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P O L I T E C N I C O DI B A R I
FACOLTA' DI INGEGNERIA - TARANTO
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA INDUSTRIALE
PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA
(9 CFU) (A.A. 2008/09)
PROF. D.K. PALAGATCHEV
Modulo I (Analisi Matematica I)
Il campo R dei numeri reali e sua rappresentazione geometrica. Assiomi e proprietà dei
numeri reali. Intervalli. Il campo complesso C. Forma algebrica e trigonometrica dei numeri
complessi. Modulo e argomento. Radici n-esime dell’unità.
Generalità sugli insiemi. Insiemi limitati. Maggioranti e minoranti di un insieme. Minimo e
massimo di un insieme. Estremo inferiore e superiore di un insieme numerico. Relazione tra
minimo (massimo) ed estremo inferiore (superiore). Intorni di un punto di R. Punti di
accumulazione di un insieme numerico.
Generalità sulle funzioni reali. Funzioni pari, dispari, periodiche. Operazioni con le funzioni.
Funzioni monotone. Teorema sull'
invertibilità delle funzioni strettamente monotone(*).
Monotonia delle funzioni composte(*). Funzioni limitate, maggioranti e minoranti di una
funzione. Massimo e minimo di una funzione. Estremo inferiore e superiore di una funzione.
Le funzioni potenze n-esima e radice n-esima. La funzione esponenziale e logaritmica.
Funzioni trigonometriche e iperboliche e loro inverse.
Definizione di limite per una funzione reale. Limite destro e sinistro. Unicità del limite(*).
Funzioni elementari e i loro limiti. Limite delle funzioni composte(*). Operazioni con i limiti.
Forme indeterminate. Limiti di polinomi, funzioni razionali fratte, funzioni irrazionali. Limiti
notevoli. Teoremi del confronto. Prodotto di una funzione infinitesima per una limitata.
Somma di una funzione divergente e di una limitata.
Funzioni continue. Continuità delle funzioni elementari. Continuità delle funzioni
composte(*). Permanenza del segno per le funzioni continue(*). Operazioni algebriche con le
funzioni continue. Teorema degli zeri. Teorema di Weierstrass(*). Teorema di Darboux(*).
Punti di discontinuità e la loro classificazione.
Definizione di derivata per una funzione reale. Significato geometrico e fisico della derivata.
Derivate delle funzioni elementari. Continuità delle funzioni derivabili(*). Operazioni
algebriche con le derivate. Derivazione delle funzioni composte(*). Derivazione delle
funzioni inverse. Derivata a destra e a sinistra. Punti angolosi e cuspidali. Derivate di ordine
superiore.
Teoremi di Fermat(*), Rolle(*), Cauchy(*) e Lagrange(*). Teorema sulle funzioni a derivata
nulla(*). Teorema sulla condizione sufficiente per la stretta crescenza o decrescenza di una
funzione derivabile in un intervallo(*). Punti di minimo e massimo relativo. Teoremi sulle
condizioni sufficienti per i punti di minimo e massimo relativo. Ricerca del minimo e
massimo assoluto. Funzioni convesse o concave. Punti di flesso. Teorema di L'
Hôpital.
Asintoti ad un grafico. Studio del grafico di una funzione. Polinomio di Taylor. Le formule di
Taylor e McLaurin.
Integrale secondo Riemann e l'
interpretazione geometrica. Proprietà dell'
integrale. Teorema
della media(*). Integrale definito e sue proprietà. Primitive. Teorema sulla differenza di due
1
primitive(*). Funzione integrale. Teorema sulla funzione integrale(*). Teorema fondamentale
del calcolo integrale(*) (teorema di Leibniz-Newton). Formule di integrazione per parti e per
sostituzione. Applicazione al calcolo delle aree.
L'
integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Integrazione indefinita per
decomposizione in somma. Integrali delle funzioni razionali fratte. Integrazione per parti e per
sostituzione. Integrazione di funzioni irrazionali.
Modulo II (Elementi di Analisi Matematica II)
Elementi di topologia nel piano R2. Notazioni scalari e vettoriali, distanza tra due punti, norma di
un vettore. Successioni vettoriali. Intorno di un punto. Punti interni, esterni e di frontiera per un
insieme. Insiemi aperti, chiusi, limitati. Insiemi compatti.
Funzioni reali di due variabili reali. Grafico, linee di livello, esempi. Funzioni limitate.
Trasformazione di coordinate. Coordinate polari. Limite e continuità di una funzione a due
variabili. I teoremi sui limiti e continuità. Analisi delle forme indeterminate nel calcolo dei limiti
per una funzione f: R2
R. Criteri per l'
esistenza e non esistenza del limite. Teorema di
Weierstrass.
Derivate parziali. Funzioni differenziabili e piano tangente. Condizione sufficiente per la
differenziabilità. Derivate direzionali, gradiente. Derivazione di funzioni composte. Derivate di
ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Punti stazionari. Estremi relativi. Studio
del carattere dei punti critici mediante la matrice Hessiana.
Integrali doppi. Definizione di integrale doppio per una funzione continua di due variabili su un
rettangolo. Il significato geometrico. Proprietà. Insiemi normali rispetto gli assi Ox e Oy. Formule
di riduzione dell'
integrale doppio. Teorema della media. Calcolo delle aree. Cambiamento di
variabili negli integrali doppi. Matrice Jacobiana. Coordinate polari.
Cenni su equazioni differenziali ordinarie. Esempi di modelli differenziali. Equazione
differenziale di ordine n. Soluzione. Integrale generale, condizioni iniziali, problema di Cauchy.
Equazioni differenziali del primo ordine in forma normale. Teorema di esistenza e unicità della
soluzione. Integrazione di particolari tipi di equazioni differenziali del primo ordine: variabili
separabili, omogenee e lineari. Equazioni lineari del secondo ordine ai coefficienti costanti.
Equazione caratteristica. Struttura della soluzione generale. Il metodo di Lagrange. Il problema di
Cauchy.
Testi Consigliati
1. M. BRAMANTI, C. D. PAGANI, S. SALSA, Analisi Matematica 1, Zanichelli, 2008,
Bologna.
2. M. BRAMANTI, C. D. PAGANI, S. SALSA, Matematica, Calcolo infinitesimale e
algebra lineare, Zanichelli, 2000, Bologna.
3. P. MARCELLINI, C. SBORDONE, Elementi di Analisi Matematica Uno,
editore, Napoli, 2002.
4. P. MARCELLINI,
Napoli.
C. SBORDONE, Esercitazioni di matematica,
Liguori
Liguori editore,
I teoremi contrassegnati con (*) sono stati dimostrati.
Docente del corso:
(Prof. Dian K. Palagatchev)
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