UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MACERATA
Scuola Interuniversitaria di Specializzazione all’Insegnamento
Secondario
Anno Accademico 2006 - 2007
VII Ciclo – III semestre
TIROCINIO INDIRETTO
del 25/10/2006
SPECIALIZZANDI
Laura Arcangeli
(A049)
Mariagrazia Trasarti
(A049)
Manuela Sciarra
(A047)
Giovanna Carancia
(A047)
Premessa
La seguente lezione è pensata per introdurre le funzioni goniometriche in un III ITIS.
Le funzioni trigonometriche in un istituto tecnico sono di fondamentale importanza non
solo in ambito matematico, ma anche in altre discipline quali fisica, elettronica e sistemi.
Ci si prefigge con questa lezione di formare una disposizione mentale che permetta di
utilizzare con profitto gli strumenti forniti in qualsiasi campo di applicazione.
Riportiamo, di seguito, prerequisiti, obiettivi e contenuti della lezione.
PREREQUISITI
• Concetto di funzione e relativa rappresentazione cartesiana;
• Similitudine dei triangoli;
OBIETTIVI
• Acquisire i concetti di base della trigonometria e saperli utilizzare nella
risoluzione di problemi sui triangoli.
CONTENUTI
• La funzione seno;
• Applicazione della funzione seno alla risoluzione dei triangoli;
• La funzione coseno;
• Applicazione della funzione coseno alla risoluzione dei triangoli;
• Relazione fondamentale tra seno e coseno ;
TEMPI: 2 ore
STRUTTURA DELLA LEZIONE
PERSONAGGIO
AZIONE
METODOLOGIA
TEMPI
DOCENTE
SALUTO
COUNSELLING
5 MINUTI
CORDIALE
AMICALE
ALUNNO
INVITATO ALLA
LAVAGNA
10 MINUTI
COMPETENTE
LAVAGNA A
RIPRENDERE I
CONCETTI DI
SIMILITUDINE DEI
TRIANGOLI
DOCENTE ED
IL DOCENTE
LEZIONE
30 MINUTI
ALUNNI
STIMOLA LA
INTERATTIVA
CLASSE AD
AIUTARE
L’ALUNNO A
CERCARE DI
RISOLVERE DUE
ESEMPI (in seguito
inseriti), UNO
RISOLVIBILE CON I
SEMPLICI CRITERI
DI GEOMETRIA
RAZIONALE
L’ALTRO NO, DA
QUI LA
NECESSITA’ DI
INTRODURRE LA
FUNZIONE SENO.
DOCENTE
DOCENTE E
CLASSE
CLASSE
DOCENTE
INTRODUCE LA
CIRCONFERENZA
GONIOMETRICA E
LA FUNZIONE
SENO,COSENO E
TEOREMA DEI
SENI
IL DOCENTE
INVITA UN
ALUNNO A
RISOLVERE
L’ESEMPIO PRIMA
NON RISOLVIBILE
CON LA NUOVA
COMPETENZA,
SUPPORTANDOLO.
CHIEDE
CHIARIFICAZIONI
DA’ DELLE
DELUCIDAZIONI E
ASSEGNA I
COMPITI
LAVAGNA,LIBRO E
PC (tramite il quale
mostrare segni e
andamento della
funzione)
30 minuti
LAVAGNA
20 MINUTI
LAVAGNA
10
LAVAGNA E LIBRO
10
Elementi di trigonometria
La parola “Trigonometria” in greco significa “misura dei triangoli”, da questo abbiamo
preso spunto per presentare il nuovo argomento in modo diverso: invece di partire dal
cerchio trigonometrico partiamo dal concetto di similitudine dei triangoli. In questo modo,
presentando gli oggetti di studio della trigonometria come le relazioni intercorrenti fra i lati
e gli angoli di un medesimo triangolo, si facilitano la comprensione, la continuità e
l’apprendimento ricollegandosi a conoscenze pregresse dei ragazzi.
Possiamo cominciare dal far notare ai ragazzi che grazie ai criteri di geometria razionale si
riesce a calcolare le misure di alcuni elementi del triangolo, ma per casi molto particolari
(ad es, triangoli con angoli che misuravano 30°,45°,60°); nei casi più generali, per triangoli
qualunque ci sono delle difficoltà.
Vediamo un esempio.
Es1.
Vogliamo calcolare l’angolo in C ed i lati AB e CB del seguente triangolo, sapendo che :
La somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo è un angolo piatto, quindi l’angolo in
C sarà pari a:
180° - (30° + 45°) = 105°
Per trovare i lati AB e CB osserviamo che AHC è un triangolo rettangolo, per la precisione
la metà di un triangolo equilatero, mentre BCH è anch’esso un triangolo rettangolo, per la
precisione la metà di un quadrato.
Quindi sfruttando il fatto che AHC è un triangolo rettangolo metà di un triangolo equilatero:
e sfruttando il fatto che CHB è un triangolo rettangolo metà di un quadrato:
Es2.
Nel seguente caso invece:
le nozioni geometriche conosciute fino a questo punto non ci consentono di risolvere
questo problema.
Partiamo da qualcosa a noi conosciuto per risolvere il problema: la similitudine tra due
triangoli rettangoli.
1.CRITERIO DI SIMILITUDINE: Se due triangoli hanno due coppie di angoli corrispondenti
congruenti, essi sono simili.
2.CRITERIO DI SIMILITUDINE: Se due triangoli hanno una coppia di angoli corrispondenti
congruenti tra lati omologhi in proporzione, essi sono simili
3.CRITERIO DI SIMILITUDINE:Se due triangoli hanno tutti i lati omologhi in proporzione,
essi sono simili.
Supponiamo che questi due triangoli sono simili, allora :
Osserviamo che la variazione di questo rapporto dipende unicamente dagli angoli.
A questo punto consideriamo un triangolo rettangolo ABC, retto in A e prendiamo la sua
ipotenusa CB=1, consideriamo un riferimento cartesiano ortogonale monometrico XOY
centrato in C e disegniamo una circonferenza di raggio pari a CB=1 e centro C=O.
B
0.5
x
C=O
0.5
(1,0
A
Il punto B avrà coordinate (Bx,By).
Indicando con x l’ampiezza dell’angolo in C definiamo la funzione seno come il rapporto
tra il cateto AB e l’ipotenusa CB:
.
Essendo il raggio della circonferenza di raggio unitario:
sen(x)=AB=By
B
0.5
x 0.5
La funzione seno, per le proprietà dei triangoli rettangoli simili precedentemente esplicati,
assume valori indipendenti dal raggio della circonferenza considerata, dunque i valori che
assume dipendono solo dall’ampiezza dell’angolo x.
A questo punto andiamo ad approfondire lo studio di questa funzione determinandone il
dominio, il condominio e la variazione. Prendendo come origine degli archi della
circonferenza il punto D(1,0), assumiamo per convenzione che se il punto B si muove in
senso antiorario allora l’arco DB ha verso positivo, altrimenti negativo.
Ad ogni posizione del punto B, mobile sulla circonferenza goniometrica, e quindi ad ogni
angolo
corrisponde un ben determinato valore della funzione seno :
sen(x)=YB
Come possiamo vedere il punto B descrive un intero angolo giro, quindi il dominio della
funzione seno è :
Inoltre la funzione seno al variare di x assume tutti i valori tra [-1,1] e quindi il suo
condominio sarà:
Il segno del funzione sarà quindi positivo nel primo e secondo quadrante e negativo nel
terzo e quarto quadrante.
Disegniamo a questo punto la funzione seno:
Osserviamo che a questo punto siamo già in grado di risolvere l’Es.2:
Infatti considerando i due triangoli rettangoli AHC e CHB, calcoliamo CH:
CH ci permette di calcolare il cateto del triangolo rettangolo CHB:
Uguagliando le due espressioni:
Equivalente alla seguente proporzione:
Da cui:
Manca il cateto AB. Innanzitutto osserviamo che l’angolo in C è pari a:
Abbiamo visto che il rapporto tra la misura del lato BC e il seno dell’angolo
BC) è uguale al rapporto tra la misura dell’altro lato AC e il seno dell’angolo
AC).
A questo punto ci chiediamo se anche il terzo rapporto
precedenti.
La risposta è affermativa infatti tracciando l’altezza AK:
C
(opposto a
(opposto ad
coincida con i
K
10
40°
62°
A
H
B
Considerando i triangoli rettangoli BKA e AKC si ha:
da cui:
Teorema dei seni
In un triangolo qualsiasi è costante il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell’angolo
opposto:
A questo punto, con lo stesso procedimento, è possibile definire la funzione coseno. Esso
è il valore dell’ascissa del punto B in corrispondenza dell’angolo
y=cos(x)
B
0.5
x 0.5
Anche per il coseno utilizziamo la circonferenza goniometrica,perché il suo raggio unitario
permette notevoli semplificazioni di calcolo e perché la funzione y=cos(x) assume valori
dipendenti soltanto dall’angolo x, indipendenti quindi dalla particolare circonferenza presa
in esame, per gli stessi motivi precedentemente illustrati per il seno.
Andiamo a vedere dominio e condominio e il segno della funzione coseno facendo
muovere il punto B lungo la circonferenza:
Quindi anche per la funzione coseno il suo dominio sarà:
Il suo condominio:
Il segno del funzione sarà quindi positivo nel primo e quarto quadrante e negativo nel
secondo e terzo quadrante.
Disegniamo a questo punto la funzione coseno:
Es. di applicazione della funzione coseno alla risoluzione dei triangoli rettangoli.
Tracciando il riferimento cartesiano e la circonferenza goniometrica:
POH è simile ad ABC, posso quindi scrivere:
equivalente a :
da cui:
Ne risulta un importante teorema: In ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto è
uguale al prodotto della misura dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente a quel
cateto.
Andiamo adesso a vedere la relazione fondamentale tra le funzioni goniometriche di uno
stesso angolo x:
P
0.5
x 0.5
O
H
Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo POH, ottenendo:
HP2+OH2=1
sen2x + cos2x=1
Possiamo quindi affermare che la somma dei quadrati del seno e coseno di uno stesso
angolo è uguale a 1.
