œ G : dunque G è ciclico. Posto 8 ³ kGk, se 8 non fosse un numero primo
avrebbe un divisore proprio . e in G ci sarebbe (per la (2) del teorema 3.5.5) un sottogruppo
di ordine 8. , cioè un sottogruppo proprio, contro la nostra ipotesi: dunque 8 è primo, come si
voleva dimostrare.
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4.- NORMALITÀ
4.1 - Classi laterali.
Siano G un gruppo, H Ÿ G e 1 − G . Si dice classe laterale destra di H (in G)
individuata da 1 l’insieme H1 (cfr. sez. 1.1) Þ
Teorema 4.1.1
Siano G un gruppo e H Ÿ G . Le classi laterali destre di H in G sono le classi di equivalenza
rispetto alla relazione di equivalenza 4 definita in G ponendo
B4 C
Í
BC " − H .
In particolare, le classi laterali destre di H in G sono una partizione di G.
Dimostrazione  Proviamo in primo luogo che 4 è una relazione di equivalenza in G .
Essa è riflessiva: per ogni B − G , BB" œ " − H (perché H Ÿ G) e dunque B4 B .
Essa è simmetrica: siano B, C − G tali che B4 C ; allora BC " − H e quindi (per la (333) del
teorema 3.4.1)
"
CB" œ aBC " b − H
ossia C4 B .
Infine essa è transitiva: siano B, C, D − G tali che B4 C e C 4 D ; allora BC " − H e CD " − H ;
poiché H (in quanto sottogruppo di G) deve essere chiuso rispetto al prodotto, ne segue che
ossia B4 D .
BD " œ aBC " baCD " b − H
Proviamo ora che per ogni 1 − G la classe di 4  equivalenza Ò1Ó individuata da 1 (definita in
0.7) coincide con la classe laterale destra di H in G individuata da 1 .
Se B − Ò1Ó , deve essere B4 1 ossia B1" œ 2 − H ; ne segue che B œ 21 − H1 . Per
l’arbitrarietà di B in Ò1Ó , si è provato che Ò1Ó § H1 .
Viceversa, sia B − H1 ; allora B œ 21 con 2 − H ; ne segue che B1" œ 2 − H ossia B4 1 e
quindi B − Ò1Ó . Per l’arbitrarietà di B in H1 , si è provato che H1 § Ò1Ó .
Che le classi laterali destre di H in G siano una partizione di G segue a questo punto
dall’osservazione 0.7.5 .
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Teorema 4.1.2
Siano G un gruppo e H Ÿ G . Le classi laterali destre di H in G sono a due a due tutte
equipotenti.
Dimostrazione  Basta provare che ogni classe laterale destra è equipotente a H . Se
1 − H , la funzione : : H Ä H1 definita da
:Ð2Ñ ³ 21
a2 − H
è iniettiva (per la legge di “cancellazione a destra”, teorema 3.2.1) e suriettiva (per definizione
di H1), dunque è una corrispondenza biunivoca, come si voleva dimostrare.
Siano G un gruppo, H Ÿ G e 1 − G . Si dice classe laterale sinistra di H (in G)
individuata da 1 l’insieme 1H (cfr. sez. 1.1) Þ
Valgono, con le corrispondenti dimostrazioni, gli analoghi per le classi laterali sinistre
dei teoremi 4.1.1 e 4.1.2, cioè
Teorema 4.1.3
Siano G un gruppo e H Ÿ G . Le classi laterali sinistre di H in G sono le classi di equivalenza
rispetto alla relazione di equivalenza 4 definita in G ponendo
B4 C
Í
B" C − H .
In particolare, le classi laterali sinistre di H in G sono una partizione di G.
Teorema 4.1.4
Siano G un gruppo e H Ÿ G . Le classi laterali sinistre di H in G sono a due a due tutte
equipotenti.
Poiché "H œ H œ H" , dai teoremi 4.1.2 e 4.1.4 segue in particolare che ogni classe
laterale destra di H in G è equipotente a ogni classe laterale sinistra di H in G, e dunque
Osservazione 4.1.5
Siano G un gruppo e H Ÿ G . Tutte le classi laterali (destre e sinistre) di H in G sono a due a
due equipotenti.
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Teorema 4.1.6
Siano G un gruppo e H Ÿ G . L’insieme delle classi laterali destre di H in G è equipotente
all’insieme delle classi laterali sinistre di H in G.
Dimostrazione  Dobbiamo costruire una corrispondenza biunivoca : tra l’insieme
delle classi laterali destre di H in G e l’insieme delle classi laterali sinistre di H in G .
Poniamo
:ÐH1Ñ ³ 1" H
a1 − G .
La : è ben definita, perché se H1" œ H1# si ha 1" 1#" − H ; ma 1" 1#" œ (1"" )" 1#" : pertanto,
dal fatto che 1" 1#" − H segue che 1"" H œ 1#" H .
Analogamente si vede che : è iniettiva: da :ÐH1" Ñ œ :ÐH1# Ñ , cioè 1"" H œ 1#" H , segue
1" 1#" œ (1"" )" 1#" − H e quindi H1" œ H1# .
Infine, : è suriettiva: ogni classe laterale sinistra di H in G è della forma 1H con 1 − G e
quindi è immagine mediante : della classe laterale destra H1" (ricordando che (1" )" œ 1Ñ .
Siano G un gruppo e H Ÿ G . Si dice indice di H in G, e si denota con kG À Hk , la
cardinalità dell’insieme delle classi laterali destre di H in G (cioè dell’insieme quoziente di G
rispetto alla relazione di equivalenza definita nel teorema 4.1.1). Per il teorema 4.1.6, l’indice
di H in G è anche la cardinalità dell’insieme delle classi laterali sinistre di H in G (cioè
dell’insieme quoziente di G rispetto alla relazione di equivalenza definita nel teorema 4.1.3).
Se esiste 8 − ™ tale che kG À Hk œ 8 , si dice che H ha indice finito in G ; in caso
contrario, si dice che H ha indice infinito in G .
Esempio 4.1.7
Sia G il gruppo di tutte le isometrie del piano e sia 5 la simmetria assiale che ha per asse
l’asse C . Sia H ³  5  , cosicché H œ Ö", 5 × e tutte le classi laterali (destre e sinistre) di
H in G sono formate da due elementi (per l’osservazione 4.1.5). Sia 7 la traslazione che porta
l’origine nel punto A ´ Ð#, !Ñ ; le classi laterali (destra e sinistra) di H in G individuate da 7
sono
H7 œ Ö7 , 57 ×
e
7 H œ Ö7 , 75 × .
Si osservi che 57 Á 75 (e quindi H7 Á 7 H), perché 57 lascia fermo il punto di coordinate
Ð", !Ñ mentre 75 lo trasforma nel punto di coordinate Ð  $, !Ñ .
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Esempio 4.1.8
Sia G il gruppo la cui rappresentazione tabulare è data nell’esempio 1.6.1 e sia H ³  ,  ,
cosicché H œ Ö", ,× e tutte le classi laterali (destre e sinistre) di H in G sono formate da due
elementi (per l’osservazione 4.1.5). Le classi laterali (destra e sinistra) di H in G individuate
da + sono
H+ œ Ö+, +# ,×
e
+H œ Ö+, +,× .
Si osservi che H+ Á +H (perché +, Á +# , ) .
Esempio 4.1.9
Sia G il gruppo la cui rappresentazione tabulare è data nell’esempio 1.6.1 e sia H ³  +  ,
cosicché H œ Ö", +, +# × e tutte le classi laterali (destre e sinistre) di H in G sono formate da
tre elementi (per l’osservazione 4.1.5). Le classi laterali (destre e sinistre) di H in G sono:
H œ H1 œ H+ œ H+# œ "H œ +H œ +# H œ Ö", +, +# × ;
H, œ H+, œ H+# , œ , H œ +, H œ +# , H œ Ö, , +, , +# ,× .
In questo caso, ciascuna classe laterale destra HB coincide con la corrispondente classe
laterale sinistra BH .
4.2 - Applicazione ai gruppi finiti.
Ricordiamo (cfr. sez. 3.1) che un gruppo G si dice finito se esiste 8 − ™ tale che
k Gk œ 8 .
Teorema 4.2.1 (Lagrange)
Siano G un gruppo finito e H un sottogruppo di G . Si ha
kGk œ kHk † kG À Hk
e quindi, in particolare:
(+Ñ l’ordine di H è un divisore dell’ordine di G ;
(,Ñ l’indice di H in G è un divisore dell’ordine di G e vale
kGk
kHk
.
Dimostrazione  Poiché (teorema 4.1.1) le classi laterali destre sono una partizione di
G , e poiché (teorema 4.1.2) ognuna di esse ha kHk elementi, l’asserto segue immediatamente
dalla definizione di kG À Hk .
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 53
Osservazione 4.2.2
Sia G un gruppo finito. Se G è ciclico, in base alla (2) del teorema 3.5.5. per ogni divisore .
dell’ordine di G esiste in G un sottogruppo di ordine . . In generale, però, la condizione che
un numero intero positivo . divida l’ordine di G è necessaria (per il teorema di Lagrange) ma
non sufficiente affinché esista in G un sottogruppo di ordine . .
Teorema 4.2.3
Siano G un gruppo finito, H un sottogruppo di G e K un sottogruppo di H (e quindi anche di
G) . Si ha
kG À Kk œ kG À Hk † kH À Kk .
Dimostrazione  Poiché
kGk kGk
kHk
=
†
kKk kHk
k Kk
l’asserto segue immediatamente dalla (,Ñ del teorema 4.2.1 .
4.3 - Sottogruppi normali.
Siano G un gruppo e H Ÿ G . Si dice che H è un sottogruppo normale di G, e si scrive
H–G
se H1 œ 1H a1 − G , cioè se ogni classe laterale destra di H in G coincide con la
corrisponente classe laterale sinistra di H in G .
Osservazione 4.3.1
Sia G un gruppo abeliano; allora 21 œ 12 comunque presi 2, 1 − G e dunque H1 œ 1H per
ogni sottogruppo H di G e per ogni 1 − G, quindi ogni sottogruppo di G è un sottogruppo
normale di G. Tuttavia esistono numerosi casi di sottogruppi normali in gruppi non abeliani
(si veda l’esempio 4.1.9).
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 54
Osservazione 4.3.2
Siano G un gruppo e H Ÿ G . Se kG À Hk œ # , esistono esattamente due classi laterali destre
per H in G, che devono essere H e GÏH ; e (per il teorema 4.1.6) esistono esattamente due
classi laterali sinistre per H in G, che devono essere H e GÏH Þ Dunque: ogni sottogruppo di
indice # è un sottogruppo normale.
Osservazione 4.3.3
Siano G un gruppo, H, K § G e B − G . Se H § K , allora BH § BK e HB § KB ; se H œ K ,
allora BH œ BK e HB œ KB .
Teorema 4.3.4
Siano G un gruppo e H Ÿ G . Sono fatti equivalenti:
( 3)
H – G;
(33) 1" H1 § H a1 − G ;
(333) 1" H1 œ H a1 − G .
Dimostrazione  Proveremo il teorema mostrando che
(333) Ê (3) .
(3) Ê (33) ,
(33) Ê (333)
e
Mostriamo che (3) Ê (33) . Supponiamo che sia H – G, e sia 1 − G ; dobbiamo provare
che
1" 21 − H .
Poiché H – G , deve essere H1 œ 1H ; pertanto 21 − H1 œ 1H e dunque esiste 2" − H tale
che 21 œ 12" , da cui 1" 21 œ 1" 12" œ 2" − H come si voleva.
Mostriamo che (33) Ê (333) . Supponiamo che sia 1" H1 § H a1 − G , e sia 1! − G ;
in sostanza, ci resta da provare che H § 1!" H1! Þ Poiché 1!" − G, per la (33) si ha
a1!" b" H1!" § H
ossia
1! H1!" § H
da cui (moltiplicando ambo i membri a sinistra per 1!" e a destra per 1! )
H § 1!" H1!
come si voleva.
Mostriamo infine che (333) Ê (3) . Supponiamo che sia 1" H1 œ H
moltiplicando ambo i membri dell’uguaglianza a sinistra per 1, si trova che
H1 œ 1H a1 − G
ma questo significa appunto che H – G .
a1 − G ;
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4.4 - Gruppo quoziente.
Siano G un gruppo e H – G . L’insieme delle classi laterali di H in G si indica con
G
H .
Teorema 4.4.1
G
Siano G un gruppo e H – G . Esiste in un’operazione † in H tale che
aHBb † aHCb œ HBC
e Š H , † ‹ è un gruppo.
G
Dimostrazione  Bisogna in primo luogo provare che associando alla coppia
aHB, HCb − H ‚ H l’elemento HBC di H si ottiene effettivamente un’operazione in H .
L’elemento HBC è infatti individuato dai rappresentanti B e C di HB e HC ; potrebbe accadere
che scegliendo rappresentanti diversi (B" e C" ) per le stesse classi laterali il loro prodotto
(B" C" ) individuasse una diversa classe laterale di H in G (in tal caso si direbbe che
G
G
G
G
G
l’operazione † in H non è ben definita) .
Siano dunque B" , C" − G tali che HB" œ HB e HC" œ HC ; dobbiamo provare che
H(B" C" ) œ H(BC ) . In effetti,
aB" C" baBCb" œ B" C" C " B" œ B" aB" BbC" C " B" œ aB" B" bBC" C " B" œ
œ aB" B" bŠaB" b aC" C " bB" ‹
"
dove aB" b aC" C" bB" − H per la (33) del teorema 4.3.4 (essendo C" C " − H) e quindi
aB" C" baBCb" − H (ossia H(B" C" ) œ H(BC ), come si voleva dimostrare) .
"
G
Resta da provare che H è un gruppo rispetto a questa operazione. Verifichiamo che
G
vale la proprietà associativa: se HB, HC, HD − H , si ha
aaHBbaHCbbaHD b œ aHBCbaHD b œ HBCD œ aHBbaHCD b œ aHBbaaHC baHD bb .
La classe laterale H a œ H"b è l’elemento neutro di H ; e infine è immediato
verificare che ogni classe laterale HB ha per inverso la classe laterale HaB" b .
G
L’asserto è così completamente provato.
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Il gruppo Š H , † ‹ di cui al teorema 4.4.1 si dice gruppo quoziente di G su H e il
segno “ † ” si omette, indicando l’operazione con la semplice giustapposizione (proprio come
per G).
G
Teorema 4.4.2
G
Siano G un gruppo e H – G . La funzione f : G Ä H definita ponendo
f ( 1 ) ³ H1
a1 − G
G
è un epimorfismo di G su H .
G
Dimostrazione  La f è suriettiva per come è definito H . D’altra parte, se B, C − G,
f(BC) œ HBC œ aHBbaHC b œ f(B)f(C )
G
per come è definito il prodotto in H .
G
L’epimorfismo di cui al teorema 4.4.2 si dice proiezione canonica di G su H .
4.5 - Normalizzante.
Siano G un gruppo e H Ÿ G . Si dice normalizzante (o anche normalizzatore) di H in
G l’insieme
aG (H) ³ ÖB − GÎB" HB œ H× .
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Teorema 4.5.1
Siano G un gruppo e H Ÿ G . Si ha
H – aG ( H ) Ÿ G
e per ogni sottogruppo K di G tale che H – K si ha
K Ÿ aG ( H ) .
Dimostrazione  È immediato che H Ÿ aG (H), cosicché intanto aG (H) Á g .
Per provare che aG (H) è un sottogruppo di G, verifichiamo le condizioni Ð333Ñ del teorema
3.4.1. Siano B, C − aG (H) e proviamo che BC − aG (H) Þ Si ha, ricordando il teorema 2.5.9,
ÐBCÑ" HÐBCÑ œ ÐC " B" ÑHÐBCÑ œ C " ÐB" HBÑC œ C " HC œ H .
Sia B − aG (H) e proviamo che B" − aG (H) Þ Moltiplicando ambo i membri della
B" HB œ H
a sinistra per B e a destra per B" si ottiene la
H œ BHB"
H œ ÐB" Ñ" HB"
ossia
che esprime il fatto che B" − aG (H) Þ
Dunque aG (H) è un sottogruppo di G contenente H ; è immediato che H – aG (H) perché, per
definizione di aG (H), risulta verificata la condizione Ð333Ñ del teorema 4.3.4 .
Infine, se K è un sottogruppo di G tale che H – K, ancora dalla condizione Ð333Ñ del teorema
4.3.4 segue che K Ÿ aG (H) .
Teorema 4.5.2
Siano G un gruppo e H Ÿ K Ÿ G . Si ha
In particolare,
H–K
se e soltanto se
K Ÿ aG (H) ;
H–G
se e soltanto se
aG (H) œ G .
Dimostrazione  Basta confrontare la condizione Ð333Ñ del teorema 4.3.4 con la
definizione di aG (H) .
4.6 - Centralizzante di un sottogruppo. Centro di un gruppo.
Siano G un gruppo e H Ÿ G . Si dice centralizzante di H in G l’insieme
VG (H) ³ Ö1 − GÎ1" 21 œ 2 a2 − H× .
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Teorema 4.6.1
Siano G un gruppo e H Ÿ G . Si ha
V G (H) – aG (H) .
Dimostrazione  È immediato "G − VG (H), cosicché intanto VG (H) Á g , e che
VG (H) § aG (H) . Per provare che VG (H) è un sottogruppo di aG (H), basterà dunque
verificare le condizioni Ð333Ñ del teorema 3.4.1.
Siano B, C − VG (H) e proviamo che BC − VG (H) Þ Se 2 − H si ha, ricordando il teorema 2.5.9,
ÐBCÑ" 2ÐBCÑ œ ÐC " B" Ñ2ÐBCÑ œ C " ÐB" 2BÑC œ C " 2C œ 2 .
Sia B − VG (H) e proviamo che B" − VG (H) Þ Se 2 − H si ha
B" 2B œ 2
da cui, moltiplicando ambo i membri a sinistra per B e a destra per B" ,
2 œ B2B"
2 œ ÐB" Ñ" 2B"
ossia
che esprime il fatto che B" − VG (H) Þ
Dunque VG (H) è un sottogruppo di aG (H) ; per dimostrare che VG (H) – aG (H) verifichiamo la
condizione Ð333Ñ del teorema 4.3.4 : siano - − VG (H) e 8 − aG (H) e proviamo che
8" -8 − VG (H) . In effetti, per ogni 2 − H si ha
Ð8" -8Ñ" 2Ð8" -8Ñ œ Ð8" - " 8Ñ2Ð8" -8Ñ œ 8" Ð- " Ð828" Ñ-Ñ8 .
Poiché 8 − aG (H) (poiché aG (H) è un sottogruppo) si ha che 828" − H ; poiché - − VG (H)
è allora
- " Ð828" Ñ- œ 828"
e dunque
Ð8" -8Ñ" 2Ð8" -8Ñ œ 8" Ð- " Ð828" Ñ-Ñ8 œ 8" Ð828" Ñ8Ñ œ Ð8" 8Ñ2Ð8" 8Ñ œ 2
cosicché 8" -8 − VG (H) come si voleva.
Esercizio 4.6.2
Siano G un gruppo e H Ÿ G . Si dimostri che: condizione necessaria e sufficiente affinché sia
H Ÿ V G (H)
è che H sia un gruppo commutativo.
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Sia G un gruppo. Il centralizzante di G in G si dice centro di G e si indica con Z(G) .
Dunque
Z(G) ³ Ö1 − GÎ1" B1 œ B aB − G× .
Teorema 4.6.3
Sia G un gruppo. Si ha
Z(G) – G .
Dimostrazione  Poiché aG (G) œ G , l’asserto è immediata conseguenza del teorema
4.6.1 .
Esercizio 4.6.4
Sia G un gruppo. Si dimostri che: se G non è un gruppo commutativo (cioè se Z(G) Á G), il
gruppo quoziente Z(GG) non è ciclico.
4.7 - Il coniugio. Automorfismi interni.
Siano G un gruppo e B, 1 − G . Si dice coniugato di B mediante 1 l’elemento
B1 ³ 1" B1 .
Teorema 4.7.1
Siano G un gruppo e B, C, 1 − G . Se C è il coniugato di B mediante 1, allora B è il coniugato
di C mediante 1" .
Dimostrazione  Se C œ 1" B1, è immediato che
a1" b" C1"
Teor. 1.7.1
œ
1C1" œ 1a1" B1b1" œ a11" bBa11" b œ B .
Siano G un gruppo e B, C − G . Si dice che B, C sono coniugati in G se esiste 1 − G
tale che C è il coniugato di B mediante 1 .
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Teorema 4.7.2
Sia G un gruppo. La relazione µ in G definita da
BµC
Í
B, C sono coniugati in G
è una relazione di equivalenza in G .
Dimostrazione  Dobbiamo provare che µ è riflessiva, simmetrica e transitiva.
 µ è riflessiva, cioè B µ B aB − G ; infatti B œ a1G b" Ba1G b ;
 µ è simmetrica per il teorema 4.7.1 ;
 µ è transitiva, cioè ÐaB µ C b • aC µ D bÑ Ê ÐB µ DÑ aB, C , D − G : supponiamo
infatti che esistano 1, 2 − G tali che C œ 1" B1 e D œ 2 " C2 ; allora
D œ 2" a1" B1b2 œ a2 " 1" bBa12b œ a12 b" Ba12 b.
Teorema 4.7.3
Siano G un gruppo e 1 − G . La funzione f1 : G p G definita ponendo
f1 (BÑ ³ B1
a1 − G
è un automorfismo di G .
Dimostrazione  Proviamo in primo luogo che f1 è un omomorfismo di G in G . Se
B, C − G, si ha in effetti
f1 (BCÑ ³ aBCb1 œ aB"C b1 œ aB11" C b1 œ 1" aB11" C b1 œ a1" B1ba1" C1b œ B1 C 1 œ f1 (BÑf1 (CÑ .
Proviamo ora che f1 è suriettiva: se C − G, sia B il coniugato di C mediante 1" ; per il
teorema 4.7.1 (tenendo conto del teorema 1.7.1), C è il coniugato di B mediante 1, ossia C è
l’immagine di B mediante f1 .
Proviamo infine che f1 è iniettiva. Siano B, C − G tali che f1 (BÑ œ f1 (CÑ ; ciò significa
che B1 œ C1 , ossia che
1" B1 œ 1" C1
da cui B œ C (come si voleva) per le leggi di cancellazione (teor. 3.2.1).
Sia G un gruppo. Per ogni 1 − G, l’automorfismo di G che a ogni B − G associa B1
(cfr. teorema 4.7.3) si dice automorfismo interno di G individuato da 1 .
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5.- I TEOREMI DI OMOMORFISMO
5.1 - Nucleo di un omomorfismo.
Siano G, H gruppi, e sia f un omomorfismo tra G e H Þ Si dice nucleo di f , e si indica
con
Ker f
il sottoinsieme di G definito da
Ker f ³ Ö1 − G Î f (1) œ "× .
Teorema 5.1.1
Siano G, H gruppi, e sia f un omomorfismo tra G e H Þ Il nucleo di f è un sottogruppo normale
di G .
Dimostrazione  Proviamo innanzitutto che Ker f Ÿ G verificando la (333) del teorema
3.4.1 . Siano B, C − Ker f ; allora f (B) œ ", f (C ) œ ", e quindi
f (BC) œ f (B) f (C ) œ "" œ " .
Inoltre, ricordando il teorema 2.9.1,
e dunque B" − Ker f .
f (B" ) œ af (B)b" œ "" œ "
Resta da provare che Ker f – G e lo facciamo verificando la (33) del teorema 4.3.4 .
Siano 5 − Ker f e 1 − G ; allora (ricordando ancora il teorema 2.9.1)
f (1" 51) œ f (1" ) f (5 ) f (1) œ f (1)" "f (1) œ f (1)" f (1) œ "
cosicché 1" 51 − Ker f come si voleva dimostrare.
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Teorema 5.1.2
Siano G, H gruppi. Un omomorfismo f tra G e H è iniettivo (e quindi è un monomorfismo) se
e soltanto se Ker f œ Ö"× .
Dimostrazione  Per il terorema 2.9.1, fÐ"Ñ œ " . Se f è iniettiva, da 5 − Ker f (cioè
fÐ5Ñ œ ") segue 5 œ ", quindi Ker f œ Ö"× .
Viceversa, sia Ker f œ Ö"× . Se B, C − G e si ha f(B) œ f(C ),
" œ f(B)af(B)b" œ f(B)af(C )b" œ f(BC " )
ossia BC" − Ker f œ Ö"× . Dunque BC " œ " ossia B œ C e quindi, per l’arbitrarietà di B e C
in G, f è iniettiva.
5.2 - Il primo teorema di omomorfismo fra gruppi.
Teorema 5.2.1
Siano G, H gruppi. Per ogni omomorfismo f tra G e H , fÐGÑ è un sottogruppo di H .
Dimostrazione  Poiché fÐGÑ non è vuoto, basterà verificare la condizione (33) del
teorema 3.4.1 . In effetti, se fÐBÑ, fÐCÑ − fÐGÑ , con B, C − G si ha (ricordando il teorema 2.9.1)
fÐBÑ † afÐCÑb" œ fÐBÑ † fÐC " Ñ œ fÐBC " Ñ − fÐGÑ
come si voleva.
Teorema 5.2.2 (“Primo teorema di omomorfismo per i gruppi”)
Siano G, H gruppi, e sia f un omomorfismo tra G e H Þ Esiste un (unico) isomorfismo : tra
G
G
Ker f e f (G) tale che, detta 1 la proiezione canonica di G su Ker f , f œ : ‰ 1 ossia, come
anche si usa dire, tale che il diagramma
risulta commutativo.
G
Dimostrazione  Se esiste una funzione : tra Ker
f e f (G) tale che f œ : ‰ 1 , deve
essere
(*)
: (1(1)) œ : (ÐKer fÑ1) œ f(1)
a1 − G .
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G
Proviamo innanzitutto che la (*) definisce effettivamente una funzione da Ker
f in f
(G), cioè che f(1) dipende soltanto dalla classe laterale destra ÐKer fÑ1 : sia cioè 1 − G tale
che
ÐKer fÑ1 œ ÐKer fÑ1
e dimostriamo che f( 1 ) œ f(1) . Per il teorema 4.1.1, se ÐKer fÑ1 œ ÐKer fÑ1 deve essere
11" − Ker f ossia (ricordando il teorema 2.9.1)
1 œ f( 11" ) œ f( 1 ) f(1" ) œ f( 1 ) f(1)"
e quindi f( 1 ) œ f(1) come si voleva.
Proviamo ora che la funzione : definita dalla (*) è un omomorfismo. In effetti, se 1" , 1# − G
si ha
Ð*Ñ
: ((ÐKer fÑ1" )(ÐKer fÑ1# )) œ : (ÐKer fÑ(1" 1# )) œ f(1" 1# ) œ
Ð*Ñ
œ f(1" )f(1# ) œ : (ÐKer fÑ1" ) : (ÐKer fÑ1# )
ricordando che f è un omomorfismo.
Resta da provare che : è suriettiva e iniettiva. Che sia suriettiva è immediato: ogni elemento
di f (G) è della forma f(1! ) con 1! − G , dunque proviene mediante : da ÐKer fÑ1! . Per
dimostrare che è iniettiva, supponiamo che sia
: (ÐKer fÑ1# ) œ : (ÐKer fÑ1" )
cioè (ricordando la (*))
f ( 1 # ) œ f (1 " ) .
Ne segue, moltiplicando a destra ambo i membri per f(1# )" e ricordando il teorema 2.9.1, che
1 œ f(1" )f(1# )" œ f(1" 1#" )
e dunque 1" 1#" − Ker f ossia (per il teorema 4.1.1) ÐKer fÑ1" œ ÐKer fÑ1# come si voleva.
Teorema 5.2.3
Sia G un gruppo ciclico. Se G è un gruppo infinito, G è isomorfo al gruppo additivo (™,  )
dei numeri interi. Se kGk œ 8 con 8 − ™ , G è isomorfo al gruppo additivo (™8 ,  ) delle
classi di resto modulo 8 .
Dimostrazione  Sia G œ <1> . Sia f : ™ Ä G la funzione definita da
f(8) ³ 18
a8 − ™ .
Per la (+) del teorema 3.3.3, f è un omomorfismo tra (™,  ) e (G, † ) ; poiché G è ciclico, f è
un epimorfismo. Per il teorema 3.5.2, se G è un gruppo infinito f è un isomorfismo; se invece
kGk œ 8 con 8 − ™ , Ker f œ 8™ e dunque, per il teorema 5.2.2, G è isomorfo a 8™™ cioè al
gruppo additivo ™8 .
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5.3 - Il teorema di corrispondenza.
Teorema 5.3.1 (“Teorema di corrispondenza”)
Siano G, H gruppi, e sia f un omomorfismo tra G e H Þ La funzione
S Ä fÐSÑ
che ad ogni sottoinsieme di G associa la sua immagine mediante f (e che senza equivoci può
essere ancora indicata con f) è una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei sottogruppi di
G contenenti Ker f e l’insieme dei sottogruppi di fÐGÑ; inoltre, se S e T sono sottogruppi di G
contenenti Ker f, si ha che
(+) S § T Í fÐSÑ § fÐTÑ
(,) S – G Í fÐSÑ – fÐGÑ .
Dimostrazione  Prima di tutto proviamo la (+).
Sia S § T . Se C − fÐSÑ, esiste B − S tale che C œ fÐBÑ ; poiché S § T, è B − T e
dunque C œ fÐBÑ − fÐTÑ . Per l’arbitrarietà di C in fÐSÑ, si è provato che fÐSÑ § fÐTÑ .
Viceversa, sia fÐSÑ § fÐTÑ . Se B − S , fÐBÑ œ fÐ>Ñ per un opportuno > − T e quindi
ossia
1H œ fÐBÑafÐ>Ñb" œ fÐB>" Ñ
B>" œ 5 − Ker f § T .
Ma allora B œ 5> − T . Per l’arbitrarietà di B in S, si è così provato che S § T . La (+) è
dunque completamente provata.
Per ogni sottogruppo S di G (in base al teorema 5.2.1, applicato alla restrizione di f a
S) si ha che fÐSÑ è un sottogruppo di H (e quindi di fÐGÑ, essendo fÐSÑ § fÐGÑ ). In
particolare, f trasforma sottogruppi di G contenenti Ker f in sottogruppi di fÐGÑ .
Per provare che f è una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei sottogruppi di G
contenenti Ker f e l’insieme dei sottogruppi di fÐGÑ, dobbiamo mostrare che è iniettiva e
suriettiva. Che sia iniettiva a questo punto è immediato: siano infatti S e T sottogruppi di G
contenenti Ker f tali che fÐSÑ œ fÐTÑ, ossia fÐSÑ § fÐTÑ e fÐTÑ § fÐSÑ : applicando due volte
la (+) si ottiene che S § T e T § S, ossia che S œ T .
Resta da dimostrare che ogni sottogruppo W di fÐGÑ è immagine mediante f di un
sottogruppo di G contenente Ker f . Sia dunque W un sottogruppo di fÐGÑ : poniamo
S ³ f " ÐWÑ (cosicché fÐSÑ œ W , cfr. osservazione 0.4.1) e proviamo che S è un sottogruppo
di G contenente Ker f . Se 5 − Ker f , fÐ5Ñ œ " − W e dunque 5 − f " ÐWÑ œ S ; pertanto
Ker f § S . Sia poi B, C − S ; ciò significa che fÐBÑ, fÐCÑ − W cosicché (ricordando il teorema
2.9.1 e la (33) del teorema 3.4.1) fÐBC " Ñ œ fÐBÑafÐCÑb" − W ossia BC " − S : applicando
ancora il teorema 3.4.1, si conclude che S è un sottogruppo di G, come si voleva.
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Dobbiamo infine dimostrare la (,) , e lo facciamo utilizzando l’equivalenza fra la (3) e
la (33) del teorema 4.3.4 . Sia S – G e proviamo che fÐSÑ – fÐGÑ ; se B − fÐSÑ e C − fÐGÑ , è
B œ fÐ=Ñ con = − S e C œ fÐ1Ñ con 1 − G cosicché
C" BC œ afÐ1Ñb" fÐ=ÑfÐ1Ñ œ fÐ1" =1Ñ .
Poiché S – G , 1" =1 − S e quindi C " BC œ fÐ1" =1Ñ − fÐSÑ ; per l’arbitrarietà di B in fÐSÑ e di
C in fÐGÑ , possiamo concludere che fÐSÑ – fÐGÑ . Viceversa, sia fÐSÑ – fÐGÑ e proviamo che
S – G , ricordando che Ker f § S . Se = − S e 1 − G, fÐ1" =1Ñ œ afÐ1Ñb" fÐ=ÑfÐ1Ñ − fÐSÑ
perché fÐSÑ – fÐGÑ ; dunque esiste =! − S tale che fÐ1" =1Ñ œ fÐ=! Ñ e quindi
"
"
1=afÐ1" =1Ñb fÐ1" =1Ñ œ afÐ=! Ñb" fÐ1" =1Ñ œ fÐ="
=1Ñ œ fÐ="
=1Ñ
! ÑfÐ1
! 1
"
ossia
"
="
=1 œ 5 − Ker f § S .
! 1
Se ne deduce che
1" =1 œ =! 5 − S
e quindi, per l’arbitrarietà di = in S e di 1 in G, che S – G . L’asserto è così completamente
provato.
5.4 - Prodotto di sottogruppi.
Teorema 5.4.1
Sia G un gruppo, e siano A, B sottogruppi di G . Sono fatti equivalenti:
( 3)
AB œ BA ;
(33) AB è un sottogruppo di G ;
(333) <A, B> œ AB .
Dimostrazione 
(3) Ê (33) . Supponiamo che sia AB œ BA e proviamo che AB è un sottogruppo di G
verificando la (33) del teorema 3.4.1 .
Siano +" ," , +# ,# − AB (con +" , +# − A e ," , ,# − B) e proviamo che
Ð+" ," ÑÐ+# ,# Ñ" − AB .
Si ha
Ð+" ," ÑÐ+# ,# Ñ" œ +" ," ,#" +#"
dove ," ,#" − B (perché B è un sottogruppo) e +#" − A (perché A è un sottogruppo), cosicché
," ,#" +#" − BA œ AB , ossia ," ,#" +#" œ +$ ,$ con +$ − A e ,$ − B ; pertanto,
Ð+" ," ÑÐ+# ,# Ñ" œ +" ," ,#" +#" œ +" +$ ,$ − AB
essendo +" +$ − A perché A è un sottogruppo.
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(33) Ê (333) . Si ha sempre AB § <A, B> (per il teorema 3.4.5). Se vale la (33) è però
anche <A, B> § AB , per definizione di <A, B> .
(333) Ê (33) . Ovvio, essendo <A, B> un sottogruppo di G (per il teorema 3.4.2) .
(33) Ê (3) . Supponiamo che AB sia un sottogruppo di G. Dobbiamo provare che
AB § BA e che BA § AB : siano dunque + − A e , − B , e proviamo che +, − BA e
,+ − AB . Applicheremo ripetutamente la seconda parte della condizione (333) del teorema
3.4.1 .
Poiché deve essere a+,b" − AB, esistono +" − A e ," − B tali che a+,b" œ +" ," e
quindi (per il teorema 1.5.1) +, œ a+" ," b" œ ,"" +"" − BA , come si voleva. Poiché A e B
sono sottogruppi di G, è anche +" − A e ," − B cosicché +" ," − AB ; poiché AB è un
sottogruppo di G, deve essere a+" ," b" − AB ossia ,+ − AB , come si voleva.
Teorema 5.4.2
Sia G un gruppo, e siano A, B sottogruppi di G . Se A Ÿ aG (B) (oppure B Ÿ aG (A)), valgono
le (3), (33) e (333) del teorema 5.4.1.
Dimostrazione  Supponiamo, per fissare le idee, che sia A Ÿ aG (B) e proviamo che
AB è un sottogruppo di G verificando la (33) del teorema 3.4.1 .
Siano +" ," , +# ,# − AB (con +" , +# − A e ," , ,# − B) e proviamo che
Ð+" ," ÑÐ+# ,# Ñ" − AB .
Si ha
Ð+" ," ÑÐ+# ,# Ñ" œ +" ," ,#" +#" œ +" Ð+#" +# Ñ," ,#" +#" œ Ð+" +#" ÑÐ+#" Ñ" ,",#" +#"
dove +" +#" − A (perché A è un sottogruppo), ," ,#" − B (perché B è un sottogruppo) e
Ð+#" Ñ" ," ,#" +#" − B (perché A Ÿ aG (B)), cosicché Ð+" +#" ÑÐ+#" Ñ" ," ,#" +#" − AB come si
voleva dimostrare.
Osservazione 5.4.3
Il teorema 5.4.2 non è invertibile, cioè se per due sottogruppi A, B di un gruppo G valgono le
(3), (33) e (333) del teorema 5.4.1 può darsi che non sia né A Ÿ aG (B) né B Ÿ aG (A).
Siano ad esempio G ³ S$ (il gruppo di tutte le permutazioni sull’insieme Ö", #, $×),
A ³ <(1 2 3 4), (1 3)> œ Öid, (1 2 3 4), (1 3)(2 4), (1 4 3 2), (1 3), (1 4)(2 3), (2 4),
(1 2)(3 4)×, B ³ <(1 2 3)> œ Öid, (1 2 3), (1 3 2)× . Allora AB œ G , ma A Ÿ
y aG (B) (perché
(2 4)(1 2 3)(2 4) = (1 4 3) Â B) e B Ÿ
y aG (A) (perché (1 3 2)(1 2 3 4)(1 2 3) = (1 4 2 3) Â A ) .
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5.5 - Il secondo teorema di omomorfismo fra gruppi.
Teorema 5.5.1
Sia G un gruppo, e siano A, B sottogruppi di G . Se A Ÿ aG (B) , si ha che
(+ )
AB è un sottogruppo di G ;
(, )
B – AB ;
(- )
A  B – A;
la funzione +aA  Bb Ä +B è un isomorfismo tra AB e B .
Dimostrazione  La (+) segue dal teorema 5.4.2 ; poiché banalmente B Ÿ aG (B) , si ha
che AB Ÿ aG (B) e quindi la (,) . Per provare la (- ) e la (. ) basterà mostrare che la restrizione
1 ad A della proiezione canonica di AB su AB
B ha nucleo A  B e applicare il teorema 5.2.2 Þ
A
(. )
AB
Se B − A  B è in particolare B − B e dunque 1ÐBÑ œ BB œ B ossia B − Ker 1 ,
dunque A  B § Ker 1 .
Viceversa, sia B − Ker 1 : poiché il dominio di 1 è A , deve essere B − A ; poiché
B œ 1ÐBÑ œ BB , deve essere B − B . Pertanto B − A  B e dunque Ker 1 § A  B .
Si è così provato che Ker 1 œ A  B , da cui la (- ) per il teorema 5.1.1 . Dal teorema
5.2.2 segue infine la (. ) .
5.6 - Il gruppo degli automorfismi di un gruppo. Il sottogruppo degli automorfismi interni.
Teorema 5.6.1
Sia G un gruppo. L’insieme Aut(G) degli automorfismi di G è un sottogruppo del gruppo
Sym(G) di tutte le permutazioni su G . L’insieme Inn(G) degli automorfismi interni di G (cfr.
sez. 4.7) è un sottogruppo di Aut(G).
Dimostrazione  Per definizione, Aut(G) § Sym(G), e Aut(G) non è vuoto perché
idG (cfr. sez. 0.4) è certamente un automorfismo di G ; quindi basterà verificare la (333) del
teorema 3.4.1 .
Siano !, " − Aut(G) ; per dimostrare che " ‰ ! − Aut(G), per quanto già osservato
nell’esempio 1.2.3 basterà mostrare che comunque presi B, C − G si ha
a" ‰ !b(BC) œ a" ‰ !b(B)a" ‰ !b(C ) .
In effetti,
a" ‰ !b(BC) œ " a!(BC )b œ " a!(B)!(C )b œ " a!(B)b" a!(C )b œ a" ‰ !b(B)a" ‰ !b(C )
come appunto si voleva.
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Che l’inverso di una automorfismo di G sia anch’esso un automorfismo di G è
conseguenza immediata del teorema 2.9.3 . Si è così completamente provato che Aut(G) è un
sottogruppo di Sym(G) .
Si applica ancora il teorema 3.4.1 per verificare che Inn(G) (che certamente non è
vuoto) è un sottogruppo di Aut(G) . È infatti una facile verifica controllare che, comunque
presi B, C − G, la composizione degli automorfismi interni individuati da B e C coincide con
l’automorfismo interno individuato da BC , e l’inverso dell’automorfismo interno individuato
da B coincide con l’automorfismo interno individuato da B" .
Esercizio 5.6.2
Sia G un gruppo. Dimostrare che Inn(G) – Aut(G).
Teorema 5.6.3
Sia G un gruppo. Inn(G) è isomorfo a Z(GG) .
Dimostrazione  Questo fatto è conseguenza pressoché immediata del primo teorema
di omomorfismo (teorema 5.2.2). Sia infatti f : G Ä Inn(G) la funzione che a ogni 1 − G
associa l’automorfismo interno di G da lui individuato; per definizione di Inn(G),
f(G) œ Inn(G) e quindi per poter dedurre il nostro asserto dal teorema 5.2.2 dobbiamo
soltanto verificare che Ker f œ Z(G) . In effetti, si ha 1 − Ker f se e soltanto se B1 œ B
aB − G, cioè se e soltanto se 1 − Z(G) (cfr. sez. 4.6) .
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6.- PRODOTTO DIRETTO DI GRUPPI
6.1 - Definizione e prime proprietà.
Siano H, K gruppi. Si dice prodotto diretto di H per K il prodotto cartesiano H ‚ K
con l’operazione definita ponendo
Ð2" , 5" ÑÐ2# , 5# Ñ ³ Ð2" 2# , 5" 5# Ñ .
Teorema 6.1.1
Siano H, K gruppi. Il prodotto diretto di H per K è un gruppo; posto
H ³ ÖÐ2, 5Ñ − H ‚ K Î 5 œ 1K ×
e
K ³ ÖÐ2 , 5Ñ − H ‚ K Î 2 œ 1H ×
si ha che
 H è isomorfo a H ;
 K è isomorfo a K ;
(+ )
H – H ‚ K;
(, )
K – H ‚ K;
(- )
H  K œ Ö"H‚K × ;
(. )
H ‚ K œ HK;
(/) ogni elemento di H ‚ K si esprime in uno e un sol modo come prodotto di un elemento
di H e un elemento di K ;
(0 ) Ð2, 1K ÑÐ1H , 5Ñ œ Ð1H , 5ÑÐ2 , 1K Ñ per ogni Ð2 , 1K Ñ − H, Ð1H , 5Ñ − K .
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Dimostrazione  L’operazione definita in H ‚ K è associativa perché se 2" , 2# ,
2$ − H e 5" , 5# , 5$ − K si ha
aÐ2" , 5" ÑÐ2# , 5# ÑbÐ2$ , 5$ Ñ œ aÐ2" 2# , 5" 5# ÑbÐ2$ , 5$ Ñ œ ÐÐ2" 2# Ñ2$ , Ð5" 5# Ñ5$ Ñ œ
œ Ð2" Ð2# 2$ Ñ, 5" Ð5# 5$ ÑÑ œ Ð2" , 5" ÑaÐ2# 2$ , 5# 5$ Ñb œ Ð2" , 5" ÑaÐ2# , 5# ÑÐ2$ , 5$Ñb .
L’elemento Ð1H , 1K Ñ è l’elemento neutro di H ‚ K , perché se 2 − H e 5 − K si ha
Ð2, 5ÑÐ1H , 1K Ñ œ Ð2 1H , 5 1K Ñ œ Ð2 , 5Ñ
e
Ð1H , 1K ÑÐ2, 5Ñ œ Ð1H 2 , 1K 5Ñ œ Ð2 , 5Ñ .
Infine, se 2 − H e 5 − K , l’inverso di Ð2, 5Ñ è Ð2 " , 5 " Ñ perché
Ð2, 5ÑÐ2" , 5 " Ñ œ Ð22 " , 55 " Ñ œ Ð1H , 1K Ñ
e
Ð2" , 5 " ÑÐ2, 5Ñ œ Ð2 " 2 , 5 " 5Ñ œ Ð1H , 1K Ñ .
È immediato verificare che la funzione che ad ogni 2 − H associa l’elemento Ð2 , 1K Ñ
di H è un isomorfismo tra H e H , e che la funzione che ad ogni 5 − K associa l’elemento
Ð1H , 5Ñ di K è un isomorfismo tra K e K .
Proviamo la (+) verificando la condizione (33) del teorema 4.3.4 . Se Ð2! , 1K Ñ − H e
Ð2, 5Ñ − H ‚ K , si ha infatti
Ð2, 5Ñ" Ð2! , 1K ÑÐ2 , 5Ñ œ Ð2 " , 5 " ÑÐ2! , 1K ÑÐ2 , 5Ñ œ Ð2 " 2! 2 , 5 " 1K 5Ñ œ Ð2 " 2! 2 , 1K Ñ − H .
La (,) si prova in modo del tutto analogo, mentre la (- ) è immediata. Per provare la (. )
c’è solo da mostrare che H ‚ K § H K ; sia allora Ð2, 5Ñ − H ‚ K con 2 − G e 5 − K : si ha
Ð2, 5Ñ œ Ð2 , 1K ÑÐ1H , 5Ñ − H K
come si voleva.
Per la (. ), ogni elemento di H ‚ K si può scrivere in almeno un modo come prodotto
di un elemento di H e un elemento di K . Se Ð2" , 1K ÑÐ1H , 5" Ñ œ Ð2# , 1K ÑÐ1H , 5# Ñ con 2" ,
2# − H e 5" , 5# − K , è Ð2" , 5" Ñ œ Ð2# , 5# Ñ e quindi 2" œ 2# e 5" œ 5# ossia
Ð2" , 1K Ñ œ Ð2# , 1K Ñ e Ð1H , 5" Ñ œ Ð1H , 5# Ñ : pertanto, ogni elemento di H ‚ K si può scrivere
in un solo modo come prodotto di un elemento di H e un elemento di K , e la (/) è così
completamente provata.
Infine, se Ð2, 1K Ñ − H e Ð1H , 5Ñ − K si ha
Ð2, 1K ÑÐ1H , 5Ñ œ Ð2 , 5Ñ œ Ð1H , 5ÑÐ2 , 1K Ñ
e anche la (0 ) è provata.
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6.2 - Prodotto diretto di sottogruppi.
Teorema 6.2.1
Sia G un gruppo, e siano H, K sottogruppi di G . Sono fatti equivalenti:
( 3)
valgono le condizioni:
(+ ) H – G ;
(, ) K – G ;
(- ) H  K œ Ö"× ;
(. ) G œ H K ;
(33) valgono le condizioni:
(/) ogni elemento di G si esprime in uno e un sol modo come prodotto di un
elemento di H e un elemento di K ;
(0 ) 25 œ 52 per ogni 2 − H, 5 − K .
Inoltre, se valgono le (+), (,), (- ), (. ), (/), (0 ), allora G è (isomorfo al) prodotto diretto
di H per K .
Dimostrazione  Proviamo in primo luogo che (3) Ê (33) .
Supponiamo che valgano le (+), (, ), (- ) e (. ) . Per la (. ), ogni elemento di G si
esprime in almeno un modo come prodotto di un elemento di H e un elemento di K ; se
2" 5" œ 2# 5# con 2" , 2# − H e 5" , 5# − K , è anche
2#" 2" 5" 5"" œ 2#" 2# 5# 5""
ossia
2#" 2" œ 5# 5"" − H  K œ "
cosicché
2" œ 2 # e 5 " œ 5 # .
Si è così provato che ogni elemento di G si esprime in un solo modo come prodotto di un
elemento di H e un elemento di K , completando così la dimostrazione della (/) .
Siano ora 2 − H e 5 − K . Poiché H – G e K – G ,
2" 5 " 25 œ 2" (5 " 25 ) œ 2 " 2" − H
2" 5 " 25 œ (2" 5 " 2 )5 œ 5" 5 − K
e quindi
2" 5 " 25 − H  K œ Ö"×
ossia
2" 5 " 25 œ "
da cui, moltiplicando a sinistra per 52,
52Ð2" 5 " 25Ñ œ 52 "
cioè
25 œ 52
provando così la (0 ) per l’arbitrarietà di.2 in K e 5 in K .
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Proviamo adesso che (33) Ê (3) .
Per dimostrare la (+), utilizziamo come al solito il teorema 4.3.4 . Sia 1 − G ;
dobbiamo provare che 1" H1 § H, cioè che 1" 21 per ogni 2 − H . Per la (/), esistono
2! − H e 5! − K tali che 1 œ 2! 5! ; dunque
1" 21 œ a2! 5! b" 2a2! 5! b œ 5!" 2!" 22! 5! œ 5!" a2!" 22! b5! œ 5!" 2" 5!
avendo posto 2" ³ 2!" 22! − H . Applicando adesso la (0 ), si ottiene che
1" 21 œ 5!" 2" 5! œ 2" 5!" 5! œ 2" − H
come si voleva. Analogamente si prova la (,) .
Per dimostrare la (- ), supponiamo per assurdo che in H  K esista un elemento B Á " ;
allora tale elemento si potrebbe scrivere come B † " (con B − H e 1 − K) oppure come 1 † B
(con 1 − H e B − K) contraddicendo la (/). Sempre dalla (/) segue poi immediatamente la (. ).
Proviamo infine che se valgono le (+), (,), (- ), (. ), (/), (0 ), allora G è (isomorfo al)
prodotto diretto di H per K . Supponiamo in particolare che valgano la (/) e la (0 ) e
costruiamo un isomorfismo f tra G e H ‚ K . Se 1 − G , per la (/) esistono esattamente un
2 − H ed esattamente un 5 − K tali che 1 œ 25 ; se poniamo fÐ1Ñ ³ Ð2, 5Ñ, la f è dunque una
funzione ben definita tra G e H ‚ K . Proviamo che f è un omomorfismo: se 1" ( œ 2" 5" ) e 1#
( œ 2# 5# ) sono elementi di G, si ha
(0 )
f(1" 1# ) œ fÐ2" 5" 2# 5# ) œ fÐ2" 2# 5" 5# ) œ Ð2" 2# , 5" 5# ) œ Ð2" , 5" )Ð2# , 5# ) œ f(1" )f(1# )
e quindi f è un omomorfismo tra G e H ‚ K .
È immediato che f è suriettivo; per provare che è anche iniettivo (e che quindi è un
isomorfismo), applichiamo il teorema 5.1.2 : se 1 ( œ 25 ) appartiene a Ker f , è
Ð1H , 1K Ñ œ "H‚K œ f(1) œ f(25 ) œ Ð2 , 5 )
da cui 2 œ 5 œ " e pertanto 1 œ 25 œ " come si voleva.
Esercizio 6.2.2
Dimostrare che il prodotto diretto fra un gruppo ciclico di ordine 8 e un gruppo ciclico di
ordine 7 è ciclico se e soltanto se 7 e 8 sono primi fra loro.
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7.- AZIONI DI UN GRUPPO SU UN INSIEME
7.1 - Definizione e prime proprietà.
Siano G un gruppo e H un insieme. Si dice azione di G su H un omomorfismo di G nel
gruppo Sym(H) di tutte le permutazioni su H . Un’azione di G su H si dice fedele se è
iniettiva, cioè se è un monomorfismo di G in Sym(H) . Se è data un’azione di G su H, si dice
che G opera su H (mediante la data azione).
Osservazione 7.1.1
Siano G un gruppo, H un insieme e : un’azione di G su H . Detta 1 la proiezione canonica di
G su Ker :, per il primo teorema di omomorfismo (teorema 5.2.2) esiste un’(unica) azione
G
fedele < di Ker : su H tale che : œ < ‰ 1 .
Teorema 7.1.2
Siano G un gruppo e H un insieme. Sia data un’applicazione H ‚ G Ä H che ad ogni coppia
ordinata Ð=, 1Ñ con = − H e 1 − G associa un elemento =1 − H e che verifica le seguenti
condizioni:
(7.1.2.+)
(7.1.2.,)
="G œ =
=Ð1" 1# Ñ œ a=1" b1#
a= − H ;
a= − H , a1" , 1# − G .
Allora la funzione : : G Ä HH definita da
:(1)(=) ³ =1
è un’azione di G su H .
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Dimostrazione  La condizione (7.1.2.,) esprime il fatto che :(1" 1# ) œ :(1# ) ‰ :(1" ),
quindi per provare l’asserto c’è soltanto da verificare che :(1) è una permutazione su H per
ogni 1 − G .
"
Sia dato 1 − G , e proviamo che :(1) è suriettiva. Se =! − H , posto =" ³ =!1 si ha
:(1)(=" ) œ =11 œ Š=1! ‹
"
1
(7.1.2.,)
œ
=1!
"
1
œ =!"G
(7.1.2.+)
œ
=!
e dunque =! proviene da =" mediante :(1) .
Infine, sia dato 1 − G e proviamo che :(1) è iniettiva. Se
1"
1"
=2 − H , è =11 œ =12 e quindi a=11 b œ a=12 b , ossia
="
(7.1.2.+)
œ
="" G œ ="11
"
œ a=11 b
(7.1.2.,)
1"
œ a=12 b
1" (7.1.2.,)
œ
:(1)(=" ) œ :(1)(=2 )
=11
2
"
œ =2"G
(7.1.2.+)
œ
con =" ,
=2
come si voleva.
Nel seguito utilizzeremo spesso il teorema 7.1.2 per definire un’azione di un gruppo su
un’insieme, e comunque ne adotteremo sistematicamente la “notazione esponenziale”:
pertanto, se è data un’azione del gruppo G sull’insieme H, scriveremo sempre =1 per indicare
l’immagine di = mediante la permutazione associata a 1 − G .
Siano G un gruppo e H un insieme, e sia data un’azione di G su H . Un elemento = di
H si dice un punto fisso per la data azione di G su H se =1 œ = per ogni 1 − G .
7.2 - Orbite. Transitività.
Teorema 7.2.1
Siano G un gruppo e H un insieme, e sia data un’azione di G su H . La relazione µ in H
definita da
=" µ =2
Í
esiste 1 − G tale che =1" œ =#
è una relazione di equivalenza in H .
Dimostrazione  La µ è riflessiva perché ="G œ = per ogni = − H (teorema 2.9.1) ; è
simmetrica perché se
=" µ =2
esiste 1 − G tale che
="1 œ =#
e quindi
"
"
1 1
1
=" œ a=1 b œ =2 ossia =2 µ =1 ; ed è transitiva perché se =" µ =2 e =2 µ =3 esistono
1 2
2
1, 2 − G tali che =1" œ =# e =22 œ =3 cosicché =12
" œ a=1 b œ =2 œ =3 ossia =1 µ =3 .
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Siano G un gruppo e H un insieme, e sia data un’azione di G su H . Le classi di
equivalenza individuate in H dalla relazione di equivalenza µ considerata nel teorema 7.2.1
si dicono le orbite dell’azione di G su H . Se = − H, l’orbita dell’azione di G su H a cui
appartiene = si indica con OG (=) .
Teorema 7.2.2
Siano G un gruppo e H un insieme, e sia data un’azione di G su H . Le orbite dell’azione di G
su H sono una partizione di H .
Dimostrazione  Ovvio per il teorema 7.2.1 e l’osservazione 0.7.5 .
Siano G un gruppo e H un insieme. Un’azione di G su H per la quale esista una sola
orbita si dice transitiva. Se l’azione di G su H è transitiva, si dice che G opera transitivamente
su H .
7.3 - Stabilizzatore.
Siano G un gruppo e H un insieme, e sia data un’azione di G su H . Se = − H, si dice
stabilizzatore di = in G (rispetto alla data azione di G su H) l’insieme
G= ³ Ö1 − GÎ=1 œ =× .
Teorema 7.3.1
Siano G un gruppo e H un insieme, e sia data un’azione di G su H . Per ogni = − H, lo
stabilizzatore in G di = è un sottogruppo di G .
Dimostrazione  Sia = − H ; Poiché certamente 1G − G= , e quindi G= non è vuoto,
possiamo dimostrare che G= è un sottogruppo di G verificando la condizione (333) del teorema
3.4.1 . Siano 1" , 12 − G= (ossia =1" œ =1# œ =) ; allora =1" 1# œ a=1" b1# œ =1# œ = , cosicché
"
"
"
= œ ="G œ =11 œ a=1 b1 œ =1
1" 12 − G= . Infine, se 1 − G= (ossia =1 œ =) si ha
cioè 1" − G= come si voleva.
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Teorema 7.3.2
Siano G un gruppo e H un insieme, e sia data un’azione di G su H . Per ogni = − H, la
cardinalità dell’orbita a cui appartiene = è uguale all’indice in G dello stabilizzatore in G di =,
ossia
kOG (=)k œ kG : G= k.
Dimostrazione  Si tratta di dimostrare che c’è una corrispondenza biunivoca fra
l’insieme delle classi laterali destre di G= in G e l’orbita a cui appartiene = .
Se 1 − G, poniamo
:(G= 1) ³ =1
e dimostriamo che : è ben definita, è iniettiva ed è suriettiva.
Per dimostrare che : è ben definita, supponiamo che sia G= B œ G= C con B, C − G e proviamo
"
che =B œ =C . In effetti, poiché G= B œ G= C si ha BC " − G= ossia =BC œ = da cui
=B œ =(BC
"
C)
œ Š=BC ‹ œ =C come si voleva.
"
C
Per dimostrare che : è iniettiva, supponiamo che sia :(G= B) œ :(G= C) con B, C − G e
proviamo che G= B œ G= C . Per definizione di :, se :(G= B) œ :(G= C ) si ha =B œ =C e dunque
"
"
"
"
=(BC ) œ a=B bC œ a=C bC œ =(CC ) œ ="G œ =
ossia BC" − G= ; ciò prova, come si voleva, che G= B œ G= C .
È infine immediato che : è suriettiva: ogni elemento dell’orbita di = è infatti della forma =1
per un opportuno 1 − G , e quindi proviene mediante : da G= 1 .
Corollario 7.3.3
Se G è un gruppo che opera transitivamente su un insieme H, H è equipotente all’insieme
delle classi laterali destre in G (e quindi all’insieme delle classi laterali sinistre in G) dello
stabilizzatore in G di un qualsiasi elemento di H, ossia
kHk œ kG : G= k
a= − H.
Dimostrazione  Se G opera transitivamente su H, c’è una sola orbita per l’azione di
G su H che quindi coincide con H ; a questo punto basta applicare il teorema 7.3.2 .
Osservazione 7.3.4
Siano G un gruppo e H un insieme, e sia data un’azione di G su H . Per ogni = − H, si ha che
(= è un punto fisso per l’azione di G su H) Í (G= œ G) .
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Teorema 7.3.5
Siano G un gruppo e H un insieme, e sia data un’azione di G su H . Per ogni = − H e per ogni
1 − G , si ha
G=1 œ 1" G= 1.
Dimostrazione  Sia B − G=1 e proviamo che B − 1" G= 1 , ossia che 1B1" − G= . Si
ha in effetti
=(1B1
"
)
œ aa=1 bB b
1"
œ a=1 b1
"
œ =(11
"
)
œ ="G œ =
come si voleva.
Sia ora B − 1" G= 1 (ossia 1B1" − G= ) e proviamo che B − G=1 . Si ha in effetti
a=1 bB œ aa=1 bB b
(1" 1)
œ =(1B1
"
1)
œ Š=(1B1 ) ‹ œ =1
"
1
come si voleva.
7.4 - Il caso finito: l’equazione delle orbite.
Siano G un gruppo e H un insieme finito, e sia data un’azione di G su H . Se Hæ è un
insieme di rappresentanti per le orbite dell’azione di G su H, si ha ovviamente
(eq. 7.4.+)
kHk œ ! kOG (=)k
=−Hæ
ossia, tenendo conto del teorema 7.3.2,
(eq. 7.4.,)
kHk œ ! kG : G= k .
=−Hæ
Se, come spesso conviene fare, vogliamo evidenziare il sottoinsieme H! dei punti fissi
di H, si considera anziché Hæ un insieme di rappresentanti H0 per quelle orbite dell’azione di
G su H che contengono più di un elemento: le equazioni (eq. 7.4.+) e (eq. 7.4.,) divengono
allora rispettivamente
kHk œ kH! k  ! kOG (=)k
(eq. 7.4.+! )
=−H!
e
(eq. 7.4.,! )
kHk œ kH! k  ! kG : G= k .
=−H!
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 78
Sia : un numero primo. Un gruppo G si dice un :-gruppo finito se kGk œ :! con
! − .
Nel caso in cui si consideri l’azione su un insieme finito di un :-gruppo finito G , gli
addendi kG : G= k che compaiono nella (eq. 7.4.,! ) sono tutti divisibili per : e si possono
facilmente ricavare interessanti risultati.
Teorema 7.4.1
Siano : un numero primo, G un :-gruppo finito e H un insieme finito. Se kHk è primo con :,
esistono punti fissi per qualsiasi azione di G su H .
Dimostrazione  Se per una data azione di G su H non fossero punti fissi, la
(eq. 7.4.,! ) diventerebbe
kHk œ ! kG : G= k
=−H!
ma questa uguaglianza sotto le nostre ipotesi è assurda perché il membro di sinistra è un
numero primo con : mentre il membro di destra è una somma di numeri tutti multipli di : e
quindi è un multiplo di : .
Teorema 7.4.2
Siano : un numero primo, G un :-gruppo finito e H un insieme finito. Se kHk è divisibile per
:, per qualsiasi azione di G su H non può esserci esattamente un punto fisso: o non ce n’è
nessuno, o ce n’è un multiplo (positivo) di : .
Dimostrazione  Per l’azione di G su H che si vuole considerare, scriviamo la
(eq. 7.4.,! ) nella forma
kH! k œ kHk  Œ ! kG : G= k .
=−H!
Sotto le nostre ipotesi ogni termine al secondo membro è multiplo di : , dunque anche il primo
membro è multiplo di : : in particolare, kH! k Á " (e più precisamente: kH! k œ ! oppure
kH! k œ 5: con 5 − ™ ) .
M. Barlotti - Appunti di “Teoria dei gruppi” per il Corso di Laurea in Matematica - vers. 2.0 - Pagina 79
7.5 - Applicazione allo studio dei : -gruppi finiti.
Sia G un gruppo.
Ci sono tre importanti modi in cui G può operare su se stesso o sull’insieme dei propri
sottoinsiemi: mediante moltiplicazione a destra, mediante moltiplicazione a sinistra e
mediante coniugio. I primi due sono concettualmente equivalenti fra loro, il terzo è ben
diverso.
Per ogni 1 − G, se B − G e se S § G poniamo
B1 ³ B1 ;
S1 ³ S1 .
Per il teorema 7.1.2, è immediato che abbiamo così definito un’azione di G su se stesso e
sull’insieme dei propri sottoinsiemi; si dice in questo caso che G opera (su se stesso oppure
sull’insieme dei propri sottoinsiemi) mediante moltiplicazione a destra.
Per ogni 1 − G, se B − G e se S § G poniamo
S1 ³ 1S .
B1 ³ 1B ;
Per il teorema 7.1.2, è immediato che abbiamo così definito un’azione di G su se stesso e
sull’insieme dei propri sottoinsiemi; si dice in questo caso che G opera (su se stesso oppure
sull’insieme dei propri sottoinsiemi) mediante moltiplicazione a sinistra.
Per ogni 1 − G, se B − G e se S § G poniamo
S1 ³ 1" S1 .
B1 ³ 1" B1 ;
Per il teorema 7.1.2, è immediato che abbiamo così definito un’azione di G su se stesso e
sull’insieme dei propri sottoinsiemi; si dice in questo caso che G opera (su se stesso oppure
sull’insieme dei propri sottoinsiemi) mediante il coniugio.
Nei casi sopra considerati, l’insieme su cui G opera è G stesso oppure l’insieme dei
propri sottoinsiemi; è chiaro però che G può operare come visto sopra anche su particolari
sottoinsiemi di se stesso o dell’insieme dei propri sottoinsiemi. Ad esempio G può operare
mediante moltiplicazione a destra sull’insieme delle classi laterali destre di un proprio
sottogruppo; oppure può operare mediante moltiplicazione a sinistra sull’insieme delle classi
laterali sinistre di un proprio sottogruppo; oppure può operare mediante il coniugio su un
proprio sottogruppo normale. E ovviamente possiamo considerare la restrizione di tali azioni a
qualsiasi sottogruppo di G .
Teorema 7.5.1
Siano : un numero primo e G un :-gruppo finito. Se Ö1G × Á N – G , allora
N  Z(G) Á Ö1G × .
Dimostrazione  Consideriamo l’azione di G su N mediante il coniugio: sono
verificate le ipotesi del teorema 7.4.2, perché H( ³ N) ha ordine multiplo di : . Poiché 1G è
un punto fisso per l’azione considerata, ce ne deve essere almeno un altro: dunque in N esiste
B Á 1G tale che 1" B1 œ B (ossia B1 œ 1B) per ogni 1 − G . Un tale B appartiene quindi a
Z(G) e l’asserto è completamente provato.
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Corollario 7.5.2
Siano : un numero primo e G un :-gruppo finito. Allora Z(G) Á Ö1G × .
Dimostrazione  Basta applicare il teorema 7.5.1 con N ³ G .
Esercizio 7.5.3
Sia : un numero primo. Si dimostri che ogni gruppo di ordine :# è commutativo.
Teorema 7.5.4


Siano : un numero primo e G un :-gruppo finito. Se H Á G , allora H Á aG (H) .
Dimostrazione  Consideriamo l’azione di H mediante moltiplicazione a destra
sull’insieme delle classi laterali destre di H in G : sono verificate le ipotesi del teorema 7.4.2,
perché per il teorema 4.2.1 il numero delle classi laterali destre di H in G è una potenza di : (e
non è " perché H Á G). Poiché H stesso è un punto fisso per l’azione considerata, ce ne deve
essere almeno un altro: dunque esiste 1 − G tale che H1 Á H e H1 œ aH1b2 ³ H12 per ogni
2 − H . Ma H1 Á H significa che 1  H , e H1 œ H12 (per ogni 2 − H) significa che
121" − H (per ogni 2 − H), ossia che 1" − aG (H) . Poiché 1 Â H , è anche 1" Â H e il
nostro asserto è così dimostrato.
Sia G un gruppo. Un sottogruppo M di G si dice massimale se (è un elemento
massimale nell’insieme dei sottogruppi di G ordinato rispetto all’inclusione, cioè se) M Á G e
per ogni sottogruppo H di G tale che M Ÿ H Ÿ G si ha M œ H oppure H œ G .
Corollario 7.5.5
Sia : un numero primo, e sia G un :-gruppo finito. Ogni sottogruppo massimale di G è
normale in G e ha indice : in G .
Dimostrazione  Sia M un sottogruppo massimale di G . Poiché M Á G, per il
teorema 7.5.4 è M Ÿ aG (M) Ÿ G con M Á aG (M) ; per definizione di sottogruppo
massimale ne segue che aG (M) œ G cioè che M – G . Consideriamo ora il gruppo quoziente


G
H
M : se avesse un sottogruppo proprio, esso sarebbe della forma M con M Á H Á G , assurdo
G
perché M è un sottogruppo massimale di G . Dunque M non ha sottogruppi propri e quindi
G
per il teorema 3.5.9 il suo ordine è un numero primo. Ma ¹ M ¹a œ kG : Mkb è un divisore di
kGk, dunque tale numero primo non può essere che : .
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8.- I TEOREMI DI SYLOW
8.1 - Due lemmi numerici.
Riportiamo in questa sezione un paio di risultati “tecnici” che ci serviranno nella sez.
8.2 per la dimostrazione del teorema principale di questo capitolo.
Lemma 8.1.1
Siano +, , numeri interi positivi tali che , divide + . Allora
+
+ +"
Œ,  œ , Œ,  ".
Dimostrazione  Si ha
+†(+")†(+#)†...†(+(,"))†(+, )
+
œ
Œ, œ
1†#†...†(,#)†(,")†,
+
œ , †
(+")†(+#)†...†((+")(,#))†((+")(,"))
+ +"
œ , Œ
1†#†...†(,#)†(,")
,"
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Lemma 8.1.2 (Krull)
Siano : un numero primo, 5 un numero intero positivo e 8 un numero intero positivo
divisibile per :5 . Allora
8"
Œ : 5  "  ´ " Ðmod :Ñ .
Dimostrazione  Si ha
8"
(8")†(8#)†...†(8(: 5 "))
8(: 5 ")
8#
œ 8"
œ
Œ:5  " œ
1 † # † ... †
1†#†...†(: 5 ")
: 5 "
5
5
# ˆ 8  "‰ .
3
: 5 "
3œ"
Poiché 3  : , : non divide 3 per 3 ³ ", #, ..., :  " . D’altro lato, per ipotesi :5 divide 8 .
Dividendo numeratore e denominatore per la massima potenza di : che divide 3, possiamo
dunque scrivere
5
8
3
œ:
B3
C3
con B3 e C3 numeri interi tali che : non divide C3 .
# Š:
: 5 "
Sviluppando
3œ"
B3
C3
 "‹ otteniamo una somma di prodotti, uno dei quali è a  "b
: 5 "
.
Raccogliendo in un unico termine tutti gli altri addendi, con fattore comune : e denominatore
@ dato dal prodotto di tutti gli C3 , possiamo scrivere
: 5 "
8"
B3
 : ?@
Œ : 5  "  œ # Š: C3  "‹ œ a  "b
3œ"
: 5 "
dove ?, @ sono interi e @ non è divisibile per : (perché nessun C3 lo è). A questo punto ci resta
soltanto da mostrare che
?
@
è un numero intero, dato che a  "b
primo dispari :, mentre a  "b
# 5 "
œ " per ogni numero
œ  " ´ " Ðmod #Ñ .
Si ha
:
: 5 "
?
@
œŒ
: 5 "
8"
 a  "b

5
: "
e dunque : ?@ deve essere un numero intero (perché i coefficienti binomiali sono numeri
interi), cosicché @ divide :?Þ Ma : è un numero primo che non divide @ , quindi
necessariamente @ divide ? e l’asserto è completamente provato.
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8.2 - Il teorema principale.
Teorema 8.2.1 (Sylow-Frobenius)
Siano G un gruppo finito, : un numero primo e 5 un numero intero positivo tale che :5 divide
kGk . Sia k:5 l’insieme dei sottogruppi di G che hanno ordine :5 . Allora
¸k:5 ¸ ´ " Ðmod :Ñ .
In particolare, k:5 Á g .
Dimostrazione  Sia . un divisore di kGk e sia H l’insieme dei sottoinsiemi di G che
hanno cardinalità . . Facciamo operare G su H mediante moltiplicazione a destra e
cominciamo col raccogliere alcuni risultati sullo stabilizzatore GU del generico U − H in
questa azione.
S_1
G U § U Í "G − U .
S_2
GU œ U Í U è un sottogruppo di G .
S_3
U † GU œ U .
S_4
U è unione di classi laterali sinistre di GU in G , e quindi kGU k divide kUk .
Adesso ragioniamo sulle orbite dell’azione di G su H .
O_1
Se H3 è l’orbita di U3 , kH3 k œ
kGk
.
†
.
k GU3 k
con
kGk
.
e
.
k GU3 k
numeri interi.
Dimostrazione  Per ipotesi . divide kGk, e per l’osservazione
kUk œ . ) kGU k divide . .
S_4
(ricordando che
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O_2
Per ogni orbita H3 si ha kH3 k œ
kGk
.
se e soltanto se in H3 c’è un sottogruppo.
Dimostrazione  Supponiamo in primo luogo che in H3 ci sia un sottogruppo: per
l’osservazione S_2 e il teorema 7.3.2, si ha kH3 k œ kG. k . Viceversa, sia kH3 k œ kG. k cioè, per il
teorema 7.3.2, kGU k œ . per un qualsiasi U − H3 . Scelto B − U, è "G − UB" œ U! − H3 . Per
l’osservazione S_1 è GU! © U! ma poiché kGU! k œ . œ kU! k deve essere GU! œ U! e dunque U!
è un sottogruppo.
O_3
Se in un’orbita c’è un sottogruppo, ce n’è uno solo.
Dimostrazione  Ovvio, perché se in un’orbita c’è un sottogruppo di G allora tale
orbita consiste esattamente delle classi laterali destre in G di quel sottogruppo.
Per l’osservazione
(eq. 8.2.1+)
O_1
, l’equazione (eq. 7.4.+) si può riscrivere come
kHk œ
kGk
.
† Š kG.U k 
3
.
k GU 3 k
 ... 
.
kGU3 k
‹
dove ÖU" , U# , ..., U> × è un insieme di rappresentanti delle orbite di H . Tenendo ulteriormente
conto delle osservazioni O_2 e O_3 , l’equazione (eq. 8.2.1+) diventa
(eq. 8.2.1,)
kHk œ
kGk
.
† kk. k 
.
¹ GU3 " ¹

.
¹ GU3 # ¹
 ... 

.
¸ GU3 ¸
dove kk. k è il numero dei sottogruppi di G di ordine ., ÖU3" , U3# , ..., U3D × è un insieme di
rappresentanti delle orbite di H a cui non appartengono sottogruppi, e i numeri interi .
D
¹ GU3 4 ¹
sono divisori di . diversi da " .
Esaminiamo ora il membro sinistro dell’equazione (eq. 8.2.1,) : il numero dei sottoinsiemi di
k Gk
G con . elementi, cioè kHk, è come noto Œ
. Per il lemma 8.1.1,
. 
kGk œ kGk kGk  "
Œ
. Œ ." 
. 
cosicché possiamo riscrivere l’equazione (eq. 8.2.1,) come
kGk  " œ kk k  .  .  ...  .
(eq. 8.2.1- )
Œ
.
¸ GU3 ¸
." 
¹ GU3 " ¹
¹ GU3 # ¹
D
o anche
(eq. 8.2.1. )
kk. k œ Œ kGk  "    . 
."
¹ GU3 " ¹
.
¹ GU 3 # ¹
 ... 
.
¸ GU3 ¸
D

A questo punto vediamo che cosa accade se . ³ :5 come nelle ipotesi del nostro teorema.
Tutti gli addendi della forma
:5
5
¹ GU3 4 ¹
(essendo divisori di : diversi da ") sono congrui a ! modulo : . L’asserto segue dunque dal
lemma 8.1.2 .
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8.3 - Sottogruppi di Sylow.
Siano G un gruppo finito, : un numero primo e :! (con ! − ) la massima potenza di
: che divide kGk (eventualmente ! œ ! e :! œ ") . Si dice :-sottogruppo di Sylow di G ogni
sottogruppo di G che abbia ordine :! . L’insieme di tutti i :-sottogruppi di Sylow di G (che
non è vuoto per il teorema 8.2.1) si indica con Syl: (G) .
Osservazione 8.3.1
Ogni endomorfismo di un gruppo, per il “teorema di corrispondenza” (5.3.1), trasforma
sottogruppi in sottogruppi. Ogni automorfismo di un gruppo, essendo in particolare una
corrispondenza biunivoca, trasforma sottogruppi in sottogruppi della stessa cardinalità.
Dunque, ogni automorfismo di un gruppo finito trasforma sottogruppi in sottogruppi dello
stesso ordine: in particolare, per ogni numero primo :, ogni automorfismo di un gruppo finito
G muta in sé Syl: (G) ; vedremo adesso (corollario 8.3.3) che Aut(G) (anzi, addirittura:
Inn(G)) opera transitivamente su Syl: (G) .
Se in un gruppo finito per un particolare numero primo : c’è un solo :-sottogruppo di Sylow,
per quanto appena osservato esso è mutato in sé da ogni automorfismo del gruppo; in
particolare, esso è mutato in sé da ogni automorfismo interno del gruppo e dunque (teorema
4.3.4) è un sottogruppo normale.
Teorema 8.3.2
Siano G un gruppo finito, : un numero primo e 5 un numero intero positivo tale che :5 divide
kGk . Siano H un sottogruppo di G di ordine :5 e P un :-sottogruppo di Sylow di G . Esiste
1 − G tale che
H § 1" P1 .
kGk
Dimostrazione  Sia H l’insieme delle classi laterali destre di P in G , e facciamo
operare H su H mediante moltiplicazione a destra. È kHk œ kPk e dunque (poiché P è un
sottogruppo di Sylow di G) kHk è primo con kHk ; per il teorema 7.4.1 c’è almeno un punto
fisso per questa azione di H su H, ossia esiste 1 − G tale che
aP1b2 œ P1
per ogni 2 − H .
Ciò significa che
a12b1" − P
per ogni 2 − H
ossia che
1H1" © P
e infine che
H © 1" P1
come si voleva dimostrare.
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Corollario 8.3.3
Siano G un gruppo finito e : un numero primo che divide kGk . Tutti i :-sottogruppi di Sylow
di G sono fra loro coniugati.
Dimostrazione  Siano P" e P2 due qualsiasi :-sottogruppi di Sylow di G . Per il
teorema 8.3.2 (con H ³ P" e P ³ P2 ), esiste 1 − G tale che
P" © 1" P2 1 .
Poiché kP" k œ kP2 k , ne segue che P" œ 1" P2 1 , cioè l’asserto.
Corollario 8.3.4
Siano G un gruppo finito e : un numero primo che divide |G|. Per qualsiasi P − Syl: (G) si ha
kSyl: (G)k œ kG : aG (P)k .
Dimostrazione  Sia P − Syl: (G) . L’orbita a cui appartiene P per l’azione di G
mediante il coniugio sull’insieme dei sui sottogruppi è (per il corollario 8.3.3) Syl: (G), mentre
lo stabilizzatore di P è (per definizione) aG (P) . L’asserto è dunque immediata conseguenza
del teorema 7.3.2 .
Corollario 8.3.5
Sia :! la massima potenza di : che divide |G| .
Il numero kSyl: (G)k dei :  sottogruppi di Sylow di G è un divisore di
|G|
:!
.
Dimostrazione  Ricordando che P Ÿ aG (P) (per il terorema 4.5.1), dal corollario
8.3.4 e dal teorema 4.2.3 ( H ³ aG (P) , K ³ P ) segue che
kG : Pk
kSyl: (G)k œ kG : aG (P)k œ ¸
aG (P) : P¸
da cui l’asserto poiché kG : Pk œ
|G|
:!
.