Esercizi settimana n.5
1)
Una bilia d’acciaio di massa m=50 g giunge contro la molla di un flipper con una
velocità di modulo v0=1 m/s. Se la molla ha una costante elastica k=80 N/m, qual è la
massima compressione ∆x che essa raggiunge prima che la bilia rimbalzi indietro?
(Risposta: 2.5 cm)
Cogliamo l’occasione di questo semplice esercizio per imparare ad
affrontare questo tipo di problemi seguendo due ragionamenti, alternativi
ed equivalenti.
Soluzione (ragionamento n.1):
Consideriamo il moto della bilia ed osserviamo che esso si compie sotto l’azione
delle seguenti forze: la forza peso, la reazione normale del piano di appoggio, la
forza elastica sviluppata dalla molla (quest’ultima è presente solo dopo il
contatto fra la bilia e la molla).
Applichiamo a questo moto il Teorema dell’energia cinetica (il quale, lo
ricordiamo, è valido in presenza di qualunque tipo di forza). Il teorema afferma
che data una qualunque coppia di “stati di moto”, essi sono legati dalla seguente
relazione: Ltot=∆Ec .
Tale uguaglianza deve pertanto risultare verificata anche quando si considerano,
in particolare, i seguenti due “stati del moto”: chiamiamo “stato A” quello in cui
avviene il contatto fra la bilia e la molla, chiamiamo “stato B” quello in cui la
molla raggiunge la massima compressione (la bilia è istantaneamente ferma,
dopodiché viene rimbalzata indietro).
Calcoliamo, relativamente allo spostamento dallo stato A allo stato B, le due
quantità che appaiono a 1° e a 2° membro dell’uguaglianza imposta dal Teorema:
1° membro Ltot=Lp+LN+Lel
osserviamo che Lp=0 e LN=0 poiché in entrambi i casi la forza risulta
perpendicolare allo spostamento compiuto dal punto di applicazione (la bilia) e
quindi compie lavoro nullo, mentre resta da calcolare Lel. Per il calcolo di Lel si
può sfruttare il fatto che la forza elastica è conservativa e quindi abbiamo
imparato che il suo lavoro si può calcolare in modo semplice come Lel= –∆Ep,
dove Ep=1/2kx2 è l’energia potenziale elastica (con x si indica lo spostamento dal
centro di forza, cioè dalla posizione di riposo della molla).
Dunque, Lel= –(Ep(B)-Ep(A))=Ep(A)-Ep(B)=1/2kxA2-1/2kxB2=-1/2k ∆x2
(poiché xA=0 e xB= ∆x)
2° membro ∆Ec=Ec(B)-Ec(A)=1/2mvB2-1/2mvA2=-1/2mv02
(poiché vA=v0 e vB=0)
Quindi, il Teorema dell’energia cinetica ci dice che deve valere la seguente
uguaglianza:
-1/2k ∆x2=-1/2mv02
da cui si ricava: ∆x=v0(m/k)1/2=0.025 m
Soluzione (ragionamento n.2):
Consideriamo il moto della bilia ed osserviamo che esso si compie sotto l’azione
delle seguenti forze: la forza peso, la reazione normale del piano di appoggio, la
forza elastica sviluppata dalla molla (quest’ultima è presente solo dopo il
contatto fra la bilia e la molla). Osserviamo anche che tutte le forze in questione
sono forze conservative (non dissipano energia meccanica), quindi in questa
situazione vale il Teorema di conservazione dell’energia meccanica: durante
il moto l’energia meccanica della bilia si conserva. Questo significa che per
qualunque coppia di “stati di moto” la somma dell’energia cinetica e dell'energia
potenziale risulterà la stessa. Consideriamo, in particolare, i seguenti due “stati
del moto”: chiamiamo “stato A” quello in cui avviene il contatto fra la bilia e la
molla, chiamiamo “stato B” quello in cui la molla raggiunge la massima
compressione (la bilia è istantaneamente ferma, dopodiché viene rimbalzata
indietro). Deve valere l’uguaglianza: Ec(A)+Ep(A)= Ec(B)+Ep(B).
Al 1° membro abbiamo:
Ec(A)+Ep(A)= 1/2mv02+0
Al 2° membro abbiamo:
Ec(B)+Ep(B)= 0+1/2k ∆x2
Quindi, il Teorema di conservazione dell’energia meccanica ci dice che deve
essere:
1/2mv02=1/2k ∆x2
da cui si ricava: ∆x=v0(m/k)1/2=0.025 m
2)
I vagoncini delle montagne russe a LunarLand non risentono della resistenza
dell’aria né dell’attrito. Un vagoncino parte da fermo dalla cima della prima
grande discesa, a un’altezza di 115 m rispetto alla superficie lunare. Qual è il
modulo della velocità del vagoncino quando raggiunge il punto più basso del
percorso, che si trova proprio sulla superficie della Luna? L’accelerazione di
gravità sulla Luna vale gLuna=1,62 m/s2
(Risposta 19,3 m/s)
Soluzione:
Il moto del vagoncino si svolge sotto l’azione solo della forza peso lunare, che è
una forza conservativa. Prendendo in considerazione l’istante (A) in cui il vagone
si trova in cima e l’istante (B) in cui si trova in basso, in virtù del teorema di
conservazione dell’energia meccanica fra questi due stati del moto deve valere la
relazione:
Ec(A)+Ep(A)= Ec(B)+Ep(B)
Al 1° membro abbiamo:
Ec(A)+Ep(A)= 0+mgLunah (dove h è la “quota” misurata rispetto ad un livello di
riferimento che siamo liberi di scegliere nel punto più basso delle montagne
russe)
Al 2° membro abbiamo:
Ec(B)+Ep(B)= 1/2mv02+0 (dove v0 è la velocità del vagoncino e h=0 è la sua quota)
Quindi, il Teorema di conservazione dell’energia meccanica ci dice che:
mgLunah =1/2mv02
da cui si ricava: v0=(2gLunah)1/2=19,3 m/s
3)
Un gioco per bambini utilizza una molla con costante elastica k=36 N/m per
lanciare un blocco che, una volta sparato dalla molla, sale su per un piano
inclinato con un angolo di 30°. Il blocco ha una massa di 8,0 g. Per quale distanza
d lungo il piano inclinato scorre il blocco, dopo che la molla è stata compressa di
4,2 cm e poi rilasciata? Trascurare gli attriti
(Risposta: 81 cm)
Soluzione:
Pensiamo in modo separato le due fasi di moto del blocco: lo sparo da parte della
molla, e la salita per il piano.
La fase di sparo avviene in orizzontale e si compie sotto l’azione delle seguenti
forze: la forza peso, la reazione normale del piano di appoggio, la forza elastica
sviluppata dalla molla. Applichiamo di nuovo il ragionamento seguito
nell’esercizio n.1, ad es. il secondo ragionamento. Il teorema di conservazione
dell’energia meccanica ci dice che deve valere:
1/2mv02=1/2k ∆x2
eq.(*)
da cui si ricava: v0= ∆x(k/m)1/2
Adesso conosciamo la velocità con cui il blocco inizia la fase di salita lungo il piano.
Questa fase di moto si svolge sotto l’azione delle seguenti forze: la forza peso, la
reazione normale del piano inclinato. Applichiamo il teorema dell’energia
cinetica ai due seguenti stati: lo stato (A) in cui il blocco si trova con velocità v0
alla base del piano, e lo stato (B) in cui il blocco giunge, istantaneamente fermo, in
una qualche posizione lungo il piano, distante d dalla base. Deve risultare: Ltot=∆
∆ Ec
1° membro Ltot=Lp+LN
Lp=–∆Ep=Ep(A)-Ep(B)= 0-mgh=-mgdsin30° (dove h è la “quota” misurata rispetto
ad un livello di riferimento che siamo liberi di scegliere nel punto più basso
delpiano inclinato, per cui h= dsin30°)
LN=0 (perché forza e spostamento risultano perpendicolari)
2° membro ∆Ec=Ec(B)-Ec(A)=1/2mvB2-1/2mvA2=-1/2mv02
(poiché vA=v0 e vB=0)
Quindi, il teorema dell’energia cinetica ci dice che deve valere la seguente
uguaglianza:
–mgdsin30° =–1/2mv02 eq.(**)
da cui si ricava: d=(1/2mv02)/(mgsin30°)=0,81 m
NB: Per semplificarci i calcoli, avremmo anche potuto notare che dovendo essere, in
base all’eq.(*) 1/2mv02=1/2k ∆x2 , l’eq.(**) si riduce a: –mgdsin30° =–1/2k ∆x2
da cui segue direttamente: d=(1/2 k ∆x2)/(mgsin30°)=0,81 m
senza dover passare per il calcolo diretto di v0!!
4)
A un blocco su una superficie orizzontale viene impressa una velocità iniziale di
modulo uguale a 3,8 m/s. Il coefficiente di attrito dinamico tra la superficie e il blocco
vale 0,35. Quale distanza d compie il blocco prima di fermarsi?
(Risposta: 2,1 m)
Soluzione:
Il moto del blocco si compie sotto l’azione delle seguenti forze: la forza peso, la
reazione normale del piano di appoggio, la forza di attrito dinamico. Poiché non
tutte le forze in azione sono conservative, non vale il teorema di conservazione
dell’energia meccanica. Resta tuttavia sempre valido il teorema dell’energia
cinetica. Lo applichiamo ai due istanti di lancio del blocco (A) e di arresto del
blocco (B). Deve risultare: Ltot=∆
∆ Ec
1° membro Ltot=Lp+LN+Lattr
Lp=0
LN=0
Lattr=–µdNd=–µdmgd
(essendo N=mg)
si noti che per il calcolo del lavoro della forza di attrito dobbiamo sempre
ricorrere all’applicazione della formula che definisce il lavoro
2° membro ∆Ec=Ec(B)-Ec(A)=1/2mvB2-1/2mvA2=-1/2mv02
(poiché vA=v0 e vB=0)
Quindi, il teorema dell’energia cinetica ci dice che deve valere la seguente
uguaglianza:
–µdmgd =–1/2mv02
da cui si ricava: d=(1/2v02)/( µdg)=2,1 m
5)
Un blocco viene rilasciato da fermo dalla sommità di un piano inclinato liscio di
altezza H, scivola giù lungo il piano inclinato, alla base incontra una superficie
orizzontale scabra e si ferma dopo aver percorso una distanza H. Qual è il
coefficiente di attrito dinamico tra il blocco e la superficie orizzontale?
(Risposta: µd=1)
6)
Un oggetto di massa m=1 kg viene trascinato orizzontalmente per una distanza di 4 m
da una forza di intensità 5 N e diretta verso l'alto ad un angolo di 45° con il piano
orizzontale. Nel trascinamento dell'oggetto interviene una forza di attrito con
coefficiente di attrito dinamico µ=0,2. Qual è il lavoro compiuto dalla forza di attrito?
(Risposta: 5 J)
7)
Se una macchina eroga una potenza di 0,2 kW, quanto lavoro compie in 5 ore?
(Risposta: 3,6 MJ)
