1_Modelli di sopravvivenza

Modello di sopravvivenza continuo
MODELLO DI SOPRAVVIVENZA CONTINUO
Sia
T
n.a. non negativo che esprime la durata aleatoria da un istante iniziale fino al
verificarsi di un determinato evento
Esempi:
• durata di funzionamento di un’apparecchiatura dall’istante di accensione in cui
l’apparecchiatura inizia a funzionare
• durata di vita di una cavia dall’istante di somministrazione di una determinata
sostanza
• durata di vita dall’istante in cui ad un soggetto è diagnosticata una certa malattia
• durata di vita dalla nascita
Si indica con 0 l’istante iniziale
T ha determinazioni: t > 0
T ha supporto [0,+∞[
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Modello di sopravvivenza continuo
Si definisce
Funzione di sopravvivenza
S (t ) = P(T > t ),
t≥0
Si ha
• S (0) = P(T > 0 ) = 1
• S (t ) è una funzione non crescente: se t1 < t 2 allora S (t1 ) ≥ S (t 2 )
•
lim S (t ) = 0 , se si esclude l’esistenza di masse aderenti a + ∞
t →+∞
Si definisce
Funzione di ripartizione
F (t ) = P(T ≤ t )
Poiché:
F (t ) = P(T ≤ t ) = 1 − P(T > t ) = 1 − S (t )
per assegnare la distribuzione di probabilità del n.a. T è equivalente assegnare la
funzione di ripartizione oppure la funzione di sopravvivenza
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Modello di sopravvivenza continuo
Se la distribuzione del n.a. T è dotata di funzione di densità f (t ) continua si ha:
+∞
t
F (t ) = ∫ f (u )du
S (t ) = 1 − F (t ) = ∫ f (u )du
0
t
inoltre
f (t ) =
d
d
F (t ) = − S (t )
dt
dt
Quindi, per assegnare la distribuzione di probabilità del n.a. T è equivalente assegnare la
funzione di ripartizione, oppure la funzione di sopravvivenza, oppure la funzione di
densità
Si definisce
Funzione di rischio o hazard function
P(t ≤ T < t + ∆t T ≥ t )
∆t
∆t →0
λ (t ) = lim
Si ha
λ (t ) =
f (t )
S (t )
da cui
f (t ) = S (t ) λ (t )
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Modello di sopravvivenza continuo
Osservazione: interpretazione del significato di λ (t )
Essendo la distribuzione del n.a. T è dotata di densità f (t ) continua si ha:
P(t ≤ T < t + ∆t T ≥ t ) =
F (t + ∆t ) − F (t ) f (t )∆t + o(∆t )
=
(
)
St
S (t )
con
o(∆t )
=0
∆t →0 ∆t
lim
Si ha allora che a meno di infinitesimi di ordine superiore al primo
P(t ≤ T < t + ∆t T ≥ t ) ≅
f (t )
∆t = λ (t )∆t
S (t )
λ (t ) misura l’intensità istantanea dei decessi all’istante t per gli individui in vita fino
all’istante t
Si ha inoltre
λ (t ) =
f (t )
d
= − ln(S (t ))
S (t )
dt
quindi, assegnata S (t ) si determina λ (t )
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Modello di sopravvivenza continuo
Essendo f (t ) continua, vale anche viceversa, infatti integrando si ottiene
t
∫ λ (u )du = − ln(S (t ))
0
da cui si ottiene
 t

S (t ) = exp − ∫ λ (u )du 
 0

In tali ipotesi è allora equivalente assegnare la distribuzione di probabilità del n.a. T
assegnando la funzione di sopravvivenza oppure la funzione di rischio
Si definisce
t
Funzione di rischio integrato
Λ (t ) = ∫ λ (u )du
0
Si ha allora
S (t ) = exp(− Λ (t ))
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Modello di sopravvivenza discreto
MODELLO DI SOPRAVVIVENZA DISCRETO
Sia
T
n.a. non negativo che esprime la durata aleatoria da un istante iniziale fino al
verificarsi di un determinato evento
Si indica con 0 l’istante iniziale
T ha determinazioni: 0 < t1 < t 2 < K
Esempi:
• osservazioni di durate con misurazioni arrotondate
• osservazioni di durate raggruppate in intervalli (si considera come durata il punto
medio di ciascun intervallo)
• durate misurate con un numero intero di unità (per esempio, durate misurate in
settimane)
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Modello di sopravvivenza discreto
Si definiscono le
probabilità
(
)
qj = P T = tj ,
j = 1, 2, K
+∞
essendo ∑ q j = 1
j =1
Si definisce
S (t ) = P(T > t ) = ∑ q j , t ≥ 0
Funzione di sopravvivenza
t j >t
Si ha
•
S (t ) è una funzione non crescente, continua a destra; infatti, se t k ≤ t < t k +1 si ha
S (t ) = P(T > t ) = ∑ q j = S (tk )
j >k
•
per assegnare la distribuzione di probabilità del n.a. T è equivalete assegnare le
probabilità oppure la funzione di sopravvivenza
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Modello di sopravvivenza discreto
Si definisce
(
)
λ (t j ) = P T = t j T ≥ t j ,
Funzione di rischio o hazard function
j = 1, 2, K
Si ha
λ (t j ) =
qj
j = 1, 2, K
( )
,
e
S (t 0 ) = 1
S t j −1
essendo
t0 = 0
Si ha allora che, assegnate le probabilità, è assegnata la funzione di sopravvivenza ed è
pure assegnata la funzione di rischio
( ) ( )
Poiché q j = S t j −1 − S t j si ha
λ (t j ) =
qj
S (t j −1 )
=
S (t j −1 ) − S (t j )
S (t j −1 )
=1−
S (t j )
S (t j −1 )
,
j = 1, 2, K
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Modello di sopravvivenza discreto
Proviamo che assegnata la funzione di rischio risulta assegnata anche la funzione di
sopravvivenza.
Sia t k ≤ t < t k +1 si ha
S (t ) = S (t k ) =
Essendo
S (t j )
S (t j −1 )
S (t k ) S (t k −1 )
S (t )
⋅
⋅L 1
S (t k −1 ) S (t k − 2 )
S (t 0 )
( )
= 1 − λ t j , j = 1, 2, K si ottiene
(
S (t ) = S (t k ) = (1 − λ (t k ) ) ⋅ (1 − λ (t k −1 ) ) ⋅L (1 − λ (t1 ) ) = ∏ 1 − λ (t j )
tj≤ t
)
È equivalente assegnare la distribuzione di probabilità del n.a. T assegnando la funzione
di sopravvivenza oppure la funzione di rischio
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Modello di sopravvivenza discreto
Osservazione: interpretazione del significato di
S (t j )
S (t j −1 )
( )
= 1− λ t j
Si ha
S (t j )
S (t j −1 )
=
P (T > t j )
P(T > t j −1 )
=
P(T > t j −1 , T > t j )
P(T > t j −1 )
= P (T > t j T > t j −1 )
Si può allora interpretare la formula
(
)
S (t ) = S (t k ) = ∏ 1 − λ (t j ) = ∏ P (T > t j T > t j −1 )
tj≤t
tj≤t
come prodotto di probabilità condizionate di sopravvivenza.
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