Document

Lezione 13 - La legge di Gauss
• Armati dei concetti fin
qui introdotti
possiamo enunciare la
legge di Gauss
qinterna
Φ=
ε0
o anche
r r qinterna
E ⋅ dA =
∫
ε0
sup. Gaussiana
illustrazione tratta da: Halliday-Resnick-Walker,”Fondamenti di Fisica”, IV Ed., Ambrosiana, Milano
Fisica Generale per Architettura - G. Cantatore
Monday, January 11, 2010
1
Considerazioni sulla legge di Gauss
• Notare che la legge di Gauss mette in relazione il
campo misurato su una superficie chiusa con la
quantità totale di carica contenuta all’interno
della superficie
• La forma e la posizione delle cariche interne non
hanno alcuna importanza
• Le cariche esterne alla superficie non
contribuiscono al flusso, tuttavia il campo
elettrico da considerare è quello creato da tutte le
cariche, sia interne sia esterne
Fisica Generale per Architettura - G. Cantatore
Monday, January 11, 2010
2
Gauss e Coulomb
illustrazione tratta da: Halliday-Resnick-Walker,”Fondamenti di Fisica”, IV Ed., Ambrosiana, Milano
•
Il legame strettissimo tra la legge di
Gauss e quella di Coulomb si vede
facilmente considerando il caso di una
carica puntiforme
•
Presa la carica puntiforme q, si usa
come superficie gaussiana una sfera di
raggio r
•
Per motivi di simmetria il campo
elettrico E non può che essere diretto
radialmente ed avere uguale intensità ad
uguali distanze da q
r r
•
Il flusso Φ è allora
Φ=
∫ E ⋅ dA =
sfera
•
Applicando la legge di Gauss
q
Φ = 4πr E =
ε0
2
Fisica Generale per Architettura - G. Cantatore
Monday, January 11, 2010
•
∫ EdA cos(0) = E
sfera
2
dA
=
4
π
r
E
∫
sfera
Si ritrova quella di Coulomb
1 q
E=
4πε 0 r 2
3
Conduttore carico isolato
• La carica in eccesso
presente su di un
conduttore isolato si
distribuisce sulla
superficie: la carica
interna è sempre nulla
(caso a)
• Vale anche nel caso il
conduttore presenti una
cavità interna (caso b)
Fisica Generale per Architettura - G. Cantatore
Monday, January 11, 2010
illustrazione tratta da: Halliday-Resnick-Walker,”Fondamenti di Fisica”, IV Ed., Ambrosiana, Milano
Entrambe le proposizioni
possono essere dimostrate dalla
legge di Gauss definendo in
maniera opportuna la superficie
gaussiana che si utilizza e
ricordando che E all’interno di
un conduttore è sempre nullo
4
Campo E all’esterno di un conduttore
illustrazione tratta da: Halliday-Resnick-Walker,”Fondamenti di Fisica”, IV Ed., Ambrosiana, Milano
• La carica in generale non
si distribuisce
uniformemente sulla
superficie di un conduttore
• Nota però la distribuzione
di carica superficiale σ,
dalla legge di Gauss si
ricava facilmente il campo
elettrico E appena fuori
della superficie di un
conduttore
Fisica Generale per Architettura - G. Cantatore
Monday, January 11, 2010
flusso di E attraverso
il cilindretto gaussiano
ε 0 EA = σA
carica totale contenuta
nel cilindretto gaussiano
σ
E=
ε0
campo elettrico E vicino
alla sup. di un conduttore
5
Gauss: simmetria cilindrica
illustrazione tratta da: Halliday-Resnick-Walker,”Fondamenti di Fisica”, IV Ed., Ambrosiana, Milano
• Si calcola il campo
elettrico E generato da
una bacchetta isolante
carica molto lunga
sfruttando la simmetria
clindrica
flusso di E attraverso
il cilindro
Φ = EAlat + EAbasi = 2πrhE
qinterna = λh
carica totale
interna al cilindro
Fisica Generale per Architettura - G. Cantatore
Monday, January 11, 2010
Gauss
ε 0 E2πrh = λh
λ campo elettrico E
E=
2πε 0 r generato dalla bacchetta
6
Simmetria piana: foglio isolante
• Il campo E generato da
un foglio sottile isolante
carico con densità
superficiale di carica σ si
calcola usando la
simmetria piana del
problema
illustrazione tratta da: Halliday-Resnick-Walker,”Fondamenti di Fisica”, IV Ed., Ambrosiana, Milano
legge di Gauss
ε 0 Φ = ε 0 ( EAlat + 2EAbase) = σAbase
ε 0 2EAbase = σAbase
Fisica Generale per Architettura - G. Cantatore
Monday, January 11, 2010
σ
E=
2ε 0
campo E del
foglio isolante
7
Simmetria piana: piatti conduttori
(a) piatto conduttore con
densità di carica
superficiale σ1 > 0
(b) come in (a) ma con
σ1 < 0
(c) i due piatti con
cariche opposte vicini
l’uno all’altro
σ1
Ea =
ε0
illustrazione tratta da: Halliday-Resnick-Walker,”Fondamenti di Fisica”, IV Ed., Ambrosiana, Milano
σ1
Eb =
ε0
Fisica Generale per Architettura - G. Cantatore
Monday, January 11, 2010
2σ 1
Ec =
ε0
8
Simmetria sferica
• Uno strato carico a simmetria sferica si comporta:
– come una carica puntiforme per cariche esterne allo strato
– come una carica nulla per cariche interne allo strato
Superficie interna:
superfici
gaussiane
R
r’
qinterna = 0 ⇒ E interno = 0
Superficie esterna:
strato sferico
di carica totale q
Fisica Generale per Architettura - G. Cantatore
Monday, January 11, 2010
qinterna
q
= q ⇒ Eesterno =
4πε 0 r 2
9
Energia potenziale elettrica I
• La forza
elettrostatica è una
forza conservativa
• Questo significa che
è possibile definire
una energia
potenziale elettrica
Se il sistema passa da uno stato
iniziale i ad uno stato finale f e la
forza elettrostatica compie un
lavoro L sulle cariche scriveremo
ΔU = U f - Ui = − L
in base alla definizione di
variazione di energia potenziale
E’ chiaro che il lavoro L fatto
dalla forza elettrostatica non
dipende dal cammino
Fisica Generale per Architettura - G. Cantatore
Monday, January 11, 2010
10
Energia potenziale elettrica II
• L’energia potenziale è sempre definita a partire
da una configurazione di riferimento
• Per convenzione, porremo U = 0 quando tutte le
particelle cariche sono infinitamente distanti le
une dalle altre
• L’energia potenziale elettrica di un certo sistema
di cariche è allora
∞
dove L∞ è il lavoro fatto dalle forze
elettrostatiche per portare le cariche dall’infinito
alla posizione corrente
Fisica Generale per Architettura - G. Cantatore
U = −L
Monday, January 11, 2010
11
Potenziale elettrico
• Dato un certo campo elettrico, l’energia
potenziale elettrica di una particella carica
dipende dalla carica stessa
• Se però si definisce l’energia potenziale elettrica
per unità di carica si ottiene una quantità che ha
un valore univoco in ogni punto del campo:
U
V=
q
V si misura in Joule/Coulomb e si chiama potenziale elettrico
Nota bene: V è uno scalare e non un vettore
Fisica Generale per Architettura - G. Cantatore
Monday, January 11, 2010
12
Differenza di potenziale
• La differenza di potenziale (ddp) è la differenza
di energia potenziale elettrica per unità di carica
tra due punti dello spazio:
Uf Ui ΔU
ddp = ΔV = V f − Vi =
−
=
q
q
q
• In termini di lavoro L fatto dalle forze
elettrostatiche si scrive:
L
ddp = ΔV = V f − Vi = −
q
Fisica Generale per Architettura - G. Cantatore
Monday, January 11, 2010
13
Potenziale e Volts
• Supponendo il potenziale nullo all’∞ secondo
quanto convenuto, si ha come definizione del
potenziale dovuto ad un certo campo:
L∞
V=−
q
• Per misurare i potenziali si introduce una nuova
unità di misura derivata, il Volt [V]:
1 J
1 Joule
1 V=
=
1 C 1 Coulomb
Fisica Generale per Architettura - G. Cantatore
Monday, January 11, 2010
14
Lavoro delle forze applicate
• Supponiamo di avere una particella carica immersa in
un campo elettrico e di applicare una forza per
spostarla. La forza compirà un lavoro Lapp. Il teorema
dell’energia cinetica dice allora
ΔK = K f − Ki = La p p + L
dove L è il lavoro fatto dal campo elettrico.
• Se la particella parte ferma e arriva ferma, allora
ΔK = 0 ⇒ La p p = − L
e quindi
ΔU = U f − Ui = La p p
Fisica Generale per Architettura - G. Cantatore
Monday, January 11, 2010
15